材料力学(第八章)(06)

T My Mz
－
4.7 2 1.52 106 3.141003 32
50.3MPa
－
安全!
+
[例 ]
钢制圆轴，直径d=40mm，轴上皮带轮皮带张力 F=2kN，D=250mm，a=150mm，圆轴的许用应力 []=90MPa，试用第四强度理论校核轴的强度。
a d D F Me a a a 3F a a Me
二、偏心拉（压）
P
y
P e
M=P e
e b h
e
z
P e
P
M=P e
[例] 矩形截面立柱，欲使柱内不出现拉应力，求P力的作用 区域。 P y P e
M=P e
e b h
e
z
M=P e
M P t max ≤0 Wy A
e
b
y z
h/3
Pe P ≤0 2 bh bh 6
h e 6
201020 zC 5mm 100102010 101003 I yC 10100 52 12 10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm 4
zC
20 20
100
FN M
P
P
内力分析如图
M P zC 500Nm
N 应力分析如图
2 2 6 1 0 . 3 10 4 1.2310
84.9MPa [ ]
安全
[例7] 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，轮子
直径D1=400mm，P1=1.2kN，P1=2P2，[]=120MPa，
试用第三强度理论校核此轴的强度。 20ºP z y
P2 D1
P R Ay 25( kN) 2
R Ax 43.3( kN)
∴选22a工字钢，W=309cm3

c max
N M A W
43.3103 42.12810
2
N RAx 43.3(kN)
l M R Ay 32.5(kNm) 2


32.5106 309103
4F
A
Me
M e 3F D F D 2 2
FD 0.5kN m
4F
A Me a a a
Me
M 0.6 (kNm)
T 0.5 (kNm)
3 d 6.283103 mm3 W
32
T
(kN· m)
0.5
eq 4
M 2 0.75T 2 W
2 2 6
P2 D1
Py
Pz
A
D1
x
D1 由 M x Py 2
得：Py 0.6(kN )
150
B 200
P1
C 100 D
Pz Py tan20
0.218(kN)
Mx F
y
Pz z
Mx x Py
20ºP z y
P2 D1
M x 120( N m)
FP 1P 2
1.8(kN)
N RAx 21.65(kN)
l M R Ay 16.3(kNm) 2
危险点在跨中上边缘，是 压应力：
21.65103 16.3106 2 30.610 185103
7.0988.1
95.2(MPa ) [ ]
∴安全！
C
当小车在B点时：
R B 50( kN) R A 43.3( kN)
N RAx 21.65(kN) l M R Ay 16.3(kNm) 2
M
+
AB梁受压弯组合，跨中 为危险截面：
危险点在跨中上边缘，是 压应力：
A
RAy RAx
P
RB

RBy B
16.3
M +
RBx
l/2
l/2
AB梁受压弯组合，跨中 为危险截面：

c max
N M A W
Py 0.6(kN )
A 150
D1
x
B 200
P1
C 100 D
Mx F
y
Pz z
Mx x Py
Pz 0.218(kN )
Mx
A 150 T
(N· m) 120
y C
Pz z
Mx x
内力分析： 弯扭组合变形
B
F
200
D
100
Py
危险面内力为：
M B 9.32 128.52 128.8(Nm) M C 21.82 602 63.8(Nm)
AB梁受轴向压缩：
A

B
N RA 43.3(kN)
N 14.1(MPa ) 2 A 30.610 A
RA
43.310
3
l
RB

P
B
l/2
l/2
P
[例2] 简易吊车，梁长l=2.6m， =30°，[]=120MPa， P=50kN，试选择工字钢型号。
C
解： 取小车在中点的工况
h
P
P
P
P
σ
σ
σ
σ
M=P e
M P t max ≤0 Wy A
e
b
y z
h/3
Pe P ≤0 2 bh bh 6
h e 6
由对称性可知，在z轴 上的作用区域为 h/3
h
同理可知，在y轴上的 作用区域为 b/3
可以证明，当P力作用在由此四点围成的菱形内时，横 截面上无拉应力。该菱形区域称为截面核心
115 .5(MPa) [ ]
∴可以选22a工字钢！
[例3] 已知：冲压机，铸铁机身， [t]=30MPa，[c]=160MPa，
Iy=5310cm4，A=150cm2，
z0=7.5cm，z1=12.5cm，
P P
l
A B
l=35cm，P=40kN，校核立柱
强度。
y z0 z1
z
y z0 z1
M

t max
M z max N A I yc
100 103 500 103 55 800 7.27105
N M
12537.8162 .8MPa
孔移至板中间时
3 N 100 10 max 125(MPa) A 800
P
[例5]
图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求
B RB

A
α
A
RAy RAx
P
B
l/2
l/2
P
l
A
wk.baidu.com
RAy RAx
P
RB

RBx
RBy B
由弯曲强度进行试算：
max
l/2
l/2
M [ ] W
R B 50( kN)
M 32.5106 W 120 [ ]
270103 ( mm 3 )
AB梁受压弯组合，跨中 为危险截面：
A B



即：
eq3

eq4
M 2 0.75T 2 W
P
A B l m
强度条件：
4
2
2
≤[] ≤[]
A B
T

3
2
2


或：
M 2 T 2 ≤[] W

M
M 2 0.75T 2 ≤[] W τ T
σ M
[例6] 已知：P=4.2kN，m=1.5kN· m，l=0.5m，d=80mm， []=80MPa，按第三强度理论校核杆的强度。 z y
§8–3
弯曲与扭转的组合 P m
危险截面在固定端
危险点在固定端的上、下两点 m
l
T M － Pl M
+
T , Wt
M W
σ M
τ T
T
P
A B l m

A
τ


B
τ


A
τ


T
B


σ M
T
M
P
A B l m
第三强度理论的相当应力：
eq3 2 4 2
第四强度理论的相当应力：
第八章 组合变形构件的强度
§8–1 概述
§8–2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
§8–3 弯曲与扭转的组合
§8–1 概述
C
A

B
P
l
§8–1 概述
20ºP z
y
P2 D1
A 150
D1
x
B 200
P1
C
100 D
§8–2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
一、弯拉(压)组合变形： 杆件同时受横向力和轴向 力的作用而产生的变形。
出两柱内的最大正应力(绝对值)。 解：图（1）
P P d50 P
P M 1max A 1 Wz1
350 103 350 103 0.056 0.20.3 0.20.32
200
300
200 P
11.7M P a
图（2） M
图（1）
图（2）
P 350000 2max 8.75MPa A 0.20.2
0.6
M
(kN· m)
10 0.5 0.750.6 6.283103 114 .7 MPa [ ] 不安全
[例 ]
钢制圆轴，直径d=50mm，轴上装有两个轮子， P=3kN，a=200mm， D=100mm，圆轴的许用应力 []=100MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。
a d
2D D
a
a
P
2P
2P
P
P
Me a Me
2P
M e PD
a
a
0.3kN m
P
Me a Me a
2P
M 1 (kNm)
T 0.3 (kNm)
a
3 d W 1.23104 mm3
32
T
(kN· m) 0.8
0.3 1
2 2 M T r3 W
M
(kN· m)
A B
T

eq4 2 3 2
或：


eq3
M 2 T 2 ( ) 4( ) W Wt

M
M 2 T 2 eq4 ( ) 3( ) W Wt τ T
σ M
P
A B l m ∵
Wt 2W
∴ eq3
M 2 T 2 ( ) 4( ) W 2W
M 2 T 2 W
P
l
A
M B
z
解： N
t
M
c
40103 N N 2.67(MPa ) 2 A 15010
N P 40(kN) M P (l z0 ) 17(kN m)
N
N
M z 0 17106 75 t 24(MPa) 4 Iy 5310 10 M z1 17106 125 40(MPa) c 4 Iy 5310 10
d
P
l
m
z
解： 危险截面在固定端
T m 1 . 5 ( k N m ) y
M y Pl 2.1(kN m)
M 2 T 2 W
2.12 1.52 106 3.14 803 32
l
T
－
eq3

My
－
51MPa 安全!
[例6] 已知：P=4.2kN，m=1.5kN· m，l=0.5m，d=100mm， []=80MPa，按第三强度理论校核杆的强度。 z y
t
c
t max t N 242.67 26.7(MPa ) [ t ] c max c N 402.67
37.3(MPa ) [ c ]
N
∴该立柱安全！
t max
c max
[例4] 图示钢板，厚度t=10mm，受力P=100kN，试求最大正 应力；若将缺口移至板宽的中央，则最大正应力为多少？ P y yC z 解： 坐标如图，形心位置
A 150
D1
x
B 200
P1
C 100 D
20ºP z 解： 外力分析：
Mx P 1 D1 D P2 1 2 2
P2 D1
y
Py
Pz
120( N m)
A 150
D1
x
B 200
P1
C 100 D
FP 1P 2
1.8(kN)
Mx F
y
Pz z
Mx x Py
20ºP z y
d
P
l
m
P
z y
解： 危险截面在固定端
l
T m1.5(k Nm)
M y Pl 2.1(kN m)
T
－
M Z P2l 4.2(kN m)
将弯矩合成：
My
Mz
－
M
+
2 My M z2
2.12 4.2 2
4.7(k Nm)
z
y
d
P l
m
P
eq3
l
M 2 T 2 W
P2 z P1 L y x y Mz z N
x
x
M
Mz
N
max
N
max M N
Mz N Wz A
强度条件：
Mz N max [ ] Wz A
[ 例 1]
简易吊车，AB梁为18号工字钢，W=185cm3，
A=30.6cm2，梁长l=2.6m，=30°，[]=120MPa， P=25kN，校核梁的强度。
C
解： 取小车在中点的工况
B RB

A

A
RAy RAx
P
B
l/2
l/2
P
l
A
RAy RAx
P
RB

RBy A B
A
RAx
RBx B
RBx
l/2
l/2
RAy
P
RBy B
由理论力学得： R B 25( kN)
l/2 16.3
l/2
R Ax 21.65( kN)
P R Ay 12.5( kN) 2
My
(N· m) 9.3 128.5 21.8
∴B截面是危险面。
W
D 3
d [1( ) 4 ]1564 (mm 3 ) 32 D
Mz
(N· m) 60
2 MB T 2 128.82 1202 103 r3 W 1564
112 .5(M P a )
∴安全
[例 ] 图为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d=24mm， 外径D=30mm，材料为Q235钢， []=180MPa，控制片受力 F1=600N， 试按第三强度理论校核杆的强度。