(新)湖南大学离散数学第三章习题一解答
离散数学概论习题答案第3章
第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。
集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。
在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。
集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。
集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。
同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。
接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。
集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。
第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。
一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。
通常用大写英文字母表示集合。
例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。
用小写英文字母表示集合内元素。
若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。
集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。
表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。
1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。
这种表述方式为列举法。
例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。
且集合元素之间没有次序关系。
一个集合可以作为另个集合的元素。
例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。
因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。
,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。
当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。
离散数学课后习题答案(第三章)
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
若c<0，则a<0u<0au>0
所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。
关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。
3-10.9设Π和Π是非空集合A上的划分，并设R和R分别为由Π和Π诱导的等价关系，那么Π细分Π的充要条件是RR。
证明：若Π细分Π。由假设aRb，则在Π中有某个块S，使得a,b∈S，因Π细分Π，故在Π中，必有某个块S，使SS，即a,b∈S，于是有aRb,即RR。
反之，若RR，令S为H的一个分块，且a∈S，则S=[a]R={x|xRa}
但对每一个x，若xRa，因RR，故xRa，因此{x|xRa}{x|xRa}即[a]R[a]R
＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞,＜w,s＞＞∈R
离散数学课后习题答案(最新)
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。
(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)
a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。
解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。
解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。
3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。
解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。
R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。
3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。
离散数学第五版前3章课后习题答案
第1章习题1.1(2) 简单命题（3），（4），（5）不是命题(6) 复合命题1.5p∧，其中，p：2是偶数，q：2是素数。
（1）qp→，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（5）qq→，其中，p，q的含义同（5）（6）pq→，其中，p，q的含义同（5）（7）p1.7（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重等值演算法→)p∨∨q(rp∨⇔（蕴含等值式）∨⌝qp∨(r)p∨⌝⇔)(（结合律）p∨∨rqp⇔1（排中律）∨rq∨⇔（零律）1由最后一步可知，（1）为重言式。
（3）用等值演算法判（3）为矛盾式(→⌝)p∧qq⌝⇔)(（蕴含等值式）⌝q∨qp∧⇔（德·摩根律）⌝∧p∧qq∧⇔（结合律）⌝(q)qp∧0∧⇔p （矛盾律）0⇔（零律）由最后一步可知，（3）为矛盾式。
（10）非重言式的可满足式 1.8（1）从左边开始演算)()(q p q p ⌝∧∨∧)(q q p ⌝∨∧⇔ （分配律）1∧⇔p （排中律） .p ⇔ （同一律）（2）从右边开始演算)(r q p ∧→)(r q p ∧∨⌝⇔ （蕴含等值式） )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝⇔ （分配律） ).()(r p q p →∧→⇔ （蕴含等值式）1.9（1）))((p q p →∧⌝ ))((p q p ∨∧⌝⌝⇔ （蕴含等值式）p q p ⌝∧∧⇔（德·摩根律） q p p ∧⌝∧⇔)(（结合律、交换律）q ∧⇔0 （矛盾式）.0⇔（零律）由最后一步可知该公式为矛盾式。
（2）)())()((q p p q q p ↔↔→∧→)()(q p q p ↔↔↔⇔（等价等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。
1.12 (1) 设(1)中公式为A.)())((r q p r q p A ∧∧→∧∨⇔ )())((r q p r q p A ∧∧∨∧∨⌝⇔)()(r q p r q p A ∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(r q p r p q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())((r q p r q q p r r q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()(r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔7210m m m m A ∨∨∨⇔于是,公式A 的主析取范式为7210m m m m ∨∨∨易知,A 的主合取范式为6543M M M M ∨∨∨A 的成真赋值为000, 001, 010, 111A 的成假赋值为011,100,101,110(2)设(2)中公式为B)()(p q q p B ∨⌝→→⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⌝⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⇔ )()(p q q p ∨⌝∨∨⌝⇔ p q q p ∨⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())(()(q q p q p p q p ⌝∨∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝⇔)()()()()(q p q p q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔320m m m ∨∨⇔所以,B 的主析取范式为320m m m ∨∨.B 的主合取范式为1M B 的成真赋值为00,10,11. B 的成假赋值为01. 1.14 设p:A 输入;设q:B 输入; 设r:C 输入;由题的条件,容易写出C B A F F F ,,的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的}{↓中的公式即可.)()()()(r q p r q p r q p r q p F A ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⇔)()()()(r r q p r r q p ∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧⇔)()(q p q p ∧∨⌝∧⇔ )(q q p ∨⌝∧⇔ p ⇔)()(r q p r q p F B ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝⇔)()(r r q p ∨⌝∧∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⌝⌝⇔ )(q p ⌝∨⌝⇔q p ⌝↓⇔)(q q p ↓↓⇔. )(r q p F C ∧⌝∧⌝⇔r q p ∧∨⌝⇔)(r q p ∧↓⇔)( ))((r q p ∧↓⌝⌝⇔ ))((r q p ⌝∨↓⌝⌝⇔ r q p ⌝↓↓⌝⇔)()())()((r r q p q p ↓↓↓↓↓⇔1．19 (1)证明 ①r q ∨⌝ 前提引入②r ⌝ 前提引入③q ⌝ ①②析取三段论 ④)(q p ⌝∧⌝ 前提引入 ⑤q p ∨⌝ ④置换⑥p ⌝ ③⑤析取三段论 (2)附加前提证明法：证明 ①r 附加前提引入 ②r p ⌝∨ 前提引入③p ①②析取三段论④)(s q p →→ 前提引入 ⑤s q → ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 (5)归缪法：证明 ①q 结论的否定引入②s r ∨⌝ 前提引入 ③s ⌝ 前提引入④r ⌝ ②③析取三段论 ⑤r q p →∧)( 前提引入 ⑥)(q p ∧⌝ ④⑤拒取式 ⑦q p ⌝∨⌝ ⑥置换⑧p 前提引入⑨q ⌝ ⑦⑧析取三段论 ⑩q q ⌝∧ ①⑨合取 ⑪0 ⑩置换 1.20 设p ：他是理科生q ：他是文科生 r ：他学好数学 前提 r p q r p ⌝→⌝→,,结论q通过对前提和结论的观察，知道推理是正确的，下面用构造证明法给以证明。
离散数学第3章答案
习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) {aa , ab , ba , bb }(3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29}(5) {1,2,3, (79)(6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆(2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆(3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合.① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):(1) ;A ∈∅(2) ;A ⊆∅ (3) };{A A ∈ (4) ;A A ⊆ (5) ;A A ∈ (6) };{A A = (7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
自考 离散数学教材课后题第三章答案
3.1 习题参考答案1、写出下列集合的的表示式。
a)所有一元一次方程的解组成的集合。
A={x|x是所有一元一次方程的解组成的集合}晓津答案：A={x| ax+b=0∧a∈R∧b∈R}b) x2-1 在实数域中的因式集。
B={1,(x-1),(x+1)|x∈R}c)直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆周）的点集。
C={x,y| x2+y2<1 }晓津答案：C={a(x,y)|a为直角坐标系中一点且 x2+y2<1 }d)极坐标中，单位圆外（不包括单位圆周）的点集。
D={r,θ| r>1,0<=θ<=360}晓津答案：D={a(r,θ)|a为极坐标系中一点且 r>1,0<=θ<=2π }e)能被5整除的整数集E={ x| x mod 5=0}----------------------------------------------------------------2、判定下列各题的正确与错误。
a) {x}{x};正确b) {x}∈{x};正确晓津观点:本命题错误。
理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。
c) {x}∈{x,{x}};正确d) {x}{x,{x}};正确----------------------------------------------------------------3、设 A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。
a) {2}∈A; b) {2}∈B c) {2}Ad) {2}B; e) ∈A f) A解：jhju、晓津和wwbnb 的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。
理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。
因此不能说{2}属于A，当然如果说2∈A则是正确的。
对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f 式则是正确的。
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
湖南大学离散数学第三章习题一解答
第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。
由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。
已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。
（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
湖南大学离散数学第三章习题一解答
第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。
由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。
已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。
（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。
湖南大学离散数学第三章习题一解答
第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。
由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。
已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。
（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。
离散数学习题及解答
离散数学习题及解答作业题与解答第⼀章19 (2)、(4) 、(6)21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满⾜式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第⼆章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)所以00，10，11 为成真赋值。
(2) (┐p→q)∧(q∧r)(┐┐p∨q)∧(q∧r)(p∨q)∧(q∧r)(p∧q∧r)∨(q∧r)(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)m3∨m 7，所以011，111 为成真赋值。
(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )(┐p∧┐q)∨(1∧1)(┐p∧┐q)∨11m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7，所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。
离散数学第三章
离散数学第三章第一篇：离散数学第三章第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r 结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r 结论：p∧q 证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)⑤ 置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q 结论：s→r 证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第二篇：离散数学离散数学课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} ⊆ A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]A．C；B．A；C．B；D．Ø。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立？（1）N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S［不成立］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示？答：A = E；B = C；D = F1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且x2 ≤ 9 }（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }答：（1）A = { 0，1，2，3 }；（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且x≤ y }求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。
离散数学第1-3章_习题解答-简化
A C AC
2013-2014-2
鲁东大学
数学与统计科学学院
鲍永平
离散数学习题解答 12. 设 A B 且 A B可能吗？
可能
如： A＝{a}
B＝{a , b , {a} }
14. 对任意的集合 A B C，确定下列命题是真或假： （1）如果 A B 及 B C ，则 A C （3）如果 A B 及 B C ，则 A C （1）真 证：B C x ( xB xC ) AB AC AB （3）假 反例：A＝{a}
前提： P → Q ∨ R， S →
R， P∧S
结论：Q
步 骤
1 2 3 4 5 6 7
2013-2014-2
断 言（真）
P∧S
根
据
P P→Q∨R
Q∨R S S→ R
鲁东大学
P T, 1, I2 P T, 2,3, I3 T, 1, I2 P T, 5,6, I3 数学与统计科学学院 T, 4,7, I5
Q ) ∧(Q ∨ P )) Q ) ∧Q ) ∨( P ∨ Q ) ∧ P )) Q ∧Q ) ∨ P ∧ P ∨ Q ∧ P )) Q∧P)
P ∧Q ∨ P ∧Q )∨(
( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧Q )∨(P ∧ Q ) (1 , 2 , 3 ) ( 0 ) ( P ∨ 鲁东大学 Q) 2013-2014-2
2013-2014-2
Q1
A C
I3
B＝{a，b}
C＝{ {a，b}}
数学与统计科学学院 鲍永平
鲁东大学
离散数学习题解答
P69 习题2.2
18. 指出下列集合的幂集合: （3） 设 A＝｛a｝，求 A 和 （A）的幂集。 解： （A）＝｛ ，｛a｝｝
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第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。
由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。
已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。
（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。
2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。
解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。
|篮|=14, |排|=12, |篮∩排|=6, |篮∩网|=5, |篮∩排∩网|=2，|网|=6，又 6= |网∩(篮⋃排)| = |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|,故 5+ |网∩排|-2=6，故 | 网∩排|=3,由包含排斥原理可知会打球的人数为|篮∪排∪网|=|篮|+|排|+|网|-|篮∩排|-|篮∩网|-|排∩网|+|篮∩排∩网|=14+12+6- 6- 5-3+2=20，故不会打球有5 人。
3、在1 到300 的整数中（1 和300 包含在内），分别求满足以下条件的整数个数：(1) 同时能被3，5，7 整除；(2) 不能被3 和5 整除，也不能被7 整除的数；(3) 可以被3 整除，但是不能被5 和7 整除；(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除；(5) 只被3,5,7 中一个整除的数；解：用A3表示1 到300中能被3 整除的数的集合，A5表示1 到300中能被5整除的数的集合，A7表示1 到300中能被7 整除的数的集合。
则有|A3|=⎣300/3⎦=100，|A5|=⎣300/5⎦=60 ，|A7|=⎣300/7⎦=42；| A3∩A5 |=⎣300/15⎦=20，| A3∩A7|=⎣300/21⎦=⎣100/7⎦=14，| A5∩A7|=⎣300/35⎦=⎣60/7⎦=8，| A3∩A5∩A7|=2。
| A3∪A5∪A7| = |A3|+| A5|+|A7|-|A3∩A5|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|=100+60+42-20-14-8+2 =162(1) 同时能被3，5，7 同时整除的数的个数为| A3∩A5∩A7|=2；(2) 不能被3 和5 整除，也不能被7 整除的数的个数为| A3∩A5∩A7|=300- | A3∪A5∪A7| =300-162=138；(3) 注意到|A∩B| = |A|-|A∩B|，故可被3整除但不能被5 和7 整除的数的个数为| A3∩A5∩A7| = | A3∩(A5∪A7)| = | A3 |-| (A3∩A5)∪(A3∩A7)|=| A3 |-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68;(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除的数的个数为| (A3∪A5)∩A7| =| (A3∩A7)∪(A5∩A7)| =| A3∩A7|+| A5∩A7|-| A3∩A5∩A7|=(| A3|-| A3∩A7|)+ (| A5|-| A5∩A7|)-(| A3∩A5|-| A3∩A5∩A7|)= (100-14)+(60-8)-(20-2)=120;(5) 只被3,5,7 中一个整除的数的个数分别为只被3 整除的数：| A3|-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68；只被5 整除的数：| A5|-| A5∩A3|-| A5∩A7|+| A5∩A3∩A7|=60-20-8+2=34 ；只被7 整除的数：| A7|-| A7∩A3|-| A7∩A5|+| A7∩A3∩A5|=42-14-8+2=22。
4、求1~120 之间的素数。
提示：采用筛选法求不超过120 之间的素数。
由120<121，故120<11，只要去掉2,3,5,7的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。
解：令A2，A3，A5，A7分别为1~120范围内能被2，3，5，7 整除的数的集合，则1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为| A2∩A3∩A5∩A7| = 120- | A2∪A3∪A5∪A7| 。
由于|A 2|=⎣120/2⎦=60，|A 3|=⎣120/3⎦=40，|A 5|=⎣120/5⎦=24，|A 7|=⎣120/7⎦=17；|A 2∩A 3|=⎣120/6⎦=20， |A 2∩A 5|=⎣120/10⎦=12， |A 2∩A 7|=⎣120/14⎦=60/7=8，|A 3∩A 5|=⎣120/15⎦=40/5=8 ，|A 3∩A 7|=⎣120/21⎦=40/7=5，|A 5∩A 7|=⎣120/35⎦=24/7=3；|A 2∩A 3∩A 5|=⎣120/(2*3*5) ⎦=4 ，|A 2∩A 3∩A 7|=⎣120/(2*3*7) ⎦=2 ，|A 3∩A 5∩A 7|=⎣120/(3*5*7) ⎦=1， |A 2∩A 5∩A 7|=⎣120/(2*5*7) ⎦=1；|A 2∩A 3∩A 5∩A 7|=⎣120/(2*3*5*7) ⎦=0 ；所以| A 2∪A 3∪A 5∪A 7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 ， 故1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为120-93=27。
但这不是素数的个数，因为去除倍数时还去除了2,3,5,7的一倍，这本是不该去掉的，应当补回来，而这剩下的27个数中1不是素数，应该去掉——故素数的总数应当是27+4-1=30 。
5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被4、5、6 整除的数有多少个？解：设A 4, A 5, A 6 分别表示1~10000范围内被4,5,6 整除的数的集合，则要求的数的个数为(注意分母中的是最小公倍数)：||10000||654654A A A A A A ⋃⋃-=⋂⋂=10000－[ (⎣10000/4⎦+⎣10000/5⎦+⎣10000/6⎦)－((⎣10000/20⎦+⎣10000/12⎦＋⎣10000/30⎦)]＋⎣10000/30⎦ =10000－[(2500+2000+1666)－(500+833+333)+166]=1000－4666=53346、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数的立方的数有多少？解：设A={x 2 | 1≤ x 2≤10000}，B={x 3 | 1≤ x 3≤10000}，则要求的数的个数为988311710000 )421100(10000 ])10000[]10000[]10000([10000 |)||||(|1000 ||10000||63=-=-+-=-+-=⋂-+-=⋃-=⋂B A B A B A B A .7、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）有多少个整数包含了1，2，3 和4。
解：设A 1, A 2, A 3, A 4 分别表示1~10000范围内含1,2,3,4的数的集合。
（1）如果将题意理解为要求整数只含有1,2,3,4之一时，则要求的数的个数为||10000||43214321A A A A A A A A ⋂⋂⋂-=⋃⋃⋃。
而 ||4321A A A A ⋂⋂⋂为1~10000内不含1,2,3,4的数的个数，这相当于用六个数字0,5,6,7,8,9去填四个空格的方案数。
用排列组合中的乘法法则知，共有12966666=⨯⨯⨯种不同填法，但其中一种填法0000不合要求，故符合要求的填法有1296-1=1295种。
故题目的解为 10000－1295=8705.（２）如果将题意理解为要求整数同时含有1,2,3,4时，显然1 10000范围内只有四位数同时含有1,2,3,4，且1,2,3,4每个数只可能出现一次，即这样的四位数只能是1,2,3,4的排列。
所以，共有4!=24个。