高考数学专题练习：平面向量与复数

高考数学专题练习：平面向量与复数

1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A

2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13

C.13 D ．3

解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝

－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13

＝－3.

答案：A

3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( )

A ．1 B. 2

C. 3 D ．2

解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝

±12＋32＝2,故选D.

答案：D

4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( )

A ．1 B.62

C. 2 D ．4

解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝

±1,∴|a |＝m 2＋12＝ 2.故选C. 答案：C 5．已知A (－1,cos θ),B (sin θ,1),若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点),则锐角θ＝( )

A.π3

B.π6

C.π4

D.π12

6．在△ABC 中,AB ＝AC ＝3,∠BAC ＝30°,CD 是边AB 上的高,则CD →·CB →＝( )

A ．－94 B.94

C.274 D ．－274

解析：依题意得|CD →|＝32,CD →·AB →＝0,CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA

→|·|CD →|·cos60°＝3×32×12＝94,故选B.

(2)由(1),可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ,

即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.

因为x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2,所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时,当且仅当cos x ＝0时,f (x )取得最小值－1,这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x ＝λ时,f (x )取得最小值－1－2λ2,由已知得－1－2λ2＝－32,解得λ＝12；

③当λ＞1时,当且仅当cos x ＝1时,f (x )取得最小值1－4λ,由已知得1－4λ＝－32,解得λ＝58,这与λ

＞1相矛盾；综上所述λ＝12. 26．设复数z=a+i （i 是虚数单位,a ∈R,a ＞0）,且|z|=

．

（Ⅰ）求复数z ；

（Ⅱ）在复平面内,若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限,求实数m 取值范围． 【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.

27．已知平面上三个向量,,a b c ,其中(1,2)a =．

（1）若35c =,且//a c ,求c 的坐标；

(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，2π3上的单调区间． 20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,向量m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n .

(1)求角B 的大小；学=科网

(2)若b ＝3,求a ＋c 的取值范围．

(2)由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34

(a ＋c )2,当且仅当a ＝c 时取等号, ∴(a ＋c )2≤4,∴a ＋c ≤2,

又a ＋c >b ＝3,∴a ＋c ∈(3,2]．