三角函数综合问题

第32课 三角函数综合问题

一、考纲要求

1.能灵活运用三角公式进行化简、求值、求范围；

2.能综合应用代数中的函数、方程、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题。 二、知识梳理

1．在ABC ∆中，= ，=，且2||=，3||=，3-=⋅，则C cos = ，

AB = ．

【教学建议】本题是课本习题的改编，考查三角函数与向量简单的综合应用。教学时先让学生回忆向量的数量积公式，强调向量夹角必须共起点，求出C cos 后，利用余弦定理求出AB 长。 2．函数)12

(cos )(2

π

+

=x x f ，x x g 2sin 2

1

1)(+

=.若0x x =是函数)(x f y =图像的一条对称轴，则)(0x g 的值为 ．

【教学建议】本题主要考查三角函数的图像与性质，及三角恒等变形。教学时，先让学生求出)(x f 的对称轴，带入)(x g 表达式，转化为三角求值题，此题要注意分类讨论，不能漏解。 三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

2、结合课件点评。必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。 题1：函数2

()(sin cos )f x x x =-的最大值为___________.

【点评】解析式有何特点？平方展开后出现一个定值，另一个表达式怎么处理？，有没有定义域的范围限制？

题2： 若1tan 4tan θθ+

=，则sin 2θ= ．答案为：1

2

. 【点评】本题主要考察基本关系式、切化弦的基本思路。注意学生盲目去解tan θ，或者计算中不及时发现可用公式。如221sin cos tan 44sin cos 4sin cos tan cos sin θθ

θθθθθθθθ

+=⇒+=⇒+=，左边，右边都直接用公式。

题3：已知角,,αβγ构成公差为3

π

的等差数列，若2cos 3β=-，则cos cos αγ+= .

答案为：2

3

-

. 问题：探求cos cos αγ+的基本思路是什么？

题4：在锐角三角形ABC ∆中，若tan 1,tan 1A t B t =+=-，则实数t 的取值范围

是 .答案为：

)

+∞.

【点评】指导学生认真读题。引导学生探究锐角三角形角的正切值的范围。 问题1：是否需要向“弦”上转化？

问题2：tan ,tan A B 都大于零，能够保证三角形是锐角三角形吗？如果不能，要研究什么？ 3、诊断题归纳

1．研究三角函数的性质，通常将函数解析式化成k x A y ++=)sin(ϕω的形式，如题3和题4

2．会应用代数中的函数、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题，同时要注意角的范围对问题的限制。

四、范例导析

例1、例1在ABC ∆中，若13tan ,tan 45

A B ==. （1）求角C ；

（2）若ABC ∆，求最小边的长.

【教学处理】第（1）问，学生自主完成。第（2）要求学生自己分析，或板演或提问学生口答，教师板书，也可以展示学生解答过程. 第（1）问注意检查学生是否交代30,4

C C π

π∴<<∴=。 【启发谈话与精讲建议】

问题1：如何确定三角形的最小边？

【交流】34C π∴=

，∴最大边为AB =13tan tan ,,0,,452A B A B A B C π⎛⎫

=<=∈∴<< ⎪⎝⎭

，

∴角A 最小，即边BC 最小。这里要注意学生对三角形基本性质的运用情况，同时运用正切函数的单调性。

问题2：要运用正弦定理，先要求什么？

【交流】由221tan ,sin cos 1,0,42A A A A π⎛⎫

=

+=∈ ⎪⎝⎭

，得sin A =

由

sin sin AB BC C A =，得sin sin AB

BC A C

=⋅=

.

【评注】本题考查三角函数基本关系，正弦定理及两角和正切公式的简单综合运用，注意三角形中基本知识的运用.

例2、已知函数()sin sin()(0)6

4f x x x π

ωωω=+-

>，且其图象的相邻对称轴间的距离为4

π. （1）求()f x 在区间119[

,]128

ππ

上的值域； （2）在锐角ABC ∆中，若1

()82

f A π-=， ,2,1=+=c b a 求ABC ∆的面积.

【教学处理】要求学生自己分析，或板演或提问学生口答教师板书 【启发谈话与精讲建议】

问题1：这是两个正弦相乘的形式，如何化简它？

问题2：把这个三角函数展开后如何合并它？用的是辅助角公式。 问题3：对称轴之间的距离和周期是什么关系？

问题4：周期公式中的分母在本题中是什么？这个地方易错，要特别小心！

问题5：在给定区间上求三角函数的值域，一定要借助图像去解，这样可以有效地避免错误的发生。 问题6：锐角三角形的作用是什么？

问题7：三角形的面积公式是什么？角的问题解决了，如何解决边的问题？

例2变式、设ABC ∆的面积为S

，且20S AB AC +⋅=. （1）求角A 的大小；

（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．

解：（1）设ABC ∆中角

,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由2

0S AB AC +⋅=，

得1

2sin

cos 02

bc A A ⨯+=，即

sin 0A A =，

所以tan A =， 又(0,)A π

∈，所以23A π

=.

（2

）因为a =， sin sin 3

b c

B C ==

，所以2sin ,

2sin b B c

C ==， 从而1sin sin sin()23

S

bc A B C B B

π

===-

11cos2sin )2))246B B B B B B π---=+-

又5(,),2(,)63626

B B πππππ∈+∈，所以S ∈.

例3 在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且4

3cos =B . （1）若23=

⋅BC BA ,求c a +的值；（2）求C

C

A A sin cos sin cos +的值.

【教学处理】指导学生认真读题，并将题中条件作初步的转化，能发现条件之间有什么联系?看看能求出

什么？