10-1 随机事件的概率汇总
人教A版高中数学必修第二册-第十章 -10-1-3古典概型
高中数学 必修第二册 RJ·A
二 古典概型概率的计算 例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑 球，从中摸出2个球.求： (1)样本空间的样本点的总数n；
知识点一 事件的概率
对随机事件发生 可能性大小 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示.
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知识点二 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 . 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 古典概率 模型，简称
(3)摸出2个黑球的概率. 解 样本点总数 n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m＝3，故 P＝36＝12， 即摸出 2 个黑球的概率为12.
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反思感悟
利用古典概型公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
故 P(A)＝366＝16.
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(2)求掷出两个4点的概率； 解 记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4). 故 P(B)＝316.
(3)求点数之和能被3整除的概率. 解 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)， (1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6). 故 P(C)＝1326＝13.
新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
10-1-3古典概型(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修 第二册
2．古典概型的概率计算
知识梳理
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本
点，事件A包含其中的k个样本点，
k
n（A）
则 定 义 事 件 A 的 概 率 P ( A ) ＝ _ _n_ _ _ ＝ _ _n_（_Ω_ _）_ _ ，
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样 本点个数．
2．求基本事件总数的常用方法： (1)列举法：适合于较简单的问题． (2)列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求．
配套练习
袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的 黑球，这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次 从中摸出1个球，求基本事件的个数． 解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树 形图表示如下图，共24个基本事件．
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数 ＝ 2
基本事件的总数
21
5
因为(1,1)和(2,1)发生的可能性不相等, 这不符合古典概型
解：将两个红球编号为 1 , 2 ，三个黄球编号为 3 , 4 , 5 ．第一次摸 球时有 5 种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二 次摸球都有4种等可能的结果。将两次摸球的结果配对，组成20种等 可能的结果，如下表：
已知某多项选择题的正确答案是AC.某某同学不会做该题,他只想 得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
补充两个计数原理
分类加法计数原理是指完成一件事有几类不同的方案， 在第1类方案中有m1种不同的的方法， 在第2类方案中有m2种不同的的方法…… 在第n类方案中有mn种不同的的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种方法。
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
高中必修第二册数学统编人教A版《10.1 随机事件与概率》课后课时精练
A级：“四基”巩固训练一、选择题1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案 D解析由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确．再由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．2．抽查10件产品，设A＝{至少有2件次品}，则A－等于()A．{至多有2件次品} B．{至多有两件正品}C．{至少有两件正品} D．{至多有一件次品}答案 D解析“至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2，对立事件则应该为“至多有一件次品”，故选D.3．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是() A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面答案 D解析对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.4．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③答案 C解析 从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.5．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件的是( )A ．至少有一个红球；至少有一个白球B ．恰有一个红球；都是白球C ．至少一个红球；都是白球D ．至多一个红球；都是红球答案 B解析 A 中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C ，D 中的两个事件互斥且对立．二、填空题6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则事件A ∪B －表示________．答案 出现的点数为2,4,5,6解析 因为B －表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以A ∪B －表示“出现的点数为2,4,5,6”．7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A 为“点数之和是2,4,7,12”，事件B 为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C 为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为________．答案 A ∩B ∩C －解析 ∵事件A ＝{2,4,7,12}，事件B ＝{2,4,6,8,10,12}，∴A ∩B ＝{2,4,12}．又C ＝{9,10,11,12}，∴A ∩B ∩C －＝{2,4}．8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”，其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．答案 ②④解析 从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件； ③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”是互斥事件，也是对立事件．故答案为②④.三、解答题9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：(1)密码被破译；(2)至少有一人破译；(3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译；(5)只有甲破译；(6)密码未被破译．解 用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙破译密码，则(1)A ∪B ∪C ；(2)A ∪B ∪C ；(3)A ∩B －∩C －＋A －∩B ∩C －＋A －∩B －∩C ＋A －∩B －∩C －；(4)A ∩B －∩C －＋A －∩B ∩C －＋A －∩B －∩C ；(5)A ∩B －∩C －；(6)A －∩B －∩C －.B 级：“四能”提升训练判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生．(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件．。
随机事件的概率
背景：在自然界和实际生活中，常会
遇到各种各样的现象，从结果能否预 知的角度来看，可以分两类，一类现 象的结果总是确定，为确定现象，另 一类的结果是无法预知的，为随机现 象，确定性现象易掌握，随机现象具 有不确定性，因此成为人们研究的重 点，随机现象的结果叫随机事件, 事件：试验加结果
30000
72088
14984
36124
0.4996
0.5011
表2:某批乒乓球产品质量检查结果表 抽取球数(n) 优等品种m 优等品频率( )
m n
50 45 0.9
100 92 0.92
200 194 0.97
500 470 0.94
1000 954 0.954
2000 1902 0.951
表三、某种油菜籽在相同条件下的发芽试验
判断下列是否正确？ （1）某人做了 10 次抛骰子试验，正面向上 的次数为 4 次，则正面向上的概率为 0.4。 （2）一个事件的概率为 0.8，则重复 100 次 试验该事件发生的次数一定是 80 次。 （3）概率为 0 的事件一定为不可能事件。 （4）概率为 1 的事件一定为必然事件
例、某人在同一条件下进行射击， 结果如下表所示：
射击次 10 数（n）
击 中 靶 心 次 数 （m） 击 中 靶 心 频 率 （m/n）
50 20
100 49
200ห้องสมุดไป่ตู้90
500 220
800 360
8
(1)填好表格，并算出击中靶心的概 率约为多少？ (2)这个射手设计 1600 次估计击中 靶心的次数约为多少？
；/qm_yeqm 婴儿起名 ；
观察下列事件： （1） 导体通电时，发热； （2） 某人射击一次，中靶； （3） 抛一石块，下落； （4） 抛一枚硬币，正面向上； （5） 发明“永动机” ，成功；
(复习指导)10.1随机事件的概率含解析
第一节 随机事件的概率【知识重温】一、必记4个知识点 1．随机事件和确定事件(1)在条件S 下，①____________的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S 下，②____________的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件．(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S 下，③________________________的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例④____________为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的⑤________f n (A )稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．3．事件的关系与运算 定义 符号表示包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B ⑧____事件A (或称事件A 包含于事件B )⑨______(或A ⊆B )并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A 发生或事件B发生，称此事件为事件A 与事件B 的○10______(或和事件)A ∪B (或A ＋B )交事件(积事件)若某事件发生当且仅当⑪____________且⑫______发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件A ∩B (或AB )互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，则事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然条件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件(1)概率的取值范围：⑬____________.(2)必然事件的概率P (E )＝⑭____________. (3)不可能事件的概率P (F )＝⑮____________. (4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝⑯____________. ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝⑰____________. 二、必明3个易误点1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6)两互斥事件的概率和为1.()二、教材改编2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是()A．至多一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没有中靶3．从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝14，则P(“抽到红花色”)＝________，P(“抽到黑花色”)＝________.三、易错易混4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________．5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．四、走进高考6．[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．考点一随机事件关系的判断[自主练透型]1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件D．B与C既是互斥事件也是对立事件2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 悟·技法互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.考点二 随机事件的频率与概率[互动讲练型] [例1] [2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 悟·技法计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.[变式练]——(着眼于举一反三)1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成频率分布表．近20年六月份降雨量频率分布表求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．考点三 互斥事件与对立事件的概率 [互动讲练型][例2] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)． 听课笔记： 悟·技法(1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A －)求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.[变式练]——(着眼于举一反三)2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，假设汽车A 12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A 和汽车B 选择的最佳路径分别为( )A ．公路1和公路2B ．公路2和公路1C ．公路2和公路2D ．公路1和公路1第十章 概率第一节 随机事件的概率【知识重温】①一定会发生 ②一定不会发生 ③可能发生也可能不发生 ④f n (A )＝n An⑤频率 ⑥常数 ⑦常数 ⑧包含 ⑨B ⊇A ⑩并事件⑪事件A 发生 ⑫事件B ⑬0≤P (A )≤1 ⑭1 ⑮0 ⑯P (A )＋P (B ) ⑰1－P (B )【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×2．解析：连续射击两次的结果有四种：①第一次中靶第二次中靶；②第一次中靶第二次没中靶；③第一次没中靶第二次中靶；④第一次没有中靶第二次没有中靶，事件“至少一次中靶”包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是D.答案：D3．解析：因为A 与B 不会同时发生，所以A 与B 是互斥事件，则P (“抽到红花色”)＝P (A )＋P (B )＝14＋14＝12，又事件“抽到黑花色”与“抽到红花色”是对立事件，则P (“抽到黑花色”)＝1－P (“抽到红花色”)＝1－12＝12.答案：12 124．解析：设平局(用△表示)为事件A ，甲赢(用⊙表示)为事件B ，乙赢(用※表示)为事件C ，容易得到如图．平局含3个基本事件(图中的△)，P (A )＝39＝13，甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P (B )＝39＝13.答案：13 135．解析：∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.答案：0.356．解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有C 25＝10种选法，其中选出的2名同学都是男同学的选法有C 23＝3种，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P ＝1－310＝710. 答案：710课堂考点突破考点一1．解析：“A ，B ，C ”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A 、B 两项错误；“A ，B ”可能同时发生，故“A ”与“B ”不互斥，C 项正确；“B ”与“C ”既不互斥，也不对立，D 项错误，故选C.答案：C 2．解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．答案：A3．解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分条件．答案：B 考点二例1 解析：(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.变式练1．解析：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.考点三例2 解析：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14，因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.变式练2．解析：通过公路1的频率为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2的频率为0.1,0.4,0.4,0.1，设A 1，A 2分别表示汽车A 在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙．B 1，B 2分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙，则P (A 1)＝0.2＋0.4＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (B 1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A 的最佳路径为选择公路1，汽车B 的最佳路径为选择公路2.答案：A。
人教版高中数学必修三 3.1.1《随机事件的概率》要点梳理+跟踪检测
人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。
高中数学必修二 第十章 10 1 10 1 3
10.1.3古典概型(教师独具内容)课程标准：1.了解概率的含义.2.结合具体实例，理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率．教学重点：古典概型的定义及其概率公式．教学难点：会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.知识点一概率对随机事件发生□01可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用□02P(A)表示．知识点二古典概型的概念如果试验具有以下两个特征：(1)□01有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)□02等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．知识点三古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率□01P(A)＝k n＝n(A)n(Ω).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．从集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝kn.如图所示．把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I 中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝k n.2．求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．P(A)＝事件A包含的样本点个数样本空间的样本点总数＝kn.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为1n.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝k n.A．②④B．①③④C．①④D．③④(2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是()A.12 B.16C.13 D.14(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D．1答案(1)B(2)A(3)C题型一样本点的计数方法例1(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为()A．2 B．3C．4 D．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解析](1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[答案](1)C(2)见解析样本点的两个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．解把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点．题型二古典概型的判定例2袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？[解](1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．判断一个试验是古典概型的依据一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________． 答案 ③解析 ①不属于．原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于．原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于．原因是显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于．原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于．原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.题型三 古典概型的求法例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A ＝{三个数字中不含1或5}； (2)事件B ＝{三个数字中含1或5}．[解] 这个试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n ＝10，这10个样本点发生的可能性是相等的．(1)因为事件A ＝{(2,3,4)}， 所以事件A 包含的样本点数m ＝1. 所以P (A )＝m n ＝110.(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B 包含的样本点数m ＝9. 所以P (B )＝m n ＝910.1.古典概型概率的求法步骤(1)确定等可能样本点总数n ； (2)确定所求事件包含的样本点数m ；(3)P(A)＝m n.2．使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型；(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(3)这个游戏公平吗？请说明理由．解将所有的样本点列表如下：甲乙1234 5 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知，该试验共有25个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝5 25＝15.(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝1625.(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为1325，“和为奇数”的概率是1225，二者不相等，所以游戏不公平.题型四较复杂的古典概型的概率计算例4有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，共24个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝124.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝1 3.(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．(2)在求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，这个试验的样本空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个样本点．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．用M 表示“A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，共6个样本点，因此P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1和C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，共有3个样本点，而N ∪N －＝Ω，且N ∩N －＝∅，故事件N 包含的样本点个数为18－3＝15，所以P(N)＝1518＝5 6.1．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为()A.15 B.310C.25 D.12答案 D解析由题意知书架上共有10本书，其中外文书为英文书和日文书的和，即3＋2＝5(本)．所以由书架上抽出一本外文书的概率P＝510＝12，故选D.2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15答案 C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，这个试验的样本空间Ω＝{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率P＝410＝2 5.3．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是()A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析因为甲、乙、丙三人在3天节日中，每人值班1天，所以样本空间Ω＝{甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}，共6个样本点，而甲紧接着排在乙的前面值班的情况为{甲乙丙，丙甲乙}，共2个样本点．所以甲紧接着排在乙的前面值班的概率是13.选C.4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．答案1 3解析三张卡片的排列方法有BE1E2，BE2E1，E1BE2，E1E2B，E2E1B，E2BE1，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的．其中恰好排成英文单词BEE的有2种，故恰好排成英文单词BEE的概率为13.5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝310.故摸出2只球都是白球的概率为310.。
10.1 随机事件与概率(精讲)(解析版)
10.1 随机事件与概率（精讲）考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】（2021·全国高一）给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x 为某一实数时，可使x 2≤0”是不可能事件； ③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x =0时x 2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C ．【例1-2】（2020·全国高一）袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.（1）若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； （2）若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】m 表示第一次摸出球的编号，用n 表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(),m n ，{},1,2,3,4m n ∈表示.（1）若第一次摸出的球不放回，则m n ≠，此时的样本空间可表示为()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，共有12个样本点.（2）若第一次摸出的球放回，则m ，n 可以相同.此时试验的样本空间可表示为(){}{},,1,2,3,4m n m n Ω=∈，共有16个样本点.【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）下列事件中，随机事件的个数为（）①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件故选：B2．（多选）（2020·全国高一单元测试）下列事件中，是随机事件的是（）A．2021年8月18日，北京市不下雨B．在标准大气压下，水在4C时结冰C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签x≥D．若x∈R，则20【答案】AC【解析】A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件．故选：AC．3．（2020·全国高一课时练习）写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析【解析】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为{}Ω=；A B AB O,,,（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =. 4．（2021·全国高一）写出下列试验的样本空间：（1）设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数； （2）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为{}4,5,6,7,8,9,10N =； （2）由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为{（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）}.考法二 事件的关系与运算【例2-1】（2020·全国高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件A =“1个红球和2个白球”，事件B =“2个红球和1个白球”，事件C =“至少有1个红球”，事件D “既有红球又有白球”，则：（1）事件D 与事件,A B 是什么关系？（2）事件C 与事件A 的交事件与事件A 是什么关系？【答案】（1）D A B =⋃.（2）事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【解析】（1）对于事件D ,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故D A B =⋃. （2）对于事件C ,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故C A A ⋂=,所以事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【例2-2】（2021·全国高一）掷一枚骰子，给出下列事件：A =“出现奇数点”，B =“出现偶数点”，C =“出现的点数小于3”. 求：（1）AB ，BC ⋂；（2）A B ，B C ⋃.【答案】（1）A B =∅，B C ⋂=“出现2点”.（2）AB =“出现1，2，3，4，5或6点”，BC =∪“出现1，2，4或6点”.【解析】由题意知：A =“出现奇数点”{}1,3,5=，B =“出现偶数点”{}2,4,6=，C =“出现的点数小于3”{}1,2=，（1）A B =∅，{}2B C ⋂==出现2点”；（2）{}1,2,3,4,5,6AB ==“出现1，2，3，4，5或6点”，{}1,2,4,6B C ⋃==“出现1，2，4或6点”.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A =“三个圆的颜色全不相同”，事件B =“三个圆的颜色不全相同”，事件C =“其中两个圆的颜色相同”，事件D “三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.（2）用集合的形式表示事件,,,A B C D .（3）事件B 与事件C 有什么关系？事件A 和B 的交事件与事件D 有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件B 包含事件C ，事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.见解析 【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}. (2)A ={（红,黄,蓝）}B ={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}C ={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.D {（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件B 包含事件C ,事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.2．（2021·全国高一）记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A ，B ，C ，D ，指出下列事件的含义： （1）AB C ；（2）B C ∩； （3）B C D ∪∪.【答案】（1）射中10环或9环或8环. （2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环. （2）C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.（3）B C D=∪∪射中9环或8环或7环，则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3．（2021·全国高一）在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：（1）甲未中靶；（2）甲中靶而乙未中靶；（3）三人中只有丙未中靶；（4）三人中至少有一人中靶；（5）三人中恰有两人中靶.【答案】（1）A（2）AB（3）ABC（4）ABC（5）()()() ABC ABC ABC【解析】（1）甲未中靶：A.（2）甲中靶而乙未中靶：A B⋂,即AB.（3）三人中只有丙未中靶：A B C,即ABC.（4）三人中至少有一人中靶ABC.（5）三人中恰有两人中靶()()()ABC ABC ABC.考法三互斥与对立【例3】（多选）（2020·全国高一课时练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B 中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B 成立； 在C 中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C 不成立；在D 中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D 成立； 故选：BD. 【一隅三反】1．（多选）（2020·全国高一课时练习）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】BD【解析】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确 故选：BD2．（多选）（2020·全国高一课时练习）下面结论正确的是（ ） A ．若()()1P A P B +=，则事件A 与B 是互为对立事件 B ．若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 是相互独立事件 C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件 【答案】BD【解析】对于A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P A P B +=还需满足()0P AB =，也即,A B 不能同时发生，所以A 选项错误.对于C 选项，A 包含于B ，所以A 与B 不是互斥事件，所以C 选项错误. 对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确. 对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD3．（2020·全国高一课时练习）在试验E “连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j ，事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，（1）试用样本点表示事件AB 与A B ；（2）试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件； （3）试用事件j A 表示随机事件A .【答案】（1）详见解析（2）事件A 与事件B ，事件A 与事件C 不是互斥事件，事件B 与事件C 是互斥事件.（3）123456A A A A A A A =【解析】由题意可知试验E 的样本空间为Ω=()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6, ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6, ()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6, ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()}6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.（1）因为事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,即()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A =.因为事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,即()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1B =.所以(){}1,5AB =,()()()()()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,3,3,4,2,5,1A B =.（2）因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以()()(){}1,4,2,5,3,6C =. 因为(){}1,5AB =≠∅,(){}1,4AC =≠∅,B C =∅,所以事件A 与事件B ,事件A 与事件C 不是互斥事件,事件B 与事件C 是互斥事件.（3）因为事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j ”,所以(){}(){}(){}(){}(){}(){}1234561,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A A A A A A ======, 所以123456A A A A A A A =.考法四 古典概型【例4】（2020·全国高一课时练习）在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.2C ．0.28D ．0.32【答案】C【解析】用(),x y 表示两位老师的打分，则(),x y 的所有可能情况有1010100⨯=种. 当50x =时，y 可取50，51，共2种；当51x =，52，53，54，55，56，57，58时，y 的取值均有3种； 当59x =时，y 可取58，59，共2种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的情况有28种， 由古典概型的概率公式可得所求概率280.28100P ==故选：C. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ） A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】D【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)共4个，所求概率为4263P ==.故选：D 2．（2021·全国高一）把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A ．23B ．13C ．35D ．14【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，()4,1,23，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，()2,34,1，有6种分法；共有18种分法， 则2，3连号的概率为61183P ==. 故选：B .3．（2021·全国高一）为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取100名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]进行整理，如下表所示：（1）在下面的图纸中，画出频率分布直方图；（2）若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率． 【答案】（1）直方图见解析；（2）815. 【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为： 4组：206430⨯=名，第5组：106230⨯=名， 设第4组抽取的4名新兵分别为1A ，2A ，3A ，4A ，第5组抽取的2名新兵分别为1B ，2B ．从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：12{,}A A ，13{,}A A ，14{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，23{,}A A ，24{,}A A ，21{,}A B ，22{,}A B ，34{,}A A ，31{,}A B ，32{,}A B ，41{,}A B ，42{,}A B ，12{,}B B ，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：11{,}A B ，12{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，31{,}A B ，32{,}A B ，41{,}A B ，42{,}A B ，故所求的概率P =815． 考法五 概率的基本性质【例5-1】（2020·全国高一课时练习）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）A ．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B ．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C ．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D ．以上解释都不对 【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C 【例5-2】（2020·全国高一课时练习）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F =____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P MG =____________，()3P FG =____________【答案】0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 【解析】()()123182014520.52100100100100P M P MG MG MG ==++==； ()()10.48P F P M =-=； ()1P MF =；()()0P MF P =∅=；()()11118170.35100100P G P MG FG ==+=； ()()()()2220.520.440.200.76P MG P M P G P MG =+-=+-=；()370.07100P FG == 故答案为：（1）0.52；（2）0.48；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（ ） A ．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次 B ．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖 C ．某顾客消费210元，一定不能中奖 D ．某顾客消费1000元，至少能中奖1次 【答案】B 【解析】中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖， 故选：B.2．（2020·全国高一课时练习）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率； （1）命中10环；（2）命中的环数大于8环； （3）命中的环数小于9环； （4）命中的环数不超过5环.【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0 【解析】用x 表示命中的环数，由频率表可得. （1）(10)0.2P x ==；（2）(8)P x P >=（9x =或10x =）(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=； （3）(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=； （4）(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.3．（2021·全国高一课时练习）判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例 （1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； （2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析. 【解析】（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误. 设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.（1）中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立. （2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取{1},A B ==∅,则1()()4P A B P A ⋃==1()()()4P AB AB P AB P A ⋃===. （4）中反例，取{1},{1,2}A B ==,则1()()4P AB P A ==,1()()4P AB AB P AB ⋃==.4．（2020·全国高一课时练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立 由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====. （1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义 得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯= （2）“恰好有一人中靶” ABAB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P ABAB P AB P AB=+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB ABAB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥,所以()P ABAB AB()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P ABAB =+0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶” 根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=5．（2020·全国高一课时练习）已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.【解析】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A ，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得13()20A P A ==事件含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数，又A 与B 对立，所以137()1()12020P B P A =-=-=， 所以()()P A P B >.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.。
【精品】高中数学 10.1 随机事件与概率(精练)(必修2)
10.1 随机事件与概率(精练)【题组一有限样本空间与随机事件】1．(2020·全国高一课时练习)以下事件是必然事件的是( )A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上B．异性电荷相互吸引C．在标准大气压下，水在1℃时结冰D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数2．(2020·全国高一课时练习)以下事件中，是必然事件的是( )A．对任意实数x，有x2≥0B．某人练习射击，击中10环C．从装有1号，2号，3号球的不透明的袋子中取一球是1号球D．某人购置彩票中奖3．(2021·全国高一课时练习)关于样本点、样本空间，以下说法错误的选项是( )A．样本点是构成样本空间的元素B．样本点是构成随机事件的元素C．随机事件是样本空间的子集D．随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多4．(2020·全国高一课时练习)一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，那么所有的样本点有( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)5．(2021·全国高一课时练习)指出以下事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购置福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1、2、3、4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术到达一定水平后，不需任何能量的“永动机〞将会出现．6．(2020·全国高一课时练习)在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况.(1)写出该试验的样本空间；(2)用集合表示以下事件：A=“至少有两科成绩为优秀〞；B=“三科成绩不都相同〞7．(2020·全国高一课时练习)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示以下事件：M=“恰好两个元件正常〞；N=“电路是通路〞；T=“电路是断路〞8．(2020·全国高一课时练习)如图，由A，B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2))，观察两个元件正常或失效的情况.(1)写出试验的样本空间；(2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路〞包含的样本点；(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路〞包含的样本点.9．(2020·全国高一课时练习)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(与先后顺序有关)(1)写出这个试验的样本空间及样本点的个数；(2)写出事件“恰有两枚正面向上〞的集合表示.10．(2020·全国高一课时练习)从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(),x y，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字.(1)写出样本空间；(2)写出“第1次取出的数字是2〞这一事件的集合表示.11．(2021·全国高一课时练习)从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间；(2)以下随机事件由哪些样本点构成：事件A ：取出的两件产品都是正品；事件B ：取出的两件产品恰有1件次品.【题组二 事件的关系和运算】1．(2020·全国高一课时练习)在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况〞中，设事件A 表示随机事件“第一次出现正面〞，事件B 表示随机事件“3次出现同一面〞，事件C 表示随机事件“至少1次出现正面〞.(1)试用样本点表示事件A B ，A B ，A C ，A C ； (2)试用样本点表示事件A B ，A B ，A C ，A C ；(3)试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件.2．(2020·全国高一课时练习)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：i C =“点数为i 〞，其中1,2,3,4,5,6i ；1D =“点数不大于2〞，2D =“点数大于2〞，3D =“点数大于4〞；E =“点数为奇数〞，F =“点数为偶数〞.判断以下结论是否正确.(1)1C 与2C 互斥；(2)2C ，3C 为对立事件；(3)32C D ⊆；(4)32D D ⊆；(5)12D D =Ω，12D D =∅； (6)356D C C =；(7)135E C C C =；(8)E ，F 为对立事件；(9)232D D D =；(10)233D D D =3．(2020·全国高一课时练习)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R =“第一次摸到红球〞，2R =“第二次摸到红球〞，R =“两次都摸到红球〞，G =“两次都摸到绿球〞，M =“两个球颜色相同〞，N =“两个球颜色不同〞.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R 与1R ，R 与G ，M 与N 之间各有什么关系？(3)事件R 与事件G 的并事件与事件M 有什么关系？事件1R 与事件2R 的交事件与事件R 有什么关系？4．(2020·全国高一课时练习)抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2〞，事件B =“出现的点数是2或3或4〞，那么事件“出现的点数是2〞可以记为( )A ．AB B ．A BC ．A B ⊆D ．A B =5．(2020·全国高一课时练习)打靶3次，事件i A =“击中i 发〞，其中0,1,2,3i =.那么123A A A A =表示( )A ．全部击中B ．至少击中1发C ．至少击中2发D ．全部未击中6．(2020·全国高一课时练习)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A ：恰有一件次品；事件B ：至少有两件次品；事件C ：至少有一件次品；事件D ：至多有一件次品.并给出以下结论：①A B C =；②B D 是必然事件；③A B C =；④A D C =.其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②③【题组三 互斥与对立】1．(2020·全国高一课时练习)袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红､黑球各一个2．(2020·全国高一课时练习)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶〞的互斥事件是( )A ．两次都不中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．至多有一次中靶3(2021·全国高一课时练习)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，那么( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件4．(2020·全国高一课时练习)一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用1A 表示第一次摸得黄球,2A 表示第二次摸得白球,那么事件1A 与2A ( )A ．是相互独立事件B ．不是相互独立事件C ．是互斥事件D ．是对立事件5．(2021·全国高一课时练习)从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，那么互为对立事件的是( )A ．“至少一个红球〞与“至少一个黄球〞B ．“至多一个红球〞与“都是红球〞C．“都是红球〞与“都是黄球〞D．“至少一个红球〞与“至多一个黄球〞6．(2020·全国高一课时练习)如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( ). A．A B是必然事件B．A B是必然事件C．A与B一定互斥D．A与B一定不互斥7．(2020·全国高一课时练习)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌〞与事件“乙分得红牌〞是A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对8．(2021·全国高一课时练习)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶〞的互斥事件是A．两次都中靶 B．至少有一次中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶9．(2020·全国高一课时练习)从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少2个白球，都是红球B．至少1个白球，至少1个红球C．至少2个白球，至多1个白球D．恰好1个白球，恰好2个红球10．(2020·全国高一课时练习)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，那么( ) A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【题组四古典概型】1．(2020·全国高一课时练习)某袋中有编号为1，2，3， 4，5，6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，那么甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A．56B．16C．15D．35362．(2020·全国高一课时练习)在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中，任取三条，这三条线段能构成三角形的概率为( )A．12B．13C．14D．03．(2021·全国高一课时练习)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[)[)[)[)[]27.5,32.5,32.5,37.5,37.5,42.5,42.5,47.5,47.5,52.5分为5组，其频率分布直方图如下图．(1)求图中a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．假设所取样本容量40n =，从该样本分布在[)27.5,32.5和[]47.5,52.5的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．4．(2020·全国高一课时练习)某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，总分值均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：(1)在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；(2)从对B 餐厅评分在[)0,20范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[)0,10范围内的概率；(3)求学生对A 餐厅评分的平均数.5．(2020·全国高一课时练习)由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]，得到如下图频率分布直方图，其中年龄在(20，40]的有20人.(1)估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；(3)假设此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地6．(2020·全国高一课时练习)海关对同时从,,区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 三个地区商品的数量；(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【题组五 概率的根本性质】1．(2020·吴起高级中学)气象台预报“本市明天降雨概率是70%〞，以下说法正确的选项是( ) A ．本市明天将有70%的地区降雨 B ．本市有天将有70%的时间降雨 C ．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D ．明天出行不带雨具肯定要淋雨2．(2021·全国高一课时练习)某种彩票中奖的概率为110000，这是指A ．买10000张彩票一定能中奖B ．买10000张彩票只能中奖1次C ．假设买9999张彩票未中奖，那么第10000张必中奖D ．买一张彩票中奖的可能性是1100003．(2020·全国高一课时练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现〞，事件B 表示“不小于5的点数出现〞，那么一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为( ) A ．23B ．13C ．1 2D ．564(2020·全国高一课时练习)柜子里有3双不同的鞋，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋,如果从中随机地取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间;(2)求以下事件的概率，并说明它们的关系;①A=“取出的鞋不成双〞②B=“取出的鞋都是左脚的〞；③C=“取出的鞋都是一只脚的〞；④D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋〞.5．(2020·全国高一课时练习)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：(1)为进行某项研究，从所用时间为12h的60辆汽车中随机抽取6辆.(ⅰ)假设用分层随机抽样的方法抽取，求从通公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；(ⅱ)假设从(ⅰ)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率.(2)假设汽车A只能在约定时间的前11h出发，汽车B只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车A和汽车B应如何选择各自的道路？6．(2020·全国高一课时练习)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率；(3)求至多遇到5个红灯的概率.7．(2020·全国高一课时练习)深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对证人的区分能力进行了测试，测得他识别的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.8．(2020·全国高一课时练习)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规那么是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，那么甲赢，否那么甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，那么这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为12，我赢的概率也是12，怎么不公平？〞分析这个游戏是否公平.9．(2020·全国高一课时练习)下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？。
随机事件的概率(共48张PPT)
死于工伤：危险概率是1／26000 走路时被汽车撞死：危险概率是1／40000
问题1. 你是彩民吗？你买的彩票一定能中奖吗？
在现实生活中，有很多问题我们很难给予准确无误的回答,因为在客
观世界中，有些事情的发生是偶然的，有些事情的发展是必然的, 而且偶然和必然之间往往存在某种内在联系.
①从一个只装有红球的盒子里摸出一个红球
②人总有一天会死去
③投一枚骰子（点数为1—6）投出7点 ④人可以一生都不喝水
1.概率的正确理解
事实上，我们在连续投掷两次硬币时，可能出现3种结果：
1
（25％）
2
（50％）
且每中情况都是随机出现的
3
（25％）
Ex1.如果某种彩票的中奖概率为 1 ，那
1000
么买1000张这种彩票一定能中奖吗？请说 明理由.（假设该彩票有足够多的张数）
不一定，每张彩票是否中奖是随机的, 1000张 彩票中有几张中奖当然也是随机的.买1000 张这种彩票的中奖概率约为：1000，即有 63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.
2. 游戏的公平性
在一场乒乓球比赛前，必须要决定由 谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁 判员常用什么方法确定发球权吗？其公平 性是如何体现出来的？请你举出几个公平 游戏的实例.
裁判员拿出一个抽签器，它是－个像大硬币似的 均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后 随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到 球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上。 如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方
有限样本空间与随机事件 高中数学教案10-1-1
§10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件学习目标1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义．知识点一随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点二样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E 的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn ，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }为有限样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }思考如何确定试验的样本空间？答案确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }的形式．知识点三随机事件、必然事件与不可能事件随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A ，B ，C ，…表示．在每次试验中，当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生．我们称∅为不可能事件1．对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的．(×)2．连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}．(×)3．“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，该球是白球或黑球”，此事件是必然事件．(√)4．“某人射击一次，中靶”是随机事件．(√)一、样本空间的求法例1写出下列试验的样本空间：(1)同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；(2)从含有两件正品a 1，a 2和两件次品b 1，b 2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况．解(1)该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}．(2)该试验所有可能的结果如图所示，因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a 1a 2，a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，b 1b 2}．(3)如图，用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}．反思感悟写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．跟踪训练1写出下列试验的样本空间：(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况．解(1)如图，设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}．(2)设正品为H，次品为T，样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}．二、随机事件的表示例2试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．设事件A表示随机事件“甲乙平局”；事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；事件C表示随机事件“乙不输”．试用集合表示事件A，B，C.解设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j 表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．反思感悟对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求．跟踪训练2如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.解M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}．三、随机事件的含义例3在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．解(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. (2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.反思感悟解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．跟踪训练3柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．解(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．1．下列事件是必然事件的是()A．从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B．函数y＝log a x(a>0且a≠1)为增函数C．平行于同一条直线的两条直线平行D．随机选取一个实数x，得2x<0答案C解析A是随机事件，5张标签都可能被取到；B是随机事件，当a>1时，函数y＝log a x为增函数，当0<a<1时，函数y＝log a x为减函数；C是必然事件；D是不可能事件，根据指数函数y＝2x的图象可得，对任意实数x,2x>0.2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为()A．8B．9C．12D．11答案D解析从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个样本点．3．(多选)下列试验中，随机事件有()A．某射手射击一次，射中10环B．同时掷两枚骰子，都出现6点C．某人购买福利彩票未中奖D．若x为实数，则x2＋1≥1答案ABC解析A，B，C为随机事件，D为必然事件，故选A，B，C.4．抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝__________________________________.答案{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}解析试验的样本空间为Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，则M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}．5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件M的含义是______________________．答案抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为81．知识清单：(1)随机试验．(2)样本空间．(3)随机事件、必然事件与不可能事件．2．方法归纳：列举法、列表法、树状图法．3．常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏．1．下列事件中不可能事件的个数为()①抛一块石块下落；②如果a>b，那么a－b>0；③没有水分，种子能发芽；④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；⑤在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化．A．1B．2C．3D．4答案B解析①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件．2．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为()A．{10,11，...，99}B．{1,2， (18)C．{0,1，...，18}D．{1,2， (10)答案B解析由题意可知，该试验的样本空间为{1,2，…，18}．3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为()A．2B．4C．6D．8答案B解析设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点．4．从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为()A．10B．15C．20D．25答案C解析把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，则样本点用(x，y)表示，∴Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，故共有20个样本点．5．(多选)下列事件是随机事件的是()A．函数f(x)＝x2－2x＋a的图象关于直线x＝1对称B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码C．直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数D．某人购买福利彩票一注，中奖500万元答案BCD解析A为必然事件；B，C，D为随机事件．6．已知A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，从A，B中各取一个元素分别作为点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间Ω为____________________________________________________.答案{(－1,1)，(－1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)}7．从2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“log a b为整数”可表示为________________．答案{(2,8)，(3,9)}解析只有log28＝3，log39＝2为整数．8．(1)一批小麦种子全部发芽是________事件；(2)某人投篮3次，投中4次是________事件．答案(1)随机(2)不可能9．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学，试用集合表示M.解(1)Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．(2)M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．10．某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为0,1,2,3四个小球(除编号不同外，其他完全相同)的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球的编号的和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)写出试验的样本空间Ω；(2)设随机事件A为“抽中三等奖”，随机事件B为“抽中奖”，试用集合表示事件A和B.解(1)Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}．(2)A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}，B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(2,3)，(3,2)，(3,3)}．11．(多选)给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是() A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件答案ACD12．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为()A．10B．15C．16D．17答案C解析摸完黑球和白球共需15次，则第16次一定能摸出红球．13．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx ＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为()A．6B．17C．19D．21答案C解析将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，则M＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)}，共含19个样本点．14．写出下列试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________________．答案(1)Ω＝{胜，平，负}(2)Ω＝{0,1,2,3,4}解析(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．15．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，观察取到的小正方体的情况，则事件B为“从小正方体中任取1个，恰有两面涂有颜色”，那么事件B含有________个样本点．答案12解析每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体，共12个．16．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.解(1)每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：第二张卡片土口木第一张卡片土(土，土)(土，口)(土，木)口(口，土)(口，口)(口，木)木(木，土)(木，口)(木，木)∴Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)}．(2)能组成上下结构的汉字的样本点为(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)．∴A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}．。
随机事件的概率
随机事件的概率3.1.1随机事件的概率一、引入：概率论的产生和发展概率论产生于十七世纪,传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢3局就算赢，全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因,赌博终止了。
问赌本应该如何分法才合理？”帕斯卡是17世纪著名的数学家，但这个问题却让他苦苦思索了三年未果，荷兰著名的数学家惠更斯也企图解决这一问题，写成了《论赌博中的计算》成为概率论最早的著作信息论、对策论、排队论、控制论都以概率论为基础随机现象——若现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的1、确定性现象——若现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的二、几个概念思考：下面各事件的发生与否，各有什么特点？（1）导体通电时发热（3）标准大气压下温度低于0°C时，冰融化（5）掷一枚硬币，出现正面（4）在常温下，焊锡熔化（2）抛一石块，下落（6）李强射击一次，中靶2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件例（1）导体通电时发热（2）抛一石块，下落不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件例（3）在常温下，焊锡熔化（4）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件例（6）李强射击一次，中靶（5）掷一枚硬币，出现正面注：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（2）手电筒的电池没电,灯泡发亮（5）当x是实数时，x2≥0（6）一个袋内装有形状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球是白球（3）在标准大气压下，水在温度时沸腾（4）直线过定点（1）某地10月18日刮西北风案例1历史上抛掷硬币的重复试验结果正面次数（频数）抛掷次数频率（）106120480.5181204840400.50696019120000.501612012240000.50051498436124300000.4996720880.5011三、随机事件的频率及概率4、规律：当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5,并在它附近摆动结论：随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性案例2某批乒乓球产品质量检查结果表当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，并在它附近摆动。
概率的基本性质 高中数学课件10-1-4
第十章 §10.1 随机事件与概率10.1.4 概率的基本性质学习目标XUE XI MU BIAO1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点 概率的基本性质性质1 对任意的事件A ，都有P (A )0.性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为 ，即P (Ω)＝ ，P (∅)＝ .性质3 如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝ .性质4 如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝，P (A )＝ .性质5 如果A ⊆B ，那么 .性质6 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P (A ∪B )＝_____ .≥1010P (A )＋P (B )1－P (A )1－P (B )P (A )≤P (B )P (A )＋P (B )－P (A ∩B )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).( )2.若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )3.事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件.( )4.如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A )＋P (B )≤1.( )×××√2题型探究PART TWO一、互斥事件概率公式的应用例1 (1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率.是互斥事件，解 设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解 因为A，B是互斥事件，反思感悟运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥.(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.跟踪训练1 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)(单位：m)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10,16)；解 记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)[8,12)；解 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)[14,18).解 P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.二、对立事件概率公式的应用(1)甲获胜的概率；解 “甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，(2)甲不输的概率.解 方法一 设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，方法二 设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，反思感悟对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.跟踪训练2 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P(A)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95.所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.三、概率性质的综合应用(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.解 事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，反思感悟求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.跟踪训练3 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；解 记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)求他不乘轮船去的概率；解 设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI正难则反思想的应用典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；解 由题意知，(a，b，c)的样本空间Ω＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}，共27个样本点.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，素养提升当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时，可以找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.正难则反思想的应用提高了逻辑推理的核心素养.3随堂演练PART THREE1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是A.互斥不对立B.对立不互斥√C.互斥且对立D.以上答案都不对123452.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是√A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.3.事件A与事件B的关系如图所示，则A.A⊆BB.A⊇B√C.A与B互斥D.A与B互为对立事件解析 由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥不对立，故选C.4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.5.已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)0.2的概率为______.解析 设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与A∪B∪C互为对立事件.因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，且A，B，C三个事件互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).2.方法归纳：转化法、正难则反.3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于A.0.3B.0.2√C.0.1D.不能确定解析 由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定.2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件√D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.3.若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是√A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,1]解析 由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为A.0.20B.0.39√C.0.35D.0.30解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是A.0.62B.0.38√C.0.02D.0.68解析 设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.6.某城市2019年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2019年空气质量达到良或优的概率为_____.解析 由于空气质量达到良或优为污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，7.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝_____.又因为P(A)＝2P(B)，9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率；解 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本空间Ω＝{(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)}，共有10个样本点.令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则。
高考数学第一轮复习资料随机事件的概率
-1 -第39讲 随机事件的概率第39讲随机事件的概率1八随机事件和确定事件両芝/必裁事件I 裡斜$卜」定缈生的刪 __ •'厨人~丽能輛n 往条杵$ F 匚定不金雄吐的事申\faSTl■Ju'l T 在雳件E 下•可就我生也可能空发牛的事杵(1) 在条件S 下，一定会发生的事件，叫做 相对于条件S 的必然事件.(2) 在条件S 下，一定不会发生的事件，叫 做相对于条件S 的不可能事件. (3) 必然事件与不可能事件统称为相对于 条件S 的确定事件.(4) 在条件S 下可能发生也可能不发生的事 件，叫做相对于条件S 的随机事件.(5) 确定事件和随机事件统称为事件，一般 用大写字母A ，B ，C …表示. 2.频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某 一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A) =罟为事件A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A ，如果随着试验次 数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某 个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为A 的概率. 3•概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0丰(A) <1 (2) 必然事件的概率P(E)= 1. (3) 不可能事件的概率P(F)= 0. (4) 互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P(A U B) =P(A) + P(B).②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P(A) =1 — P(B).考点剖析曇点 随机事件的关系【例1】一个均匀的正方体玩具的各个面上分 别标以数字123,4,5,6将这个玩具向上抛掷1 次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点， 事件B 表示向上的一面出现的点数不超过 3, 事件C 表示向上的一面出现的点数不小于 4, 则()A . A 与B 是互斥而非对立事件B . A 与B 是对立事件C . B 与C 是互斥而非对立事件 件B ，C 是对立事件，故应选D.【拓展练习】1■对飞机连续射击两次，每次发 射一枚炮弹.设A = ｛两次都击中飞机｝，B = ｛两次都没击中飞机｝，C 二｛恰有一弹击中飞 机｝，D = ｛至少有一弹击中飞机｝，其中彼此 互斥的事件是 _______________ 互为对立事件的是<?寸j丄A ■VJ1 2345D . B 与C 是对立事件 【解析】如图作6X 3的坐标表格，x 轴为基本事件(点数)，y 轴为事件，在单元格内按事件包含的 基本事件打上 ⑷。
随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算随机事件的概率及计算随机事件的概率、古典概型、⼏何概型及随机模拟⼆. 课标要求：1、在具体情境中，了解随机事件发⽣的不确定性和频率的稳定性，进⼀步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会⽤列举法计算⼀些随机事件所含的基本事件数及事件发⽣的概率。
4、了解随机数的意义，能运⽤模拟⽅法（包括计算器产⽣随机数来进⾏模拟）估计概率，初步体会⼏何概型的意义；5、通过阅读材料，了解⼈类认识随机现象的过程。
三、命题⾛向本讲内容在⾼考中所占⽐重不⼤，纵观近⼏年的⾼考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有⼀定的灵活性、机动性。
纵观近⼏年的⾼考对概率要求降低，⼏何概型是新加内容，考试涉及的可能性较⼤。
预测⾼考：对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、⼏何概型的概率事件的计算为主，⽽以实际应⽤题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程（⼀）基本知识要点回顾1、随机事件的概念在⼀定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在⼀定条件下可能发⽣也可能不发⽣的事件；（2）必然事件：在⼀定条件下必然要发⽣的事件；（3）不可能事件：在⼀定条件下不可能发⽣的事件。
2、随机事件的概率事件A的概率：在⼤量重复进⾏同⼀试验时，事件A发⽣的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发⽣的两个事件叫做互斥事件；（2）对⽴事件：不能同时发⽣，但必有⼀个发⽣的两个事件叫做互斥事件；4、事件间的运算+）（）=；个，即此试验由所有结果出现的可能性都相等，那么每⼀基本事件的概率都是。
如果某个事件=。
=。
（1）“抛⼀⽯块，下落”.（2）“在标准⼤⽓压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某⼈射击⼀次，中靶”；（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”;（5）“掷⼀枚硬币，出现正⾯”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取⼀张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有⽔分，种⼦能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。
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(4)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订 甲和乙两种报纸”，事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订” “只订甲报纸” “只订乙报纸” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥 事件．(10 分) (5)由(4)的分析， 事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能， 故事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件．(12 分)
25
题型3 · 互斥事件与对立事件的概率
解析： 一次射击不够8环的概率：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.
题型分类 ·典例研析
题型1 · 互斥与对立事件的判断
例1某城市的电信运营商有甲、乙两种电子报纸供居民们订阅，记事件A为 “只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”， 事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不 是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. ． 思路点拨：分析各个事件中的子事件，然后看各个事件是否有交集，确定 是否互斥，若互斥再分析它们的并集，确定是否对立．
A∩B(或 AB)
A∩B＝∅ A∩B＝∅且 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)＝1
பைடு நூலகம்
对立事件
4. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 1 0 ． ． P(A)＋P(B) ． ． (2)必然事件的概率 P(E)＝ (3)不可能事件的概率 P(F)＝ (4)互斥事件概率的加法公式 ①若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝ ②若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝ 1－P(B) ．
(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
x－2 规范解答：由 ≤0 得 0<x≤2，因此 A＝{1，2}；由 x D.
x≤2 得 0≤x≤4，因
此 B＝{0，1，2，3，4}，满足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数是 23＝8，选
点评：本题主要考查根据频率估算概率值，在统计问题中，一般将频率值看做概率 值． 规律总结：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽
m
象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可近 似地当作随机事件的概率．
迁移发散 2(2012·陕西高考)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相 等， 为了解他们的使用寿命， 现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试， 结果统计如下：
般以小题的形式出现，难度中等偏下．古典概型问题一般综合统计的知
识，以解答题的形式出现．
地区差异：
各地区对本章内容的要求有明显差异，其中浙江、安徽不考几何概
型．
复习策略： 1. 本章内容概念性强，抽象性强，思维方法独特．因此要立足于基础 知识、基本方法、基本问题的复习． 2. 古典概型问题常与互斥事件、对立事件综合应用，关键是学会如何
(2)概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 fn(A) 稳定在某个 常数 上，我们把这个常数记 作 P(A)，称为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率． 3. 事件的关系与运算
定义 包含关系 相等关系 事件) 交事件(积 事件) 互斥事件 若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事 件 B 包含 事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B⊇A 且 A⊇B 事件为事件 A 与事件 B 的 若某事件发生当且仅当 并事件(或和事件)
符号表示 B⊇A(或 A⊆B) A＝B A∪B(或 A＋B)
并事件(和 若某事件发生当且仅当 A 发生或 B 发生，称此 A 发生 且 B 发生，
则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积 事件) 若 A∩B 为 不可能 事件，则事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为 不可能 事件，A∪B 为 必然 事 件，则称事件 A 与事件 B 互为对立事件
知识网络
考情分析
考点变化： 概率是高考必考的知识，与现实中的事例紧密相关，多以实际应用问题 的形式出现．在近3年的高考中主要考查：古典概型与互斥事件、对立事 件及统计问题的综合应用；与长度或面积、体积有关的几何概型问题．
预计2015年本章在高考中的分值约为12～17分左右，题型一般为一道客
观题、一道主观题，客观题突出“小、巧、新”的特点．几何概型问题一
件．(12分)
题型2 · 随机事件的频率与概率
某企业生产的足球被 2014 年世界杯指定为比赛专用球．日前有关部门对 某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n (1)计算表中足球优等品的频率； (2)从这批足球产品中任取一个质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小 数点后三位) 50 45 100 200 500 1 000 2 000 92 194 470 954 1 902
解析： (1)错误. 随机事件可能是随机试验的多个结果构成的． (2)错误．由概率的定义可知，在大量重复试验中，概率是频率的稳定值但不 一定等于频率值． (3)正确．由概率的意义知该结论正确． (4)错误．两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生，不一定是同时发 生． (5)错误．两个事件对立则一定互斥，但两个事件互斥未必对立．
迁移发散1判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并 说明理由．从40张扑克牌(红桃、方块、黑桃、梅花各10张，点数从1到10)
中任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
规范解答：(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”这两个事件不可能同时发生，也可
思路点拨：根据表格中的数据算出频率值，用此值来估计概率值．
规范解答： (1)依据公式 f ＝ 可以计算出表中足球为优等品的频率依次是 0.900， n 0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.(6 分) (2)由(1)知抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增 多，却都在常数 0.950 的附近摆动，故估计抽取一个足球检测时质量检查为优等 品的概率为 0.950.(12 分)
能都不发生，故它们是互斥事件，不是对立事件．(4分) (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两件事不可能同时发生，但必有一个事 件发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件．(8分) (3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可以
同时发生，如抽到的一张牌恰好为10，故它们既不是互斥事件，也不是对立事
点评：本题利用实际问题考查了两事件的关系，处理这类问题的关键是将给出的 事件拆分为基本事件，再利用集合的观点判断．
规律总结： 对于互斥或对立事件的判断，除了通过事件的实际意义进
行判断之外，也可通过集合的关系进行理解．几个事件彼此互斥是指由 各个事件所含的结果组成的集合彼此互无公共部分；在满足互斥事件的 基础上，且事件A与B所含结果组成试验的全部结果时，这两个事件构成 对立事件．
1 规范解答：(1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 ＝ ，用频率估计概率，∴ 100 4 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 .(4 分) 4 (2)根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品有 75＋70＝145(个)，(6 分) 其中甲品牌产品是 75 个， ∴在样本中， 寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率为 15 ＝ ，(8 分) 145 29 用频率估计概率，∴已使用了 200 小时的产品是甲品牌的概率为 15 29 .(10 分) 75 1
在 n 次重复进行的试验中， 事件 A 发生的频率为 ， 当 n 很大时， n m P(A)与 的关系是( n m A. P(A)≈ n
m
A )
C. P(A)＞ m n D. P(A)＜ m n
m B. P(A)＝ n
解析：事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值．
某奥运会射箭选手在一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分 别是 0.20，0.30，0.10，则此选手在一次射击中不够 8 环的概率为( A ) A. 0.40 B. 0.30 C. 0.60 D. 0.90
(教材改编)从装有 5 个红球和 3 个蓝球的口袋内任取 3 个 球，那么互斥而不对立的事件是( D ) A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是蓝球 C. 至少有一个红球与至少有一个蓝球 D. 恰有一个红球与恰有二个红球
解析： 对于 A 中的两个事件不互斥， 对于 B 中两个事件互斥 且对立，对于 C 中两个事件不互斥，对于 D 中的两个事件 互斥而不对立．
规范解答： (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲 报纸”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互 斥事件．(2 分) (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不 可能同时发生的，故 B 与 E 是互斥事件．由于事件 B，E 必有一 个事件发生，故 B 与 E 是对立事件．(4 分) (3)事件 B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可 能“不订甲报纸”，即事件 B 发生，事件 D 也可能发生，故 B 与 D 不是互斥事件．(6 分)
利用图表列举基本事件．
3. 几何概型问题解决的关键是将事件转化为相应的几何区域，然后计
算出相关的长度、面积或体积的几何度量．
4. 互斥事件、对立事件概率加法公式的关键是结合事件包含的基本事
件分清它们之间的关系．
§ 10.1 随机事件的概率
最新考纲
1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意 义，了解频率与概率的区别． 2. 了解两个互斥事件的概率加法公式．