《二次根式》培优专题一

《二次根式》培优专题一

二次根式培优专题

一、【基础知识精讲】

1.二次根式：形如a（其中a）的式子叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开得尽的；

⑵被开方数中不含；⑶分母中不含。

3.同类二次根式：

二次根式化成后，若相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2= （其中a）（2） 2a （其中a）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的

被开方数。

=（其中a ,b）；

b

a=（其中a ,b）.

（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3，

8的有理化因式可以是8也可以是2，b

a+的有理化因

式就是b

a-.

（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式．

6.双重二次根式的化简：

二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是：

设0

,0

,0

,0>

>

>

>y

a

y

x，且b

xy

a

y

x=

=

+,，则

2

2

2)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

2y

x

y

x

y

x

xy

y

x

b

a+

=

⋅

+

+

=

+

+

=

+

y

x

b

a+

=

+

∴2

如：要化简6

2

5—，∵6

3

2

5

3

2=

⨯

=

+，∴

2

3

3

2

6

2

52—

）

—

（

—=

=

但要注意最后的结果是正数，所以不能是

3

2—

二、【例题精讲】

类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）

1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）

A 45

B 3π-14122、二次根式

4

1

22--x x 有意义时的

x

的取值范围

是 。 3、已知： 1

22+--++=

x x y ，则

2001

)(y x += 。

类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 1、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a -1|+2

)2(-a = 。

2、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；

3、化简：=--x x 1 ；

4、化简

=

-+-+-222)72()57(2)73( 。

5、化简627-= 。

6、代数式2

43x --的最大值是 。

类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）

把3

13，32，

27

2

1，

75

2

1按由大到小的顺序排列为：

类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、

（图1）

分母有理化）

1、若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．互为相反数；B ．互为倒数；C ．互为负倒数；D ．以上均不对。

2、计算：100

9914

313

212

11+++++

++

+

ΛΛ

【同步练习】

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（ ） A ．若a a -=2

，则a<0 B ．0,2

>=a a a 则若 C ．4

284b a b a = D ． 5的平方根是5

2．二次根式13

)3(2++m

m 的值是（ ）

A ．23

B ．32

C ．22

D ．0 3．化简)0(||2

<<--y x x y x 的结果是（ ）

A ．x y 2-

B ．y

C ．y x -2

D ．y -

4．若b a

是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ）

A ．a ，b 均为非负数

B ．a ，b 同号

C ．a ≥0，

b>0 D ．0≥b

a

5．（2005·湖北武汉）已知a

-的

正确结果是（ ）

A ．

ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 6．把m m 1

-根号外的因式移到根号内，得（ ）

A ．

m

B ．m

-

C ．m

--

D ．

m

-