北师大版数学高一(北师大)必修4试题 1.4-3单位圆与诱导公式
1.4.3单位圆与诱导公式
1.4.3单位圆与诱导公式一.教学目标：（一）知识与技能：通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。
（二）过程与方法：通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
（三）情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。
二.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
三.教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等。
四.学情分析： 五. 教学方法：讲授法与探究法。
六. 教学过程第1课时（一）、导入新课思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21；sin32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3π＝-23,等等.教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、65π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.（二）、推进新课 新知探究提出问题①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ ④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3π、32π，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，∠MOP=3π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sin32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3π.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b) 和点P′(-a,b)关于y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 sin(π-α)=sinα, cos （π-α)=-cosα.图2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x 轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα, cos(-α)=cos α,cos(2π-α)=cosα.图3图4同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(π+α)=-sinα,cos（π+α)=-cosα.图5图6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性. 讨论结果:略. 应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导. 解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23.点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22. 变式训练利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′) =cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--∙--+∙+活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n 或奇数n 或整数(此时需要分类讨论)n ；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-α-180°)=sin ［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, cos(-180°-α)=cos ［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cosα, cos(180°+α)=-cos α, sin(360°+α)=sinα. 所以，原式=)cos (sin sin cos αααα-∙∙-=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)-21-sin45°+cos120° =cos45°-21-22+cos(180°-60°) =22-21-22-cos60°=-1.3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+b cos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+b cos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+b cos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+b cos(π+β) =-asinα-bcos β =-(asinα+b cos β),∵f(2 003)=-1,∴asinα+b cos β=1.∴f(2 004)=asi n(2 004π+α)+b cos(2 004π+β) =asinα+b cos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+b cos β=1，它是联系已知和未知的纽带. 知能训练课本练习1、2. （三）、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力. （四）、作业课本习题1—4 4、5、6.第2课时（一）、导入新课思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与2π+α或2π-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 思路2.通过计算猜想引入，让学生计算3π，32π，6π，65π的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.sin3π=23,cos 65π=-23,这里65π＝2π+3π,sin 6π=21,cos 2132-=π,这里32π＝2π+6π. sin 65π=21,cos 3π=21,这里65π＝2π+3π，sin 3 2π=23,cos 6 π=23,这里32π＝2π+6π.猜想：sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. （二）、推进新课 新知探究 提出问题以下按两种思路来探究α与2π+α或2π-α的关系.思路1.先得出α与2π-α的关系.①先计算sin3π、cos 6π、sin 3π、cos 6π的值(23、21、23,21)，你有什么猜想结论？②怎样验证探究α与2π-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？③如何由α与2π-α的关系，得到α与2π+α的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(2π-α)=sinα,sin(2π-α)=cos α.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、2π、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角2π-α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，由于角α的终边与角2π-α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是(y,x)，于是，我们有sinα=y, cos α=x, cos （2π-α)=y, sin(2π-α)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.教师进一步引导学生，因为2π+α可以转化为π-(2π-α).所以求2π+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.讨论结果:①—③略.思路2.先得出α与2π+α的关系.图8教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角2π+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识,可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a)，且a=cos α, b=sinα.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(2π+α)相等，即sin(2π+α)＝cos α.点P 的纵坐标sinα与点P 1的横坐标cos （2π+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.教师进一步引导学生，因为2π-α=π-(2π+α)，所以求2π-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式 sin (k·2π+α)=sinα，cos （k·2π+α)=cos α. sin(-α)=-sinα，cos （-α)=cos α. sin(π-α)=sinα，cos （π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sinα，cos （π+α)=-cos α.sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinαsin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；2π±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：2π∙k ±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例1.求下列函数值：(1)sin(25π+4π);(2)sin(-655π);(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π.活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解:(1)sin(25π+4π)＝sin(2π+4π)=cos 4π=22.(2)sin(-655π)=-sin 655π=-sin(8π+67π)＝-sin 67π=-sin(π+6π)=sin 6π=21 (3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π=sin(π6π-)cos 4π+sin(2π-6π)cos (π+4π)=sin 6πcos 4π+(-sin 6π)(-cos 4π)=21×22+21×22＝22. 点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-655π)=sin(-10π+65π).以此活化学生的思路.例2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--∙-∙+-+∙+∙-活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. 解:原式＝[][])(cos )sin()(sin )cos()cos(sin)(απαπαπαπαπ+-∙-∙--+∙+∙-a=)cos (sin 1)sin ()2cos()cos ()sin (ααααπαα-∙∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∙-∙-=ααsin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练1.求sin(-870°)的值. 解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二:sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样： sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-212.已知cos(6π-α)=m(|m|≤1),求sin(32π-α)的值.解:∵-32πα-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［6π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?(1)证明:f(sinx)=f ［cos(2π-x)］=cos ［17(2π-x)］=cos (8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x, 即f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f ［sin(2π-x)］=sin ［n(2π-x)］=sin(2πn -nx) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-).,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx 故所求的整数n=4k+1(k ∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 知能训练课本练习2 1—4. （三）、课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”. （四）、作业1.课本习题1—4 A 组7、8.2.B 组1、2、3. 七、 板书设计：八、 关键词：九、教学反思：。
高一数学北师大必修练习： 单位圆与诱导公式 含答案
4．3 单位圆与诱导公式课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解四组公式的推导过程．2．运用所学诱导公式进行求值、化简与证明．诱导公式 (1)角α与－α，2π－α的正弦函数、余弦函数关系：sin(－α)＝________，sin(2π－α)＝________．cos(－α)＝________，cos(2π－α)＝________．(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________．sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α． (3)角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________．(4)角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数关系：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________． (5)角α与π2－α的正弦函数、余弦函数关系：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________．(6)角α与2k π＋α的正弦函数、余弦函数关系：sin(2k π＋α)＝________，cos(2k π＋α)＝________．一、选择题 1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．－32 D ．322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( )A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( )A ．－13 B ．13 C ．－223 D ．2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为() A ．－2m3 B ．2m3 C ．－3m 2 D ．3m25．α和β的终边关于y 轴对称，下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．cos α＝cos βC ．cos(π－α)＝cos βD ．sin(π－α)＝－sin β6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A ．13B ．23C ．－13D ．－23二、填空题7．sin(－300°)＋sin 240°的值等于________．8．下列三角函数：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋43π ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6 ③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6 ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3，(以上各式n ∈Z )其中函数值与sin π3的值相同的是________．(填所有相同代数式的序号)9．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________． 10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝________．三、解答题11．(1)求值：sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫23π－α的值．12．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证：(1)cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )；(2)sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫B ＋C 2－π4．能力提升13．化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(其中k ∈Z )．14．设f (n )＝cos(n 2π＋π4)(n ∈N *)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)的值．1．正弦函数、余弦函数的诱导公式概括如下：2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正(余)弦函数值，等于α的同名函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．π2±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．π2±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．2．可以利用诱导公式，将任意角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的问题．4．3 单位圆与诱导公式 答案知识梳理(1)－sin α －sin α cos α cos α (2)－sin α －cos α (3)sin α －cos α (4)cos α －sin α (5)cos α sin α (6)sin α cos α作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12．] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12． ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12．] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13．] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2．cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m ．] 5．A [∵α和β的终边关于y 轴对称，∴β与π－α终边相同，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z∴sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α．]6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23．] 7．08．②③⑤9．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13． 10．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1．∴a sin α＋b cos β＝1．f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3．11．解 (1)原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)＝sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30°＝－sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝－32×32＋12×12＝－12． (2)∵23π－α＝π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ∴sin ⎝⎛⎭⎫23π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13． 12．证明 (1)∵左式＝cos(2A ＋B ＋C )＝cos[A ＋(A ＋B ＋C )] ＝cos(π＋A )＝－cos A ，右式＝cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ，左式＝右式，∴cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )．(2)右式＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤12(π－A )－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫A 2＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A 2 ＝左式．∴sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4． 13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1．当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1． ∴上式的值为－1．14．解 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝cos(π2＋π4)＋cos(π＋π4)＋cos(3π2＋π4)＋cos(2π＋π4) ＝－sin π4－cos π4＋sin π4＋cos π4＝0． ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝502[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝f (2 009)＋f (2 010)＋f (2011)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 0092π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2 0102π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫20112π＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫1 005π＋π4＋cos(1 005π＋34π) ＝－sin π4－cos π4－cos 34π ＝－22－22＋22＝－22．。
2019-2020学年高中数学北师大版必修4一课三测：1.4.3 单位圆与诱导公式 含解析
祝学子学业有成，取得好成绩§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.3 单位圆与诱导公式填一填诱导公式sin （2k π＋α)＝______（k ∈Z ） cos(2k π＋α）＝______(k ∈Z ）sin(－α)＝______ cos （－α)＝______ sin(2π－α）＝______ cos(2π－α)＝______ sin(π－α）＝______ cos （π－α)＝______ sin(π＋α)＝______ cos 错误!＝______ sin 错误!＝______ cos 错误!＝______ sin 错误!＝______ cos 错误!＝______判一判1。
点P （x ，y )关于x 轴的对称点是P ′（－x ,y ）．( ） 2．诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( ） 3．诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．（ ) 4．点P （x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点是P ′（－y 0,－x 0）．( ） 5．sin （α－π)＝－sin α.( ）6．若α为第二象限角，则sin 错误!＝－cos α。
（ ) 7．sin（）32π－α＝cos α。
( )8想一想提示：记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α（k ∈Z ）,－α，2π－α，π－α，π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．祝学子学业有成，取得好成绩（2）函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角错误!＋α,错误!－α(k为奇数）的函数值等于角α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．思考感悟：练一练1.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（）A．α一定是锐角B．0≤α〈2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角2．下列各式不正确的是( )A．sin(α＋180°)＝－sin αB．cos(－α＋β）＝－cos(α－β）C．sin（－α－360°）＝－sin αD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)3．下列与sin错误!的值相等的式子为( ）A．sin错误!B．cos错误!C．cos错误!D．sin错误!4．若cos α＝－513，且α是第三象限角,则cos错误!＝________。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材 北师大版必修4(2021年整理)
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1.4。
3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形(关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称)，sin y x =的对称中心是(π0)k ，,k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ,对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用 １．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式,求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选(Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+,转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例 2 由函数2sin3y x =,π5π66x ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明:此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求,体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值． 例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=( ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解:∵函数图象关于原点中心对称,且x ∈R ， ∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=,即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ)． 3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称,且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数,y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称, 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>,3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
北师版数学高一北师大版必修4学案 1.4.3 单位圆与诱导公式(一)
4．3单位圆与诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．设α为任意角，π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称2.诱导公式1.8～1.12公式1.8：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α；公式1.9：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α；公式1.10：sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α；公式1.11：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α；公式1.12：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.[情境导学]在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式1.8，并且利用公式1.8可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为0°～360°内的角的三角函数，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？探究点一角α与－α的正弦、余弦函数关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，如图，角－α的终边与角α的终边有什么关系？－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．角－α与单位圆的交点为P2(x，－y)．思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答sin α＝y，cos α＝x；sin(－α)＝－y＝－sin α；cos(－α)＝x＝cos α.即诱导公式1.9sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.思考3诱导公式1.9有何作用？答将负角的三角函数转化为正角的三角函数．探究点二角α与π－α的正弦、余弦函数关系思考1根据角α与π－α与单位圆的交点坐标的关系，你能推出角α与π－α的正弦、余弦函数的关系吗？答如图，设角α的终边与单位圆相交于P1(x，y)，由于角π－α与α的终边关于y轴对称，因此角π－α的终边与单位圆相交于P2(－x，y)，则sin α＝y，cos α＝x；sin(π－α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α.即诱导公式1.11sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cos α思考2诱导公式1.11有何作用？答将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．探究点三角α与π＋α的正弦、余弦函数关系思考1阅读教材17页，说出角α与π＋α的正弦、余弦函数关系．答sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos α思考2如何推导思考1中得出的关系式？答如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程．由三角函数的定义得sin α＝y，cos α＝x，又sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，∴sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.即诱导公式1.12sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos α思考3诱导公式1.12有何作用？答 将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．例1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π＝－sin 194π＝－sin(4π＋34π) ＝－sin 34π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－sin π4＝－22. (2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后，再用诱导公式化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角，再求三角函数值．跟踪训练1 求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32. 例2 化简：sin 2(α＋3π)cos 2(α＋π)sin (α＋π)cos 3(－α－π). 解 原式＝sin 2α·cos 2α(－sin α)·cos 3(α＋π)＝sin 2α·cos 2αsin α·cos 3α＝sin αcos α. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练2 化简：sin (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解 原式＝sin (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－sin θ)·(－sin θ)·cos θcos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θsin θcos θcos θcos θsin θ＝sin θcos θ. 例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， 求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值．跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1．求下列三角函数的值．(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π. 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12.2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α). 解 原式＝(－cos α)sin α[－sin (α＋180°)]cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1. 3．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立． [呈重点、现规律]1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用 公式1.8将角转化为0～2π之间的角求值 公式1.9将负角转化为正角求值 公式1.11将角转化为0～π2之间的角求值 公式1.12将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础过关1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22C ．－32 D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．cos 660°的值为( )A ．－12B.12 C ．－32 D.32 答案 B解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)＝cos 60°＝12. 3．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．4．已知sin(5π4＋α)＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12 C.32 D ．－32 答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝－32. 5．已知sin(490°＋α)＝－45，则sin(230°－α)＝ .答案 45解析 sin(230°－α)＝sin[720°－(490°＋α)]＝－sin(490°＋α)＝45. 6．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 014)＝1，则f (2 015)＝ .答案 3解析 ∵f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1，∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝－(a sin α＋b cos β)＋2＝－(－1)＋2＝3.7．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z . 解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π) ＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π ＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π ＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π) ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 所以sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12B ．±32 C.32 D ．－32 答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，α＝53π. 故sin(2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32(α为第四象限角)． 9．在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C .其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C＝sin[2(π－C )]＋sin 2C＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C＝cos[2(π－C )]＋cos 2C＝cos(2π－2C )＋cos 2C＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.10．下列三角函数，其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是 ．(只填序号) ①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ③sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3. 答案 ②③解析 对于①，当n ＝2m 时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，∴①错； ②是正确的；对于③，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3， ∴③是正确的．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f (－116)＋f (116)＝ . 答案 －2解析 f (－116)＝sin(－116π)＝sin π6＝12， f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－52， ∴f (－116)＋f (116)＝12－52＝－2. 12．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z . 解 方法一 k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1， k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )仿上可得原式＝－1.方法二 由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，打印版高中数学 [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)．sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)．故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. 三、探究与拓展13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.。
北师大版高中数学必修四课件1.4.3单位圆与诱导公式(二)
tan α sin α . cos α
典例剖析 题型一
已知sin 3 ,求 cos , tan的值.
5
解:因为sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得
cos2 1 sin2
1
3 2 5 Nhomakorabea16 25
(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295，
∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
y
P(x,y) α
1
MO
x A(1,0)
自主探究
在Rt△OMP中,由勾股定理有
MP2+OM2= y2+x2=1
OP2=1
sin2α+cos2α=1
y
P(x,y) α
1 MO
x A(1,0)
预习测评
已知：sina=0.8，填空：cosa=__±__0_._6
哈哈~~~~~~~~ 我换了个马甲！
小样！别以为你 换了个马甲我就
＝sin2θsi＋n cθos2θ＋sin2θco＋s cθos2θ
＝sin1 θ＋co1s θ＝右边．∴原式成立．
已知－π<x<0，sin x＋cos x＝15. (1)求 sin xcos x 的值并指出角 x 所处的象限； (2)求 tan x 的值．
详细解析：
【解】 (1)由 sin x＋cos x＝15，两边平方，得 cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝215， ∴1＋2cos xsin x＝215，即 cos xsin x＝－1225. ∵sin xcos x<0，且－π<x<0， ∴x 为第四象限角．
高中数学1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课时作业北师大版必修4
单位圆的对称性与诱导公式一、选择题(每小题3分,共18分)1.sin·cos的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.sin=sin=-sin=-,cos=cos=-cos=-,所以sin·cos=×=.2.(2021·太原高一检测)的值为( )A.-B.C.D.-【解析】选A.sin690°=sin(2×360°-30°)=sin(-30°)=-sin30°=-,cos(-690°)=cos(30°-2×360°)=cos30°=,所以==-=-.3.(2021·成都高一检测)若sin(π-α)=,则sin(α-2π)= ( )A.-B.C.-D.【解析】选B.因为sin(π-α)=sinα=,所以sin(α-2π)=sinα=.【变式训练】若cos(2π-α)=,则cos(3π-α)= .【解析】因为cos(2π-α)=cos(-α)=cosα=,所以cos(3π-α)=cos=cos(π-α)=-cosα=-.答案:-【一题多解】cos(3π-α)=cos=-cos(2π-α)=-.答案:-4.(2021·济南高一检测)若sin<0,cos<0,则角θ的终边落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.sin=-cosθ<0,所以cosθ>0,cos=sinθ<0,故角θ的终边落在第四象限.5.(2021·石家庄高一检测)若600°角的终边上有一点(-4,α),则α的值是( )A.4B.-4C.±4D.【解题指南】先求出sin600°的值,然后利用三角函数的定义求α的值.【解析】选B.sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-,由三角函数的定义知=-,解得α=±4,又600°的角的终边在第三象限,所以α<0,即α=-4.【误区警示】本题易忽略600°角的终边所在的象限而错选C.6.(2021·广东高考)已知sin=,那么cosα= ( )A.-B.-C.D.【解析】选C.sin=sin=sin=cosα=.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2021·赣州高一检测)已知sin=,则cos= . 【解析】因为+=,所以cos=cos=sin=.答案:【举一反三】已知sin=,则cos= .【解析】因为-=,所以cos=cos=-sin=-.答案:-8.若cos+sin(π+θ)=-m,则cos+2sin(6π-θ)的值为.【解题指南】先化简cos+sin(π+θ)=-m,得出sinθ的值,再化简cos+2sin(6π-θ)获得其与sinθ的关系,从而求解.【解析】cos+sin(π+θ)=-sinθ-sinθ=-m,所以sinθ=.cos+2sin(6π-θ)=-sinθ-2sinθ=-3sinθ=-.答案:-9.(2021·潍坊高一检测)若|cos(2π-α)|=cos(π+α),则角α的取值范围是.【解析】因为|cos(2π-α)|=cos(π+α),所以|cosα|=-cosα,所以cosα≤0,所以+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2021·大理高一检测)已知sin(π-α)=2sin,求.【解析】因为sin(π-α)=sinα,2sin=2sin=2cosα,所以sinα=2cosα.原式==-=-=-.11.证明:(1)=-.(2)=1.【证明】(1)左边====-=右边.所以原等式成立.(2)sin100°=sin(90°+10°)=cos 10°,cos280°=cos(270°+10°)=sin 10°,cos370°=cos(360°+10°)=cos 10°,sin190°=sin(180°+10°)=-sin 10°.所以左边==1=右边.所以原等式成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2021·赣州高一检测)sin的值是( )A. B.- C. D.-【解析】选B.sin=sin=-sin=-.2.(2021·焦作高一检测)已知sin(π+α)=-,则cos等于( )A.-B.C.-D.【解题指南】利用诱导公式分别化简sin(π+α)与cos,然后再求值. 【解析】选A.sin(π+α)=-sinα=-,所以sinα=,cos=cos=-cos=-sinα=-.【举一反三】本题条件不变,求cos的值.【解析】cos=cos=-cos=sinα=.3.(2021·青岛高一检测)已知A,B,C为△ABC的三个内角,则下列关系式正确的是( )A.sin(B+C)=-sinAB.sin(B+C)=sinAC.cos(B+C)=cosAD.以上都不正确【解析】选B.因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.4.(2021·大连高一检测)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k ∈Z).若f(2008)=5,则f(2021)= ( )A.4B.3C.-5D.5【解析】选C.因为f(2008)=asin(2008π+α)+bcos(2008π+β)=asinα+bcosβ=5,所以f(2021)=-asinα-bcosβ=-5.二、填空题(每小题5分,共10分)5.下列三角函数:①sin; ②cos;③sin; ④cos,其中与sin值相同的是(填序号).【解析】sin=cos=cos=sin;sin=sin;cos=cos,所以应填②③.答案:②③【误区警示】本题在求①的值时易忽视对n分奇数、偶数进行讨论而致错.6.(2021·徐州高一检测)化简:= .【解析】===-cosθ.答案:-cosθ三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2021·济南高一检测)已知角α终边上一点P(-4,3),求的值.【解析】因为点P(-4,3)是角α终边上一点,所以sinα=,cosα=-,原式====-.【拓展提升】诱导公式的另类记法运用诱导公式解题本质上是多次运用“化归”思想方式,化负角为正角,化大角为0°～360°内的角,再化为锐角,但是,诱导公式较多,符号难辨,容易混淆,我们可以分两种情况记忆:(1)“函数名不变,符号看象限”对于-α,π-α,π+α,2kπ-α,2kπ+α(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名函数值,前面放上把α看成锐角时原函数值的符号.(2)“函数名改变,符号看象限”对于±α,±α的三角函数值,同上只需将“同”改为“异”.按照以上的记忆技巧,我们很容易求任意角的三角函数值.8.若sin(180°+α)=-,0°<α<90°.求的值.【解析】由sin(180°+α)=-,0°<α<90°,得sinα=,c osα=,所以原式====2. 【变式训练】已知cos(75°+α)=,α是第三象限角,求sin(195°-α)+cos(α-15°)的值.【解析】因为cos(75°+α)=>0,α是第三象限角,所以75°+α是第四象限角,且sin(75°+α)=-=-.所以sin(195°-α)+cos(α-15°)=sin[180°+(15°-α)]+cos(15°-α)=-sin(15°-α)+cos(15°-α)=-sin[90°-(75°+α)]+cos[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)+sin(75°+α)=--=-.。
北师版高中数学高一必修4课件 1.4.3 单位圆与诱导公式(二)
2.诱导公式1.13～1.14的记忆 π2＋α,π2－α 的正(余)弦函数值,等于α的余(正)弦函数值,前
面加上一个把α看成 锐角时原函数值的符号 ,记忆口诀为 “ 函数名改变,符号看象限 ”.
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 对形如 π－α、－α、π＋α 的角的三角函数可以转化为 α 角的 三角函数,对形如π2－α,2π＋α 的角的三角函数与 α 角的三角函 数,是否也存在着某种关系,需要我们作进一步的探究.
sin32π＋α＝ －cos α ,cos32π＋α＝ sin α .
明目标、知重点
例2 设m是整数,且k＝4m＋2,若f(sin x)＝sin kx, 求证：f(cos x)＝sin kx.
证明 f(cos x)＝f[sin(π2－x)] ＝sin k(π2－x)＝sin(k2π－kx)
＝sin(2mπ＋π－kx) ＝sin(π－kx)＝sin kx.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.诱导公式1.13～1.14 (1)公式 1.13：sinπ2＋α＝ cos α ； cosπ2＋α＝ －sin α .
以－α替代公式1.13中的α,可得公式1.14. (2)公式 1.14：sinπ2－α＝ cos α ； cosπ2－α＝ sin α .
明目标、知重点
明目标、知重点
反思与感悟 利用诱导公式 1.13 和诱导公式 1.14 求值时,要注 意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系,注意6π＋α 与3π－α,π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.
明目标、知重点
跟踪训练 1 已知 sinπ6＋α＝ 33,求 cosα－π3的值. 解 ∵cosα－3π＝cosπ3－α
α看成锐角时原函数值的符号.
高中数学(北师大版必修4)1.4.3单位圆与诱导公式(二)
4.3 单位圆与诱导公式(二)一、基础过关1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为 ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于 ( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于 ( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为 ( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 ( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－236．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝________. 7．若α∈(0，π2)，则点P (sin(π2＋α)，cos(π2－α))在第________象限． 8．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α且1＋2sin α≠0，求f ⎝⎛⎭⎫－236π的值． 二、能力提升9．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 10．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝cos α，则k 的值是________． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 12．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 三、探究与拓展13．设f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎫n 2π＋π4(n ∈N *)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.D 6.2237.一 8．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α，cos(π－α)＝－cos α，cos(π＋α)＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， ∴f (α)＝2(－sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α1－cos 2α＋sin 2α＋sin α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α. ∴f ⎝⎛⎭⎫－236π＝cos ⎝⎛⎭⎫－236πsin ⎝⎛⎭⎫－236π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6－sin ⎝⎛⎭⎫4π－π6 ＝cos π6sin π6＝ 3. 9．－1310.4 11．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.13．解 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫32π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4 ＝－sin π4－cos π4＋sin π4＋cos π4＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 0132π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2 0142π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2 0152π＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫1 007π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫1 007π＋34π ＝－sin π4－cos π4－cos 34π ＝－22－22－⎝⎛⎭⎫－22 ＝－22.。
高一数北师大必修4：第1章 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163π的值为( ) A ．32 B ．12 C ．32 D ．－12【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163π＝－sin 16π3＝－sin 4π3＝sin π3＝32. 【★答案★】 A2．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( ) 【导学号：66470012】A ．－53B ．－23C ．53D ．±53【解析】 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－53. 【★答案★】 A3．已知f (sin x )＝12 cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－14B ．14C ．34D ．－32【解析】 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝12×cos 3×80°＝12cos 240°＝－14.【★答案★】 A4．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α等于( )A ．45B ．－45C ．±45D ．－35【解析】 由于cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α＝－35.【★答案★】 D5．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3(k ∈Z )的值为( ) A ．±12 B ．12 C ．－12 D ．±32【解析】 若k 为偶数，不妨设k ＝2n (n ∈Z )，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝cos π3＝12； 若k 为奇数，可设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.综上，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3的值为±12. 【★答案★】 A二、填空题6．y ＝3 sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3的值域为 ． 【解析】 借助单位圆可知，函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－332≤3 sin x ≤3.【★答案★】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，37．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝ . 【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－sin θ＋(－sin θ)＝－2sin θ＝－m ， ∴sin θ＝m 2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝－sin θ－2sin θ＝－3sin θ＝－3m 2. 【★答案★】 －3m 28．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是 .【导学号：69992005】【解析】 因为|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则|sin α|＝－sin α，所以sin α≤0，所以2k π－π≤α≤2k π(k ∈Z )．【★答案★】 {α|2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }三、解答题9．求函数y ＝3－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域． 【解】 ∵－π4≤x ≤π4，∴22≤cos x ≤1，∴－1≤－cos x ≤－22，∴－2≤－2cos x ≤－2，∴1≤3－2cos x ≤3－ 2.故函数y ＝3－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为[1,3－2]． 10．已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值. 【导学号：69992006】【解】 点P 到原点O 的距离|OP |＝(－4)2＋32＝5，根据三角函数的定义得，sin α＝35，cos α＝－45.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ()－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α ＝－sin α·[－sin (π＋α)]cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋α ＝sin α·sin (π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝sin α(－sin α)－sin α·cos α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34. [能力提升]1．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z )．若f (2 015)＝5，则f (2 016)＝( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5【解析】 因为f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以a sin α＋b cos β＝－5.所以f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.【★答案★】 D2．在△ABC 中，下列结论错误的是( )A ．sin A ＋B 2＝cosC 2B ．cos A ＋B 2＝sinC 2C ．sin (A ＋B )＝sin CD ．cos (A ＋B )＝－cos C ．【解析】由A＋B＋C＝π，得A＋B＝π－C，所以cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C．故选D.【★答案★】 D3．cos π7＋cos2π7＋cos3π7＋cos4π7＋cos5π7＋cos6π7＝.【解析】由cos π7＋cos6π7＝0，cos 2π7＋cos5π7＝0，cos 3π7＋cos4π7＝0，得cos π7＋cos2π7＋cos3π7＋cos4π7＋cos5π7＋cos6π7＝0.【★答案★】04．化简：sin(θ－5π)cos(3π－θ)·cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－θsin(θ－3π)·cos(8π－θ)sin(－θ－4π).【解】原式＝－sin(5π－θ)cos(π－θ)·sin θ－sin(3π－θ)·cos θ－sin (4π＋θ)＝－sin(4π＋(π－θ))－cos θ·sin θ－sin[2π＋(π－θ)]·cos θ－sin θ＝－sin(π－θ)－cos θ·sin θ－sin(π－θ)·cos θ－sin θ＝－sin θ－cos θ·sin θ－sin θ·cos θ－sin θ＝1.。
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
即asin α+bcos β=-1.
∴f(2 008)=asin(2 008π+α)+bcos(2 008π+β)+4 =asin α+bcos β+4 =-1+4 =3.
Байду номын сангаас
二、填空题（每题4分，共8分）
5.sin315°-cos135°+2sin570°的值是_____________.
【解析】原式=sin(360°-45°)-cos(180°-45°)+ 2sin(360°+210°) = -sin45°+cos45°+2sin210° = 2+ 2 2 +2sin(180°+30°) 2
2
1 . 2
2
cos(-
x 3.已知函数f(x)=cos 2 （A）f(2π -x)=f(x)
（B）f(2π +x)=f(x) （C）f(-x)=f(x) （D）f(-x)=-f(x)
，则下列等式成立的是(
)
2-x )=cos(π- x ) 【解析】选C.（1）f(2π-x)=cos( 2 2 x = -cos = -f(x). 2 2 x )=cos(π+ x )= -cos x （2）f(2π+x)=cos( 2 2 2 = -f(x), x （3）∵f(x)=cos 为偶函数. 2 ∴f(-x)=f(x),故C正确.
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
2
（C） 3
2
（D）- 3
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ） Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ， Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ， 解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ， Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，． 故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， (0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当1k =时，2ω=， π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数． 综上所述，23ω=或π22ωϕ==，． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
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双基达标 (限时20分钟) 1．sin 13
6π的值为( )．
A ．－12 B.12 C ．－32 D.3
2 解析 sin 136π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝sin π6＝1
2.
答案 B
2．已知cos(π－α)＝－3
5，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(
)． A.45 B ．－45 C ．±45 D.3
5
解析 ∵cos(π－α)＝－35，∴cos α＝3
5.
∵α是第一象限角，∴sin α＝4
5.
∴sin(－2π－α)＝－sin α＝－4
5，故选B.
答案 B
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( )．
A ．－13 B.13 C.－223 D.22
3
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛
⎭⎪⎫π
4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π
4＝－1
3.
答案 A
4．若cos(π－x )＝3
2，x ∈(－π，π)，则x 的值为________．
解析 ∵cos(π－x )＝32，∴cos x ＝－32.∵x ∈(－π，π)，∴x ＝±5π6.
答案 ±5π
6
5．若|sin α|＝sin(－π＋α)，则α的取值范围是________．
解析 ∵|sin α|＝sin(－π＋α)＝－sin α，∴sin α≤0，
∴α的取值范围为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )．
答案 [π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )
6．(1)求值：sin 1 200°cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)；
(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23π－α的值． 解 (1)原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)
＝sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30°
＝－sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝－32×32＋12×1
2 ＝－1
2.
(2)∵23π－α＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－α
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－α＝1
3.
综合提高 (限时25分钟)
7．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2－α＋2sin(2π－α)的值为(
)． A ．－23m B.23m C ．－32m D.3
2m
解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m
2，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×m 2＝－3
2m .
答案 C
8．α和β的终边关于y 轴对称，下列各式中正确的是( )．
A ．sin α＝sin β
B ．cos α＝cos β
C ．cos(π－α)＝cos β
D ．sin(π－α)＝－sin β
解析 ∵α和β的终边关于y 轴对称，
∴β与π－α终边相同，
∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z ，
∴sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.
答案 A
9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝________. 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α＝12， ∴应填12.
答案 12
10．已知f (x )＝⎩⎨⎧
sin πx (x <0)，f (x －1)－1 (x >0)，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6－2＝－52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案 －2
11．设f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2π＋π4(n ∈N *)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)的值． 解 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)
＝cos π2＋π4＋cosπ＋π4＋cos 3π2＋π4＋cos2π＋π4
＝－sin π4－cos π4＋sin π4＋cos π4＝0.
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)
＝502[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0092π＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2 0102π＋π4＋cos 2 0112π＋π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 005π＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1 005π＋34π ＝－sin π4－cos π4－cos 34π ＝－22－22＋22＝－22.
12．(创新拓展)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证：
(1)cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )；
(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫B ＋C 2－π4. 证明 (1)∵左式＝cos(2A ＋B ＋C )＝cos[A ＋(A ＋B ＋C )]＝cos(π＋A )＝－cos A ， 右式＝cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ，
左式＝右式，∴cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )．
(2)右式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(π－A )－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2－π4＝cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋A 2 ＝左式．
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫B ＋C 2－π4.。