电动力学》理论证明集锦
电动力学习题解答1
电动力学习题解答若干运算公式的证明ϕψψϕϕψψϕϕψψϕϕψ∇+∇=∇+∇=∇+∇=∇c c c c )()()(f f f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c f f f f f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c )()()(g f g f g f ⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇c c )()(g f f g ⨯∇⋅-⨯∇⋅=c c)()(g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=)()()(g f g f g f ⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=c c c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=)()()(c c g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)()(c c g f f g ⋅∇+⋅∇=（利用公式b a c b a c c b a )()()(⋅+⨯⨯=⋅得）f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cf g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )( ， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x zu u f yu u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du uf zu y u xuu f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）zu A yu A xu A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zu u A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu zu yu x u uA uA uA z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA uA uA z u y u x u uu z y x zyxd /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A zx y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z yu A xu A xu A zu A zu A yu A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
电动力学总结 郭版
库仑定律F 304'r QQ πε=r 电场强度E=304r Qπεr 电场强度磁通量的高斯定理⎰sE d s=0εQ 静电场的散度 ∆·E=ερ旋度 ∆×E=0 恒定电流时有∆·J =0 电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）∆·J+t∂∂ρ=0 J 是电流密度 安培环路定律⎰LBdl =0μI⎰LBdl =0μ⎰sJ d s恒定磁场的一个基本微分方程∆×B=0μJ 恒定磁场的散度∆·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律∆×E=-t ∂∂B 位移电流J D =0εt∂∂E 麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×B=0μJ+0μ0εt∂∂E ∆·E=0ερ ∆·B=0洛伦兹力公式F=q E+q v ×B 自由电荷密度f ρ 束缚电荷密度p ρ 电位移矢量D ：D=0εE+p ∆·D=f ρ 介质极化率e χ：p=e χ0εE 磁场强度H ：H=1μB-M ∆×H=J f +t∂∂D 磁化率m χ：M=m χH 介质中的麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×H=J+t∂∂D ∆·E=ρ ∆·B=0 介质中电磁性质方程D=εE B=μH J=σEεμσ分别为电容、磁导、电导率边值关系e n ×（E 2-E 1）=0 e n ×（H 2-H 1)=a e n ·（D 2-D 1)=σ e n ·(B 2-B 1)=0能量守恒定律微分形式∆·S+t∂∂w=-f ·v 能流密度S=E ×H 能量密度变化率t ∂∂w=E t ∂∂D+H t ∂∂B w=21(E ·D+H ·B )真空中S=1μE ×B w=21(0εE 2+01μB 2)静电势基本微分方程（泊松方程）∆2ϕ=-ερ边值关系21ρρ= σϕεϕε-=∂∂-∂∂nn 1122导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线方向，表面为等势面，整体电势相等。
电动力学知识的总结
第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F 为()'3''041r r rr Q Q F --=πε （1.1.1）式中0ε是真空介电常数。
（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E为()'3''41r r r r Q E --=πε （1.1.2）（3）电场的叠加原理N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为()'13'0'4iNi i i r r r r Q E --=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''041r r r r dV r E V--=⎰ρπε （1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r为场点的坐标。
2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。
用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形） （1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形） （1.1.6）其中V 为S 所包住的体积，S d为S 上的面元，其方向是外法线方向。
应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E（1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E 3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。
对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅V S dV dtdS d J ρ （1.2.1） 或0=∂∂+⋅∇tJ ρ（1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学是物理学的重要分支之一，研究电荷之间相互作用导致的电场和磁场的规律。
在这篇文章中，我们将整理电动力学的重点知识，以帮助大家进行期末复习。
一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。
根据库仑定律，电荷之间的力与它们的电量大小和距离的平方成正比。
即$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中$F$为电荷之间的力，$q_1$和$q_2$分别为两个电荷的电量，$r$为它们之间的距离，$k$为库仑常数。
二、电场电场是描述电荷对周围空间产生影响的物理量。
任何一个电荷在其周围都会产生一个电场，其他电荷受到这个电场的力作用。
1. 电场强度电场强度$E$定义为单位正电荷所受到的电场力。
即$$ E =\frac{F}{q} $$电场强度的方向与电场力方向相同。
2. 电荷在电场中的受力当一个电荷$q$在电场中时，它受到的电场力$F$为$F = qE$，其中$E$为电场强度。
3. 电场线电场线是一种用于表示电场分布的图形。
电场线从正电荷发出，或者进入负电荷。
电场线的密度表示电场强度大小，电场线越密集，电场强度越大。
三、高斯定律高斯定律是用于计算电场分布的重要工具。
它描述了电场与通过闭合曲面的电通量之间的关系。
1. 电通量电通量是电场通过曲面的总电场线数。
电通量的大小等于电场强度与曲面垂直方向的投影之积。
电通量的计算公式为$$ \Phi = \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} $$其中$\mathbf{E}$为电场强度，$\mathbf{dA}$为曲面元。
2. 高斯定律高斯定律表示电通量与包围曲面内所有电荷之和的比例关系。
即$$ \Phi = \frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_0} $$其中$\Phi$为通过曲面的电通量，$Q_{\text{内}}$为曲面内的总电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数。
电动力学知识点归纳
电动力学知识点归纳电动力学是物理学的一个分支，研究电荷和电流以及它们与电场和磁场之间的相互作用。
电动力学是现代工程学和科学研究的基础，也是解释电子、电力、磁性材料、光学和无线通信等现象的关键。
以下是电动力学的几个重要知识点的归纳：1.库仑定律：描述了两个电荷之间的作用力，称为电场力。
它表明，两个电荷之间的作用力正比于它们的电荷量的乘积，反比于它们之间距离的平方。
2.电场：由电荷产生的电场是描述电荷周围的空间的力场。
电场可以通过电场线来可视化，箭头指向正电荷，箭头离开负电荷，线的密度表示电场的强度。
3.电势能和电势差：电势能是一个电荷在电场中的能量，它与电荷量、电场强度和距离之间都有关系。
电势差是沿电场中两点之间的电势能变化，用来描述电荷从一个点移动到另一个点时的能量变化。
4.电流和电阻：电流是电荷在单位时间内通过导体的量，通常用安培(A)来衡量。
电阻是导体对电流的阻碍，其大小与导体材料的特性有关。
欧姆定律描述了电流、电势差和电阻之间的关系，即电流等于电势差与电阻的比值。
5.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组是描述电磁场行为的一组方程，它们是电动力学的核心。
方程组包括四个方程，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和高斯磁定律。
这些方程描述了电荷和电流如何产生电场和磁场，以及电场和磁场之间如何相互作用。
6.磁场：磁场是由电流产生的，可以通过磁感线来可视化，箭头指向磁南极，箭头离开磁北极。
磁场对运动带电粒子施以洛伦兹力，使其偏离原来的轨道。
7.麦克斯韦-安培定理：描述了电流生成的磁场的环路积分等于通过环路的总电流的情况。
它建立了电流与磁场之间的关系。
8.电感和电容：电感是储存电磁能的元件，通过存储磁场的能量来抵抗电流变化。
电容是储存电荷的元件，通过储存电场的能量来抵抗电压变化。
以上只是电动力学领域中的一些重要概念和原理，还有很多细节和衍生知识需要进一步学习和理解。
电动力学的应用也非常广泛，例如电路设计、电子设备制造、电力输送、无线通信等领域都离不开电动力学的原理。
《电动力学》习题集
《电动力学》习题集1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：2()()()()()1()()2A ∇=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇⨯∇⨯=∇-∇AB B A B A A B A B A A A A2、设u 是空间坐标x,y,z 的函数，证明：(),(),().df f u u dud u u dud u u du∇=∇∇=∇∇⨯=∇⨯A A A A 4、应用高斯定理证明,V SdV d ∇⨯=⨯⎰⎰f S f 应用斯托克斯（Stokes ）定理，证明.S L d d ϕϕ⨯∇=⎰⎰S l5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：()(,)V P t x t x dV ρ'''=⎰ 利用电荷守恒定律0j t ρ∂∇⋅+=∂ ,证明P 的变化率：(,)V d p j x t dV dt ''=⎰6、若m 为常矢量，证明除0R =点以外，矢量3m R A R ⨯= 的旋度等于标量3m R R ϕ= 的梯度的负值。
即：A ϕ∇⨯=-∇ , 其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7、直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。
并推导出真空中静电场的下列公式：()();()0x x ρε∇=∇⨯=E E 。
x 8、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
9、直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。
J B B 00μ=⨯∇=⋅∇ 10、直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。
11、直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。
12、设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell 方程组，以包括磁荷密度ρm 和磁流密度J m 的贡献。
13、场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。
电动力学知识点归纳
电动力学知识点归纳在物理学中，电动力学是研究电荷与电场、电磁场相互作用的学科。
它关注着电场、电荷、电容、电流和电磁感应等概念及其相互关系。
本文旨在对电动力学的相关知识点进行归纳，帮助读者更好地了解电动力学的核心概念和基本原理。
一、电荷与电场在电动力学中，电荷是一种基本粒子，具有正电荷和负电荷两种属性。
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场则是由电荷产生的物理量，指的是某一点的电荷所具有的作用力。
电场的强度用电场强度表示，它是单位正电荷所受的力。
二、电势与电势差电势是描述电场中各点电能状态的物理量。
电势差指的是两个点之间电势的差异，常用符号∆V表示。
电势差可以通过电场强度的积分来计算，即∆V = ∫E·dl，其中E为电场强度，dl为路径微元。
三、电容与电容器电容指的是储存电荷的能力，是电容器的重要性质之一。
电容器由两个导体之间的介质隔开，其中一个导体带正电荷，另一个导体带负电荷，二者之间形成电场。
四、电流与电路电流是单位时间内通过某一截面的电荷量。
它是电荷在导体中的流动导致的。
电路则是由电源、导线和负载组成的。
电流在电路中的流动受到欧姆定律的控制，该定律表明电流与电压成正比，与电阻成反比。
五、电磁感应与法拉第定律当导体穿过磁场时，会在其两端产生感应电动势。
这个现象称为电磁感应。
根据法拉第定律，感应电动势的大小与导体在磁场中移动的速度和磁场强度的乘积成正比。
六、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，它由四个方程组成，分别是高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和非电磁场的推广定律。
通过这四个方程，我们可以全面地描述电场和磁场的产生、变化和相互作用。
综上所述，电动力学是研究电荷与电场、电磁场相互作用的学科。
电动力学的核心概念包括电荷与电场、电势与电势差、电容与电容器、电流与电路、电磁感应与法拉第定律以及麦克斯韦方程组。
了解这些知识点能够帮助我们深入理解电动力学的基本原理和应用。
电动力学讲义
电动力学讲义一、电动力学概述电动力学是物理学中一门重要的基础学科，主要研究电荷运动与电磁场相互作用的规律。
它涉及到电磁学、量子力学、相对论等多个领域，是现代物理学和技术科学的基础。
二、基本概念和理论1. 电荷：电荷是物质的基本属性，分为正电荷和负电荷。
2. 库仑定律：描述两个点电荷之间相互作用力的定律。
3. 电磁场：由电场和磁场组成的空间。
4. 麦克斯韦方程组：描述电磁场的基本规律。
5. 波动方程：描述电磁波在不同介质中传播的规律。
6. 相对论：描述物体在高速运动下与低速运动下物理规律的方程。
三、基本原理和应用1. 电荷守恒原理：在电动力学中，电荷是守恒的，即不能创造也不能消失，只能从一个体系转移到另一个体系。
2. 洛伦兹力：带电粒子在磁场或电场中受到的力。
3. 电磁波的应用：电磁波在现代通讯、雷达、医疗等领域有着广泛的应用。
4. 相对论在宇宙学和粒子物理学中的应用：相对论在解释宇宙和基本粒子的行为时具有重要地位。
四、实验基础和实践实验是电动力学的基础，通过对实验数据的分析和归纳，可以验证和理解电磁学的规律。
实践方面，可以借助实验设备如线圈、电偶极子等，进行电磁场和电磁波的实验研究。
五、总结电动力学是一门理论性和实践性都很强的学科，通过对电荷、电磁场、相对论等基本概念和原理的学习，我们可以更好地理解物理世界。
在实际应用中，电动力学对于现代科技的发展具有重要意义，如电磁波在现代通讯技术中的应用，以及相对论在宇宙学和粒子物理学中的地位。
总之，电动力学是物理学和技术科学的重要基础，对于深入理解和应用物理规律具有不可或缺的作用。
电动力学 基尔霍夫定律 证明-概述说明以及解释
电动力学基尔霍夫定律证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述电动力学是物理学中研究电荷与电流相互作用的分支，它是现代科学和技术中至关重要的学科。
电动力学的核心理论之一就是基尔霍夫定律，它是描述电路中电流分布和电压规律的基本原理。
基尔霍夫定律由德国物理学家叶夫根尼·奥托·波波夫（Gustav Robert Kirchhoff）于19世纪中叶提出，至今仍然被广泛应用于电路分析和设计。
这个定律在电路中的应用非常重要，因为它允许我们准确地计算电流和电压在复杂电路中的分布情况。
基尔霍夫定律包括两个关键点：基尔霍夫电流定律（Kirchhoff's Current Law, KCL）和基尔霍夫电压定律（Kirchhoff's Voltage Law, KVL）。
KCL指出在任何一个节点上，流入节点的电流总和等于流出节点的电流总和。
而KVL则表明沿着一个闭合回路的电压总和等于零。
通过基尔霍夫定律，我们可以推导出电路中复杂的电流和电压关系，从而有效地解决电路设计和分析中的问题。
这不仅在电子工程和电路设计中发挥着重要作用，也为各种电子设备的正常运行提供了基础。
本文将详细介绍基尔霍夫定律的理论基础和应用方法，并从数学角度给出基尔霍夫定律的证明过程。
通过这篇文章，读者们将能够更深入地理解基尔霍夫定律的原理和意义，以及如何利用它们进行电路分析与设计。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构部分旨在向读者介绍本文的组织结构和各个部分的主要内容。
通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解文章的逻辑脉络和论证过程。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分的主要内容进行简要介绍。
引言部分（Introduction）旨在引起读者的注意并提出问题。
首先，我们将概述电动力学在物理研究中的重要性。
然后，对本文的结构进行说明，包括各个部分的目的和内容。
最后，明确本文的目的是为了证明基尔霍夫定律。
初中物理电动力学知识点归纳
初中物理电动力学知识点归纳电动力学是物理学中的一个重要分支，它研究电荷运动和与其相关的力学现象。
在初中物理中，电动力学是一个基础而重要的内容，涉及到电流、电压、电阻等许多概念和原理。
在本文中，我将对初中物理电动力学的知识点进行归纳和总结。
1. 电流和电荷电流是电荷的流动，通常用字母I表示。
电荷的单位是库仑(C)，电流的单位是安培(A)。
电流的大小等于单位时间内通过导体横截面的电荷量。
电流可以分为直流和交流两种类型。
2. 电压和电动势电压是电场能量在单位电荷上的分布，通常用字母U表示。
电动势是电源产生电压的能力，通常用字母E表示。
电压和电动势的单位都是伏特(V)。
电压和电动势的大小可以用电压表或万用表测量。
3. 电阻和电阻率电阻是物体对电流流动的阻碍程度，通常用字母R表示。
电阻的单位是欧姆(Ω)。
电阻率是物质本身的电阻能力，通常用字母ρ表示。
电阻和电阻率之间的关系可以用公式R=ρL/A来表示，其中L是导体的长度，A是导体的横截面积。
4. 欧姆定律欧姆定律是描述电流、电压和电阻之间关系的重要规律。
它表明，电流等于电压与电阻的比值，即I=U/R。
欧姆定律适用于恒定电阻中的电路。
5. 序列连接和并联连接序列连接是指将多个电阻依次连接起来，序列连接的电阻值等于各个电阻值的代数和。
并联连接是指将多个电阻并在一起，并联连接的电阻值等于各个电阻值的倒数之和的倒数。
序列连接和并联连接是电路中常见的两种连接方式。
6. 雷诺瓦定律雷诺瓦定律是用来计算电路中电流、电阻和电压分布的重要定律。
它表明，电路中的总电压等于各个电阻上的电压之和。
雷诺瓦定律在分析复杂电路中的电流和电压分布时非常有用。
7. 多用电表的使用多用电表是一种用来测量电路中电流、电压和电阻的仪器。
它有直流电流档、直流电压档、交流电流档、交流电压档和电阻档等多个档位。
使用多用电表需要注意选择合适的档位、正确连接和读取测量结果。
8. 发电机和电池发电机是将机械能转化为电能的设备，电池是将化学能转化为电能的装置。
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析(学生版)
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析一、知识点归纳知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇+∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;;B D J t D H t B Eρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==Jρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;0;B D t D H t B E（齐次的麦克斯韦方程组）知识点2：位移电流及与传导电流的区别。
答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=⋅∇J在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。
一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。
在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。
由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。
把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。
此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。
由电荷守恒定律.0=∂∂+⋅∇tJ ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式.0tEJ D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。
它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。
而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。
知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。
电动力学的基础理论介绍
电动力学的基础理论介绍电动力学是物理学中研究电荷和电磁场相互作用规律的学科。
它包括静电学、电流学、磁学和电磁感应学等内容。
本文将简要介绍电动力学的基础理论，包括库仑定律、电场、电势和电磁感应等。
一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本规律。
根据库仑定律，两个电荷之间的相互作用力与它们的电荷量大小成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个力的大小由下式给出：F = k * (Q1 * Q2) / r^2其中F是电荷之间的相互作用力，Q1和Q2分别是电荷的大小，r是它们之间的距离，k是一个常数，被称为库仑常数。
库仑常数的数值约为9×10^9 N·m^2/C^2。
二、电场电场是电荷在空间中所产生的一种物理量，用来描述电荷之间相互作用的方式。
在电场中，一单位正电荷所受到的力被定义为电场强度。
电场强度可以根据下式计算：E =F / Q其中E是电场强度，F是电荷受到的力，Q是电荷的大小。
电场强度的方向与力的方向相同。
对于由点电荷产生的电场，其电场强度是一个向外的矢量。
三、电势电势是描述电场中某一点的能量状态的物理量。
它可以被定义为单位正电荷从无穷远处移到该点所做的功。
电势是一个标量，通常用V表示，其单位是伏特（V）。
电势是由电荷所产生的电场而引起的。
电荷与电场之间的关系可以由电势差来描述。
电势差是指两个点之间的电势之差，可以用下式计算：ΔV = V2 - V1 = - ∫E · dl其中ΔV是电势差，V1和V2分别是两个点的电势，E是电场强度，dl是沿电场强度方向的无穷小位移。
四、电磁感应电磁感应是当变化的磁场穿过导体或电流通过变化的磁场时，在导体中产生电流的现象。
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势与磁场变化率之积和导体的回路长度有关。
该定律可以用下式表示：ε = - dφ / dt其中ε是感应电动势，dφ/dt是磁通量的变化率。
根据楞次定律，感应电动势的方向总是使得感应电流产生的磁场的磁通量与外部的磁场变化率相抵消。
电动力学导论 亥姆霍兹定理
电动力学导论亥姆霍兹定理
电动力学是物理学中研究电荷、电场、电流和磁场之间相互作用的
一门学科。
在电动力学的研究中，亥姆霍兹定理是一项非常重要的理论，它描述了电场和磁场之间的关系，并提供了求解电场和磁场的方程。
在电动力学中，电场和磁场是描述电荷和电流分布以及它们之间相
互作用的重要概念。
电场是指空间中任何一点处由电荷引起的力的场，而磁场则是由电流引起的力的场。
电场和磁场之间有一定的关系，而
亥姆霍兹定理正是描述了这种关系。
亥姆霍兹定理指出，任意具有连续二阶偏导数的矢量函数都可以表
示为两个无旋场和无散场的和。
这意味着任意矢量场都可以分解为一
个无旋场和一个无散场的组合。
在物理学中，无旋场表示磁场，无散
场表示电场，因此亥姆霍兹定理可以用于描述电场和磁场之间的关系。
通过亥姆霍兹定理，我们可以将复杂的电磁场问题简化为更容易求
解的无旋场和无散场问题。
这为电动力学的研究和应用提供了重要的
数学工具。
在实际应用中，亥姆霍兹定理被广泛应用于电磁场的计算
和分析，为工程技术领域提供了重要支持。
总的来说，亥姆霍兹定理是电动力学中一个非常重要的理论，它描
述了电场和磁场之间的关系，为电磁场问题的求解提供了重要的数学
方法。
在电动力学的研究和应用中，亥姆霍兹定理起着至关重要的作用，促进了电磁场理论的发展和应用。
电动力学理论证明集锦
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17．试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。
[ 证明 ]
取 Z 轴指向导体内部，由于高频趋肤效应，导体内体电流密度为： 其中为表面处的电场。 此电流分布在导体表面附近厚度的薄层内——视为面电流 分布： 由此得面电流最大值平方为： 而导体内平均热功率密度为：
[ 证明 ]
设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为 , 由麦克斯韦方程之一 ( 安 培环路定理 ) 给出 对方程两边作任意闭合曲面积分，得 即给出总电流为 因为矢量场的旋度无散度 : ，故
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2. 若是常矢量，证明除 R=0点以外，矢量的旋度等于标量的负梯度，即， 其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
《电动力学》理论证明集锦
为了扩充学生知识面， 强化理论体系的证明与验证过程， 巩固已学知识。在 此编撰了与《电动力学》课程相关的 20 余条理论证明内容，有的是基础理论， 但大部分是扩展内容。
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流 的总和为零。
3．试由电场积分公式出发，证明。
[ 证明 ]
因为，， 得到
根据函数的挑选作用，给出
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4．试由毕奥 - 萨伐尔定律出发，证明。
[ 证明 ] [ 方法 1： 间接积分计算 ]
其中：。 直接计算可得。 以下进一步计算，分两步运算：
电动力学Chapter22(唯一性定理)
在未来研究中的应用和价值
唯一性定理在理论物理、应用物理、工程物理等领域具有 广泛的应用价值。随着科学技术的发展，新的问题和现象 不断涌现，唯一性定理的应用范围也将不断扩大。
在未来研究中，唯一性定理的价值不仅在于其解决具体问 题的实用性，更在于其对物理学理论发展的推动作用。通 过对唯一性定理的研究和应用，可以加深对物理学基本规 律和原理的理解，促进物理学理论的创新和发展。
通过应用唯一性定理，可以确定电磁波的传播方向、幅度和相位，以及在不同介质 中的反射和折射特性。
唯一性定理在雷达、通信和光学等领域有着广泛的应用，对于电磁波的传播特性和 应用具有重要意义。
在量子力学中的应用
在量子力学中，唯一性定理用于 描述微观粒子的行为和相互作用，
特别是在处理薛定谔方程时。
通过应用唯一性定理，可以确定 微观粒子的波函数和能量状态， 以及它们之间的相互作用和演化。
唯一性定理在量子计算、量子通 信和量子信息等领域有着广泛的 应用，对于理解微观世界的本质
和规律具有重要意义。
04 唯一性定理的推广和展望
推广到多维空间
在多维空间中，唯一性定理的应用更为广泛，可以解决更为 复杂的物理问题。例如，在电磁场理论中，可以将唯一性定 理应用于高维空间中的电荷分布和电流密度，以确定电磁场 的性质和行为。
在多维空间中，唯一性定理的证明过程需要更复杂的数学工 具和技巧，但其实质仍然是基于电荷守恒和麦克斯韦方程组 的性质。
与其他物理定理的联系
唯一性定理与能量守恒定理、动量守恒定理等基本物理定理密切相关。这些定理 在描述物理现象时具有普适性和基础性，而唯一性定理则是解决具体问题的有力 工具。
在某些情况下，唯一性定理的证明和应用需要借助其他物理定理，如能量动量张 量定理、哈密顿原理等。这些定理在理论物理中具有重要地位，相互联系、相互 支持，共同构建了物理学理论的完整体系。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备).doc 电动力学重点知识总结（期末复习必备）第一部分：电场与电势1. 电场强度（E）定义：单位正电荷在电场中所受的力。
公式：[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} ]性质：矢量，方向为正电荷受到的力的方向。
2. 电势（V）定义：单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的能量。
公式：[ V = \frac{W}{q} ]性质：标量，与参考点的选择有关。
3. 电势能（U）定义：电荷在电场中的能量状态。
公式：[ U = qV ]4. 电场线的绘制规则从正电荷出发，指向负电荷。
电场线不相交。
第二部分：高斯定理1. 高斯定理的表述通过闭合表面的电通量等于闭合表面内总电荷量除以电常数。
2. 高斯定理的应用计算对称性电场问题，如球对称、圆柱对称等。
第三部分：电容器与电容1. 电容器定义：两个导体板之间用绝缘介质隔开的装置。
功能：存储电荷和能量。
2. 电容（C）定义：电容器存储电荷的能力。
公式：[ C = \frac{Q}{V} ]单位：法拉（F）。
3. 电容器的充电与放电充电过程：电容器两端电压逐渐增加至电源电压。
放电过程：电容器两端电压逐渐降低至零。
第四部分：电流与电阻1. 电流（I）定义：单位时间内通过导体横截面的电荷量。
公式：[ I = \frac{Q}{t} ]2. 电阻（R）定义：导体对电流的阻碍作用。
公式：[ R = \frac{V}{I} ]3. 欧姆定律表述：在恒定温度下，导体的电阻与其两端电压成正比，与通过的电流成反比。
第五部分：磁场与磁力1. 磁场（B）定义：对运动电荷产生力的场。
性质：矢量场。
2. 磁感应强度（B）公式：[ \vec{B} = \frac{\vec{F}}{IL} ]单位：特斯拉（T）。
3. 安培环路定理表述：通过闭合回路的磁通量等于通过回路的电流乘以常数。
4. 洛伦兹力（F）公式：[ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) ]性质：力的方向垂直于电荷的速度和磁场。
电动力学知识点
电动力学知识点
以下是 6 条电动力学知识点：
1. 电磁波啊，那可太神奇了！就像阳光一样无处不在。
你看咱们打电话、上网，这些不都是电磁波在发挥作用嘛！比如手机能接收到信号不就是电磁波的功劳嘛！
2. 静电场知道不？它可厉害着呢！就如同一只无形的手在掌控着电荷的分布呀。
你想想看，气球摩擦头发能吸住小纸片，不就是静电场在起作用吗！
3. 安培定律呀，就好像是电流的好朋友！电流通过导体的时候，安培定律可就发挥大作用啦。
就像家里的电线，安培定律保证了电流能正常传输呢！
4. 法拉第电磁感应，哇哦，这可真的超酷的！它就像是开启电磁转换的钥匙。
比如说发电机，不就是利用这个原理把机械能转化为电能嘛！
5. 电介质，它可默默奉献着呀！就好像是电场的保护者一样。
你看电容器里，电介质的存在可重要了，没有它怎么能储存电能呢！
6. 磁场呀，那可是很神秘又很强大的存在！好比是一个巨大的磁场能影响着周围的一切呢。
像扬声器能发出声音，不就是靠磁场和电流相互作用嘛！
我的观点结论就是：电动力学知识点真是太有趣太重要了，它们让我们的生活变得丰富多彩！。
经典电动力学的原理与应用
经典电动力学的原理与应用1. 引言经典电动力学是研究电荷和电磁场相互作用的科学。
它是物理学中的重要分支，不仅适用于电路的分析，还能解释和预测许多电磁现象。
本文将介绍经典电动力学的基本原理和其在实际应用中的一些例子。
2. 电荷和电场•电荷是电磁力的载体，通常表示为q。
它分为正电荷和负电荷，根据电荷的大小和符号可以计算电荷的总量。
•电场是由电荷所产生的力场。
它可以通过电场强度E来描述，表示单位正电荷在该点受到的力。
3. 库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。
根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
库仑定律可以表示为：F = k * (q1 * q2) / r^2其中，F是电荷之间的力，q1和q2分别是两个电荷的大小，r是两个电荷之间的距离，k是库仑常数。
4. 电场的计算与性质根据库仑定律，可以计算出由一个电荷所产生的电场。
电场的性质如下： - 电场是矢量量，具有大小和方向。
- 对于点电荷，电场呈放射状分布，其强度与距离成反比。
- 对于多个电荷的电场，可以通过叠加原理进行计算。
5. 高斯定律高斯定律是描述电荷在电场中分布的定律。
根据高斯定律，电场通过某个封闭曲面的通量与该曲面内的电荷总量成正比。
高斯定律可以表示为：∮ E · dA = Q / ε0其中，E是电场强度，dA是曲面上的微元面积，Q是曲面内的总电荷量，ε0是真空介电常数。
6. 电势与电势能电势是描述电场势能分布的物理量。
电势能是电荷在电场中的势能，可以通过电势来计算。
电势和电势能的关系如下： - 电势是电势能在单位电荷下的值。
单位是伏特（V）。
- 电势差是两个位置的电势之差，可以用来计算电荷在电场中的移动所做的功。
- 电势和电场强度之间存在关系：E = -∇V。
7. 电容器和电容电容器是储存电荷的装置，由两个金属板和介质组成。
电容是电容器储存电荷的能力。
电容的大小取决于电容器的几何形状和介质的特性。
《电动力学》公式推导荟萃
1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tB E D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(EtD HE J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂t wv f S ∂∂+⋅=⋅∇-对应的积分形式为⎰⎰⎰+⋅=⋅-∑V V wdV dt ddV v f d S σ注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。
************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ερϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇εερϕf -=∇2此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。
注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故⎰∞=dVW ρϕ21注释:（1）电场能量分布于空间电场中。
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《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。
在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。
第一章 电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。
[证明]设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d P M fJ J J J 、、、,由麦克斯韦方程之一(安培环路定理)给出)(0d P M f J J J J B对方程两边作任意闭合曲面积分，得)()()(00d P M f Sd P M f SI I I I S d J J J J S d B即给出总电流为VSd P M fdVB S d B I I I II )(1)(1因为矢量场的旋度无散度:0)( B，故0 I--------------------------------------2. 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3R R m A 的旋度等于标量3R R m 的负梯度，即 A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
[证明]在0 R 的条件下，有)1(R m AR m R m m R m R 1)(1)()1()1(R m 1)(另一方面)1(R mmR m R R m R m)1()(11)()1( R m 1)(经比较以上两式的右边，便可给出 A的答案。
注释:本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》内容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩P 激发的电势：3041R R P；（2）磁偶极矩m 产生的磁标势：341R R m m； （3）磁偶极矩m产生的磁矢势：304R R m A 。
--------------------------------------3．试由电场积分公式VV d rrx x E 3)(41)(出发，证明E 。
[证明]因为)(412x x r ，)(41)1()(23x x r r r r，得到V V V d r r x V d r r x x E )()(41])([41)(3030VV d x x x )()](4[410根据)(x x函数的挑选作用，给出 0E--------------------------------------4．试由毕奥-萨伐尔定律V V d r rx J x B 30)(4)(出发，证明J B 0 。
[证明][方法1：间接积分计算]V d r x J V d r r x J x B V V1)(4)(4)(030Ar V d x J V])(4[0 其中：Vr V d x J A )(40。
直接计算可得0)( A B。
以下进一步计算A A A B 2)()( ，分两步运算：①计算)(A ：V 1)(4V 1)(400 d r x J d r x J AV d r x J 1)(400)(141)(400 V d x J r V d r x J V其中第一项因为：01)(41)(400S V s d r x J V d r x J ；第二项运用稳恒电流条件0)( x J，结果也为零。
②计算A2：)()(4)(41)(400202x J V d x x x J V d r x J A最终得到：J B[方法2：直接积分计算]利用毕奥-萨伐尔定律直接作积分计算L v L l d V d r rx J l d B])([430]))([430l d r rx J V d v L （交换积分次序）])1()([40l d r x J V d v L（利用31r r r） 注意0)( x J ，则r x J x J r x J r r x J 1)()(1)(1)(，有 ]))(([40l d r x J V d l d B v L L}])([{40S d r x J V d v S（运用斯托克斯公式）})(])([{420 v S r x J r x J V d S d（交换积分次序）})()({420 v v S r x J V d r x J V d S d}1)()({420r x J V d S d r x J S d v S S其中第一项用了奥高积分变换公式、第二项用了2运算与x 无关。
注意到0)(SS d r x J，进一步有]1)([420r x J V d S d l d B v S L)]()([0x x x J V d S d vSSSd x J )(0化成微分式得J B 0[方法3：直接微分计算]利用公式B A B A B A )()()( 和关系)(4)(3x x r r ，直接计算V d r rx J x B V])([4)(30V d x J r r r r x J V )]())(([4330 因为0)( x J（求导与函数变量无关），故V d x x x J V d r rx J x B V V ])()([]))(([4)(030 利用)(x x函数的挑选作用，给出)()(0x J x B--------------------------------------5．试证明在均匀电介质中存在关系frp )11(。
[证明]因为DDE E E P r e)1()()()1(00000，并且f D，r =常数，所以frp D P)11()1(0--------------------------------------6．试证明在均匀磁介质中存在关系f r MJ J )1( 。
[证明]因为H H M r m)1( ，并且f J H ,r =常数，所以f r r M J H M J )1()1(--------------------------------------7．证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
[证明]（1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。
设两电流元2211dV J 、dV J 相距||||2112r r，根据毕奥-萨伐尔定律给出：电流元1在电流元2处产生的磁场为13121210124dV r rJ B d同样，电流元2在电流元1处产生的磁场为23212120214dV r r J B d其中2121r r 。
22dV J 11dV J 12r应用安培力公式B dV J F d，给出电流元1对电流元2的作用力、电流元2对电流元1的作用力分别为2131212120122212)(4dV dV r r J J B d dV J F d2132121210211121)(4dV dV r r J J B d dV J F d虽然2121r r、2121r r ，但一般情况下，)()(21211212r J J r J J ，即 2112F d F d，因此两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。
其原因是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。
（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
方法1：（场）电流圈1（闭合回路1整体）在电流元2处激发的磁场为113121211012124L L r r l d I B d B电流元2（电流圈2上的抽样）所受的磁力为1312121122012224L r r l d I l d I B l d I131212211122210)()(4L r r l d l d l d r l d I I进一步，电流圈1对电流圈2（整体两闭合回路）的作用力为213121221112221012)()(4L L r r l d l d l d r l d I I F其中第一项的积分为][4)(4231212121013121222102121l d r r l d I I l d r r l d I I L L L L0])([4231212121021S d r r l d I I S L这里对回路2的积分应用了斯托克斯公式，2S是以闭合回路2L 为周界的任意曲面，且应用了0)1(1231212 r r r的结果。
所以21312122121012)(4L L r r l d l d II F同理可得21321212121021)(4L L r r l d l d I I F比较以上两式，且注意到2121r r，可得2112F F 。
方法2：（力）依据电流元1对电流元2的作用力3121212210122212)(4r r l d l d I I B d l d I F d31212121122210)()(4r r l d l d l d r l d I I给出电流圈1（闭合回路1整体）对电流元2的作用力为13121221112221012)()(4L r r l d l d l d r l d I I F进一步，给出电流圈1对电流圈2（两个闭合回路整体）的作用力为2121312122111222101212)()(4L L L L r r l d l d l d r l d I I F d F其余运算同前（从略）。
综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。
--------------------------------------8．已知一个电荷系统的偶极距定义为V d x t x t P V),()( ，利用电荷守恒定律0 t J 证明P的变化率为V d t x J dt Pd V ),([证明]因为并矢的散度为x J x J x J)()()(,两边作积分得V d x J V d x J x J VV)(])()([其中J 是x的函数。
所以V d x J V d x t t x dt Pd V V)(),(VV d x J x J )]()[(VSS d x J V d x J)()(又J x J )(，0)( S d x J S ，故V d t x J dt Pd V ),(第二章 静电场9．简略证明矢量场的唯一性定理。
[证明]假定有两个矢量场21A A均满足定解条件，即)2,1()(|,, j S f A J A A S jn j j引入差函数21A A A，则0)(,0)(2121 A A A A A A可见A 无旋，引入对应的势函数 A ，代入A 的散度方程给出0)(2 A即势函数满足拉普拉斯方程，且在S 面上0|)(|21 S n n S n A A A将以上结果代入格林第一公式Sd dV SV])([22得到dSA S d dV n SSV2)(因为0| S n A ，所以0)(2 dV V。