高考题(复合场专题)

30
o
y x
O
E B
r
如图所示，真空中有以（r ，0）为圆心，半径为 r 的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为 B ，方向垂直于纸面向里，在 y = r 的虚线上方足够大的范围内，有水平向左
的匀强电场，电场强度的大小为 E ，现在有一质子从O 点沿与 x 轴正方向斜向下成 30o
方向（如图中所示）射入磁场，经过一段时间后由M 点（图中没有标出）穿过y 轴。

已知质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r ，质子的电荷量为 e ，质量为 m ，不计重力 、阻力。

求：（1）质子运动的初速度大小.
（2）M 点的坐标.
（3）质子由O 点运动到M 点所用时间.
25.(18分)
解: (1)evB=r v m 2 v=m
eBr
（4分）
(2)如图，由几何关系知，P 点到y 轴距离
x 2=r+rsin30°=1.5r （2分） Ee=ma x 2=
2
32
1at （2分） 解得：eE
rm
t 33=
（2分） M 点的纵坐标y=r+vt 3=r+Br
mE
re
3 M 点的坐标(0, r+Br
mE
re
3)（2分） (3)质点在磁场中运动时间t 1=T 31=
Be
m
32π（2分） 由几何关系知，P 点纵坐标y 2=
2
3r 所以质子匀速运动时间22(23)2r y m
t v Be
--=
=（2分） 质子由O 点运动到M 点所用时间1232(23)332m m rm
t t t t Be Be eE
π-=++=++（2分） 35.[物理-----选修3--5 ]（15分）
25．（18分）
如图所示，光滑水平面内有一匀强电场，电场中有一半 径为r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行，a 、b 为直径的两端，该直径与电场方向平行，一带电量为q 的正 电荷沿轨道内侧运动，经过a 点和b 点时对轨道压力的大小 分别为N a 和N b 。

不计重力.
(1)求电场强度的大小E ；
(2)求质点经过a 点和b 点时的动能。

25.(18分)如图，在平面直角坐标系xOy 内，第I 象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第IV 象限以ON 为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B. 一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子，从y 轴正半轴上y = h 处的M 点，以速度v 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上x = 2h 处的P 点进入磁场，最后以垂直于y 轴的方向射出磁场. 不计粒子重力. 求： (1)电场强度大小E ；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r ； (3)粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t. 25.解：粒子运动轨迹如图所示 (1)设粒子在电场中运动的时间为t 1
y ：2
12
1at h =
1分
x ； 2h = v 0t 1
1分
根据牛顿第二定律 Eq = ma 2分
得：qh
mv E 220
=
2
分
(2)设粒子进入磁场时速度为v
根据动能定理 202
2121mv mv Eqh -=
2分 得：02v v =
1分 在磁场中2
r
qv mv
B = 2分 Bq
mv r 0
2=
1分 (3)粒子在电场中运动的时间 0
12v h
t =
1分
r
a
b E
粒子在磁场中运动的周期 Bq
m
v r T ππ22==
1分 设粒子在磁场中运动的时间为t 2 T t 8
3
2=
2分 得： Bq
m v h t t t 432021π+=
+= 2分
25．（18分）如图所示，在x 轴下方的区域内存在方向与y 轴相同的匀强电场，电场强度为E ．在x 轴上方以原点O 为圆心、半径为R 的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B ．y 轴下方的A 点与O 点的距离为d ．一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从A 点由静止释放，经电场加速后从O 点射入磁场．不计粒子的重力作用．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r ．
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x 轴，电场强度需大于或等于某个值E 0．求E 0．
（3）若电场强度E 等于第(2)问E 0中的
3
2
，求粒子经过x 轴时距坐标原点O 的距离。

解析：(1)粒子在电场中加速，由动能定理得 2
2
1mv qEd = (2分)
粒子进入磁场后做圆周运动，有r v m qvB 2
=(2分) 解得：qB
mqEd r 2=(2分)
（2）粒子之后恰好不再经过x 轴，则离开磁场时的速度方向与x 轴平行，运动情况如图① 可得r R 2=
,(2分)
由以上各式解得：md
R qB E 42
20=(2分)
（3）将03
2
E E =
代入可得磁场中运动的轨道半径，3
R
r =
(2分) 粒子运动情况如图②，图中的角度ɑ、β满足2
32cos
=r R
即0
30=α (2分) 0
602==αβ(1分) 粒子经过x 轴的位置坐标为：β
cos r
r x +
=(1分) 解得：R x 3=(2分)
25．（18分）如图所示，xOy 平面内存在着沿y 轴正方向的匀强电场，一个质量为m 、带电
荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M （23a，a）点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图
中未画出），又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点，己知磁场方向垂直xOy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力，试求：（l）电场强度的大小：
（2）N点的坐标；
（3）矩形磁场的最小面积．
25（18分）
（1）粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
（1分）
（1分）
得（1分）
（2）粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为，则
（1分）
（1分）
，即（1分）
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，则
（1分）
解得粒子做圆周运动的半径为（1分）
由几何关系知（1分）
所以N点的纵坐标为（2分）
横坐标为（1分）
即N点的坐标为（，）（1分）
25．（18分）如图甲所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，其边界为MN、PQ，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电、磁复合场后，恰能做匀速圆周运动．（已知重力加速度为g）(1)求电场强度E的大小；
(2)若带电小球运动一定时间后恰能回到O 点，求带电小球释放时距MN 的高度h ； (3)若带电小球从距MN 的高度为3h 的O ′点由静止开始下落，为使带电小球运动一定时间后仍能回到O ′点，需将磁场Ⅱ向下移动一定距离y （如图乙所示），求磁场Ⅱ向下移动的距离y 及小球从O ′点释放到第一次回到O ′点的时间T 。

解得：2
22232gm
B q d h = ---------（1分） （3）当带电小球从距MN 的高度为3h 的O '点由静止开始下落时，应有：
2
11
1132mg h mv mv R qB ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
---------（2分） 12R d ∴= ------------（2分） 画出粒子的运动轨迹，如右图所示，在中间匀速直线运动过程中，粒
子的速度方向与竖直方向成30°角，根据几何关系，可得：
d y )326(-=--------（1分）
粒子自由落体和竖直上抛的总时间： ----（1分）
粒子圆周运动的总时间：qB
m
t 352π=
-----------（1分） 粒子匀速直线运动的总时间：1
3)434(2v d
t -= --------（1分）
一个来回的总时间：--------（1分
25．（18分）如下左图所示，真空中有两水平放置的平行金属板C 、D ，上面分别开有正对的小孔O 1和O 2，金属板C 、D 接在正弦交流电源上，两板间的电压u CD 随时间t 变化的图线如下右图所示。

t=0时刻开始，从D 板小孔O 1处连续不断飘入质量为m=3.2×10-25kg ，电荷量为q=1.6×10-19C 的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零）。

在C 板外侧有以MN 为上边界CM 为左边界的匀强磁场，MN 与C 金属板平行，相距d=10cm ，O 2C 的长度L=10cm ，匀强磁场磁感应强度的大小为B=0.10T ，方向如图所示，粒子的重力及粒子间相互作用力忽略不计。

平行金属板C 、D 之间的距离足够小，粒子在两板间的运动时间可忽略不计。

求： ⑴带电粒子经小孔O 2进入磁场后，能飞出磁场边界MN 的最小速度为多大？
⑵从0到0.04s 末时间内哪些时间段飘入小孔O 1的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN ？ ⑶磁场边界MN 有粒子射出的长度范围有多长。

（计算结果保留三位有效数字）k+s-5#u
25．（1）设粒子飞出磁场边界MN
的最小速度为v 0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力知： qv 0B=mv 02/R 0 (2分)
粒子恰好飞出磁场，则有：R 0=d (2分) 所以最小速度 v 0=qBd/m=5×103m/s (2分)
(2)由于C 、D 两板间距离足够小，带电粒子在电场中运动时间可忽略不计，故在粒子通过电场过程中，两极板间电压可视为不变，设恰
能飞出磁场边界MN 的粒子在电场中运动时CD 板对应的电压为U 0，则根据动能定理知： qU 0=mv 02/2 (2分) 得：U 0=mv 02/2q=25V (2分)
根据图像可知：U CD =50sin50πt ，25V(或-25V)电压对应的时间分别为： 7/300s 和11/300s ，所以粒子在0到0.04s 内飞出磁场边界的时间为7/300s —11/300s (2分)
~ u CD
C
D
N
B
O 2 O
（3）设粒子在磁场中运动的最大速度为v m，对应的运动半径为R m，则有：
qU m=mv m2/2 (1分) qv m B=mv m2/R m(1分)
粒子飞出磁场边界时相对小孔向左偏移的最小距离为：
x=R m-(R m2-d2)1/2=0.1×(21/2-1)m≈0.0414m (2分)
磁场边界MN有粒子射出的长度范围为：△x=d-x=0.0586m (2分)
25．（19分）
如图，在xOy平面第一象限整个区域分布匀强电场，电场方向平行y轴向下，在第四象限内存在有界匀强磁场，左边界为y轴，右边界为x＝5l／2的直线，磁场方向垂直纸面向外。

质量为m、带电量为＋q的粒子从y轴上P点以初速度v0垂直y轴射入匀强电场，在电场力作用下从x轴上Q点以与x轴正方向45°角进入匀强磁场。

已知OQ＝l，不计粒子重力。

求：
（1）P点坐标；
（2）要使粒子能再进入电场，磁感应强度B的取值范围；
（3）要使粒子能第二次进入磁场，磁感应强度B的取值范围。

25．（19分）
（1）设粒子运动至Q点时，沿y方向的速度为v y，则v y＝v0tan45°（2分）设粒子在电场中运动时间为t，则
OQ＝v0t（1分）
OP＝v y t／2（2分）
由以上各式，得
OP＝l／2（1分）
（2）粒子刚好能再进入电场时，其在磁场中的轨迹与y轴相切，设
此时的轨迹半径为r1
r1＋r1sin45°＝l
得r1＝(2－2)l（2分）
粒子在磁场中的速度
v＝2v0（1分）
根据牛顿第二定律
q vB1＝m v2／r1（1分）
得B1＝(2＋1) m v0／(q l) （1分）
要使粒子能再进入电场，磁感应强度B的范围B≥(2＋1) m v0
／(q l) （2分）
（3）粒子从P到Q的时间为t，则粒子从C（第二次经过x轴）到D
（磁场右边界与x轴交点）的时间为2t，所以
CD＝2l （1分）
CQ＝l／2 （1分）
设此时粒子在磁场中的轨道半径为r2，由几何关系
2r 2sin45°＝CQ （1分）
那么r 2＝2l ／4
同理可得B 2＝4m v 0／(q l)（1分）
要使粒子能第二次进磁场，磁感应强度B 的范围
(2＋1) m v 0／(q l)≤B ≤4m v 0／(q l) （2分） 25．（19分）
如图所示，真空室内竖直条形区域I 存在垂直纸面向外的匀强磁场，条形区域Ⅱ（含I 、Ⅱ区域分界面）存在水平向右的匀强电场，电场强度为E ，磁场和电场宽度均为l 且足够长，M 、N 为涂有荧光物质的竖直板。

现有一束质子从A 处连续不断地射入磁场，入射方向与M 板成60°夹角且与纸面平行如图。

质子束由两部分组成，一部分为速度大小为v 的低速质子，另一部分为速度大小为3v 的高速质子，当I 区中磁场较强时，M 板出现两个亮斑，缓慢改变磁场强弱，直至亮斑相继刚好消失为止，此时观察到N 板有两个亮斑。

已知质子质量为m ，电量为e ，不计质子重力和相互作用力，求： （1）此时I 区的磁感应强度； （2）N 板两个亮斑之间的距离。

25．（19分）
（1）低速质子运动轨迹与界面相切，得半径r ＝2l ／3 3分
由evB ＝mv 2
／r 3分 得B ＝3mv ／2el 2分
（2）高速质子运动半径r ′＝2l ，运动至区域界面，速度方向与界面垂直 低速质子在电场中，沿电场方向做初速度为零的匀加速运动，位移l ＝2
21t m
eE ⋅
3分
垂直电场方向上做匀速直线运动，位移y ＝vt 3分
所以N 板两个亮斑之间的距离Y ＝rcos30°＋y 3分
解得Y ＝
+l 3
3
v eE ml 2 25、（19分）如图所示的坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向。

在x 轴上方空间的第
一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场和垂直xy 平面向里的匀强磁场，在第四象限内存在沿y 轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。

一质量为m 、电量为q 的带电质点，从y 轴上y=h 处的P 1点以一定的水平初速度沿x 轴负向进入第二象限，然后经过x 轴上x=-2h 处的P 2点进入第三象限，带电质点恰能做匀速圆周运动，之后经过y 轴上y=-2h 处的的P 3点进入第四象限。

试求：
(1)第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小； (2)带电质点在第四象限空间运动过程中的最小速度
25、(1)质点从P 2到P 3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力
θ
U
A
B O
C
L
Eq=mg (2分) 解得 E=
q
mg
(1分) h=
21gt 2
(1分) v 0=t
h 2 (1分)
v y =gt (1分) 求v=gh v v y 22
2
0=+ (1分) 方向与x 轴负方向成45°角 (1分)
Bqv=m R
v 2 (2分)
(2R)2=(2h)2+(2h)2 (2分) 得B=
h
g
q m 2 (1分)
(2)质点进入等四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动。

当竖直方向的速度减小到0,此时质点速度最小，即v 在水平方向的分量
v min =vcos45°=gh 2 (3分) 方向沿x 轴正方向 (3分) 25.（18分）如图所示，在一底边长为2L ，θ＝45°的等腰三角形区域内(O 为底边中点)有垂直纸面向外的匀强磁场. 现有一质量为m ，电量为q 的带正电粒子从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从O 点垂直于AB 进入磁场，不计重力与空气阻力的影响. (1)粒子经电场加速射入磁场时的速度？
(2)磁感应强度B 为多少时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA 板？
(3)增加磁感应强度的大小，可以再延长粒子在磁场中的运动时间，求粒子在磁场中运动的极限时间.(不计粒子与AB 板碰撞的作用时间，设粒子与AB 板碰撞前后，电量保持不变并以相同的速率反弹)
25.（18分）
⑴依题意，粒子经电场加速射入磁场时的速度为v ，由动能定理得： 由 2
21mv qU =
①-----（2分） 得m
qU
v 2= ② -----（2分） ⑵要使圆周半径最大，则粒子的圆周轨迹应与AC 边相切，设圆周半径为R 由图中几何关系：
L R R =+θ
sin ③---（3分）
由洛仑兹力提供向心力：
R
v m qvB 2
= ④---（2分）
联立②③④解得qL
Uqm
B 2)21(+=
⑤ ---（3分）
⑶设粒子运动圆周半径为r ， qB mv
r =
，当r 越小，最后一次打到AB 板的点越靠近A 端点，在磁场中圆周运动累积路程越大，时间越长. 当r 为无穷小，经过n 个半圆运动，如图所示，最后一次打到A 点. 有：r L
n 2=
⑥---（2分） 圆周运动周期：v r
T ⋅=π2 ⑦---（1分）
最长的极限时间2
T
n t m = ⑧ ---（1分）
由⑥⑦⑧式得：qU
m
L
v
L
t m 222⋅=
⋅=
ππ ---（2分） 25.(18分)如图，两个共轴的圆筒形金属电极，在内筒上均匀分布着平行于轴线的标号1-8的八个狭缝，内筒内半径为R ，在内筒之内有平行于轴线向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。

在两极间加恒定电压，使筒之间的区域内有沿半径向里的电场。

不计粒子重力，整个装置在真空中，粒子碰到电极时会被电极吸收。

(1)一质量为m1，带电量为+q1的粒子从紧靠外筒且正对1号缝的S 点由静止出发，进入磁场后到达的第一个狭缝是3号缝，求两电极间加的电压U 是多少?
C
(2)另一个粒子质量为m2，带电量为+q2，也从S 点由静止出发，该粒子经过一段时间后恰好又回到S 点，求该粒子在磁场中运动多少时间第一次回到S 点。

25.（1）m 1粒子从S 点出发在电场力作用下加速沿径向由1号缝以速度V 1进入磁场，
依动能定理2
112
1mV U q =
① 在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力公式和牛顿定律得
1
2
11r V
m B qV = ②
粒子从1号缝直接到3号缝，轨迹为1/4圆周，轨迹半径等于内筒半径R r =1
③
由以上得1
2212m B R q U = ④
（2）m 2粒子进入磁场后，做匀速圆周运动周期为T 2
2
222r v
m B qv = ⑤
2
2
2v r T π=
⑥ 得 B
q m T 22
2π=
⑦ m 2粒子能回到S 点的条件是能沿径向进入某条缝，在电场中先减速再反向加速重
回磁场，然后以同样的方式经过某些缝最后经1号缝回到S 点。

共有三种可能情况：
第一种：粒子依次经过2、3、4、5、6、7、8号缝回到1号缝 B
q m T T t 2263360135
8π==⨯⨯
= ⑧ 第二种：粒子依次经3、5、7号缝回到1号缝 B
q m T T t 22241
4π==⨯
= ⑨ 第三种：粒子依次经过4、7、2、5、8、3、6号缝回到1号缝 B
q m T T t 22
28
18π=
=⨯= ⑩ 标准： ①②③④各2分，⑦1分，⑧⑨⑩各3分，共18分。

25．（18分）图示的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R 和2R 的两个半圆轨道、半径为R 的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R 和4R 的直轨道平滑连接而成。

以水平线MN 和PQ 为界，空间分为三个区域，区域I 和区域Ⅲ有磁感应强度为B 的水平向里
的匀强磁场，区域I 和Ⅱ有竖直向上的匀强电场。

一质量为m 、电荷量为+q 的带电小环穿在轨道内，它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ（0<μ<1），而轨道的圆弧形部分均光滑。

在电场中靠近C 点的地方将小环无初速释放，设小环电量保持不变（已知区域I 和II 的匀强电场强大小为2mg
E q
=
，重力加速度为g ）。

求： （1）小环在第一次通过轨道最高点A 时的速度v A 的大小；
（2）小环在第一次通过轨道最高点A 时受到轨道的压力N 的大小； （3）若从C 点释放小环的同时，在区域II 再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场，其场强大小为mg
E q
'=
，则小环在两根直轨道上通过的总路程多大？ 25．(1)从C 到A ，洛伦兹力不做功，小环对轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力，由动能定理，有：
2
A 2
155mv R mg R qE =
⋅-⋅ ---------- ① 可得：gR v A 10= ---------② (2)过A 点时对小环，由牛顿第二定律，有：
R
v m qE B qv mg F A
A N 2=--+----------③
解得 gR qB mg F N 1011+= ---------④
(3)由于0<μ<1，小环必能通过A 点，以后有三种可能： ①可能第一次过了A 点后，恰好停在K 点。

----------⑤ 在直轨道上通过的总路程为： R s 4=总---------⑥
②可能在水平线PQ 上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A 点下来恰好停在K 点。

---------⑦
对整个运动过程，由动能定理：
033='-⋅-⋅总s E q R mg R qE μ----------⑧ 得：s 总=
μ
R
3----------⑨
③还可能最终在D 或D '点速度为零（即在D 与D '点之间往复运动）。

----------⑩ 由动能定理：
044='-⋅-⋅总s E q R mg R qE μ---------- （11） 得：s 总=
μ
R
4----------（12）。