常微分方程末考试试卷

常微分方程期末考试试卷

学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______

一． 填空题 （30分）

1．)()(x Q y x P dx

dy

+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰

-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果

_______ 。

3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。 4．方程22y x dx

dy

+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -

为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是

)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____

是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组

Ax x ='的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）

10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0=-+x e dx

dy

dx dy

的通解。

12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0

)1(2

2y y x dx dy

1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求

第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 13．求方程t t x x 3sin 9''=+的通解。 14．试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ϕ

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ 15．试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt

dy

y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。

三．证明题 （10分）

16．如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么

[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=

常微分方程期终考试试卷答案

一．填空题 （30分）

1．))(()()(⎰+⎰⎰

=-c dx e x Q e y dx

x P dx

x P

2．),(y x f 在R 上连续，存在0>L ，使2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于

任意R y x y x ∈),(),,(21

3．

1)!

1(++n n h n ML 4．4

141≤≤-

x 5．t

t

t

t t t

t t

t

e e e e e e e e e 22242---- 6．)()()(1

t x t x c t x i n

i i -

=+=∑

7．ds s f s t t t )()()(10

-ΦΦ⎰ ds s f s t t t t

t )()()()()(0

101⎰--ΦΦ+ΦΦη

8．[]

n t t t v e v e v e n λλλ,,,2121Λ 9．0),(,0),(==y x Y y x X

二．计算题 （60分）

10．解：

y x x

N

y x y M 226,8=∂∂=∂∂ y

M x N y M 21-=-∂∂-∂∂ 积分因子2121)(--=⎰=y e y dy y

μ

两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程：0)1(2432

13

2

2

=-+-

dy y x y dx y x

32

24y x M x u ==∂∂ 两边积分得：)(3

4

23

3y y x u ϕ+=

21

2

13'21322)(2--==+=∂∂y y x N y y x y

u ϕ

得：2

14)(y y -=ϕ

因此方程的通解为：c y x y =-)3(32

1

11．解：令

p y dx

dy

==' 则0=-+x e p p 得：p e p x +=

那么⎰⎰+==dp e p pdx y p )1(

c e pe p p p +-+=2

2

因此方程的通解为：⎪⎩⎪

⎨⎧+-+=+=c e p p y e p x p

p )1(22

12．解：4),(max ),(==∈y x f M R

y x

b y y a x x =≤-=≤-1,100，4

1

),min(==M b a h 解的存在区间为4

110=≤+=-h x x x 即4

345-≤≤-

x 令0)(00==y x ϕ

3

1

30)(312

1+=

+=⎰-x dx x x x

ϕ 4211

918633)313(0)(47312322+---=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-+=⎰-x x x x dx x x x x

ϕ

又

L y y

f

=≤-=∂∂22 误差估计为：24

1

)!1()()(12=+≤-+n n h n ML x x ϕϕ