里约奥运会奖牌榜预测
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由于排名变化往往是复杂的非线性系统，且没有较为简便的经验公式可供使 用，因此在输入与输出关系不明确且较复杂的情况下，BP神经网络算法对解决此 类问题有着极大的优势。
且为方便计算，可通过查阅资料等方式去掉一部分不可能进入奥运奖牌榜前 十名的国家，以此减少计算量。
根据预测模型得出的里约奥运会奖牌榜的排名情况，挑选出21个国家根据其 各类奖牌获得数量，为其增加一定权重计算得出各国所获总分，据此对各国体育 水平进行分类。
三、 模型假设
[2]
1、各国在奥运会奖牌榜上的排名情况满足马尔可夫性 。 2、自1992年至2012年的六届奥运会中，只有四次及以上取得奥运会前25名的 国家才有可能在里约奥运会中进入前十名。
2
3、自1992年至2012年的六届奥运会中，只有曾进入前十名的国家才有可能在 里约奥运会中进入前十名。
四、符号说明
22
01 (1)， (1) = 1， 0 1 3 = [0,1]
44
即英国将在2016年里约奥运会中进入奖牌榜前十名，日本将有 的 概率进
入，荷兰将有 的概率进入，韩国将有 的概率进入。
为更加明了的表示各国进入2016年里约奥运会奖牌排行榜的情况，现绘制状 态预测表，见表4：
表4 各国在里约奥运会中所处状态预测表
法国
韩国
8 法国
古巴
荷兰
意大利
日本
9 澳大利亚
乌克兰
古巴
韩国
意大利
10 意大利
韩国
英国
英国
法国
11 加拿大
波兰
罗马尼亚
古巴
乌克兰
12 英国
匈牙利
韩国
乌克兰
荷兰
13 罗马尼亚
西班牙
匈牙利
匈牙利
牙买加
14 捷克斯洛伐克 罗马尼亚
波兰
罗马尼亚
西班牙
15 朝鲜
荷兰
日本
希腊
肯尼亚
16 日本
希腊
保加利亚
挪威
白俄罗斯
[6]
理。
5.2.2模型建立
6
5.2.2.1 BP网络模型6
BP网络（Back-ProPagation Network）又称反向传播神经网络， 通过样
本数据的训练，不断修正网络权值和阈值使误差函数沿负梯度方向下降，逼近期
望输出。它是一种应用较为广泛的神经网络模型，多用于函数逼近、模型识别分
类、数据压缩和时间序列预测等。
3 所以日本在奥运会奖牌榜排名的状态转移概率矩阵为
11
日本 =
2 1
2 2
33
5.1.3 预测所处状态概率向量
根据马尔可夫过程的无后效性及 Bayes 条件概率公式，有
( ) = ( − 1)
( = 1,2, … , )
则日本在 2016 年里约奥运会中处于各状态的概率向量为
(1)， (1) = (0)， (0) 日本
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1.
2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2 全国大学生数学建模竞赛
表 1 1992—2012 年历届夏季奥运会奖牌榜前 30 个国家排名
1992
1996
2000
2004
2008
1 美国
美国
美国
美国
中国
2 德国
俄罗斯
俄罗斯
中国
美国
3 中国
德国
中国
俄罗斯
俄罗斯
4 古巴
中国
澳大利亚
澳大利亚
英国
5 西班牙
法国
德国
日本
德国
6 韩国
意大利
法国
德国
澳大利亚
7 匈牙利
澳大利亚
意大利
国家 古巴 英国 西班牙 日本
状态 2
1
1
1
韩国 1
匈牙利 荷兰
2
2
综上，本模型的预测结果为：在2016年里约奥运会中进入奖牌榜前十名的国 家分别为：美国、德国、法国、俄罗斯、中国、澳大利亚、意大利、英国、日本 和韩国。
5.2 模型2 神经网络预测模型[4]
5.2.1数据整理
由于神经网络预测法只有在数据量足够充足的情况下才能取得较好的预测 结果，为扩大数据范围，除假设2、3外，新添加曾在1992年至2012年进入过奖牌 榜前十五名的国家：罗马尼亚、乌克兰、希腊、哈萨克斯坦、牙买加和肯尼亚，
对于西班牙 (1)， (1) = 0， 1 0 1 = [0,1] 01
对于韩国
5
对于荷兰 对于英国 对于匈牙利
3 1 31
(1)，
(1) = 1， 0
4
4
=
, 44
10
0 1 13 (1)， (1) = 0， 1 1 3 = ,
44 44
10 (1)， (1) = 1， 0 1 1 = [1,0]
从表三可以知道，在 2 个从状态 1 出发的状态中，有 1 个是从状态 1 转移到 状态 1 的（即 2004-2008）有 1 个是从状态 1 转移到状态 2 的（即 2008-2012）。 所以：
1 = (1~1) =
2
4
同理可得：
1 = (1~2) =
2 1 = (2~1) = 3
2 = (2~2) =
BP网络由输入层、隐层和输出层组成，隐层可以有一层或多层，本模型采用
m × k × l × n的四层BP网络模型，网络先选用S型传递函数：
1
f(x) =
(0 < f(x) < 1)
1+
经多次尝试后发现，若采用此类传递函数，则不收敛，因此我们采用双极S
二、 问题分析
题目中要求建立数学模型预测2016年里约奥运会奖牌榜前十名，因此需要查 询以往各国奖牌榜的排行情况，由于数据量过于庞大，我们通过分析各国在历届 奥运会上的表现情况，选取出14个可能进入里约奥运会奖牌榜前十名的国家根据
[1]
其在1992年至2012年六届奥运会中的排名建立了马尔可夫预测模型 ，预测出在 里约奥运会中可能进入前十的国家，但是此模型并不能预测出各国获得的奖牌数 量和准确排名情况。
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
关键词：马尔可夫预测；神经网络预测；奥运会；Levenberg-Marquardt算法；
1
一、 问题重述
1、问题背景： 奥运会是竞技体育顶级盛会，其所获奖牌数及国家排名不仅仅是一个国家体 育水平的反应，也是国家经济、政治和综合实力的具体体现。明年第31届夏季奥 林匹克运动会将于2016年8月5日-21日在巴西的里约热内卢举行(以下简称里约 奥运会)，对于即将举行的里约奥运会，大家普遍关心的问题就是奖牌榜的排名， 奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。 2、需要解决的问题： 现请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、 政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2016里约奥运会的 奖牌榜前十名。并据此对各国体育水平进行分类。
瑞士 丹麦 土耳其 加拿大 保加利亚 日本 哈萨克斯坦 巴西 新西兰 南非 爱尔兰 瑞典 挪威
瑞典 挪威 埃塞俄比亚 乌克兰 哈萨克斯坦 白俄罗斯 加拿大 西班牙 伊朗 土耳其 捷克 肯尼亚 丹麦
巴西 瑞典 西班牙 加拿大 土耳其 波兰 新西兰 泰国 白俄罗斯 奥地利 埃塞俄比亚 伊朗 斯洛伐克
埃塞俄比亚 加拿大 波兰 匈牙利 挪威 巴西 捷克 斯洛伐克 新西兰 格鲁吉亚 古巴 哈萨克斯坦 丹麦
表 3 6 届夏季奥运会 7 个国家排名及所处状态
1992 年 1996 年 2000 年
古巴
1
1
1
西班牙
1
源自文库
2
2
韩国
1
1
2
匈牙利
1
2
2
英国
2
2
1
日本
2
2
2
荷兰
2
2
1
2004 年 1 2 1 2 1 1 2
2008 年 2 2 1 2 1 1 2
2012 年 2 2 1 1 1 2 2
5.1.2 构造状态转移概率矩阵（以日本为例）
牙买加 捷克 朝鲜 西班牙 巴西 白俄罗斯 南非 埃塞俄比亚 克罗地亚 罗马尼亚 肯尼亚 丹麦 阿塞拜疆
考虑到原始数据较少，我们将排名情况划分为两个状态，状态的划分见表 2。
表 2 状态区间划分表 排名 1—10 名 10 名及以下
状态 1 2
由于在这六届奥运会中，美国、德国、法国、俄罗斯、中国、澳大利亚和意 大利这七个国家的排名均为前十名，通过马尔可夫预测法所得结果中其排名也定 为前十，因此不参与下述预测，由假设 2 和假设 3，通过筛选获得了 7 个可能进 入前十的国家进行预测，这 7 个国家的状态及状态转移情况见表 3。
[5]
共计21个国家。并通过数据查询，得到可能影响奥运会奖牌榜排名的11个因素 ： 人种、国土面积、海陆总面积、政体、国民生产总值（GDP）、人均GDP、人口数、 出生率、死亡率、东道主效应和历届各类奖牌数并绘制统计表。
我们将这21个国家的各项指标作为输入，将对应的2012年伦敦奥运会奖牌榜 上的金牌数量作为输出，并用matlab自带的premnmx()函数将这些数据归一化处
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
里约奥运会奖牌榜预测 摘要
本文就2016年里约热内卢奥运会奖牌榜预测这一问题进行研究，分别建立了 马尔可夫预测模型和神经网络预测模型，从而得到预测结果，并据此对各国的体 育水平进行了分类。
( ) 表示事件在初始（k=0）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在 第k个时期处于状态j的概率
n 输入层神经元个数 m 输出层神经元个数 a [1,10]之间的常数
五、模型的建立与求解
5.1 模型一 马尔可夫预测模型1
5.1.2 数据来源及状态划分
[3]
通过查阅资料 我们获得了 1896—2012 年共 29 届夏季奥运会各国奖牌榜的 排名情况。由于考虑到部分国家解体和合并以及其他因素的影响，通过筛选得到 了 1992—2012 年共 6 届夏季奥运会前 30 个国家奖牌榜的排名情况，如下表所示：
即
11
(1)，
(1) = 0， 1
2 1
2 2
=
12 ,
33
33
即日本在 2016 年里约奥运会中处于前十名的概率为 ，取得十名以后成绩的
概率为
同理我们计算得到其余六个国家2016年里约奥运会中处于各状态的概率向 量，结果如下：
对于古巴 21
(1)， (1) = 0， 1 3 3 = [0,1] 01
17 保加利亚
捷克
希腊
荷兰
罗马尼亚
2012
美国 中国 英国 俄罗斯 韩国 德国 法国 意大利 匈牙利 澳大利亚 日本 哈萨克斯坦 荷兰 乌克兰 古巴 新西兰 伊朗
3
18 波兰 19 荷兰 20 肯尼亚 21 挪威 22 土耳其 23 印度尼西亚 24 巴西 25 希腊 26 瑞典 27 新西兰 28 芬兰 29 丹麦 30 摩洛哥
首先用马尔可夫方法对该问题进行数学分析，以1992—2012年共6届夏季奥 运会的数据为样本，通过构造状态转移概率矩阵建立了马尔可夫预测模型。通过 模型求解，预测得到2016年里约奥运会奖牌榜前十名分别为：美国、德国、法国、 俄罗斯、中国、澳大利亚、意大利、英国、日本和韩国。
其次为了预测得到奖牌榜前十名的排名先后顺序以及各国所获奖牌的数量， 综合考虑可能影响奥运会奖牌榜排名的11个因素：人种、国土面积、海陆总面积、 政体、国民生产总值（GDP）、人均GDP、人口数、出生率、死亡率、东道主效应 和历届各类奖牌数，建立了基于BP神经网络的预测模型。为了使得结果更加准确， 我们选择Sigmoid函数作为激励函数，线性函数作为输出函数。设定输入层节点 为11，第一层隐含层节点数为10，第二层隐含层节点数为8，输出层节点数为1。 根据各因素的具体数据，选择Levenberg-Marquardt算法来训练网络。最后使用 MATLAB R2014a求解，得到预测的2016年里约奥运会奖牌榜前十名依次为：美国、 中国、俄罗斯、日本、古巴、德国、英国、韩国、西班牙、澳大利亚。同时得到 了各国所获奖牌情况（见表5）。
根据以上两个模型预测得到的结果，我们假设各项体育项目的金牌赋分为5 分,银牌为3分,铜牌为2分,最后统计出各国总分，以此得分作为评价各国体育水 平的依据。
最后，我们对所建立的模型进行了评价与分析，提出了进一步提高预测准确 度的改进方法。并综合考虑时间序列预测法、计量经济学预测法、智能化预测法 等多种方法，提出建立非线性综合模型的推广思路。
且为方便计算，可通过查阅资料等方式去掉一部分不可能进入奥运奖牌榜前 十名的国家，以此减少计算量。
根据预测模型得出的里约奥运会奖牌榜的排名情况，挑选出21个国家根据其 各类奖牌获得数量，为其增加一定权重计算得出各国所获总分，据此对各国体育 水平进行分类。
三、 模型假设
[2]
1、各国在奥运会奖牌榜上的排名情况满足马尔可夫性 。 2、自1992年至2012年的六届奥运会中，只有四次及以上取得奥运会前25名的 国家才有可能在里约奥运会中进入前十名。
2
3、自1992年至2012年的六届奥运会中，只有曾进入前十名的国家才有可能在 里约奥运会中进入前十名。
四、符号说明
22
01 (1)， (1) = 1， 0 1 3 = [0,1]
44
即英国将在2016年里约奥运会中进入奖牌榜前十名，日本将有 的 概率进
入，荷兰将有 的概率进入，韩国将有 的概率进入。
为更加明了的表示各国进入2016年里约奥运会奖牌排行榜的情况，现绘制状 态预测表，见表4：
表4 各国在里约奥运会中所处状态预测表
法国
韩国
8 法国
古巴
荷兰
意大利
日本
9 澳大利亚
乌克兰
古巴
韩国
意大利
10 意大利
韩国
英国
英国
法国
11 加拿大
波兰
罗马尼亚
古巴
乌克兰
12 英国
匈牙利
韩国
乌克兰
荷兰
13 罗马尼亚
西班牙
匈牙利
匈牙利
牙买加
14 捷克斯洛伐克 罗马尼亚
波兰
罗马尼亚
西班牙
15 朝鲜
荷兰
日本
希腊
肯尼亚
16 日本
希腊
保加利亚
挪威
白俄罗斯
[6]
理。
5.2.2模型建立
6
5.2.2.1 BP网络模型6
BP网络（Back-ProPagation Network）又称反向传播神经网络， 通过样
本数据的训练，不断修正网络权值和阈值使误差函数沿负梯度方向下降，逼近期
望输出。它是一种应用较为广泛的神经网络模型，多用于函数逼近、模型识别分
类、数据压缩和时间序列预测等。
3 所以日本在奥运会奖牌榜排名的状态转移概率矩阵为
11
日本 =
2 1
2 2
33
5.1.3 预测所处状态概率向量
根据马尔可夫过程的无后效性及 Bayes 条件概率公式，有
( ) = ( − 1)
( = 1,2, … , )
则日本在 2016 年里约奥运会中处于各状态的概率向量为
(1)， (1) = (0)， (0) 日本
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1.
2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2 全国大学生数学建模竞赛
表 1 1992—2012 年历届夏季奥运会奖牌榜前 30 个国家排名
1992
1996
2000
2004
2008
1 美国
美国
美国
美国
中国
2 德国
俄罗斯
俄罗斯
中国
美国
3 中国
德国
中国
俄罗斯
俄罗斯
4 古巴
中国
澳大利亚
澳大利亚
英国
5 西班牙
法国
德国
日本
德国
6 韩国
意大利
法国
德国
澳大利亚
7 匈牙利
澳大利亚
意大利
国家 古巴 英国 西班牙 日本
状态 2
1
1
1
韩国 1
匈牙利 荷兰
2
2
综上，本模型的预测结果为：在2016年里约奥运会中进入奖牌榜前十名的国 家分别为：美国、德国、法国、俄罗斯、中国、澳大利亚、意大利、英国、日本 和韩国。
5.2 模型2 神经网络预测模型[4]
5.2.1数据整理
由于神经网络预测法只有在数据量足够充足的情况下才能取得较好的预测 结果，为扩大数据范围，除假设2、3外，新添加曾在1992年至2012年进入过奖牌 榜前十五名的国家：罗马尼亚、乌克兰、希腊、哈萨克斯坦、牙买加和肯尼亚，
对于西班牙 (1)， (1) = 0， 1 0 1 = [0,1] 01
对于韩国
5
对于荷兰 对于英国 对于匈牙利
3 1 31
(1)，
(1) = 1， 0
4
4
=
, 44
10
0 1 13 (1)， (1) = 0， 1 1 3 = ,
44 44
10 (1)， (1) = 1， 0 1 1 = [1,0]
从表三可以知道，在 2 个从状态 1 出发的状态中，有 1 个是从状态 1 转移到 状态 1 的（即 2004-2008）有 1 个是从状态 1 转移到状态 2 的（即 2008-2012）。 所以：
1 = (1~1) =
2
4
同理可得：
1 = (1~2) =
2 1 = (2~1) = 3
2 = (2~2) =
BP网络由输入层、隐层和输出层组成，隐层可以有一层或多层，本模型采用
m × k × l × n的四层BP网络模型，网络先选用S型传递函数：
1
f(x) =
(0 < f(x) < 1)
1+
经多次尝试后发现，若采用此类传递函数，则不收敛，因此我们采用双极S
二、 问题分析
题目中要求建立数学模型预测2016年里约奥运会奖牌榜前十名，因此需要查 询以往各国奖牌榜的排行情况，由于数据量过于庞大，我们通过分析各国在历届 奥运会上的表现情况，选取出14个可能进入里约奥运会奖牌榜前十名的国家根据
[1]
其在1992年至2012年六届奥运会中的排名建立了马尔可夫预测模型 ，预测出在 里约奥运会中可能进入前十的国家，但是此模型并不能预测出各国获得的奖牌数 量和准确排名情况。
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
关键词：马尔可夫预测；神经网络预测；奥运会；Levenberg-Marquardt算法；
1
一、 问题重述
1、问题背景： 奥运会是竞技体育顶级盛会，其所获奖牌数及国家排名不仅仅是一个国家体 育水平的反应，也是国家经济、政治和综合实力的具体体现。明年第31届夏季奥 林匹克运动会将于2016年8月5日-21日在巴西的里约热内卢举行(以下简称里约 奥运会)，对于即将举行的里约奥运会，大家普遍关心的问题就是奖牌榜的排名， 奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。 2、需要解决的问题： 现请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、 政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2016里约奥运会的 奖牌榜前十名。并据此对各国体育水平进行分类。
瑞士 丹麦 土耳其 加拿大 保加利亚 日本 哈萨克斯坦 巴西 新西兰 南非 爱尔兰 瑞典 挪威
瑞典 挪威 埃塞俄比亚 乌克兰 哈萨克斯坦 白俄罗斯 加拿大 西班牙 伊朗 土耳其 捷克 肯尼亚 丹麦
巴西 瑞典 西班牙 加拿大 土耳其 波兰 新西兰 泰国 白俄罗斯 奥地利 埃塞俄比亚 伊朗 斯洛伐克
埃塞俄比亚 加拿大 波兰 匈牙利 挪威 巴西 捷克 斯洛伐克 新西兰 格鲁吉亚 古巴 哈萨克斯坦 丹麦
表 3 6 届夏季奥运会 7 个国家排名及所处状态
1992 年 1996 年 2000 年
古巴
1
1
1
西班牙
1
源自文库
2
2
韩国
1
1
2
匈牙利
1
2
2
英国
2
2
1
日本
2
2
2
荷兰
2
2
1
2004 年 1 2 1 2 1 1 2
2008 年 2 2 1 2 1 1 2
2012 年 2 2 1 1 1 2 2
5.1.2 构造状态转移概率矩阵（以日本为例）
牙买加 捷克 朝鲜 西班牙 巴西 白俄罗斯 南非 埃塞俄比亚 克罗地亚 罗马尼亚 肯尼亚 丹麦 阿塞拜疆
考虑到原始数据较少，我们将排名情况划分为两个状态，状态的划分见表 2。
表 2 状态区间划分表 排名 1—10 名 10 名及以下
状态 1 2
由于在这六届奥运会中，美国、德国、法国、俄罗斯、中国、澳大利亚和意 大利这七个国家的排名均为前十名，通过马尔可夫预测法所得结果中其排名也定 为前十，因此不参与下述预测，由假设 2 和假设 3，通过筛选获得了 7 个可能进 入前十的国家进行预测，这 7 个国家的状态及状态转移情况见表 3。
[5]
共计21个国家。并通过数据查询，得到可能影响奥运会奖牌榜排名的11个因素 ： 人种、国土面积、海陆总面积、政体、国民生产总值（GDP）、人均GDP、人口数、 出生率、死亡率、东道主效应和历届各类奖牌数并绘制统计表。
我们将这21个国家的各项指标作为输入，将对应的2012年伦敦奥运会奖牌榜 上的金牌数量作为输出，并用matlab自带的premnmx()函数将这些数据归一化处
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
里约奥运会奖牌榜预测 摘要
本文就2016年里约热内卢奥运会奖牌榜预测这一问题进行研究，分别建立了 马尔可夫预测模型和神经网络预测模型，从而得到预测结果，并据此对各国的体 育水平进行了分类。
( ) 表示事件在初始（k=0）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在 第k个时期处于状态j的概率
n 输入层神经元个数 m 输出层神经元个数 a [1,10]之间的常数
五、模型的建立与求解
5.1 模型一 马尔可夫预测模型1
5.1.2 数据来源及状态划分
[3]
通过查阅资料 我们获得了 1896—2012 年共 29 届夏季奥运会各国奖牌榜的 排名情况。由于考虑到部分国家解体和合并以及其他因素的影响，通过筛选得到 了 1992—2012 年共 6 届夏季奥运会前 30 个国家奖牌榜的排名情况，如下表所示：
即
11
(1)，
(1) = 0， 1
2 1
2 2
=
12 ,
33
33
即日本在 2016 年里约奥运会中处于前十名的概率为 ，取得十名以后成绩的
概率为
同理我们计算得到其余六个国家2016年里约奥运会中处于各状态的概率向 量，结果如下：
对于古巴 21
(1)， (1) = 0， 1 3 3 = [0,1] 01
17 保加利亚
捷克
希腊
荷兰
罗马尼亚
2012
美国 中国 英国 俄罗斯 韩国 德国 法国 意大利 匈牙利 澳大利亚 日本 哈萨克斯坦 荷兰 乌克兰 古巴 新西兰 伊朗
3
18 波兰 19 荷兰 20 肯尼亚 21 挪威 22 土耳其 23 印度尼西亚 24 巴西 25 希腊 26 瑞典 27 新西兰 28 芬兰 29 丹麦 30 摩洛哥
首先用马尔可夫方法对该问题进行数学分析，以1992—2012年共6届夏季奥 运会的数据为样本，通过构造状态转移概率矩阵建立了马尔可夫预测模型。通过 模型求解，预测得到2016年里约奥运会奖牌榜前十名分别为：美国、德国、法国、 俄罗斯、中国、澳大利亚、意大利、英国、日本和韩国。
其次为了预测得到奖牌榜前十名的排名先后顺序以及各国所获奖牌的数量， 综合考虑可能影响奥运会奖牌榜排名的11个因素：人种、国土面积、海陆总面积、 政体、国民生产总值（GDP）、人均GDP、人口数、出生率、死亡率、东道主效应 和历届各类奖牌数，建立了基于BP神经网络的预测模型。为了使得结果更加准确， 我们选择Sigmoid函数作为激励函数，线性函数作为输出函数。设定输入层节点 为11，第一层隐含层节点数为10，第二层隐含层节点数为8，输出层节点数为1。 根据各因素的具体数据，选择Levenberg-Marquardt算法来训练网络。最后使用 MATLAB R2014a求解，得到预测的2016年里约奥运会奖牌榜前十名依次为：美国、 中国、俄罗斯、日本、古巴、德国、英国、韩国、西班牙、澳大利亚。同时得到 了各国所获奖牌情况（见表5）。
根据以上两个模型预测得到的结果，我们假设各项体育项目的金牌赋分为5 分,银牌为3分,铜牌为2分,最后统计出各国总分，以此得分作为评价各国体育水 平的依据。
最后，我们对所建立的模型进行了评价与分析，提出了进一步提高预测准确 度的改进方法。并综合考虑时间序列预测法、计量经济学预测法、智能化预测法 等多种方法，提出建立非线性综合模型的推广思路。