线性代数2.4可逆矩阵

= O + 4E = 4E 所以
A
1 4
(A
−
3E )
=
E
所以
A 可逆，且
A−1 =
1 (A − 3E)
4
。
（2）因为 (A- 2E)(A − E) = A(A − E)− 2E(A − E) = A2 − A − 2A + 2E
= A2 − 3A − 4E + 6E = O + 6E = 6E
所以 (A- 2E)16 (A − E) = E 也就是 A - 2E 可逆，且 (A - 2E)−1= 1 (A − E)
( ) ( ) 求（1） A∗ （2） A-1 （3） A∗ -1 （4） A∗ ∗
解：（1）因为
21 0
A = 0 1 -3 =2
20 4
又
AA∗ = A∗A = A E
等号各边取行列式有 AA∗ = A E ，
所以 A A∗ = A 3 E = A 3 得到 A∗ = A 2 = 22 = 4
（对于n阶方阵 A ，我们有 关系式 A∗ = A n−1 ）
所以 E − A 可逆，且 (E − )A −1 = E + A + A2 ++ An−1 。
例5 已知 A2 − 3A − 4E = O
证明（1）A 可逆 ，并求 A−（1 2）A - 2E 可逆，并求 (A - 2E)−1 证（1）因为 A(A − 3E) = A2 − 3A= A2 − 3A − 4E + 4E
A31= (−1)3+111 -03 = −3
A32
=
(−
)1 3+2
2 0
−03 = 6
A33
=
(−
1)3+3
2 0
11 = 2
A−1 =
1 A∗= A
1 A11
A
A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
=
1 2
4 −6 −2
−4 8 2
− 3 2 6 =−3 2 −1
三 逆矩阵的性质
性质1、若 A 可逆，则其逆矩阵唯一。
证：设 B ，C 均为 A 的逆矩阵
则有 AB = BA = E AC = CA = E
所以 B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
证毕。
由此性质若 A 可逆，则 A−1 代表着唯一一个矩阵。
( ) 性质2 若 A 可逆，则其逆矩阵也可逆，且 A−1 −1 = A 。
积是单位矩阵。
由数字运算得到启发
( ) (E − A) E + A + A2 ++ An−1 ( ) ( ) = E E + A + A2 ++ An−1 − A E + A + A2 ++ An−1 ( ) = E + A + A2 + + An−1 − A + A2 + A3 + An
= E − An = E
2
- 6
2 0 4 4 0 8
例2
对于 A = ac
b d
a ，已知 A =
c
b ≠0
d
求
A−1
解：
A−1 =
1 A
A∗ =
1 A
A11 A12
A21 A22
=
ad
1 −
bc
d −c
− b d
这个结果可以当成公式来记，2阶方阵的逆矩阵等于其行列 式的倒数乘以一个2阶矩阵，矩阵是原矩阵主对角线元素互 换，其它元素取相反数。
( ) ( ) 且 An −1 = A−1 n （n为正整数）
这个性质告诉我们幂运算与逆运算的顺序可以交换。
性质5 若 A 可逆，数 k ≠ 0 ,则 kA 可逆，且 (kA)−1 = k −1A−1 .
证: 因为 AA−1 = A−1A = E
所以 (kA) 1 A−1 = 1 A−1 (kA) = E
（2）因为 A = 2 ≠ 0 ，所以 A 可逆。
A11
=
(−
)1 1+1
1 0
−43 = 4
A12=
(−
)1 1+2
0 2
−43 = −6
A13
=
(−
)1 1+3
0 2
10 = −2
A21
=
(−
1)2+1
1 0
40 = −4
A22
=
(−
)1 2+2
2 2
0 4
=
8
A23
=
(−
)1 2+3
2 2
10 = 2
−2 4 1
− 1.5 3 1
（再次提醒代数余子式放置的位置。）
（3）因为
1 AA∗ = 1 A∗ A = E
A
A
所以
1 A
A A∗
=
A∗
1 A
A =
E
( ) 也就是
A∗ -1 =
1 A
A
=
1 2
2 0 2
1 1 0
0 1 - 3= 0 4 1
0.5 0.5 0
0 − 1.5
2
且 A 可逆时有 A−1 = 1 A∗ 。 A
证：先证 “⇒”设 A 可逆，则存在存在方阵 B 使得 AB = BA = E 成立
有 AB = E = 1 ， A B = 1 所以 A ≠ 0
再证 “⇐”令 A ≠ 0 ，
由引理
AA∗ = A∗A = A E
有
1 AA∗ = 1 A∗A = 1 A E
二 逆矩阵的求法
1、伴随矩阵概念
（1） 定义
对于方阵
a11 a12 a1n
A
=
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
令 Aij 为方阵 A 的行列式 A 元素 aij 的代数余子式，
称方阵
A11 A12
A21 A22
An1 An2
A1n A2m Ann
得到 B = A−1 ，然后在两端用 A 右乘有 BA = A−1A
也就是 BA = E 。
这个结果告诉我们当两个方阵乘积是单位矩阵时，交换 相乘一定也是单位矩阵。
例4 若 An = O （n为正整数），
证明 E − A 可逆，并求 (E − )A −1
证：要想证明 E − A 只需能找到一个方阵，它与 E − A 的乘
证：因为 AA−1 = A−1A = E ，
( ) 由定义 A−1 可逆，且 A−1 −1 = A 。
性质3 若 A 可逆，则其转置矩阵也可逆，
( ) ( ) 且 AT −1 = A−1 T 。 ( ) ( ) 证：因为 AA−1 = A−1A = E 所以 AA−1 T = A−1A T = ET
k k
由定义 kA 可逆, 且 (kA)−1 = 1 A−1 .
k 性质6 若 A 可逆 ,则 A−1 = A −1 . 证: 因为 AA−1 = A−1A = E
所以 AA−1 = E ,得到 A A−1 = 1
1 两边乘 A 有
A−1 = 1 . A
这条性质从形式上看-1次幂可以从行列式符号里提出来。
可以将这个性质推广到有限多个方阵乘积上。
推论1 若同阶方阵 A1，，A2,, An, 均可逆，
( ) 则它们的乘积也可逆，且
A1A2 An
−1
=
An−1
A−1 n−1
A1−1
。
（注意乘积的顺序）
在这个推论中令 A1 = A2 = = An = A ，则有 推论2 若方阵 A 可逆，则 An 可逆，
( ) ( ) 即 A−1 T AT = A−1 T AT = E ( ) ( ) 由定义 AT 可逆，且 AT −1 = A−1 T 。
性质4 若同阶方阵 A ，B 均可逆，
则它们的乘积也可逆，且 ( ) AB −1 = B−1A−1
证：因为 AA−1 = A−1A = E
BB−1 = B−1B = E
( ) ( ) 所以 AB B−1A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1 = AA−1 = E ( ) ( ) B−1A−1 AB = B−1 A−1A B = B−1EB = B−1B = E
( ) ( ) 即 (AB) B−1A−1 = B−1A−1 (AB) = E
由定义 AB 可逆，且 (AB)−1 = B−1A−1
( ) ( ) ( ) （4）因为 A∗ -1 = 1 A∗ ∗ 又 A∗ -1 = 1 A
A∗
A
( ) 所以
1 A∗
A∗
∗
=
1
A
A
( )A∗
∗
=
A∗
A=
A2
A=
AA
A
A
（注：对于n阶方阵有 (A∗ )∗ = A n−2 A ）
( ) 所以
2 1 0 4 2 0
A∗
∗
=
2 0
1
- 3 = 0
ann
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
∑ ∑ ∑ n a1k A1k
n
a1k A2k
n a1k Ank
k=1
k =1
k =1
A
0 0
∑
=
n
a2k A1k
k =1 n
∑ k=1 ank A1k
n
∑ a2k A2k
k =1
n
∑ ank A2k
k =1
∑ = 0 n
a2k
Ank
k =1
n
∑ 0 k=1 ank Ank
A 0
0 A
=
AE
（这是因为行列式一行元素与这一行元素的代数余子式乘积
之和等于这个行列式，行列式一行元素与另一行元素的代数
余子式乘积之和等于零） 同理有 A∗A = A E ，证毕。
定理1 方阵 A 可逆的充分必要条件为 A ≠ 0
足。 下面解矩阵方程 AX = C ，其中 A 为方阵，我们
并没有定义矩阵的除法，若对于方阵 A ，若能找到方阵 B 使得 AB = BA = E 成立，这样用矩阵 B 同时左乘以 矩 阵方程两边就有 BAX = BC ，有 EX = BC ，即 X = BC 。
这样看来对于方阵 A ，能否找到方阵 B 使得 AB = BA = E 成立成了问题的关键，只要能找到这样的矩阵 B 就能解决矩 阵运算没有除法的缺憾。
四 解矩阵方程 （1）对于矩阵方程 AX = B ，若 A 可逆， 则 A−1AX = A−1B ，有 X = A−1B 。
例7 已知
1 − 4 − 3
A = 1 − 5 − 3
−
1
6
4
解矩阵方程 AX = B
解：因为
1 −4 −3
1 3 B = 2 5
− 1 4
A = 1 − 5 − 3 = −1 ≠ 0
A
=
2 3
-15
解矩阵方程 A + X = AX
解： AX − X = A ⇒ AX − EX = A ⇒ (A − E)X = A
⇒ X = (A − E )−1 A
因为
A−
E
=
2 3
-15
−
1 0
10 = 13
−16
所以
(A
−
E
)−1
=
1×
(−
1
6)
−
3
为 A 的伴随矩阵，记为 A∗ 。 这里一定要注意， A 中第i行第j列元素 aij 的代数余子
式 Aij 放在了伴随矩阵 A∗ 的第 j行第i列位置上。
2、用伴随矩阵求逆
引理 AA∗ = A∗A = A E
证：
a11
AA∗
=
a21
an1
a12 a22 an 2
a1n a2n
A11 A12
第四节 可逆矩阵
试解方程 ax = c (a ≠ c) 这里 a，x，c 都是数，
设想我们不会除法运算，但我们会求一个数的倒数，设 a 的 倒数是 b ，则两边 b 有 bax = bc 。
何为 a 的倒数，就是对于数 a ，若存在数 b 使得 ab = ba = 1 成立，这样就有 1⋅ x = bc ，即 x = bc 。 这就是说如果会求一个数的倒数就能解决没有除法运算的不
一 逆矩阵概念
1、定义 若对于方阵 A ，若存在方阵 B
使得 AB = BA = E 成立，则称 A 可逆，并且称 A 的逆 矩阵是 B ，记为 A−1 = B 。
并不是所有的方阵都可逆，显然零矩阵就不可逆，与
非零数都存在倒数不同，许多非零矩阵也不可逆，比如 A = 10 20
它与任何2阶方阵相乘最后一行都是零，不会等 于单位阵。
例3 设 A 与 B 为同阶方阵，若 AB = E ，证明 BA = E 。
证： 因为 AB = E 所以 AB = E ，有 A B = 1
所以 A ≠ 0 ，得到 A 可逆，在 AB = E 两端用 A−1 左乘
( ) 有 A−1AB = A−1E 进一步有 A−1A B = A−1 ， EB = A−1
−1 6 4
所以 A 可逆，矩阵方程有解 X = A−1B
又
− 2 − 2 − 3
A∗
=
−1
1
0
1 − 2 − 1
（过程略）
所以
− 2 − 2 − 3 1 3 3 28
X
= A−1B =
1
A∗B = − −1
1
0 2 5= −1 − 2
A
1
−2
−1 −1
4
2
11
例8 已知
6
例6 已知3阶方阵 A 行列式的 A = 4
求
1
−1
A
−
பைடு நூலகம்
(2 A)∗
8
解： 原式= 8A−1 − 2 A
1
(2 A)∗ = 8A−1 − 2 A (2 )A −1
2A
= 8A−1 − 23 A A−1 = 8A−1 − 16 A−1 = (− 8)3 A−1 = (− 8)3 A −1
2
= −128
A
A
A
得到
A
1 A
A∗ =
1 A
A∗ A =
E
由定义 A 可逆，且 A−1 = 1 A∗ 。 A
这个定理告诉我们，凡是方阵行列式值为零的方阵 均不可逆。凡是方阵行列式值不为零的方阵均可逆，这是判 断一个方阵是否可逆的一种常用方法。
例1 已知
2 1 0
A = 0 1 - 3
2 0 4