高考数学专题练习：平面向量与复数
高考数学复习单元检测(文)：平面向量与复数【含答案】
高考数学复习单元检测（文）：平面向量与复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b|a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →，则λ－μ等于( )A ．1B ．3C ．－1D ．－3答案 D解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE →，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ∥b ，则x 2＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( )A ．3B.32C.3D.32答案 B解析 由题知QP ⊥BC ，所以QP →·BC →＝0，则AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(A C →2－AB →2)＝32，故选B.9．已知a ＝(2，cos x )，b ＝(sin x ，－1)，当x ＝θ时，函数f (x )＝a ·b 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C ．－210D ．－7210 答案 D解析 f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝15，cos φ＝25，θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z ，所以sin θ＝cos φ＝25，cos θ＝－sin φ＝－15，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－45，cos2θ＝1－2sin 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.10.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BE →·CE →＝2，BF →·CF →＝－1，则BA →·CA →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 BE →·CE →＝ED →2－BD →2＝4FD →2－BD →2＝2，BF →·CF →＝FD →2－BD →2＝－1，所以FD →2＝1，BD →2＝2，因此BA →·CA →＝AD →2－BD →2＝9FD →2－BD →2＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．6B ．－8或8C ．－8D ．8答案 D 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sin θ＝45，则|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝10×45＝8，故选D.12．在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．63B ．23C ．6D ．2 答案 D解析 由已知易得，AM →＝23AB →＋13AC →，∴AM →＝23m AP →＋13n AQ →.又M ，P ，Q 三点共线， ∴23m ＋13n＝1， ∴m ＝2n3n －1，易知3n －1>0.mn ＋m ＝m (n ＋1)＝2n3n －1·(n ＋1) ＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3n －1)＋43n －1＋5≥2， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号． ∴mn ＋m 的最小值为2.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________． 答案 －1解析 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1，2a )． 又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.14．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7.若O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO →·BC →＝________. 答案 12解析 取BC 的中点D ，由O 为△ABC 的外接圆的圆心得OD ⊥BC ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12.15．欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2i 3e π，z 2＝i 2e π，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四解析 因为z 1＝2i 3e π＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝i2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．16．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)． (1)求向量a 与b 的夹角的大小； (2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a |·|b |＝－3－210·5＝－22，又α∈[0，π]，所以α＝3π4，即向量a 与b 的夹角的大小为3π4.(2)a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k )，因为c ∥(a ＋k b )，所以1－2k ＋3－k ＝0， 解得k ＝43，即实数k 的值为43.18．(12分)已知a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，O 为坐标原点． (1)若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； (2)设OA →＝a ，OB →＝b ，求△OAB 的面积． 解 (1)∵a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，∴m a ＋b ＝(3m ＋2，－2m ＋1)，a －2b ＝(－1，－4)， 令(m a ＋b )·(a －2b )<0， 即－3m －2＋8m －4<0，解得m <65，∵当m ＝－12时，m a ＋b ＝－12a ＋b ，a －2b 与m a ＋b 方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m ≠－12，∴若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，65. (2)设∠AOB ＝θ，△OAB 面积为S ， 则S ＝12|a |·|b |sin θ，∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2， ∴4S 2＝|a |2|b |2·sin 2θ ＝|a |2|b |2－(a ·b )2＝65－16＝49. ∴S ＝72.19．(13分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10，3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10，3)．20．(13分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12.又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C .又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.。
专题2 平面向量与复数(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析
专题2平面向量与复数一、单选题1．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5 BC ．D ．5i【答案】B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.3．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．－iD ．i【答案】B 【分析】1iz i-+=，然后算出即可. 【详解】由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +【答案】D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D . 5．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z ==故选：B.6．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③【答案】D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.7．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B 【分析】设AB a AD b ，==，由12BE BC =，13DF DC =，得到1123AE a b AF a b =+=+，，结合平面向量的基本定理，化简得到1132a b a b λμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-， 所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
高考专题——平面向量与复数 -含答案
高考专题——平面向量与复数一、单选题1．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +4．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +6．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．28．（2022·全国·高考真题（文））若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -10．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．193511．（2020·海南·高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)-D ．(4,6)-12．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件13．（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1 B ．()2,6--或()2,1- C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--14．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +15．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6-B ．5-C ．5D ．617．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +18．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --19．（2011·全国·高考真题（理））复数2i12i+-的共轭复数是（ ） A ．3i 5-B ．35iC ．i -D ．i20．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（ ） A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -21．（2022·全国·高考真题（理））若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-+D ．13-22．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-23．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．2524．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==25．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-26．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（ ）A ．()12a b + B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b +27．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题28．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题29．（2020·浙江·高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 30．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.31．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．32．（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．33．（2022·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______． 34．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.35．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.36．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.37．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 38．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．39．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.40．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．41．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．42．（2021·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 43．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．44．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．四、双空题45．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．46．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．47．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．48．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，,CA a CB b ==，D 是AC 中点，2CB BE =，试用,a b 表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________ 49．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.参考答案：1．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D2．C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-. 故选：C. 3．C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 4．C【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C. 5．D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+. 故选：D. 6．A【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限， 故选：A. 7．D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 8．D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D. 9．D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 10．D【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 11．A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 12．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，△不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，△()00a b c c -⋅=⋅=,△成立，△是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B. 13．C【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -，故选：C ． 14．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 15．C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：△222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又△||1,||3,|2|3,==-=a b a b △91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， △1a b ⋅= 故选：C. 16．C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C 17．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 18．B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B. 19．C【分析】利用复数的乘除运算求出2ii 12i+=-，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令2i (2i)(1+2i)i 12i (12i)(1+2i)z ++===--， 所以复数的共轭复数为i z =-， 故选：C 20．D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-， 故选：D. 21．C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-+- 故选 ：C 22．A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A. 23．B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z =．故选：B ． 24．B【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B. 25．A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】12i z =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A 26．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线， ∴111222EF AC a b ==+，故选：A 27．D【分析】先求得a b -，然后求得a b -.【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D 28．AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 29．2829【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤， 1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 30．25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b cm n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =，所以d a -在c 方向上的投影(1()||m x ny d a c z c -+-⋅==， 即252x y z +=,所以(()()2222222222112212510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++++≥+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值. 31．185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】△,,A D P 三点共线， △可设()0PA PD λλ=>，△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， △321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， △9AP =，△3AD =，△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， △5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，△()cos cos 0θπθ+-=，△()()2570665x x x --+=-，解得185x =，△CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．32．[12+【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,822A ⎛ ⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+．33．15i -##5i 1-+【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----===--． 故答案为：15i -．34．2【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 35【分析】整理已知可得：()2a b a b+=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=-所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 36．5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.37．85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.38．103-. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.39．【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】△5a b -=△222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= △32b =.故答案为： 40．92-【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-. 41．11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11． 42．4i -【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-. 故答案为：4i -.43．35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得， ()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．44．34-##0.75-【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.45．16 132【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,△3,60AB ABC =∠=︒，△A 的坐标为32A ⎛ ⎝⎭,△又△16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 46． 11120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.47．1-【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 48．3122b a - 6π【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE ，以{},a b 为基底，表示出,AB DE ，由AB DE ⊥可得2234b a b a +=⋅，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点E 为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，由AB DE ⊥可得点A 的轨迹为以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，方程为22(1)4x y ++=，即可根据几何性质可知，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，即求出． 【详解】方法一：31=22DE CE CD b a -=-，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b +=⋅222333cos 244a b a b b a ACB a ba ba b⋅+⇒∠==≥=，当且仅当3a b =时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a -；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x yDE AB x y +=--=--， 23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+=22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a-；6π．49．03【分析】根据坐标求出a b+，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c==-=，()4,0a b∴+=，()40010a b c+⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.。
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
数学练习(新教材人教A版强基版)第五章平面向量与复数51平面向量的概念及线性运算
1．化简2(a －3b )－3(a ＋b )的结果为( )A ．a ＋4bB ．－a －9bC ．2a ＋bD ．a －3b2．(多选)下列命题中，正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D ．如果非零向量a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a ，b 之一的方向一定相同3．设a ，b 是平面内两个向量，“|a |＝|a ＋b |”是“|b |＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线5．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，且FC →＝λFD →＋μFE →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12 8．已知向量OA →＝OB →·logsin θ＋OC →·log 2cos θ，若A ，B ，C 三点共线，则sin θ＋cos θ等于( )A ．－355B.355 C ．－55 D.559．设向量a ，b 不平行，向量t a ＋b 与a ＋3b 平行，则实数t 的值为________．10．已知A ，B ，C 三点共线，且AC →＝3BC →，若AB →＝λCB →，则λ＝________.11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||CA →|等于( ) A.13 B.34 C.12 D.4312．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是( )A ．|MA →|＝|MB →|＝|MC →|B.MA →＋MB →＋MC →＝0C.BM →＝23BA →＋13BD → D ．S △MBC ＝13S △ABC 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△ABO 与△ABC 的面积之比为( )A.16B.13C.12D.2314．(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y的最小值为________．15．(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A ．若BM →＝13BC →，则AM →＝13AC →＋23AB → B ．若AM →＝2AC →－3AB →，则点M ，B ，C 三点共线C ．若点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0D ．若AM →＝xAB →＋yAC →且x ＋y ＝13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的2316．如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CN CE ＝r ，当r ＝________时，B ，M ，N 三点共线．。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
2022年高考数学真题：平面向量与复数(解析版)
第4讲平面向量与复数一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t a b c a b ，若,,a cbc ，则t （）A ．6B ．5C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解： 3,4c t ,cos ,cos ,a c b c ,即931635t t c c,解得5t ,故选：C2．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA ．记CA m CD n，，则CB （）A ．32m nB ．23m nC ．32m nD ．23m n【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA ，所以2BD DA，即2CD CB CA CD ，所以CB 3232CD CA n m 23m n ．故选：B ．3．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b，，则a b r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b，然后求得a b r r .【详解】因为 2,12,44,3a b ，所以5a b .故选：D4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ，则a b（）A ．2B ．1C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44a b a a b b ，又∵||1,||2|3,a b a b ∴91443134 a b a b ，∴1a b 故选：C.6．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i) （）A ．24i B ．24iC ．62iD ．62i【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求 22i 12i .【详解】22i 12i 244i 2i 62i ，故选：D.7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z ，则z z （）A ．2B ．1C ．1D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z .【详解】由题设有21i1i i iz ，故1+i z ，故 1i 1i 2z z ，故选：D8．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a bB ．1,1a bC ．1,1a bD ．1,1a b 【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b ÎR ， 2i 2i a b a ，所以0,22a b a ，解得：1,1a b ．故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））若1z ，则1zzz （）A ．1B ．1 C ．133 D ．1i33【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】1(1113 4.z zz 13i 13i 1333z zz 故选：C10．（2022·全国·高考真题（文））若1i z ．则|i 3|z z （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1i z ，所以 i 3i 1i 31i 22i z z ，所以i 3z z 故选：D.11．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i ，且0z az b ，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a bB ．1,2a b C ．1,2a b D ．1,2a b 【答案】A 【解析】【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz 12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a 由0z az b ,得10220a b a ,即12a b故选:A 二、填空题12．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a ，3b r ，则2a b b_________．【答案】11【解析】【分析】设a 与b 的夹角为 ，依题意可得1cos 3，再根据数量积的定义求出a b ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为 ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3，又1a ，3b r ，所以1cos 1313a b a b ，所以22222221311a b b a b b a b b ．故答案为：11．13．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m．若a b ，则m ______________．【答案】34##0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m，解得34m .故答案为：34.。
高考数学(文科)总复习专题5平面向量、复数练习题(附解析)
高考数学（文科）总复习专题5平面向量、复数练习题（附解析）第1练 平面向量的概念及线性运算[基础保分训练]1.化简：AB →＋BC →－AD →＝________. 2.13(2a －3b )－3(a ＋b )＝________. 3.如果a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－e 2，则3a －2b ＝______________________________.4.已知向量a ，b ，b ≠0，如果存在唯一实数λ，使a ＝λb ，则两向量的关系是________.5.若AP →＝tAB → (t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)6.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA →1的模相等的向量(AA →1本身除外)共有________个，与向量AA →1相等的向量(AA →1本身除外)共有________个.7.若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地位于B 地的________处.8. 向量AB →，BC →，MN →在正方形网格中的位置如图所示，若MN →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.9.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是________.10.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[能力提升训练]1.已知点P 在直线AB 上，且|AB →|＝4|AP →|，设AP →＝λPB →，则实数λ＝________.2.如图为平行四边形ABCD ，G 为BC 的中点，M ，N 分别为AB 和CD 的三等分点(M 靠近A ，N 靠近C )，设AB →＝a ，AD →＝b ，则GN →－GM →＝________.(用a ，b 表示)3.如图，在△ABC 中，AD →＝34AC →，BP →＝23BD →，若AP →＝λBA →＋μBC →，则λ＋μ＝________.4.设向量a ，b 是两个不共线的向量，若3a －b 与a ＋λb 共线，则实数λ＝________.5.下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若非零向量a ，b 共线，则|a |＝|b |； ④若向量a ＝b ，则向量a ，b 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行. 正确的序号为________.6.给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.以上命题中，正确命题的序号是__________.答案精析基础保分训练1.DC →2.－73a －4b3.－3e 1＋8e 24.a ∥b5.(1－t )OA →＋tOB →6.5 27.西北方向52km8.29.梯形 10.a －b ＋c能力提升训练 1.13或－15解析 ①当点P 在线段AB 上时，因为|AB →|＝4|AP →|，所以点P 是AB 的四等分点， 因此AP →＝13PB →，此时λ＝13；②当点P 在线段AB 的反向延长线上时， 由|AB →|＝4|AP →|，得AP →＝－15PB →，此时λ＝－15.综上，λ＝13或－15.2.13a ＋b 3.－13解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23BD →＝AB →＋23BC →＋16CA →＝－BA →＋16BA →＋12BC →＝－56BA →＋12BC →＝λBA →＋μBC →，λ＝－56，μ＝12，λ＋μ＝－13.4.－13 5.①④6.①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与向量BA →互为相反向量，故③错误；若AB →与CD →是共线向量，那么A ，B ，C ，D 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误.第2练 平面向量基本定理及坐标表示[基础保分训练]1.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，若向量a ＋2b 与a 平行，则m ＝________.2.若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则a －b 的坐标是________.3.已知点A (1,1)，B (－1,5)，向量AC →＝2AB →，则点C 的坐标为________.4.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(2,1)，若a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.5.在△BOA 中，点C 满足AC →＝－4CB →，OC →＝xOA →＋yOB →，则y －x ＝________.6.设M 是△ABC 的边BC 上任意一点，且NM →＝4AN →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 7.在正方形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AF →＝xAB →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.8.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________.9.已知G 为△ABC 的重心，点P ，Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG →＝tPQ →.若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.10.如图，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________.[能力提升训练]1.已知向量a ＝(2sin θ，1)，b ＝(cos θ，－1)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则tan θ＝________.2.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连结CE ，DF 交于点G ，若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.3.已知OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，(x ，y )＝λOA →＋μOB →.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z ＝x m ＋y n(m >0，n >0)的最大值为2，则m ＋n 的最小值为________.4.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y的最小值为________.5.若点C 在以P 为圆心，6为半径的(包括A ，B 两点)上，∠APB ＝120°，且PC →＝xPA →＋yPB →，则2x ＋3y 的取值范围为________.6.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________.答案精析基础保分训练1.－122.(－4,3)3.(－3,9)4.05.536.157.12解析 设正方形的边长为a ，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系， 则AB →＝(a,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a ， ∵AF →＝xAB →＋yAE →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y a ，y ×a2，AB⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y a ＝a2，y ×a 2＝a ，解得x ＋y ＝12.8.3 9.3解析 设AB →＝c ，AC →＝b ，连结AG 并延长交BC 于M ，此时M 为BC 的中点， 故AM →＝12(b ＋c )，AG →＝23AM →＝13(b ＋c )， 故PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－λc ＋13b ，又PQ →＝AQ →－AP →＝μAC →－λAB →＝μb －λc ， 存在实数t 使得PG →＝tPQ →，即⎩⎪⎨⎪⎧13－λ＝－t λ，13＝t μ，解得1λ＋1μ＝3.10.12解析 如图，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →.又OA →＋OC → ＝－2OB →， ∴OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 能力提升训练 1.－12 2.123.52＋ 6 解析 (x ，y )＝λOA →＋μOB →＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x －y ，μ＝y ，所以0≤x －y ≤1≤y ≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z ＝x m ＋yn 的斜率小于零知，直线z ＝x m ＋y n过点(3,2)时取得最大值，即3m ＋2n＝2，因此m ＋n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋2n 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋3n m ＋2m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋23nm·2m n＝52＋6，当且仅当3n m ＝2mn 时取等号. 4.6＋4 25.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573解析 以点P 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.由题意得A (6,0)，B (－3,33)， 设∠APC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则点C 的坐标为(6cos θ，6sin θ). ∵PC →＝xPA →＋yPB →，∴(6cos θ，6sin θ)＝x (6,0)＋y (－3,33)＝(6x －3y,33y )，∴⎩⎨⎧6x －3y ＝6cos θ，33y ＝6sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33sin θ＋cos θ，y ＝233sin θ，∴2x ＋3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫33sin θ＋cos θ＋3×233sin θ ＝833sin θ＋2cos θ＝2573sin(θ＋φ)， 其中sin φ＝5719，cos φ＝41919， ∵0≤θ≤2π3，∴5719≤sin(θ＋φ)≤1，∴2≤2573sin(θ＋φ)≤2573.∴2x ＋3y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573.6.35解析 如图，M 是△ABC 所在平面内的一点，连结AM ，BM ，延长AC 至D 使AD ＝3AC ，延长AM 至E 使AE ＝5AM ，如图所示， 因为5AM →＝AB →＋3AC →， 所以AB →＝5AM →－3AC →＝DE →，连结BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB →和向量DE →平行且模相等)， 由于AD →＝3AC →， 所以S △ABC ＝13S △ABD ，S △AMB＝15S △ABE ， 在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝平行四边形ABED 面积的一半， 故△ABM 与△ABC 的面积比＝15S △ABE 13S △ABD ＝35.第3练 平面向量的数量积[基础保分训练]1.已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________. 2.已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为________.3.已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →的最小值为________.4.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为________.5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 的中点，则(AB →＋AC →)·(AB →－DB →)的值为________.6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点C )，则AD →·BC →的取值范围为________.7.如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上两点，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.8.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________.9.已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |的值为________. 10.设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是__________.[能力提升训练]1.设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值范围是________.2.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →的最大值为________.3.已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →的最小值是________.4.已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________.5.已知|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以向量OA →，OB →为邻边的平行四边形的面积为________. 6.在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则的AE →·BF →最小值为________.答案精析基础保分训练1.－12.2π33.－344.245.326.(5,9)7.68.49.2 10.512能力提升训练 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 解析 由已知可得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2 ＝2×1×cos90°＝0，∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 从而得到15t <0，即t <0，∵两个向量不共线，故2t e 1＋7e 2≠a (e 1＋t e 2)，令⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝a ，7＝at ，解得t ＝±142， ∴t ≠±142， 综上可得t <0且t ≠－142，即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0. 2.1＋255解析 如图以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，D (0,2)，C (1,2)，∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ， ∵BC ＝2，CD ＝1，∴BD ＝22＋12＝5， ∴12BC ·CD ＝12BD ·r ， ∴r ＝25＝255，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝45，设P ⎝⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，AB →＝(1,0)，∴AP →·AB →＝255cos θ＋1≤1＋255，∴AP →·AB →的最大值为1＋255.3.－34解析 如图，建立直角坐标系，易知A (－3，0)，B (3，0)，O (0,1)，设P (x,0)，－3≤x ≤3， 则PA →＝(－3－x,0)，PO →＝(－x,1)， 所以PA →·PO →＝x 2＋3x ，所以当x ＝－32时，取最小值－34. 4.4解析 设a ，b 的夹角为θ，则0≤θ<π2，则由|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，可得|a |sin θ＝1，|b |sin θ＝2， 两式相乘可得|a ||b |sin 2θ＝2， 即|a ||b |＝2sin 2θ(*)，而a ·b ＝|a ||b |cos θ≥43， 结合(*)可得2cos θsin 2θ≥43， 所以(2cos θ－3)(3cos θ＋2)≥0， 解得cos θ≥32或cos θ≤－23(舍)， 所以sin θ≤12，则|b |＝2sin θ≥4.5.4 3解析 OA →·OB →＝2×4×cos〈OA →，OB →〉＝4， 所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，因为〈OA →，OB →〉∈[0，π]， 故〈OA →，OB →〉＝π3.平行四边形的面积S ＝|OA →||OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝2×4×32＝4 3.6.－3解析 根据题意，设E (0，a )，F (0，b )； ∴|EF →|＝|a －b |＝2， ∴a ＝b ＋2或b ＝a ＋2， 且AE →＝(1，a )，BF →＝(－2，b )， ∴AE →·BF →＝－2＋ab ，当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)·b ＝b 2＋2b －2，∵b 2＋2b －2＝(b ＋1)2－3， 最小值为－3，∴AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF →的最小值为－3. 所以AE →·BF →的最小值为－3.第4练 平面向量的应用[基础保分训练]1.已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝5，则|a |＋|b |的取值范围是________.2.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形.3.一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，则河水的流速为________ km/h.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 的形状为________.5.已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为________N.6.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝|a －b |，则|t a ＋(1－t )b |(t ∈R )的最小值为________.7.设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0，则O 为△ABC 的________.8.△ABC 所在平面上一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为________.9.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.10.已知P 为锐角△ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA →＋3PC →|的最小值为________.[能力提升训练]1.平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·CB →＝0，则△ABC 的形状为________三角形.2.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是________.3.已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形.4.设点G 为△ABC 的重心，BG →·CG →＝0，且|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值是________. 5.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠B ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上(不与端点重合)，且BE EC ＝CF DF，则AE →·AF →的取值范围为________.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.答案精析基础保分训练1.[5,52]2.等腰3.2 34.菱形5.5 36.2557.外心解析 若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0， 可得CB →·(OB →＋OC →)＝AC →·(OC →＋OA →)＝BA →·(OA →＋OB →)＝0，即(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝(OC →－OA →)·(OC →＋OA →)＝(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝0， 即有|OA →|2＝|OB →|2＝|OC →|2，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，故O 为△ABC 的外心. 8.1∶3解析 由已知得，PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝AP →＋PB →，解得PC →＝2AP →，所以|PC →|＝2|AP →|，作图如图所示：设点B 到线段AC 的距离是h ，所以S △PAB S △ABC ＝12×AP ×h12×AC ×h ＝AP AC ＝AP AP ＋PC ＝AP AP ＋2AP ＝13.9.－1解析 如图，过D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于M ，设∠BAC ＝α，则∠ACD ＝2α，∠ACB ＝90°－α， ∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α， ∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ， ∴DM AB ＝CM BC＝k (k 为相似比).又B D →＝xBA →＋yBC →＝MD →＋BM →，∴x ＝DM AB ＝k ，y ＝BM BC ＝BC ＋CMBC＝k ＋1，∴x －y ＝－1. 10.6 3解析 PA →＋3PC →＝PA →＋3(PA →＋AC →)＝4PA →＋3AC →， (4PA →＋3AC →)2＝16|PA →|2＋9|AC →|2＋24|PA →||AC →|cos120° ＝16|PA →|2－48|PA →|＋144，∴当|PA →|＝32时，(4PA →＋3AC →)2最小为108.故|PA →＋3PC →|min ＝6 3. 能力提升训练 1.等腰 2.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 解析 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→ ＝－OA →2， ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→，∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →－OB 1→＝OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →， ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→)＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 3.等边 解析 易知AB→|AB →|＋AC→|AC →|在∠BAC 的角平分线上，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，可知在△ABC 中∠BAC 的角平分线与BC 垂直，易判断AB ＝AC ， 又由AB →|AB →|·AC→|AC →|＝12，得∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形. 4.32解析 由BG →·CG →＝0，可得BG ⊥CG ， 取BC 的中点D ，则GD ＝22，GA ＝2， 设GC ＝2x ，GB ＝2y ，所以三角形的面积为S ＝2x ·2y ·12＋2x ·2·sin∠CGA ·12＋2y ·2·sin∠BGA ·12，且∠CGA ＋∠BGA ＝270°，所以S ＝2xy ＋2x ·sin∠CGA －2y ·cos∠CGA ＝2xy ＋x 2＋y 2sin(∠CGA ＋φ).而BG ⊥CG ，故在Rt△BCG 中4x 2＋4y 2＝2，即x 2＋y 2＝12，所以S ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ).又x 2＋y 2＝12≥2xy ，所以S max ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)≤12＋1＝32.5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1解析 以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由BE EC ＝CF DF，可设BE ＝tBC ＝3t ，CF ＝tCD ＝2t (0<t <1)， 则A (3，1)，E (3t,0)，F (3＋3t ，t )， ∴AE →＝(3t －3，－1)，AF →＝(3t ，t －1) ∴AE →·AF →＝3t ·(3t －3)－(t －1)＝3t 2－4t ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13，又0<t <1，∴当t ＝23时，最小值为－13；当t ＝0时，最大值为1.故AE →·AF →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.6.2第5练 平面向量小题综合练[基础保分训练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________.2.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若(a ＋b )∥(4b －2a )，则实数x 的值是________.3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________.4.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量.其中真命题是________.(填序号)5.若AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设BA →＝a ，BD →＝b ，则BC →＝________.6.两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为________.7.如图所示，在△ABC 中，AD →＝13AC →，P 是BD 上的一点，若AP →＝mAB →＋213AC →则，实数m 的值为__________.8.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，M 为AB 边上的中点，则CM →·CA →＋CM →·CB →＝________. 9.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 10.已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________.[能力提升训练]1.(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________.2.在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________.3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________.4.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若BE →＝λBA →＋μBC →，则s ＝λ·μ的最大值为________.5.在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6.△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分训练1.①④2.23.－34.②③5.12a ＋b6.π47.713 8.50 9.内心 10.32解析 以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2 ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32.能力提升训练 1.2 2解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1tb 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t c ·a ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝c 2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t.∵c ·a ＝c ·b ＝1，∴c ·(a －b )＝0，∴|c |＝2， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t . 令t ＋1t＝m ≥2(当且仅当t ＝1时，取等号)，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＝(m ＋1)2－1≥8， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ≥2 2.2.12解析 由题意可知AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →，P ，B ，E 三点共线，则m ＋3n ＝1，据此有3m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n (m ＋3n )＝6＋9n m＋mn≥6＋29n m ×mn＝12，当且仅当m ＝12，n ＝16时等号成立.综上可得3m ＋1n的最小值是12.3.923 解析 取AD 的中点E ，连结CE ，BE ，则四边形ABCE 为平行四边形，如图所示，则有AE →＝BC →，又AE →＝ED →，∴BC →＝ED →，∴四边形BCDE 为平行四边形，又BE 为等边△ABD 的中线，∴BE ⊥AD ，∴平行四边形BCDE 是矩形，∴四边形ABCD 是直角梯形.又BE ＝CD ＝3，∴AD ＝23，BC ＝12AD ＝3， ∴四边形ABCD 的面积为S ＝12(BC ＋AD )·CD ＝12×(3＋23)×3＝923. 4.18解析 因为A ，D ，E 共线，故存在0≤t ≤1，使得BE →＝tBA →＋(1－t )BD →＝tBA →＋－t 2BC →，而BE →＝λBA →＋μBC →且BA →，BC →不共线，所以λ＝t ，μ＝12(1－t )，消去t 得到λ＋2μ＝1. s ＝λμ＝(1－2μ)μ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－142＋18，μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12， 当μ＝14时，s 有最大值18. 5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 解析 由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点，∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →， ∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →， ∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →， 又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，即A ，P n ，C 三点共线，∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1， ∴a n ＋1＝－12a n ， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 6.②④⑤解析 因为△ABC 是边长为3的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则a ＝13AB →， 所以|a |＝13|AB →|＝1，因此a 为单位向量，故②正确； 又AC →＝AB →＋BC →＝3a ＋b ，所以BC →＝b ，因此|b |＝|BC →|＝3，故①不正确；对于③，由AC →＝3a ＋b 可得AC →2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，故9＝9＋9＋6a ·b ，可得a ·b ＝－32≠0，所以a ⊥b 不成立，故③不正确； 对于④，由AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，得BC →＝AC →－AB →＝b ，所以b ∥BC →，故④正确；对于⑤，因为(6a ＋b )·BC →＝(6a ＋b )·b ＝6a ·b ＋b 2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝0，所以(6a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.综上可得②④⑤正确.第6练 复数[基础保分训练]1.已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________.2.已知θ为实数，若复数z ＝sin2θ－1＋i(2cos θ－1)是纯虚数，则z 的虚部为________.3.已知i 是虚数单位，则复数1－2i 1＋2i＝________. 4.已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝sin β＋icos β(α，β∈R ，i 为虚数单位)，复数z ＝z 1·z 2在复平面内所对应的点在第二象限，则角α＋β的终边所在的象限为________.5.若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝________.6.设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为________. 7.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于________. 8.已知0<a <2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是________.9.若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则b ＋a i ＝________.10.设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________.[能力提升训练]1.若(a －2)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.2.3＋i 1＋i＝________. 3.设z 是复数，a (z )表示满足z n ＝1时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ＝________. 4.若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________.5.已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 6.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________. 答案精析基础保分训练1.22.－23.－35－45i 4.第三象限 5.1 6.－3 7.第四象限 8.(1，5)9.－2＋i 10.1能力提升训练1.12.2－i3.44.(－∞，－1)5.5 26.－2。
高考数学关于平面向量、复数的专项练习试题
高考数学关于平面对量、复数的专项练习试题高考数学关于平面对量、复数的专项练习试题勤奋是到达胜利彼岸的最近通道，胜利来自于勤奋。
下面是共享的高考数学关于平面对量、复数的专项练习试题，欢迎大家练习！一、选择题1.若复数z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是纯虚数，其中m是实数，i2=-1，则等于( )A. 1B.- 1C. 2D.-2答案：D 解题思路：因为复数z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i 是纯虚数，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，则==-.2.设复数z=-i·sin θ，其中i为虚数单位，θR，则|z|的取值范围是( )A.[1，3 ]B.[-1，3]C.[1，2]D.[1，4 ]答案：D 命题立意：本题考查复数的运算及三角最值的求解，难度中等.解题思路：据已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1，]，当sin θ=-1,1时分别取得最小值与最大值.3.(呼和浩特第一次统考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，则|2a+3b|等于( )A. B.4 C.3 D.2答案：B 命题立意：本题考查向量的坐标运算，难度中等.解题思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.4.已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，向量a+λb(λR)与向量a-2b垂直，则实数λ的值为( )A.1B.-1C.2D.0答案：D 命题立意：本题主要考查平面对量数量积的运算与平面对量垂直的坐标运算.解题思路：由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，从而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.5.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心为O，则·=( )A.-B.C.-D.答案：C 命题立意：本题以单位圆为依托，考查平面对量的数量积、平面对量的基本定理.解题思路：由题意知，单位圆的弦AB所对的圆心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故选C.6.定义一种运算如下：=x1y2-x2y1，复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是( )A.-1+(-1)iB.-1-(-1)iC.+1+(+1)iD.+1-(+1)i答案：B 命题立意：考查对新概念的理解及复数的运算，难度中等.解题思路：由题意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i，共轭复数是-1-(-1)i，故选B.易错点拨：留意分析新定义的运算规则中字母的依次.7.在直角坐标系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夹角平分线上的一点，且||=2，则的坐标是( )A. B.(-，)C. D.(-，1)答案：A 命题立意：本题考查向量的线性运算与坐标运算，正确地表示出的线性表达式是解答本题的关键，难度中等.解题思路：因为=(-6，-4)，=(-2,3)，由点P是角平分线上的一点，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故选A.8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，则λ+μ的`最大值为( )A. B.C. D.答案：B 命题立意：本题考查向量数量积的运算及均值不等式的应用，难度中等.解题思路：据已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理变形得(λ+μ)2-2λμ=，据均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故选B.9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于·(+)的值，正确的是( )A.最大值为4B.为定值2C.最小值为1D.与P的位置有关答案：B 命题立意：本题考查向量的运算，难度中等.解题思路：利用向量的运算法则求解.取BC的中点D，连接AD，则·(+)=2·=2||2=2，故选B.举一反三：平面几何图形中的向量问题要充分应用图象的几何特征，一般解法有建系法和基底法两种.10.对于单位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B 命题立意：本题考查了平面对量的概念及坐标运算公式、充要条件的推断问题，属推理与分析实力考查题型，难度较大.解题思路：a1，a2均为单位向量，若a1+a2=(，1)，则a1=a2=，反之，若a1=，则a1+a2=(，1)不肯定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分条件，故选B.易错点拨：充要条件的推断须要通过命题的正反角度分别推理，正确推断两个命题的真假方可得出正确的结论.二、填空题11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b为非零向量，若a(a+b)，则k=________.答案：0 命题立意：本题考查向量的坐标运算与数量积，难度中等.解题思路：依题意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上.若·=2，则·的值是________.答案：6 命题立意：本题主要考查平面对量的坐标运算，意在考查考生的运算实力.解题思路：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则由题意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，设F(4，m)，其中0≤m≤2，则=(0，-2)，=(4，m-2).·=2，-2(m-2)=2，m=1，F(4,1)，=(4,1).又=(2，-2)，·=8-2=6.13.在ABC中，B=60°，O为ABC的外心，P为劣弧AC 上一动点，且=x+y(x，yR)，则x+y的取值范围为________.答案：[1,2] 命题立意：本题考查向量的数量积运算及均值不等式的应用，难度中等.解题思路：据已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P为劣弧AC上一动点知x≥0且y≥0(等号不能同时取得)，从而x+y≥1(x，y中恰有一个为0时取等号).又据均值不等式得x+y=≤(x0，y0)，解得014.设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满意+2+2=0，则的值等于________.答案：2 命题立意：本题考查平面对量的线性运算及数形结合思想，难度中等.解题思路：取BC的中点D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边的中线上，且||=4||，如图所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.15.(东北四市二次联考)对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·+||·=0.将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.将它类比到空间的状况应当是：若O是四面体ABCD内一点，则有_________________________.答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0命题立意：本题考查了类比推理及推理证明问题，从平面到空间的类比推理是新课标高考中常见的类比推理题型的命题方式.解题思路：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可类比为体积，由此可以类比得一命题为，若O是四面体ABCD内一点，则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.。
《平面向量与复数》测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》测试卷及答案解析一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a答案 B解析 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(2020·联考)已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，且(b ＋λa )⊥a ，则实数λ的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，b ＋λa ＝(2,1＋λ)，(b ＋λa )⊥a ，即(b ＋λa )·a ＝1＋λ＝0⇒λ＝－1. 故选D.3．(2020·诊断)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞ ,2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D解析 a －b ＝(0,2－m )，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得(a －b )·b |a －b ||b |＝2m －m 2|2－m |·1＋m 2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.故选D.4．(2020·诊断)已知向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，则a －2b 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．－2C ．－2 5D ．2 5答案 B解析 向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，∴a －2b ＝(－2,1)，∴(a －2b )·b ＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，|b |＝32＋(－4)2＝5，∴向量a －2b 在向量b 方向上的投影为|a －2b |cos 〈(a －2b )，b 〉＝(a －2b )·b |b |＝－105＝－2. 故选B. 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1， ∴m ＋n ＝2.6．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC 上的动点，则AP →·(AB→＋AC →)( )A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4 答案 D解析 如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD→＋DP →)·2AD →＝2AD →2＋2DP →·AD →＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e 1，e 2对于任意实数λ，都有⎪⎪⎪⎪e 1＋12e 2≤|e 1－λe 2|成立，则向量e 1，e 2的夹角为( )。
2024年全国高考数学真题分类( 复数和平面向量)汇编(附答案)
2024年全国高考数学真题分类（复数和平面向量）汇编一、单选题 1．（2024ꞏ全国）若1i 1zz =+-，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．（2024ꞏ全国）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024ꞏ全国）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．24．（2024ꞏ全国）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B ．2C ．2D ．15．（2024ꞏ全国）设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024ꞏ全国）设5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024ꞏ全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b”的充分条件8．（2024ꞏ北京）已知i 1iz=-，则z =（ ）． A ．1i -B ．i -C ．1i --D ．19．（2024ꞏ北京）已知向量a ，b ，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（ ）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024ꞏ天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-= ．11．（2024ꞏ天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．12．（2024ꞏ上海）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．13．（2024ꞏ上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ．参考答案1．C【详细分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【答案解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C. 2．D【详细分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【答案解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D. 3．C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案解析】若1i z =--，则z ==故选：C. 4．B【详细分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【答案解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而= b 故选：B. 5．D【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D 6．A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A 7．C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.8．C【详细分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【答案解析】由题意得()i i 11i z =-=--， 故选：C.9．A【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【答案解析】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【答案解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅= ， 因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【详细分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【答案解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =． 故答案为：15． 13．2【详细分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【答案解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R ，2232311bmbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。
[高考专项训练]平面向量与复数
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高考专项训练⎪⎪平面向量与复数考查点一 平面向量的线性运算及坐标运算1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6. 答案：－63．(2018·全国卷Ⅲ) A ．B ．C ．D ．答案：D考查点二 平面向量的数量积及应用4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， 所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.5．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 因为BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.又因为BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，(1i)(2i)+-=3i --3i -+3i -3i +所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°.6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－27．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.答案：2 3考查点三 复 数8．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ， ∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．9．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1，故实数m 的取值范围为(－3,1)．10．(2018·江苏) 若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为( ) A ．2 B ．－2 C ．iD ．－i解析：选A 考察复数的基本运算11．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.平面向量——重点突破2个常考点考法(一) 平面向量数量积的运算及应用[题组突破]1．(2018届高三·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选C 设a 与b 的夹角为θ， 由已知可得a 2＋2a·b ＋b 2＝3(a 2－2a·b ＋b 2)，即4a·b ＝a 2＋b 2.因为|a|＝|b|，所以a·b ＝12a 2，所以cos θ＝a·b |a|·|b|＝12，θ＝60°.2.如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP ―→·OP ―→＝( )A ．1 B.116 C.14D ．－12解析：选B 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC ―→＝12OA ―→＋12OB ―→，所以OP ―→＝12OC ―→＝14(OA ―→＋OB ―→)，则AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝14OB ―→－34OA ―→，所以AP ―→·OP ―→＝14(OB ―→－3 OA ―→)·14(OA ―→＋OB ―→)＝116(OB ―→2－3OA ―→2)＝116.法二：以O 为坐标原点，OB ―→的方向为x 轴正方向，OA ―→的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0,1)，B (2,0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP ―→＝⎝⎛⎭⎫12，14， AP ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－34， 故AP ―→·OP ―→＝12×12－34×14＝116.3．(2017·云南模拟)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得a 2＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， 所以|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.考法(二) 平面向量数量积的范围问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．题型1 平面向量模的最值或范围问题[典例] (1)(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a·b ＝2，(a －c )·(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为( )A.7－32B.3－12 C.32 D.72[解析] 由|a |＝|b |＝a·b ＝2，知a ，b 的夹角为π3，可设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，c ＝(x ，y )， ∵(a －c )·(b －2c )＝0，∴(2－x ，－y )·(1－2x ，3－2y )＝0， 即2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0.方程2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫54，34，半径为32的圆，|b －c |＝(x －1)2＋(y －3)2表示圆2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0上的点到点(1，3)的距离，所以|b －c |的最小值为⎝⎛⎭⎫54－12＋⎝⎛⎭⎫34－32－32＝7－32. [答案] A(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1[解析] 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.[答案] B [解题方略]求向量模的最值(范围)的2种方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．[针对训练]1．(2017·抚州二模)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝1，c ·b ＝1，|c |＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：选B ⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2ta ·c ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t ≥2＋2t 2·1t2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t，即t ＝1时等号成立，∴⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 的最小值为2 2.2．(2017·泰安二模)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a |的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ， 则b －a ＝AC ―→－AB ―→＝BC ―→， ∵a 与b －a 的夹角为120°， ∴∠B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C，∴|a |＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵0°＜C ＜120°，∴sin C ∈(0,1]， ∴|a |∈⎝⎛⎦⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎤0，233题型2 数量积的最值或范围问题[典例] (1)(2018届高三·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A ―→·BD ―→的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1,1] D ．[－1,0][解析]∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝ 2.如图所示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ，则P A ―→＝PO ―→＋OA ―→，OA ―→·BD ―→＝0，∴P A ―→·BD ―→＝(PO ―→＋OA ―→)·BD ―→＝PO ―→·BD ―→. ∴当点P 与点B 重合时，P A ―→·BD ―→取得最大值， 即P A ―→·BD ―→＝PO ―→·BD ―→＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，P A ―→·BD ―→取得最小值， 即P A ―→·BD ―→＝－12×2×2＝－1.∴P A ―→·BD ―→的取值范围是[－1,1]． [答案] C(2)(2017·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [解析] 以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，则0＜a ＜1，N (a ＋1,1－a )，∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )，∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2， ∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32，又BM ―→·BN ―→＜2，故BM ―→·BN ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2. [答案] C[解题方略]数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．[针对训练]1．(2017·湖南一模)在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则ME ―→·MC ―→的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤716，12 B.⎣⎡⎦⎤716，1 C.⎣⎡⎦⎤12，1D ．[0,1]解析：选B 如图，以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,1)，C (1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12.设M (0，m )(0≤m ≤1)，则ME ―→＝⎝⎛⎭⎫12，12－m ，MC ―→＝(1，－m )． ME ―→·MC ―→＝12－m ⎝⎛⎭⎫12－m ＝m 2－12m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m －142＋716，由于m ∈[0,1]， 则当m ＝14时，ME ―→·MC ―→取得最小值716；当m ＝1时，ME ―→·MC ―→取得最大值1. 所以ME ―→·MC ―→的取值范围是⎣⎡⎦⎤716，1. 2．若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________． 解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋ 2. 答案：1＋ 2复数——警惕3个易错点1．混淆复数z ＝a ＋b i 的实部与虚部或误认为虚部为b i [练1] (2017·贵阳模拟)复数(i －1－i)3的虚部为( )A ．8iB ．－8iC ．8D ．－8解析：选C 依题意得，复数(i －1－i)3＝(－i －i)3＝－8i 3＝8i 的虚部为8. 2．忽视复数a ＋b i 为纯虚数时，b ≠0这一条件[练2] (2017·张掖模拟)若复数a ＋3i 1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：选Ba ＋3i 1＋i ＝(a ＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a ＋3)＋(3－a )i2，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，∴a ＝－3. 3．记不清共轭复数的概念，误认为z ＝a ＋b i 的共轭复数为z ＝－(a ＋b i)[练3] 已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z 1＋i的共轭复数为( )A.72＋12iB.72－12iC.12－72i D.12＋72i 解析：选C 由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52， 解得x ＝－3， ∴z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ，故其共轭复数为12－72i.1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6B.π3C.π4D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12 AB ―→－13AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S△ABC，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i 1＋i ＝a i·(1－i )(1＋i )(1－i )＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83. 答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]。
高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时规范练27复数
课时规范练27 复数基础巩固组1.(2020江西九江高三二模)已知复数z 满足z (3-i)=10,则z=( )A.-3-i B .-3+i C .3-i D .3+i 2.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则z ·z =( )A.√3B.√5C.3D.53.(2020福建福州高三质量检测)设复数z 满足|z+1|=|z-i |,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( )A.x=0 B .y=0 C .x-y=0D .x+y=04.(多选)对任意z 1,z 2,z ∈C ,下列结论成立的是( ) A.当m ,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.当z 1,z 2∈C 时,若z 12+z 22=0,则z 1=0且z 2=0C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2|5.(多选)已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.复数z=1+2i1-i 的虚部为32 B.复数z=2+5i -i 的共轭复数z =-5-2iC.复数z=12−12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D.复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R 6.复数z=1-2i,则z 2+3z -1=()A.2iB.-2C.-2iD.27.已知复数z=a+i(其中a ∈R ),则下面结论正确的是( )A.z =-a+iB.|z|≥1C.z 一定不是纯虚数D.z 在复平面内对应的点可能在第三象限8.(2020湖南怀化高三一模)已知i 是虚数单位,复数z=1-ii −12,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限9.(2020江苏,2)已知i 是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 . 10.(2020辽宁沈阳期末)已知复数z 满足等式|z-i |=1,则|z-1|的最大值为 .综合提升组11.(2020浙江杭州高三质检)已知复数z 满足i =1-2zz -7,则|z|=( ) A.2B .√5C .2√2D .√1012.(多选)(2020江苏江都仙城中学高三月考)下面是关于复数z=2-1+i (i 为虚数单位)的命题,其中真命题有 ( )A.|z|=2B.z 2=2iC.z 的共轭复数为1+iD.若|z 0-z|=1,则|z 0|的最大值为√2+113.(2020湖南常德高三模拟)已知复数z 满足|z+i |=1,且|z|=2,则z=( ) A.1+i B .-1+iC .-2iD .2i14.(2020湖南衡阳高三一模)复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1),则|z |z的实部与虚部的和是( ) A.√2 B .0 C .√22D .√22−√22i15.(2020山东聊城二模)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a1+i =( ) A.1-i B.-1+iC.2iD.2+i创新应用组16.(多选)(2020山东济南高三考前模拟)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-π2<θ<π2,则下列说法正确的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z 可能为实数C.|z|=2cos θD.1z 的实部为1217.国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,换算成十进制的数是n ,则(1+i)2n = ,(1+i √2)n= .参考答案课时规范练27 复数1.D z=103-i =10(3+i )(3-i )(3+i )=3+i,故选D . 2.D ∵z=2+i,∴z =2-i .∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D .3.D 复数z 满足|z+1|=|z-i |,∴√(x +1)2+y 2=√x 2+(y -1)2,化简得x+y=0,故选D .4.AC 由复数乘法的运算律知,A 正确;取z 1=1,z 2=i,满足z 12+z 22=0,但z 1=0且z 2=0不成立,故B 错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,故C 正确; 由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|, 但|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此z 1=z 2的必要不充分条件是|z 1|=|z 2|,故D 错误.故选AC .5.ABD 对于A,z=1+2i1-i =(1+2i )(1+i )(1-i )(1+i )=-12+32i,其虚部为32,故A 正确;对于B,z=2+5i-i =(2+5i)i =-5+2i,故z =-5-2i,故B 正确;对于C,z=12−12i 在复平面内对应点的坐标为12,-12,位于第四象限,故C 不正确;对于D,设z=a+b i(a ,b ∈R ),则1z =1a+bi =a -bia 2+b 2,又1z ∈R ,得b=0,所以z=a ∈R ,故D 正确.故选ABD.6.D ∵z=1-2i,∴z 2+3z -1=(1-2i )2+31-2i -1=-4i-2i =2,故选D .7.B z 的共轭复数为z =a-i,故A 错误;|z|=√a 2+1≥1,故B 正确;当a=0时,z=i 为纯虚数,故C 错误;因为z 的虚部为1,所以z 在复平面内对应的点不可能在第三象限,故D 错误.故选B .8.C∵z=1-i i −12=i -i 2i2−12=i+1-1−12=-32-i,∴复数z=1-i i −12在复平面内对应的点的坐标为-32,-1,位于第三象限,故选C .9.3 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3. 10.√2+1 因为|z-i |=1,所以复数z 在复平面内对应的点是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-1|的最大值为圆心(0,1)到点A (1,0)的距离加1,即√(0-1)2+(1-0)2+1=√2+1. 11.D 由i =1-2zz -7,得z i -7i =1-2z ,即z=1+7i 2+i=(1+7i )(2-i )(2+i )(2-i )=9+13i 5=95+13i 5,所以|z|=√(95)2+(135)2=√10.故选D .12.BD 由题z=2-1+i =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-2-2i2=-1-i,其共轭复数为-1+i,所以|z|=√2,z 2=1+i 2+2i =2i,若|z 0-z|=1,设z 0=a+b i,则(a+1)2+(b+1)2=1,即(a ,b )是圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点,|z 0|=√a 2+b 2可以看成圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点到原点的距离,最大值为√2+1,所以正确的命题为BD.13.C (方法1 赋值法)将A,B,C,D 四个选项中的值代入题目条件验算,可知C 选项为正确答案.(方法2)设z=a+b i(a ,b ∈R ), ∵|z+i |=1,|z|=2,∴{a 2+b 2=4,a 2+(b +1)2=1,∴{a =0,b =-2,∴z=-2i,故选C .14.B 由题意可得,z=1+i,z =1-i,则|z|=|z |=√2,∴|z |z =√21+i =√2(1-i )(1+i )(1-i )=√22−√22i,所以|z |z 的实部为√22,虚部为-√22,故实部和虚部的和为0,故选B . 15.B ∵x 1=1+i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根,∴x 2=1-i 也是此方程的一个根,∴a=-(x 1+x 2)=-(1+i +1-i)=-2. 所以a1+i =-21+i =-2(1-i )(1+i )(1-i )=-1+i .故选B .16.BCD 因为-π2<θ<π2,所以-π<2θ<π,所以-1<cos 2θ≤1,所以0<1+cos 2θ≤2,故A 错误;当sin 2θ=0,θ=0∈-π2,π2时,复数z 是实数,故B 正确;|z|=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cos θ,故C 正确;1 z =11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ-isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)=1+cos2θ-isin2θ2+2cos2θ,则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12,故D正确.故选BCD.17.-22 020-1∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2 020.∴(1+i)2n=(2i)2 020=-22 020.(√2)n=(√2)2020=(√2)2×1010=i1 010=-1.。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数1平面向量的概念及线性运算练习含解析
平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例 2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023|＝2023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB →＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B.23C.32D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1B ．1C.32D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1， 所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a|a |，b|b |是相等向量或相反向量，所以“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →| 答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，λμ∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形， ∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。
高考数学二轮总复习第三部分专题一3平面向量与复数组合练课件
∵-1<x<3,∴ ·的取值范围为(-2,6),故选 A.
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考向一
考向二
考向三
考向四
10.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若
迹(guǐjì)为(
A.圆
C.抛物线
=1,·
则点C的轨
)
B.椭圆
D.直线
答案 A
解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面(píngmiàn)直角坐标系.
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考向三
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3.(多选)若复数z=
+ 2i
在复平面内对应(duìyìng)的点在第二象限内,则实数a的值可以是
1-i
)
(
C.-1
D.-2
答案(dáàn) ABC
解析 因为复数
+2i
z=
1-i
=
(+2i)(1+i)
2
=
-2+(+2)i
2
对于B,向量数量积满足分配律,故B正确;
对于C,若a⊥b,a⊥c,则b与c不一定相等,故C不正确;
对于D,(a·
b)·c是与c共线的向量,a·
(b·
c)是与a共线的向量,故D不正确.故选ACD.
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考向三
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6.(2020山东泰安一模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点(zhōnɡ diǎn),过点O的直线分别
考向一
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高考数学专题练习：平面向量与复数
1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A
2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13
C.13 D ．3
解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝
－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13
＝－3.
答案：A
3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( )
A ．1 B. 2
C. 3 D ．2
解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝
±12＋32＝2,故选D.
答案：D
4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( )
A ．1 B.62
C. 2 D ．4
解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝
±1,∴|a |＝m 2＋12＝ 2.故选C. 答案：C 5．已知A (－1,cos θ),B (sin θ,1),若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点),则锐角θ＝( )
A.π3
B.π6
C.π4
D.π12
6．在△ABC 中,AB ＝AC ＝3,∠BAC ＝30°,CD 是边AB 上的高,则CD →·CB →＝( )
A ．－94 B.94
C.274 D ．－274
解析：依题意得|CD →|＝32,CD →·AB →＝0,CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA
→|·|CD →|·cos60°＝3×32×12＝94,故选B.
(2)由(1),可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ,
即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2,所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时,当且仅当cos x ＝0时,f (x )取得最小值－1,这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x ＝λ时,f (x )取得最小值－1－2λ2,由已知得－1－2λ2＝－32,解得λ＝12；
③当λ＞1时,当且仅当cos x ＝1时,f (x )取得最小值1－4λ,由已知得1－4λ＝－32,解得λ＝58,这与λ
＞1相矛盾；综上所述λ＝12. 26．设复数z=a+i （i 是虚数单位,a ∈R,a ＞0）,且|z|=
．
（Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）在复平面内,若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限,求实数m 取值范围． 【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.
27．已知平面上三个向量,,a b c ,其中(1,2)a =．
（1）若35c =,且//a c ,求c 的坐标；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，2π3上的单调区间． 20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,向量m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n .
(1)求角B 的大小；学=科网
(2)若b ＝3,求a ＋c 的取值范围．
(2)由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34
(a ＋c )2,当且仅当a ＝c 时取等号, ∴(a ＋c )2≤4,∴a ＋c ≤2,
又a ＋c >b ＝3,∴a ＋c ∈(3,2]．。