2020年甘肃省高考一诊文科数学含答案
2020年甘肃省兰州市高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题.1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，2，4} B ．{2，4} C ．{1，3，5} D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z =5i2−i+2，则|z |＝（ ） A ．√5B ．5C ．13D ．√133．已知非零向量a →，b →，给定p ：∃λ∈R ，使得a →=λb →，q ：|a →+b →|=|a →|+|b →|，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若2sin 5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，则tan α＝（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣35．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A ．√52B ．√3C ．√5D ．2√36．已知集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A ．110B ．25C ．35D ．3107．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数f(x)=ln(√x2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log133)，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．√32B．√22C．√33D．1310．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（12，34]B．（12，54]C．（54，32]D．（54，52]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．1+2√5B．2√5C．√17D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．1eD．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，则f(f(log 232))= ．14．已知向量a →，b →满足|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，且（a →+b →）⊥b →，则向量|a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A2=13，则c ＝ ．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱AA '、BB '、CC '、DD '、EE '、FF '相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B ′C ′D ′＝109°28′16''．已知一个房中BB '＝5√3，AB ＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4n(12+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =95，求n 的值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直．（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x1和x2，若|x1−x2|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x1和x2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）． 21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12（a ∈R 且a ≠0）．（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，曲线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（Ⅱ）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB →⋅AP →的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ． （Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数z=5i2−i+2，则|z|＝（）A．√5B．5C．13D．√13【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数z=5i2−i+2=5i(2+i)(2−i)(2+i)+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|=√12+22=√5；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量a→，b→，给定p：∃λ∈R，使得a→=λb→，q：|a→+b→|=|a→|+|b→|，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量a→，b→同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量a→，b→同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．若2sin 5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，则tan α＝（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D ．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． 解：若2sin5π12cos7π12=1−tan 2α2tanα2，即2cosπ12•（﹣sinπ12）＝2•1tanα，即﹣sinπ6=2cosαsinα=−12， ∴cosαsinα=−14，故tan α＝﹣4，故选：C ．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 5．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A ．√52B ．√3C ．√5D ．2√3【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y =−bax 上，可得a 2＝4b 2，即可得到离心率． 解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y =−bax 上，则a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e =√c 2a 2=√a 2+b 2a2=√52， 故选：A ．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a 、b 关系是关键，属于中档题． 6．已知集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）A ．110B ．25C ．35D ．310【分析】从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10，其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4，由此能求出其正弦值相等的概率． 解：∵集合A ={π6，5π6，7π6，11π6，13π6}， sinπ6=sin5π6，sinπ6=sin 13π6，sin 5π6=sin 13π6，sin 7π6=sin 11π6， 从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10， 其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4， ∴其正弦值相等的概率是p =m n =410=25． 故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数1.14.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则|r 1|＜|r 2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．3)，则a、8．已知函数f(x)=2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log13b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a3=−1，由此能比较三个数的大小．【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log13解：∵函数f(x)=2+1)的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），3=−1，0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log133)，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log13∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A ．√32B ．√22C ．√33D ．13【分析】建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．高和底面的半径相等，得OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ，利用向量夹角公式即可得出． 解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ．∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ； ∴D 为BÊ的中点 则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB →=（0，﹣1，﹣1），DE →=（﹣1，1，0）， ∴cos ＜AB →，DE →＞=|AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →||=12，∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为π3． ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为√32．故选：A ．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），若函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是 A ．（12，34]B ．（12，54]C ．（54，32]D ．（54，52]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin （2ωx −π4）=√22有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）=12（1﹣cos2ωx ）+12sin2ωx =√22sin（2ωx −π4）+12（ω＞0），∵函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点； 即√22sin （2ωx −π4）+12=1有3个根；∴sin （2ωx −π4）=√22有三个根；∵x ∈（0，π）；∴2ωx −π4∈（−π4，2ωπ−π4）； ∵2π+π4＜2ωπ−π4≤2π+3π4⇒54＜ω≤32． 故选：C ．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M （﹣4，﹣2），抛物线x 2＝4y ，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 做PQ ⊥l ，点Q 为垂足，过P 作抛物线的切线l 1，l 1与l 交于点R ，则|QR |+|MR |的最小值为（ ） A ．1+2√5B ．2√5C ．√17D ．5【分析】画出图形，设出P 的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR |+|MR |的最小值就是MF 的距离即可． 解：设P （m ，m 24），则过P 的切线的斜率为：k =m 2，Q （m ，﹣1），k PQ =−2m ，k PQ＞k ＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF |＝|PQ |． l 1为FQ 的垂直平分线，|RF |＝|RQ |，|QR |+|MR |的最小值为|MF |=√(−4−0)2+(−2−1)2=5， 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R 上的函数f （x ），f '（x ）是f （x ）的导函数，且满足xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，f （1）＝e ，则f （x ）的最小值为（ ） A ．﹣eB ．eC ．1eD ．−1e【分析】构造函数F(x)=f(x)x ，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2=e x ，设F （x ）＝e x +c ，即f （x ）＝xe x +cx ，又f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ，再利用导数即可求得f （x ）的最小值．解：由xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，构造函数F(x)=f(x)x，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2=e x ， 所以可以设F （x ）＝e x +c ，即f(x)x=e x +c ，f （x ）＝xe x +cx ，又因为f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ， 由f '（x ）＝e x （x +1）＝0得x ＝﹣1，所以当x ＜﹣1时f '（x ）＜0，即f （x ）在（﹣∞，﹣1）上为减函数， 当x ＞﹣1时f '（x ）＞0，f （x ）在（﹣1，+∞）上为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e ，故选：D ．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，则f(f(log 232))= 4 ．【分析】先求出f （log 232）=2log 232=32，从而f(f(log 232))=f （32），由此能求出结果．解：∵函数f(x)={2x ，x ＜12x +1，x ≥1，∴f （log 232）=2log 232=32，∴f(f(log 232))=f （32）＝2×32+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量a →，b →满足|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，且（a →+b →）⊥b →，则向量|a →+b →|＝ √6 ．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得|a →|•|b →|cos ＜a →，b→＞=−2，及|a →|的值，而|a →+b →|=√(a →+b →)2展开可求出其值． 解：因为（a →+b →）⊥b →，所以（a →+b →）•b →=0，即a →⋅b →+b →2＝0，因为|b →|=√2，向量a →，b →夹角为120°，整理可得−b →2＝|a →|•|b →|cos ＜a →，b →＞=−2， 即﹣2＝|a →|⋅√2•（−12），所以|a →|＝2√2，所以|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√8+2+2⋅(−2)=√6故答案为：√6．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A 2=13，则c ＝ 9 ．【分析】根据c 2=a 2+b 2−√2ab 可求出cos C ，进而求出sin C ．由sin A 2=13可得sin A ，最后利用正弦定理求出c 的值．解：由c 2=a 2+b 2−√2ab 得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2ab 2ab =√22，∴sinC =√1−cos 2C =√22．显然A2∈(0，π2)，结合sin A 2=13，∴cos A2=√1−sin2A2=2√23，∴sinA=2sin A2cos A2=4√29．∵a＝8，由正弦定理得asinA =csinC，即4√29=√22，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5√3，AB＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是216√2．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•12B′D′tan54°44′08″=6，B′C′＝3√3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''=√2，∴OC′＝2•12B′D′tan54°44′08″=2×3√22=6，B′C′＝3√3，∴CC′＝BB′−√B′C′2−BC2=4√3，∴S 梯形BB ′CC ′=2√6×(5√3+4√3)2=27√2，∴S 表面积＝6×27√2+3×12×6×6√2=216√2． 故答案为：216√2．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =4n(12+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =95，求n 的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4，求出d ，进而求出a n ；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n 求b n ，再利用裂项相消法求T n ，从而解决n 的值得问题． 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4得：﹣8+d ＝3（﹣8+3d ）解得d ＝2，所以a n ＝﹣10+2n ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n ＝﹣10+2n ，∴b n =4n(12+a n )=4n(2n+2)=2(1n −1n+1)，所以T n ＝2[（11−12）+（12−13）+…+（1n−1n+1）]=2nn+1， 由T n =95解得n ＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，V p−ACB=V A−PBC=13×12×x×1×1=1×12×√2×√x2+12×√33，得AC＝1，3则V P−EAC=12V P−ACD=12×13×12×1×1×1=112．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x 1和x 2，若|x 1−x 2|＞20cm ，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x 1和x 2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（I ）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值； （Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算x 1和x 2，求出|x 1−x 2|，即可得出结论． 解：（I ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C ， 则P （C ）＝0.08+0.16+0.36＝0.6； （Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计5050100由表中数据，计算K 2=100×(30×30−20×20)250×50×50×50=4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算x 1=0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm ）， x 2=0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm ）， 且|x 1−x 2|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题． 20．已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a +c ＝3，a ﹣c ＝1，可求出a ，c 的值，再利用b 2＝a 2﹣c 2求出b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，所以直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3，联立直线AM 与椭圆方程求出点M 的坐标，联立直线BN 与椭圆方程求出点N 的坐标，再利用斜率公式分别求出k 1，k 2，化简k 1•k 2=−14，从而得到k 1•k 2＝e 2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，{a +c =3a −c =1，解得{a =2c =1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A （2，0），B （0，−√3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3， 由{3x 2+4y 2=12y =k(x −2) 得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴2x M =16k 2−123+4k2，∴x M =8k 2−63+4k2，y M =−12k 3+4k2，∴M(8k 2−63+4k2，−123+4k2)，由{3x 2+4y 2=12y =kx −√3 得：(3+4k 2)x 2−8√3kx =0， ∴x N =8√3k 3+4k2，y N=4√3k 2−3√33+4k2，∴N(8√3k3+4k2，4√3k 2−3√33+4k2)，∴k 1=4√3k 2−3√33+4k 283k 3+4k2=√3(4k 2−2(4k 2−43k+3)， k 2=−12k 3+4k2+√38k 2−63+4k2=√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2−3)， ∴k 1k 2=√3(4k 2−2(4k 2−4√3k+3)•√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2−3)=−34，又∵e =c a =12， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12（a ∈一、选择题且a ≠0）．（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．【分析】（Ⅰ）因为a =2√3时，f ′（x ）＝2√3−2√3x−x ⇒f ′（1）＝﹣1，易求f （1）＝2√3，从而可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f ′（x ）＝2√3−a x −x =−x 2+2√3−a x（x ＞0），令﹣x 2+2√3x ﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）=−x2+2√3−ax=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a=2√3时，f(x)=2√3x−2√3lnx−12x2+12，所以f′（x）＝2√3−2√3x−x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2√3，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2√3=−（x﹣1），即x+y ﹣2√3−1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2√3−ax−x=−x2+2√3−ax，由﹣x2+2√3x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1=√3+√3−a，x2=√3−√3−a，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+√3−a），f（x）为增函数；在（3+√3−a，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3−√3−a）和（3+√3−a，+∞）上为减函数，在（3−√3−a，3+√3−a），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=−x2+2√3−ax=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx−1x−1＝lnx−1x，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2−12＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0=1x0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1x0），又因为x0∈（1，2），则x0+1x0∈（2，52），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−1−√22ty=2+√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ= 2√2cos(α+π4)，曲线C2的直角坐标方程为y=√4−x2．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求AB→⋅AP→的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为{x =−1−√22t y =2+√22t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，转换为标准式为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =2=√22， 所以弦长|MN |＝2√(√2)2−(22)2=√6． （Ⅱ）线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2．转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝4，转换为参数方程为{x =2cosθy =2sinθ（0≤θ≤π）．由于A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cos θ，2sin θ），所以AB →=(−1，1)，AP →=(2cosθ−1，2sinθ)，（0≤θ≤π），所以AB →⋅AP →=2√2sin(θ−π4)+1，故：−√22≤sin(θ−π4)≤1， 所以AB →⋅AP →∈[−1，2√2+1]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f （x ）min ＝2，g （x ）≥|2a +2|+a ，结合题意可知2≥|2a +2|+a ，由此求得实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）f(x)={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴f （x ）＞4即为{x ≤−1−3x −1＞4或{−1＜x ＜1x +3＞4或{x ≥13x +1＞4， ∴x ＜−53或x ∈∅或x ＞1，∴不等式的解集为(−∞，−53)∪(1，+∞)； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，故f （x ）min ≥g （x ）min ，即2≥|2a +2|+a ，解得﹣4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学文)
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学文)数学文科考生注意：本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值为150分，考试时刻120分钟, 所有试题均在答题卡上作答•其中，选择题用28铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答, 参考公式：假如事件A、B互斥，那么泊加 7老■ •门飞叫假如事件A、B相互独立，那么’,假如事件.A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为'' •球的表面积公式：爰孟于，其中R表示球的半径，V— 4 nJ球的体积公式： 1 17，其中R表示球的半径，第1卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1•集合關十！I"】却声d■恤血•那么tfn y=(A) -3, -2# ■ H (B) ' 】，。
川(C) { r ](D) |0.],2j2. 函数.的反函数为〔A〕3.在△ ABC中，假设2，那么△ ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4•以下四个数中，最大的一个是(A)卜;(B)二詐诃(C)卜垃二鋼(D) ；•：：「5 .某篮球运动员在三分线投篮的命准率为，他投篮5次，恰好投准3次的概率为(A) 1- (B) 1氐(C) |fl(D)⑴6 •在等差数列叭中，假设山"」I」.那么恢的前10项和齢=(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOOjr ■ Ban ( 2< 4¥ 金I ) •7 •将函数島的图像按向量 2 平移，那么平移后的函数图像的解析式为&正三棱锥S -ABC 的各棱长均相等，D 为SC 的中点，那么SA 与BD 所成角的余弦值T~ AAJ(A) 2(B) 丁(c)'(D)9•从4名男生和3名女生中选出3人，分不参加三项不同的工作，假设这三人中至少有 1名女生，那么选派方案共有(A)270 种 (B)216 种 (C)186 种 (D)108 种10 .过半径为2的球0表面上一点 A ，作球0的截面，假设 OA 与该截面所成的角为30°,那么该截面的面积为(A)4 n (B)3 n (C)2 n (D) n 11.设a=(3. 4), a 在b 上的投影为 ，b 在j=(o , 1)上的投影为1,且帆烁超-,那么b=(A)(0,1) (B)(1,2)(C)(1,1) (D)(2,1)12.函数在区间 上的最小值为一 2，那么IT 的最小值为 (A)5(B)4(C)3(D)2第二卷 〔非选择题，共90分〕二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上.t y - + J_ j t13. ______________________________________________ ' ’示的展开式中x 项的系数为 . 14. 双曲线 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为2,那么m=15. 从编号为1, 2, 3……10的10个大小相同的球中任取 4个，那么所取4个球的最大 号码为 6 的概率为 . 16. 以下命题中：①假设a.b.m 差不多上正数，那么 ，那么b>a ;② a 、b 差不多上实数，假设 心胡處〕!训，那么ab <0;③ 假设 a 、b 、c ABC 的三条边，那么 a2 +b2 +C2 >2〔 ab+ bc+ ca 〕 ④ 假设a>b>c ，那么，昇L"'.其中，正确的命题为 _____ 〔将正确的序号填在横线上〕.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤. 17 .本小题总分值10分 设函数慎弟戸宓品?亠屈Ji 耘| (1) 求f(x)的最大值及最小正周期;(A) (C)才 Ur if I JT(B)■ Innf If +(2)假设锐角厶ABC 中，角A 满足 "呵，求"'的值.18 .本小题总分值12分如图(1), AABC 是等腰直角三角形，AC =BC =4 , E 、F 分不为AC 、AB 的中点，将 AABC 沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影0恰为EC 的中点，得到图(2). (1) 求证：EF 丄 A'C ;(2) 求二面角 A ' -BC -E 的大小； (3) 求三棱锥F-A'BC 的体积，图(1) 图(2)19. 〔本小题总分值12分〕4加工某种零件需要通过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分不为一、5 7-且各道工序互不阻碍. (1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取 3件，求恰好取到一件合格品的概率. 20. 本小题总分值12分 在公差不为零的等差数列 中，匾吨計，且也凤去|成等比数列，求数列’的前30项的和=. 21. 本小题总分值12分 抛物线的焦点为F , M 为其准线上一点，直线 MF 与抛物线交与 A 、B 两点，人耐・(1)求证册飞人处；(2)当入=3时，求直线AB 的方程.(1) 讨论函数丨畫瓦I 的单调性;22本小题总分值12分ax' -r2(rt C B }3 '内是减函数，求a的取值范畴.第一次高考诊断数学试题参奇答案及评分标准第I 卷一、迭择题；本大地兴】2小臥甸小题$分・共3分.I. U 2Jk 2.C4.B$1)6.A7.R R.C 9.C IO.B Jl.D I2.C第II 卷二、 填空也小眄剜邇§分，共20分.L3.W M. - I,吃09,24；(又)]"・T 席@321三. 解答矽；本大题求6小亟共"分・L7•衣小朋分10分耶：11»/ (.i ) - 3co$lv - \3sin 2x + 3= 2^'3«os(2.t-4- —}+3.♦ !♦•«・・♦♦・・,••••• •••・•• •・・••••・・X ・・・・・・・・・・5 2$⑵ Hi/(4) = 3-2v3.人一m 亠3 - 3-2J?・6 7；/. UO M2.A —)= l ・6X 0 < H A — — ■从"ii un — A w Gin — — ^32 12 5 3i«.右小m 濮分12分t I i i 「9•一：九丄・ EF ff ：^3COl AA»C 的中处裁.••• FF 丄 AC.・•• EF 丄平面A ：EC.乂川QuN 西片&•,・・・E ：F 丄屮c・・••••・・••・・・・•・・・••・・・・・・ ・*e ・0・・・0・・・・，・・《«7夕}・・・•・・・・・・•・・・I «>芥肚•:：同丄EC.v .40丄EF. •・・EF丄平正.谊E?故孑芒秦ik(ll 7!i i又/f<7u 平ifcA^C •: EF 丄才G.(2) 7 A'O 丄面 BCEF.OCLKC.fk^A f C!BC•； C0平•••••••••x.•♦*••■••••••••••••••••••••・••• •又T/fo 垂 11 平分we. ^o = V-EO 2 = .oc-i. 住直fh'A'CO 中・ lan" CO "3.二10A-g-E 为丁 -(3) 庄宜角梯形EFRC 中.EC = 2. BC = A ： S 沖=i-«C・£C = 4 ・X v 勿垂直 V 分 «?,• •• "0 ■ \- EO 1 = <5.•:三綾链F-XJJC 的体积为：]I4*^5二、O = 2 * 4 * 33 ・・・■••・・•■・・■ •・・•《•♦・・•■・・・•・・・■♦・・12攵宙用向呈法求解•可酌馆给分〉19・本小通满分12分氏科》解:设&祓示笔K 轲午在 年内发生此爭故.KJ2.3•则儿、仏、九相亙独立. 且P ⑷冷丿他）■占,"）■右.（1）该单位一年内沃赔的口率为？ 1・F （入兀A ）4P （A ）PC 石）丽）r 89 10 39 10 II 11（2） g 的所有可fi£«T 为 0.9000.18000.27（X ）0・陀=O ） = P w 小 g ）P （ “P （州X 評才亍晋 尸点■ 9000> = AjA,）+ 尸（厲 Aj Ay ） + 石心 3）・ =PS ）P （石）此石H p （瓦屮（比屮（石>+巩可W （石）p （4）1 9 10 8 I 10 8 9 1 242 11=*- X — X —十—X —X 1—X — X —= =—: ...9 10 II 9 10 丄 9 10 J1 990 _ 45---- 8分・2分• •・・・・•• ••• ••• »M •■・・・■・・•・•・・••••••••••••••••• ・•・・•・・•・• ・・・0 ・・・•・ ••■•••• ••■••• ・・•・・ «••••••• • ■■••00・• •••・・•・ ・・・・・・・・•・ ・>«・・・・・ ••*•6夕十'尸（好=18000）二P（人比瓦）4 P（占石A J + P（\A L A,）1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 B -x —x - 4- —X — X 一 4 —X — X 一 = ---- = ----- 9 10 11 9 10 II 9 10 11 990 110P(i = 27000) = F(A 入已)=)P(A 2)P(A })Q11a170900Ef = 0x2+9000x 旦斗 18000x2 十 27000乂云=^- ................................. 12 分9 11 45 110 990 11（文科）解:设儿、再表示三道工序合版则令、厶、Aj 相互独工45 7,卩（人）二亍................................... 2 分（1 ）恢种零件合格的槪率为P ■ Pg・A ・厲）="叫）尸⑷ .......................... 4分 4 5 7 7 -X —X —=— 5 6 8 127（2）由于该种窶fl 3】合格辜为~...... .... —…山辿立車貝试聖的抵舉公式得於好取到-件合格詁的嘅率为 p-r «/Zi./Av： 25J 、I"V *• ••• ••»••••• ••• ••••• »••••«••••••••••••• ••••• ••<1 121257620•車小点満分12分（建科）解：（1 > 当兀=10扌，a i = S 、= 2a,-】■•••“！ = 1 ■冷 S“| =2兔S" = 2a… -n,9 10 11 990的分布列为；40 9W01800027000p 8 11 3 1-■■11 45 110990.... o 分••・j =2a” -2a,~l.•・.{£ + 1}见以2为首顶.2为公比的每比数列. •••4 = 2“一1（刃€用）・n I Z1 \ . n \= -------- (1——)> ------------- ・..... ................ .. ................................................ 12分 2 3 r 2 3 " (文科)餡没帶羞数列5}的&顶为q •公羞为厶r 耳・比・®成等比数列.・•.（坷十5cf 『二（q 十衍）（耳十&/）• ................................. 4分 ・iq' + 10q 〃 +25d* = a ； +」1吗〃 +2心.-«i = d ・ .. ............................................................. . ................................. 8 分 又1為=10 = 4十4乩・ \^ = tf —2......................................................................... 「・ S 乂二 50x2 + x2 = 93O, ....................... ................. 21.本小SI 满分】2分解:⑴i 站找砂的方程为 —£).代人拟物线方稈> ： = 2p.r •笑■fr\v 2 一 p{k l 4 2)才+"上二0 ........................................................................ ..4_ 丨 I 1 I"2^2(2^'^1) 2*3-2< + 2< -2 ............. 一 ........... 8分 ............. . ................................... 10 分•…川分 门分 沙-扌*仗= 1.2,3,…，心讣人(巧t? l)» B g 1 >2 )・则M (— % —〃A 入心亠导).>1 4 Pk =心 + pk)9曲1;达定理知 X =£•••• \（壬i自■俘一殆Z. AE -AFB・ ___（若用几何法证阴也町sm钦分）（2） V AF =入就Hi 2用=才）叮•从両得X）=入'並③・疥/代人I •冯彳-才七二几（毛一牛.从而蒔心=总▼円=丸■久2读瞒致学答秦«5 5l<M7 H）即直线的方程为『=士73（*-彳）・■22•本小题满分12分（理科）#;（1）V帆和的定义域为XE（Q+oc）.・・2分X出△=尸一4三0,即一20rcOH寸.^(x)>0.则XO为增函数:② 当A«fc J-4>t<-2Bj ・ x?4lr^! = OWW不尊曲实ftt.4按匚4 -R+J宀4 口°卄一-—・屯=—-—•且0 5 <心当x eCO■丙M(打>0;当K W (.r lt x；).^(.r) v0：当尤£ g—oo)■卩(x)> 0. ...4 分那上当上V-处L冲)的增区何为疋一4站—加P .丄2 2m/nz _上_、'火・_4 —k + Uk'—4减区何为-------- ------- . ------ ------ .2 2■ ■S-2<*<W. 的增区间为(0.4-OO) ............................................. . ...... ... 6分10分■ 21 xlnx1................... 8 分当I 3时•得疋二土的.乂 •・,（攵41" x —1） =1 —— >1.X・••" 扫響 >0,即 饨巧=更罕（*€&亠8»为用函数 ................. 10分（X4-1）-K 十1即“的取值范国为（^—. 〔丈和 «:< I ） v/（\x ） = r+2ar + L当A<0・即/W 耐• / *）20. /（X ）在/?上为单圖増函数： ...................... 4分 当△>（!即a 、a ］时・由/ （工）二 0•得4 = 一。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.已知z=1−i，则|z|等于()A. 2B. √2C. 1D. 03.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α=()A. −4√3B. −√32C. 4√3 D. √325.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√3,1)，则该双曲线的离心率为()A. √5B. 2C. √3D. √26.已知函数f(x)=cosπx4，集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f(m)⋅f(n)≠0的概率为()A. 310B. 715C. 35D. 7107.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A. DB. EC. FD. A8. 已知函数，若f(a)=12，则a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. −1或129. 如图，圆锥的底面直径AB =4，高OC =2√2，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD =2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π.则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,√3]C. [−√3,2]D. [−√3,√3]11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 函数f(x)=xe −x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A. 0B. 1eC. 4e 4D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(ln2))=________．14. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 16. 如图所示，在△ABC 中，C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ， DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE =2√2，则cos A =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a4+a5=4a2,2a3−a6=1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求三棱锥P−AEF的体积．19.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87920.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．(1)若e=√22，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k≥√3，求e的取值范围．21.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点．22. 已知过点P (0,−1)的直线的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点OI 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解．解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x<3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：∵z=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2故选：B由条件代入复数的模长公式可得．本题考查复数的模长公式，属基础题．3.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．4.答案：A解析：本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα，即可求解，解：由有sinαcosπ3−cosαsinπ3=−3(cosαcosπ6+sinαsinπ6)，故12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，则有2sinα=−√3cosα，显然cosα≠0，所以tanα=−√32，故tan2α=2tanα1−tan2α=−√31−34=−4√3，故选A．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．由条件求得b=√3a，进一步即可求离心率．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点(√3,1)，可得b=√3a，即b2=3a2，可得c2−a2=3a2，所以：c2=4a2，c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．故选：B．6.答案：A解析：解：∵集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，∴基本事件总数N=A52=20，∵函数f(x)=cosπx 4，∴f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件有： (3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)， 共有M =6个，∴f(m)⋅f(n)≠0的概率为p =M N=620=310．故选：A ．先求出基本事件总数，再用列举法求出f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件的个数，由此能求出f(m)⋅f(n)≠0的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7.答案：B解析：本题主要考查回归直线和相关系数，属于基础题． 根据散点图分析即可得解．解：因为点E 到回归直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大． 故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数，已知函数值求解自变量的值，属于基础题． 根据分段函数讨论计算f(a)=12可得结论． 解：当a >0时，f(a)=12，即，解得a =√2，当a ⩽0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1， 综上，a =√2或a =−1． 故选C ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两条直线AD 与BC 所成的角．解：如图，取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．∵AB =4，OC =2√2，∠AOD =2π3，∴A(0,−2,0)，B(0,2，0)，C(0,0，2√2)， D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√2)，∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= 62√3×2√3= 12， ∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为π3， 故选：B.10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)的最小正周期为2πω=π， ∴ω=2，函数f(x)=2sin(2x +π6). ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π6∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x +π6)∈[−√3,2]．即函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是[−√3,2]，故选：C．根据函数的最小正周期为π求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√33，可得DN=2√3，则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．解：因为f′(x)=1−xe x，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)=0，f(4)=4e4>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．13.答案：3解析：本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．判断ln2的范围，求出，即可求出结果．解：∵f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，， ，∴f(f(ln2))=f(−2)=4−1=3．故答案为3．14.答案：13解析：解：∵向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =2m −18=0， 解得m =9，∴2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)|2a ⃗ +b ⃗ |=√132+02=13．故答案为：13．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，求出m =9，从而2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)，由此能求出|2a ⃗ +b ⃗ |的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：π6解析：本题考查余弦定理，属于基础题．由余弦定理即可求解．解： 因为a 2+b 2−c 2=√3ab ，所以由余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 22ab =√3ab 2ab =√32，又0<C <π，所以C =π6．故答案为π6．16.答案：√64解析：由已知可得∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，由正弦定理在△BCD 中4sin2A =x sin60°，在△AED 中，可得2√2sinA =x 1，联立即可解得cos A 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．解：∵C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE =2√2， ∴∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC ，可得：4sin2A =x sin60°，①在△AED 中，ED sinA =AD sin∠AED =，可得：2√2sinA =x 1，② ∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA √32，解得：cosA =√64． 故答案为√64．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵由{a 4+a 5=4a 22a 3−a 6=1, ∴得{2a 1−3d =0a 1−d =1, ∴解得a 1=3,d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1;(2)∵b n =1a n a n+1 =1(2n +1)(2n +3)=12(12n+1−12n+3)，∴{b n }的前n 项和：S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3) =12(13−12n+3)=n 6n+9， ∴S n =n 6n+9．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．(1)由条件，得到{2a 1−3d =0a 1−d =1，解得a 1=3,d =2，从而得到通项公式； (2)由题意得到b n =1a n a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法，得到数列的和．18.答案：(1)证明：如图，取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，则EG//CD,EG =12CD,AF//CD,AF =12CD ，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以EF//AG ，AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为△PAC 的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E −AFC 的高．在菱形ABCD 中可求得AC =2√3，在Rt △PAC 中，PC =2√7，所以PA =√PC 2−AC 2=4,EO =2所以S △ACF =12S △ABC2=12×12×AB ×BCsin∠ABC =√32， 所以V C−AEF =V E−ACF =13S △ACF ×EO =13×√32×2=√33．解析：【试题解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．(1)取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，证明四边形AGEF 是平行四边形，得到EF//AG ，然后证明EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，说明EO 为三棱锥E −AFC 的高．通过V C−AEF =V E−ACF .转化求解即可．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算 x =1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841， ∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(1)由e =√22=c a，c =2，得a =2√2，b =√a 2−c 2=2． 故所求椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，故M(x 1+22,y 12)，N(2−x 12,−y12)． ①由题意，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.化简，得x 12+y 12=4，∴点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A(x 1,y 1)，则{y 1=kx 1x 12a 2+y 12b 2=1x 12+y 12=4得到1a 2+k 2b 2=14(1+k 2)．将e=ca =2a，b2=a2−c2=4e2−4，代入上式整理，得k2(2e2−1)=e4−2e2+1；∵e4−2e2+1>0，k2>0，∴2e2−1>0，∴e>√22．∴k2=e4−2e2+12e2−1≥3，化简得{e4−8e2+4≥02e2−1>0，解之得12<e2≤4−2√3，√22<e≤√3−1．故离心率的取值范围是(√22,√3−1]．解析：(1)利用离心率的计算公式e=ca及b2=a2−c2即可得出椭圆的标准方程；(2)利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x+1x ，f′(x)=1−1x2，则f(2)=2+12=52，f′(2)=1−14=34，∴切线方程为y−52=34(x−2)，整理得：3x−4y+4=0；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x +1−ax2=(x+a)(x−1)x2，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当a<0时，令f′(x)=0，x=−a或x=1，(i)若−1<a<0，则−a<1，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a；(ii)若a =−1，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；(iii)若a <−1，则−a >1，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．综上可得，当a ≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当−1<a <0时，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a ；当a =−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；当a <−1时，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．解析：本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查利用导数研究函数单调性、极值，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1时，直接求出f ′(x)从而确定f(2)和f ′(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分类讨论，当a ≥0时，当a <0时，再分情况讨论−1<a <0，a =−1，a <−1三种情况下，确定f(x)的单调性和极值点.22.答案：解：(1)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0．即x 2=2ay(a >0)．(2)将{x =12t y =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0，得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a.①． ∵a >0，∴解①得a >23．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0，解得a =0或a =56．∵a >23， ∴a =56.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程及其应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(2)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a+1≤3，2，可得0<a≤12].即a的范围是(0,12解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学文)
2020届甘肃省第一次高考诊断考试（数学文）数学文科考生注意：本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值为150分，考试时刻120分钟，所有试题均在答题卡上作答．其中，选择题用28铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，参考公式：假如事件A、B互斥，那么假如事件A、B相互独立，那么，假如事件.A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为．球的表面积公式：，其中R表示球的半径，球的体积公式：，其中R表示球的半径，第1卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合．那么=(A) (B) (C) (D)2．函数的反函数为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．在△ABC中，假设，那么△ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4．以下四个数中，最大的一个是(A) (B) (C) (D)5．某篮球运动员在三分线投篮的命准率为，他投篮5次，恰好投准3次的概率为(A) (B) ( C) (D)6 .在等差数列中，假设.那么的前IO项和(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOO7．将函数的图像按向量平移，那么平移后的函数图像的解析式为(A) (B)( C) (D)8．正三棱锥S -ABC的各棱长均相等，D为SC的中点，那么SA与BD所成角的余弦值为(A) (B) (c) (D)9．从4名男生和3名女生中选出3人，分不参加三项不同的工作，假设这三人中至少有1名女生，那么选派方案共有(A)270种(B)216种(C)186种(D)108种lO．过半径为2的球O表面上一点A，作球O的截面，假设OA与该截面所成的角为30°，那么该截面的面积为(A)4π(B)3π(C)2π(D)π11．设a=(3．4)，a在b上的投影为，b在j=(o，1)上的投影为1，且，那么b=(A)(O,1) (B)(1,2) (C)(1,1) (D)(2,1)12．函数在区间上的最小值为一2，那么的最小值为(A)5 (B)4 (C)3 (D)2第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．的展开式中x项的系数为________________.14．双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为2，那么m=_________15．从编号为1，2，3……10的10个大小相同的球中任取4个，那么所取4个球的最大号码为6的概率为_____________.16．以下命题中：①假设a.b.m差不多上正数，那么，那么b>a；②a、b差不多上实数，假设，那么ab <O;③假设a、b、c为△ABC的三条边，那么a2 +b2 +C2 >2〔ab+ bc+ ca〕④假设a>b>c,那么．其中，正确的命题为____ 〔将正确的序号填在横线上〕．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤．17．本小题总分值10分设函数．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)假设锐角△ABC中，角A满足，求的值．18．本小题总分值12分如图(1)，AABC是等腰直角三角形，AC =BC =4，E、F分不为AC、AB的中点，将AABC沿EF折起，使A’在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图(2)．(1)求证：EF⊥A'C；(2)求二面角A’-BC -E的大小；(3)求三棱锥F-A'BC的体积，图(1) 图(2)19．〔本小题总分值12分〕加工某种零件需要通过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分不为、且各道工序互不阻碍．(1)求该种零件的合格率；(2)从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率．20．本小题总分值12分在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，求数列的前30项的和．21．本小题总分值12分抛物线的焦点为F，M为其准线上一点，直线MF与抛物线交与A、B两点，(1)求证;(2)当时，求直线AB的方程．22本小题总分值12分设函数以．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数在区间内是减函数，求a的取值范畴．。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(一)(有答案解析)
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62.（-1+i）（2i+1）=（）A. 1-iB. 1+iC. -3-iD. -3+i3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）A. 8B. 4C. 2D.4.已知向量，的夹角为，，，则（）A. B. -3 C. D. 35.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A. B. C. D.6.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A. 50B. 55C. 100D. 1107.已知函数f（x）=x•ln，a=f（-），b=f（），c=f（），则以下关系成立的是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. a＜c＜b8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A. 168B. 169C. 336D. 3389.若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A. （-∞，1）B. [0，1]C. [1，+∞）D. （0，1]10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实数a的范围是（）A. B. -3＜a＜3 C. a D. a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N*成立，且a3=12，则a1=______．14.若实数x，y满足约束条件，则z=-2x-y必有最______值（填“大”或“小”）．15.已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．16.已知函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=，5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a．（1）求A的余弦值；（2）求b和c．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑不大于2天3天或4天不少于5天调练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2=（n为样本容量）P（k2≥k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知曲线C上的任意一点到直线l：x=-的距离与到点F（）的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（-1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）证明：BE⊥PC；（2）求多面体PABED的体积．21.已知函数f（x）=x3-（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点．22.已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．（1）写出曲线E的直角坐标方程；（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．（1）求+的最小值；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】用列举法写出集合B．本题考查了集合中元素个数的判断，属于基础题．【解答】解：集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：（-1+i）（2i+1）=-2i-1+2i2+i=-3-i．故选：C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b 的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=，则有e==，则c=a=2，则b==2，则该双曲线的虚轴长2b=4；故选：B．4.答案：D解析：【分析】根据条件即可得出，从而求出．考查向量数量积的计算公式，向量夹角和长度的定义．【解答】解：∵，的夹角为，=-3，||=2；∴；∴．故选：D．解析：解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是p=1-=．故选：D．基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查数列在实际问题中的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由题意可得从上而下每层的个数为1+2+3+…+n，由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=×10×11=55．故选：B．7.答案：A解析：解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．根据f（x）的解析式，可以求出，，容易看出，从而得出c＜a＜b．考查已知函数求值的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性．解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin=1的k的个数n的值，由sin=1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，利用正弦函数的周期性即可得解．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：∵y=，∴y′==．∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，则y′=．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．求出原函数的导函数，进一步求得导函数的值域得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角函数值域的求法，是中档题．10.答案：D解析：【分析】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解，注意异面直线所成角的范围为（0°,90°]．【解答】解：由题意，建立如图的空间直角坐标系，∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则，，∴cos＜＞=．∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为．故选：D．11.答案：C解析：解：因为||=||，||的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=，故选：C．可得|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1求得a，c．即可得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．12.答案：A解析：解：函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（-x）=（-x）2+ln（|-x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜，解得-＜a＜；所以实数a的范围是（-，）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；把问题转化为|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立，即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，由此求出实数a的范围．本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题，是中档题．13.答案：3解析：解：∵12=a3=2a2，∴a2=6，∵6=a2=2a1，∴a1=3．故答案为：3．先求a2，再求a1．本题考查了数列的递推公式，属基础题．14.答案：大解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：则z=-2x-y如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大．画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义，然后推出结果．本题考查线性规划的简单应用，画出目标函数的可行域是解题的关键．15.答案：解析：解：∵sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案为：．由sinα+cosα=，两边平方可得2sinαcosα=，又cos2A+sin2A=1，且sinα＞cosα，解得cosα，sinα的值，则tanα可求．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．16.答案：1解析：解：函数f（x）=a ln x+，可得f′（x）=-x，a∈（-）时，f′（x）＜0，函数是减函数，f（1）=-=，f（）=1-+＞0，所以函数函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为1．故答案为：1．通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点判断定理的应用，是简单的综合题目．17.答案：解：（1）∵5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a，∴由正弦定理可得：5sin B sin A cos C+5sin C sin A cos B=3sin A，∵sin A≠0，∴5sin B cos C+5sin C cos B=3，可得：sin（B+C）=，∵B+C=π-A，∴sin A=，∵A∈（0，），∴cos A==；（2）∵a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2bc（1+cos A），又∵b+c=10，a=，∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可得sin A=，结合范围A∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．（2）由已知利用余弦定理即可解得b，c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200K2=≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．解析：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）先得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：（1）解：由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．∴抛物线的方程为y2=2x；（2）证明：根据已知，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），由，可得ky2-2y-2k=0．设A（），B（），则，y1y2=-2．∵，．∴====．∴．解析：（1）直接由抛物线定义可得曲线C的方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程，利用斜率公式求得，即可证明为定值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：证明：（1）∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．解：（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，∴PF=3，EG=，∴V P-ABCD==4，=，∴多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD=4=3．解析：（1）推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.答案：解：（1）当a=-1时，．∵f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．（2）∵f′（x）=x2-（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x-a2）[x-（a+2）]，①当a=-1或a=2时，a2=a+2，∵f’（x）≥0恒成立，函数为增函数，无极值；②当a＜-1或a＞2时，a2＞a+2，可得当x∈（-∞，a+2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a+2，a2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．③当-1＜a＜2时，a2＜a+2．可得当x∈（-∞，a2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a2，a+2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a+2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．解析：（1）首先求得导函数，然后结合导函数的符号求解函数的单调区间即可；（2）首先求得导函数，然后结合函数的解析式分类讨论确定函数的极值点即可．本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.答案：解：（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．（2）直线l的普通方程为：x-2y+3=0，设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）点M到直线l的距离d==≤=解析：（1）利用互化公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得E的普通方程；（2）先l的参数方程化普通方程，再利用E的参数方程设出P点，利用中点公式得M，用点到直线距离公式求得M到直线l的距离，再求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴+=（+）•（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取“=”；∴+的最小值为1；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，则|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立；∵|x+m|-|x-2|≤|（x+m）-（x-2）|=|m+2|，即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得-3≤m≤-1，∴m的取值范围是-3≤m≤1．解析：（1）由题意，利用基本不等式求出+=（+）•（a+b）的最小值；（2）把问题等价于|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立，利用绝对值不等式转化为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)(含答案解析)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B. C. D.2.若复数是虚数单位，则A. B. C. D.3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为A. 20B. 16C. 14D. 124.已知平面向量满足，且，则A. 3B.C.D. 55.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为A. B. C. D.6.已知，则A. B. C. D.7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为A. B. C. D.8.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.9.已知抛物线经过点，焦点为则直线MF的斜率为A. B. C. D.10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥中，若E为侧棱PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正弦值为A. B. C. D.11.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则的周长是A. B. C. D.12.若函数为奇函数其中a为常数，则不等式的整数解的个数是A. 1011B. 1010C. 2020D. 2021二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在处的切线方程为______．14.实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．15.设m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：若，，，则；若，，，则；若，，，则；若，，，，则．其中正确的是______填序号．16.设函数时，若时，存在零点和极值点，则整数a的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列满足，是与的等差中项．证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如表所示：感兴趣无所谓合计男性262450女性302050合计5644100根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？参考公式：，其中k在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数满分10分，如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”分数不低于分、“满意”分数不低于平均分且低于分、“基本满意”分数低于平均分三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．19.如图，正方体的棱长为2，E为棱的中点．画出过点E且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线不必说明画法及理由；求点B到该平面的距离．20.椭圆C：的右焦点，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．求椭圆C的方程；过点的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，若，求的面积．21.函数，且．若，判断函数的单调性；当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．22.在平面直角坐标系xOy，曲线的参数方程为：为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点，求取得最大值时直线l的直角坐标方程．23.已知函数，不等式的解集为．求实数m，n的值；若，，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，则故选：D．找出A与B的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．【解答】解：复数，则，故选：A．3.答案：B解析：解：高二年级学生占的比例为，故应抽取的高二年级学生人数为人，故选：B．由题意利用分层抽样的定义和方法，用样本容量乘以高二年级学生所占的比例，即可得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：B解析：解：平面向量满足，且，，求得，，则，故选：B．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．5.答案：B解析：解：双曲线的一个焦点为，可得，解得，所以渐近线方程为：．故选：B．利用双曲线方程求出焦点坐标，列出方程求出m，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6.答案：A解析：解：，．故选：A．利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，基本事件总数，其中中秋节被选中包含的基本事件个数，其中中秋节被选中的概率为．故选：C．求出基本事件总数，其中中秋节被选中包含的基本事件个数，由此能求出其中中秋节被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：A解析：解：，，，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9.答案：A解析：解：由题意可得所以，所以抛物线的方程为：，所以焦点，所以，故选：A．由点M在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点F的坐标，由两个点的坐标求出直线MF的斜率．本题考查抛物线方程的求法及抛物线的性质和有两点求斜率的方法，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，连接AC，BD，设，则O为BD的中点，连接OE，则，或其补角为异面直线PD与AE所成角．设侧棱长与底面边长为2a，可得，，，得，即，则．即异面直线PD与AE所成角的正弦值为．故选：A．由题意画出图形，连接AC，BD，设，连接OE，则，可得或其补角为异面直线PD与AE所成角．设侧棱长与底面边长为2a，求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．11.答案：D解析：解：，，，，，，由余弦定理可得，即，，，的周长是为，故选：D．利用三角恒等变换可求B的值，由正弦定理可求的值，利用余弦定理即可求得a的值，根据三角形周长公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：由奇函数的定义域关于原点对称，可得，经验证，此时的定义域为：，且，满足题意，所以，所以，，，，即，，解得：，整数解的个数则不等式的整数解的个数为1010，故选：B．利用奇函数的定义域关于原点对称可得，所以，所以原不等式等价于，解得，所以，从而得到不等式的整数解的个数．本题主要考查了函数的奇偶性，对数函数导的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：由已知得：，所以，，故切线为：，即．故答案为：．先求出函数的导数，然后分别求出和的值，利用点斜式求出切线方程．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程组解决问题．属于基础题．14.答案：10解析：解：实数x，y满足约束条件，画出可行域，如图：由可得，则直线在y轴上的截距越小，z越大然后平移直线L：，当直线过点A时z最大由可得时，z最大值为10故答案为：10．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：解析：解：由m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面．知：在中，若，，，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若，，，则由面面垂直的性质定理得，故正确；在中，若，，，则或，故错误；在中，若，，，，则线面垂直的判定定理得，故正确．故选：．在中，m与n相交、平行或异面；在中，由面面垂直的性质定理得；在中，或；在中，线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：2021解析：解：，所以，根据正弦型函数的性质，时，存在零点和极值点，所以，整理得，所以，即，故整数a的最小值为2021．故答案为：2021．直接利用整体思想的应用，利用函数的零点和单调性的应用建立不等式组，进一步求出a的最小值．本题考查了三角函数图象与性质、函数的零点与极值点，考查了计算能力，属于基础题．17.答案：解：证明：是与的等差中项，可得，即，可化为，又，故数列是首项和公比均为2的等比数列，即有，所以数列的通项公式为；由可得，则．解析：运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；求得，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和数列的分组求和法，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：、由列表可得：，所以没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，故答案为：没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，由茎叶图知，这10个数据的平均数为：，依题意这10人中满意的有4人，记为a，b，c，很满意的有2人，记为1，2．从这6人中任取2人共含，，，，，，，，，，，，，，个基本事件，记A为从满意和很满意的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A中包含，，，，，，，，个基本事件，所以，故答案为：这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率为，解析：根据题目所给的列联表即可计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．利用列举法和古典概型可得两人中至少有一人是“很满意”会员的概率，本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：解：截面图如图所示：其中F，G，H，I，J分别为，，AD，AB，，的中点．设点B的到平面的距离为h，则由可知：，所以．解析：由平面的基本性质，画出截面图形即可．利用等体积法，转化求解点B到该平面的距离．本题考查平面的基本性质的应用，空间几何体的体积的求法，等体积法的应用，是基本知识的考查．20.答案：解：由题可得，点在椭圆上，带入可得，又，解得，，所以椭圆的方程为；设，，由，可得，由题知MN的斜率存在，所以不妨设直线MN的方程为，带入椭圆方程整理可得，则，，将代入上式可得，解得，则的面积．解析：将点带入方程可得a，b关系，结合即可求出a，b，进而得到方程；设，，由条件得到，联立直线MN与椭圆，利用跟鱼系数关系，结合条件可求得k，进而可求出面积本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：当时，，．，当或时，；当时，，所以的减区间为，增区间为，．令，．，由得，由得，所以在上递增，在上递减．故，又因为，所以恒成立，即当时，的图象恒在函数的图象的下方．解析：直接对函数求导，然后判断导数在定义域内的符号；只需要证明恒成立即可，然后求的单调性、极值以及最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式恒成立问题，同时考查学生运用方程思想、转化思想的解题意识以及运算能力和逻辑推理能力．属于中档题．22.答案：解：曲线的参数方程为：为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为与曲线交于O，A两点，所以，得到，曲线交于O，B两点，所以，则，所以，当时，取得最大值．此时l的极坐标方程为，即直角坐标方程为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：即为，等价为或或，解得或或，所以原不等式的解集为，由题意可得，；证明：由可得，由，，可得，当且仅当时等号成立，故，即．解析：由题意可得，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，即可得到原不等式的解集，进而得到m，n的值；由可得，运用乘1法和基本不等式，证得，本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．。
甘肃省甘谷第一中学2020届高三上学期第一次检测考试数学(文)试题 Word版含答案
甘谷一中2019-2020学年高三第一次检测考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}22,0,2,4,|230A B x x x =-=--<，则A B =I （ ） A. {}0 B. {}2 C. {}0,2 D.{}0,2,42、函数()2lg(31)f x x =++的定义域为（ ）A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3、设函数()1x 22,x 1,f x 1log x,x 1,-⎧≤=⎨->⎩则满足f(x)≤2的x 的取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞)D ．[0,+∞)4、已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(2，22)，且f(m －2)>1，则m 的取值范围是( )A ．m<1或m>3B ．1<m<3C ．m<3D ．m>3 5下列说法中，正确的是：（ ）A ．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为“若b a >，则122-≤ba ”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是( )A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<< C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7、下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）A. 2y x =- B. 2xy -= C. 1y x=D.lg y x = 8、已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A. 1-B. e -C. 1D. e9. 已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A. 0()0f x >B. 0()0f x <C. 0()=0f xD. 0()f x 的符号不确定 10. 函数()(1)ln f x x x =-的图象可能为( )．11.已知函数222,0()=0,0+,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，且在区间[]-12a -，上满单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,3B. [)1,3C. ()1,3D. []1,312. 若a 满足lg 4a a +=，b 满足104bb +=，函数2()2,0()2,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =解的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知1()13x f e x =-，求()f e = . 14. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，若()()23f x f ->，则x 的取值范围是 .15. 用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值.设{}()min 2,2,10x f x x x =+-(0)x ≥,则()f x 的最大值为 .16. 已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立．当[]0,2x ∈，()y f x =单调递减，给出下列命题：①(2)=0f ；②直线=-4x 是函数()y f x =图象的一条对称轴； ③函数()y f x =在[]-4,4上有四个零点；④区间[]-40,-38是()y f x =的一个单调递增区间. 其中所有正确命题的序号为________．三、解答题：共70分。
2020年1月甘肃省高三联考文科数学试题(文科)
2020年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学试卷(文科)嘉峪关市酒钢三中 命题人：杨林世 赵雪艳 刘霞 审题人：周兴存第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则MN =（ ）A ．{}|43x x -<<B ．{}|42x x -<<-C ．{}|22x x -<<D ．{}|23x x <<2．已知角α的终边经过点(-，则sin α的值为（ ）A ．B ．C ．12-D ．-23．已知21,e e 为单位向量，且满足0)2(221=⋅+e e e ，则21,e e 的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5．,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为 （ ）A C D 6．已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则//m n B ．若m α⊥，n β∥，αβ∥，则m n ⊥ C ．若m α∥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥ D ．若m α∥，n β∥，αβ∥，则//m n9．已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>10．已知21,F F 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，直线x y 3=与双曲线C 的一个交点P 在以线段21F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．324+ B ．525+ C ．13+ D ．23+ 11．已知b a ,为正实数，直线2+-=a x y 与曲线1-=+bx ey 相切，则ba 11+的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数21,0(),0x e x f x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ． (,2][2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．[2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为______．14．已知向量)sin ,2(α=a ，)cos ,1(α=b ，且b a //，则=+-)2cos()sin(αππα______．15. 过抛物线x y C 4:2=的焦点F 作直线l 交抛物线C 于B A ,两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则AB ＝________.16．已知边长为ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的表面积为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)已知直线:20l ax y a ++=，1:10l x ay a ++-=，圆22:x 8120C y y +-+=. (1)当a 为何值时，直线1l l 与平行；(2)当直线l 与圆C 相交于,A B两点，且AB =时，求直线l 的方程．18．（12分）已知等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,若62211,0a S ==. (1)求通项n a ；(2)设{}n n b a -是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19.（12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,.若C a A c cos 3sin =. （1）求角C ； （2）若21=c ，且A A B C 2sin 5)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积．20.（12分）如图，在几何体BACDEF 中，四边形CDEF 是菱形，//AB CD ，平面ADF ⊥平面CDEF ，AD AF =.（1）求证：AC DF ⊥；（2）若2,1FA FC FD AB ====，求三棱锥A CDF -和三棱锥E BDF -的体积.21.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率22=e ，左、右焦点分别为21F F 、，抛物线x y 242=的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l y kx m =+：与圆M ：3222=+y x 相切，且直线l 与椭圆相交于A B 、两点，求OB OA ⋅的值.22.(12分) 设0a >，函数2()22ln f x x ax a x =--,2ln ()x xg x x +=. (1)当12a =时，求函数(x)f 的单调区间； (2)求函数)(x g 的极值；(3)若函数(x)f 在区间()0,+∞上有唯一零点，试求a 的值．2020年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学答题卷（文科）二、填空题（每题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 三、解答题（70分）17.（10分）18.（12分）学校：班级： 姓名：考号：请不要在密封线内答题20.（12分）。
甘肃兰州市2020届高考数学(文)诊断试题(含答案)
2020年兰州市高三诊断考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，则A B =I （ ）A. {}0,2,4B. {}2,4C. {}1,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，所以{2,4}A B ⋂=， 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2.已知复数5i22iz =+-，则z =（ ） A. 5 5 C. 1313【答案】B 【解析】 【分析】首先进行除法运算化简z ，再求模即可. 【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-，所以5z =故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.3.已知非零向量a r ，b r 给定:p R λ∃∈，使得λa b =r r，:q a b a b +=+r r r r ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分析各个命题中向量a r ，b r的关系，然后根据充分必要条件的定义确定． 【详解】:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，则a r ，b r共线，:q a b a b +=+r r r r 等价于a r ，b r同向，因此p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα-=，则tan α=（ ）A. 4B. 3C. 4-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和正切公式可求出tan α的值. 【详解】575555512sincos 2sin cos 2sin cos sin 12121212121262ππππππππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭Q ，2221tan 1tan 222tan tan 2tan 22ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，由题意可得21tan 2α=-，因此，tan 4α=-. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.5.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）A.52B.3C.5 D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a =-x 上，得到a ＝2b ，再根据e 22222c a ba a+==解.【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y ba=-x 上， 所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e 222225c a b a a +===， 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.已知集合571113,,,,66666A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A.110 B.25C.35D.310【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-，列举出所有的基本事件，并列举出事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-， 从A 中任选两个角，所有的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、57,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、65611,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、713,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1113,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共10种情况.其中，事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共4个， 因此，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率为42105=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份12345 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误； 对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，∵第一组数据(1,4,1,1)是离群值，去掉后得到的相关系数为2r ，其相关性更强，∴12r r <，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；综上可知正确命题个数是1． 故选：B ．【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题． 8.已知函数()(2ln1f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D.b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】分析出函数()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，利用偶函数的性质可得()1c f =，利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较0.20.2、1、3log 4的大小关系，利用函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】函数()2ln1f x x =+的定义域为R ，且()(()221ln1ln 12f x x x =+=+，()()()()2211ln 1ln 122f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，函数()y f x =为偶函数，()()13log 311c f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，由于函数21u x =+在[)0,+∞上为增函数，函数ln y u =为增函数， 所以，函数()(2ln1f x x =+在[)0,+∞上为增函数，0.203300.20.21log 3log 4<<==<Q ，因此，a c b <<.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A.3 B.22C.3 D.13【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥高和底面的半径相等，且点D 为底面圆周上的一点，∠ABD ＝60，可知D 为¶BE的中点，则以底面中心为原点，分别以OD ，OE ，OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量AB u u u r ，DE u u u r 的坐标，代入公式cos AB u u u r ＜，AB DEDE AB DE⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞求解.【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB.∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ；∴D 为¶BE的中点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设OB ＝1则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB =uu u r （0，﹣1，﹣1），DE =uuu r（﹣1，1，0），∴cos AB u u u r ＜，12AB DE DE AB DE⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π. ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为32. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.10.已知函数()()sin sin cos f x x x x ωωω=+（0>ω），若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的取值范围是（ ）A. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦B. 15,24⎛⎤⎥⎝⎦ C. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦D. 55,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得ω的范围. 【详解】()()1cos 2121sin sin cos sin 2222242x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同交点，即方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根， 由()0,x π∈得2,2444x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以9112444πππωπ<-≤，解得5342ω<≤. 故选：C【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.11.已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR+的最小值为（ ） A. 15+ B. 5 C. 17 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，推导出直线1l 为线段FQ 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得RQ FR =，进而可得出QR MR FR MR +=+，利用F 、R 、M 三点共线可求得QR MR +的最小值. 【详解】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥Q ，则1l 为FQ 的垂直平分线，FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=.故选：D.【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()2xxf x f x x e '-=，()1f e =，则()f x 的最小值为（ ）A. e -B. eC.1eD. 1e-【答案】D 【解析】 【分析】将题干中的等式变形为()()2x xf x f x e x -='，可得出()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并构造函数()()f x F x x=，可得出()x f x e c x=+，进而可得出()xf x xe cx =+，利用()1f e =求得c的值，可得出函数()y f x =的解析式，进而利用导数可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】由()()2xxf x f x x e -='，变形得()()2x xf x f x e x -='，即()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()x f x e c x∴=+（c 为常数），则()xf x xe cx =+，()1f e c e =+=，得0c =. ()x f x xe ∴=，()()1x f x x e ∴=+'，当1x <-时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在1x =-处取得极小值，亦即最小值，则()()min 11f x f e=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，则232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，的定义域，先求232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求232f f log ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】∵函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，且23log 12<，∴232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭232322log ==，∴232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （32）＝23142⨯+=. .故答案为：4.【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量a →，b →满足2b →=，向量a →，b →夹角为120︒，且a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则向量a b →→+=________．6 【解析】 【分析】由垂直得数量积为0，从而得a b ⋅r r，得a r ，然后把模的运算转化为数量积运算即得．【详解】由a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭得2()0a b b a b b +⋅=⋅+=uu r r r r r r ，2a b ⋅=-r r ，即cos1202a b ︒=-r r ，22a =ra b →→+=22222()2(22)2(2)(2)6a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+r r r r r r6．【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系． 15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2222c a b ab =+，8a =，1sin 23A =，则c =_______. 【答案】9 【解析】 【分析】已知由余弦定理即可求得4C π=,由1sin23A =可求得22cos 23A =,即可求得sin A ,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-和2222c a b ab =+-，可得2cos 2C =，得2sin C =，由1sin 23A =，22cos 2A =，42sin 2sin cos 22A A A ∴==sin sin a cA C=，得9c =. 故答案为:9.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝53，AB ＝26，tan54°44′08''2=，则此蜂房的表面积是_____.【答案】2162【解析】【分析】表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD ＝B′D′＝62，再根据∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''2=，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.【详解】如图所示：连接BD ，B ′D ′，则由题意BD ∥B ′D ′，BD ＝B ′D ′＝2， ∵四边形OB ′C ′D ′为菱形，∠B ′C ′D ′＝109°28′16''，tan 54°44′08''2=∴OC ′＝21''25444'08B D tan ⋅=︒"2322=6，B ′C ′＝3， ∴CC ′＝BB ′22''BC BC --=3 ∴S 梯形BB ′CC ′(2653432==2，∴S 表面积＝62⨯316622⨯⨯⨯=2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，18a =-，243a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()*412n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若95n T =，求n 的值. 【答案】（Ⅰ）210n a n =-；（Ⅱ）9n =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，根据题中条件求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求得1121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n T ，然后解方程95n T =，可求得正整数n 的值.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，由18a =-，243a a =，得()8338d d -=-，解得2d =.因此，()11210n a a n d n =+-=-； （Ⅱ）设()()4411212221n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令95n T =，即192115n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，得到9n =.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1==PA AB ，点A 到平面PBC 的距离为3，且直线AC 与PB 垂直.（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥-P EAC 的体积.【答案】（Ⅰ）点E 为PD 中点时，直线PB 与面ACE 平行，理由见解析；（Ⅱ）112. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连接OE ，利用中位线的性质证得//OE PB ，进而可证得//PB 平面ACE ，由此可得出结论；（Ⅱ）推导出AC ⊥平面PAB ，由E 为PD 的中点，可得出12P ACE P ACD V V --=，进而可求得三棱锥-P EAC 的体积.【详解】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与面ACE 平行. 连接BD ，交AC 点O ，则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PBD △的中位线，则//OE PB ，OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以，//PB 平面ACE ；（Ⅱ）根据题意AC PB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则有AC PA ⊥，PA PB P =I ，所以AC ⊥平面PAB ，则AC AB ⊥，设AC x =，2111113112323223P ACB A PBC V V x x --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯，得1AC =， 则11111111223212P EAC P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的判断，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）列联表见解析，有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）根据两幅频率分布直方图完善22⨯列联表，并根据列联表计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C，()0.80.160.360.6P C=++=；（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：()22100303020204 3.84150505050K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计概率，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力，属于基础题.20.已知点F为椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.【答案】（1）22143x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有31a ca c+=⎧⎨-=⎩求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，3），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx3-M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.【详解】（1）由题意可知，31a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得21ac=⎧⎨=⎩，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx 3-由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴221612234M k x k -=+，∴228634Mk x k -=+，21234M k y k -=+， ∴22286123434k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，由2234123x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()2234830k x kx +-=， ∴83N k x =，24333N k y -=， ∴2228343333434k k N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，，∴()221243333433483244332k k k k k k k --+==--+- )()22222212334433348624334kk k k k k k k --++==--+， ∴k 1k 2()2234324433k k k -=--+•)()223443334243k k k -+=--，又∵12c e a ==， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()21123ln 22f x x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）. （Ⅰ）当23a =()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-. 【答案】（Ⅰ）310x y +-=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()223x x af x -+-'=2230x x a -+-=，分>0∆和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出1223x x +=12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+ （Ⅰ）因为23a =()211232322f x x x x =--+，所以()2323f x x x'=-， 那么()11f '=-，()123f =所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()231y x -=--， 即2310x y +-=；（Ⅱ）因为()22323a x x af x x x -+-'=-=2230x x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有133x a =-233x a =-120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在33,33a a --上增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在()0,∞+为减函数. 综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数，在33,33a a --上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数； （Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()2230x x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且1223x x +=120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()2212121212123ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++ 若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>， 构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->， 所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =， 且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立， 即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-（1）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（16（2）121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C 1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r ，d ”法求弦长.（2）将曲线C 2的直角坐标方程转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π），由A （1，0），B （0，1），P （2cosθ，2sinθ），得到AB u u u r，AP u u u r的坐标，再利用数量积公式得到AB AP ⋅u u u r u u u r 2214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后用正弦函数的性质求解.【详解】（1）直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数，得直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，因为曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以222sin cos ρραρα=-所以直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0， 标准式方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2， 所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d 222== 所以弦长|MN |＝222(2)()62-=（2）因为曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-所以x 2+y 2＝40y ≥，转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π）.因为A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cosθ，2sinθ），所以()11AB =-u u u r ，，()212AP cos sin θθ=-u u u r，，（0≤θ≤π）， 所以AB AP ⋅=u u u r u u u r 122cos sin θθ=-+214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为30,444πππθπθ≤≤-≤-≤所以2124sin πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|﹣|x ﹣2a |+a .（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，（2）[﹣4，0] 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，再分类解不等式f （x ）＞4.（2）根据对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，则f （x ）min ≥g （x ）min ，由（1）知， f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，解不等式2≥|2a +2|+a 即可.【详解】（1）因为()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，， 所以f （x ）＞4即为1314x x ≤-⎧⎨--⎩＞或1134x x -⎧⎨+⎩＜＜＞或1314x x ≥⎧⎨+⎩＞，解得53x -＜或x ＞1，所以不等式的解集为()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，； （2）由（1）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立， 故f （x ）min ≥g （x ）min ， 即2≥|2a +2|+a ，所以2222a a a -≤+≤- 解得﹣4≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[﹣4，0].【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2020年甘肃高三一模文科数学试卷(河西五市部分普通高中)-学生用卷
2020年甘肃高三一模文科数学试卷（河西五市部分普通高中）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第1题5分2019~2020学年10月江苏南京秦淮区南京航空航天大学附属高级中学高一上学期月考第1题5分2019~2020学年11月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期月考理科第1题5分已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∪N=（）．A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第2题5分已知角α的终边经过点(−2√5,−√5)，则sinα的值为（）．A. −2√55B. −√55C. −12D. −23、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第3题5分已知e1→，e2→为单位向量，且满足(2e1→+e2→)⋅e2→=0，则e1→，e2→的夹角为（）．A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第4题5分《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同），二十四节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（）．A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸5、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第5题5分将函数y=sin(x−π6)的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）．A. y=sin(x2−5π12)B. y=sin(x2+π12)C. y=sin(2x−5π12)D. y=sin(x2−5π24)6、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第6题5分2019~2020学年12月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三上学期月考理科第4题5分已知函数f(x)=x2+2cosx，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y=f′(x)的图象大致为（）．A.B.C.D.7、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第7题5分2020年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高三三模文科第5题5分2019~2020学年陕西西安碑林区西安市铁一中学高二上学期期末理科第5题4分等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a4”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第8题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市第三中学高三下学期月考文科第6题5分若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）．A. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m//nB. 若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥nC. 若m//α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD. 若m//α，n//β，α//β，则m//n9、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第9题5分已知2a=√3，(12)b>1，log12c>1，则（）．A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. a>c>b10、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第10题5分2020年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高三三模文科第11题5分已知F1，F2与为双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线y=√3x与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）．A. 4+2√3B. 5+2√5C. √3+1D. √3+211、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第11题5分2019~2020学年4月天津北辰区天津市第四十七中学高三下学期月考第7题5分已知a，b为正实数，直线y=x−a+2与曲线y=e x+b−1相切，则1a +1b的最小值为（）．A. 1B. 2C. 4D. 812、【来源】 2020年甘肃高三一模文科第12题5分设函数f(x)={e x−1,x⩽0x2−ax,x>0，若关于x的方程f(x)+m=0对任意的m∈(0,1)有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）．A. (−∞,−2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [−2,2]D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届全国1卷高考仿真模拟试卷文科数学含答案
数学（文科）答案及解析
一、选择题
1. 【答案】C 【解析】因为 A {x | log2 x 3} {x | 0 x 8}，B {0，1，2} ， 所以 A B {1，2} ，所以 ðU ( A B) {0 ，3，4} .故选 C.
2 022 2 023 2 023
12.【答案】C
【解析】由题得 f (x) x2 2ax a ，由函数 f (x) 在 x1 ，x2
(x1 x2 ) 处的导数相等，得 x1 x2 2a ， f (x1 x2 ) m 恒成立， m f (2a)(a 1) 恒成立， 令 g(a) f (2a) 1(2a)3 a(2a)2 a 2a 1
13.【答案】 380 9
【解析】设所抽取的这 100 名住户的年龄的中位数为 m ，
则有10 (0.005 0.015 0.020) ( m 40) 0.045 0.5 ,
解得 m 380 . 9
14. 【答案】 (- 3，- 47 ) 24
【解析】由题意得， f (x) 2x 2 .当 2x 2 3 时，
则
x
1 k
y
1 ，代入
y2
4x
，得
y2
4 k
y
4
0
.设
A(x1 ，y1)，
B(x2 ，y2 ) ，则
y1 y2
4 ，所以
x1x2
y12 4
y22 4
( y1y2 )2 16
1 ，因
为 OA OB x1x2 y1y2 1 4 3 0 ，所以 AOB 为钝角，即
OAB 为钝角三角形.故选 B.
3 4 a3 2a2 1(a 1) ，则 g(a) 4a2 4a 4a(a 1) .
2020-2021学年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷(文科)及答案解析
甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．65．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．26．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．48．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2] C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．14．若tanθ+=4，则sin2θ= ．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25） a 0.5第2组[25，35）18 x第3组[35，45） b 0.9第4组[45，55）9 0.36第5组[55，65] 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；，可得z的共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论．【解答】解：p1：|z|==，故命题为假；p2：z2===2i，故命题为真；，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；：z的虚部为1，故命题为真．∵，∴p4故真命题为p2，p4故选：C．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．3．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．5．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；故选D．【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．7．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lgan}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；导数的概念及应用．【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：C．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．10．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质．【分析】由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．【解答】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0））到该抛物线焦点的距离为3，∵点M（2，y∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x）∵M（2，y∴∴|OM|=故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2] C．[，1）D．[，1]【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n，进而S n的取值范围．【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），即==f（1）=，}是以为首项，以为等比的等比数列，∴数列{an=f（n）=（）n，∴an==1﹣（）n∈[，1）．∴Sn故选C．【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f （x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= 14 ．【考点】选择结构．【专题】图表型．【分析】通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，求出5⊗3+2⊗4的值．【解答】解：有框图知S=a⊗b=∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．14．若tanθ+=4，则sin2θ= ．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：若tanθ+=4，则sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，|2+|PF2|2=|F1F2|2．∴|PF1∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2|2+|PF2|2=|F1F2|2=8∴|PF1又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4∴|PF1因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12|+|PF2|的值为∴|PF1故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．【解答】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25） a 0.5 第2组[25，35）18 x 第3组[35，45） b 0.9第4组[45，55）9 0.36第5组[55，65] 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l 的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题．【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m=2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x ＞0，m ＞0）①当0＜m ＜1时，则，故x ∈（0，m ），f ′（x ）＜0；x ∈（m ，1）时，f ′（x ）＞0此时f （x ）在（0，m ）上单调递减，在（m ，1）单调递增； ②当m=1时，则，故x ∈（0，1），有恒成立，此时f （x ）在（0，1）上单调递减； ③当m ＞1时，则，故时，f ′（x ）＜0；时，f ′（x ）＞0 此时f （x ）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f ′（x 1）=f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）即⇒∵x 1≠x 2，由不等式性质可得恒成立，又x 1，x 2，m ＞0 ∴⇒对m ∈[3，+∞）恒成立令，则对m ∈[3，+∞）恒成立∴g （m ）在[3，+∞）上单调递增， ∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”+x2的取值范围为∴x1【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∵θ1∴|PQ|=2．【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。
2020届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学(文)试题
（1）若 ，判断函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 的图象恒在函数 的图象的下方．
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： .
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 交于 ， 两点，求 取得最大值时直线 的直角坐标方程.
4．B
【分析】
先求出 ，再利用 求出 ，再求 .
【详解】
解：
由 ，所以
，
， ，
故选：B
【点睛】
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
5．B
【分析】
根据双曲线的一个焦点坐标求出 的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】
由于双曲线 的一个焦点为 ，则 ，
双曲线的标准方程为 ，其渐近线方程为 .
故选：B.
23．已知函数 ，不等式 的解集为 .
（1）求实数 ， 的值；
（2）若 ， ， ，求证： .
参考答案
1．D
【分析】
利用并集的定义可求得集合 .
【详解】
， ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．A
【分析】
利用复数的乘法计算得出复数 ，再利用共轭复数的定义可求得复数 .
2020届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2020年4月甘肃省2020届第一次高考诊断考试文科数学答案
解：（1）当 a 2 时， f (x) ln x+x2 -3x 的定义域为 (0, ) ，
f '(x) 1 2x 3 2x2 3x 1 (x 1)(2x 1) ,
x
x
x
所以
f
(x)
在
0，1 2
和
1，
上单调递增，
f
(x)
在
12，1
单调递减.
…………5
分
(2)令 g(x) f (x) [ 1 a(x 1)2 ] ln x x a (x 0).
……………………12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡
上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评
分；多答按所答第一题评分。
22.（本题满分 10 分）
解：（1）曲线 C1 : 2cos ， 曲线 C2 ： x2
可化为 an1 1 2(an 1) ，
故数列an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列.
即 an 1 (a1 1) 2n1 2n ，所以 an 2n 1 .
…………………6 分
（2）由（1）知，数列an 2n 的通项为： an 2n 2n 2n 1 ，
所以 Sn (21 22 23 2n ) (1 3 5 2(1 2n ) n2 2n1 n2 2.
1 2
2n 1)
…………………12 分
18. （本题满分 12 分）
解：（1）由列表可得：
K2
n(ad bc)2
= 100 26 20-30 242 = 50 0.649 3.841 .
(a b)(c d)(a c)(b d )
甘肃省2020年第一次高考诊断考试文科数学【含答案】
【详解】由于双曲线
x2 5
y2 m
1m
0
的一个焦点为
F
3,
0
，则
m
32
5
4，
x2 y2 1
y2 5x
双曲线的标准方程为 5 4 ，其渐近线方程为
5.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数， 考查计算能力，属于基础题.
6.已知 tan
3
，则
sin
1 x2
，
f
1 1 ，
f
1
3
，
因此，曲线
f
x
2
1 x
2 ln
x
在
x
1 处的切线方程为
y
1
3x
1，即
3x y 2 0 .
故答案为： 3x y 2 0 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
x y 1 0
x 2 y 2 0
14.实数 x ， y 满足约束条件 y 2 0
甘肃省 2020 年第一次高考诊断考试文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
t
1，b
3,1
，
b
10
故选：B
【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
5.已知双曲线
x2 5
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第一次诊断文科数学答案
第1页（共3页） 2020年甘肃省第一次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. D
2.A
3.B
4.C
5.B
6.A
7.C
8.A
9.C 10.A 11.D 12. B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 023=--y x 14.10 15. ②④ 16. 2021
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（本题满分12分）
解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，
可化为112(1)n n a a ++=+，
故数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.
即111(1)22n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-. …………………6分
（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221n n a n n +=+-， 所以123(2222)(13521)n n S n =+++
++++++- 2122(12)2 2.12
n n n n +-=+=+-- …………………12分 18. （本题满分12分）
解：（1）由列表可得：
22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=()2
1002620302450505644-⨯⨯⨯⨯⨯⨯500649 3.84177=.≈<. 所以没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关. …………6分
（2）由茎叶图知，这10个数据的平均数为：
1(7.67.98.28.58.99.19.29.39.59.8)8.810⨯+++++++++=. 依题意这10人中满意的有4人，记为,,,a b c d .很满意的有2人，记为1，2.从这6人中任取2人共含15个基本事件，记A 为从满意和很满意的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A 中包含(,1)a ,(,2)a ,(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(,1)d ,(,2)d , (1,2)9个基本事件，所以93()155
P A =. …………12分
第一次诊断文科数学答案
第2页（共3页）
19. （本题满分12分）
解：（1）截面如下图所示：其中F ，G ，H ，I ，J 分别为边1111,,,,C D DD AD AB BB 的中点. …………………6分
（2）设点B 到该平面的距离为h ，则由J HIB B HIJ V V --=可知
1133HIB HIJ S JB S h ∆∆⨯⨯=⨯⨯，
所以11HIB HIJ S JB h S ∆∆⨯⨯===. …………………………12分
4分 (2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2MP PN =，得1212
222(2).x x y y ，-=⎧⎨-=-⎩由题意直线MN 的斜率存在，所以设直线MN 的方程为2
y kx =+，代入椭圆方程整理，
得22(43)1680k x kx ++-=，
所以12x x
+=12x =8分
将122x x =-代入上式可得,
2……………12分 21. （本题满分12分） 解：（1）当2-=a 时，2()ln 3f x x+x -x =的定义域为(0,)+∞， 2'1231(1)(21)()23,x x x x f x x x x x
-+--=+-== 所以)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛210，和()∞+，1上单调递增，)(x f 在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减. …………5分 (2)令21()()[(1)]ln (0).22
a g x f x a x x x x =---=-+> x
x x x g -=-=111)('，所以函数)(x g 在（0，1）上单调递增，()∞+，1上单调递减. 所以()(1)12a g x g ≤=-+
，又2<a ，所以()0g x <恒成立，
第一次诊断文科数学答案 第3页（共3页） 即当2<a 时，)(x f y =的图象恒在函数)0()1(2
12>--=x x a y 的图象的下方. ……………………12分
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。
按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22.（本题满分10分）
解：（1）曲线1C :2cos ρθ=， 曲线2C
：(223x y +=. …………………5分
（2）设直线l 的极坐标方程为2
=θϕϕρπ<<∈R （0,）， 由2cos .θϕρθ=⎧⎨=⎩，得2cos OA ϕ=.
OB ϕ=.
∴2cos 4sin 6OA OB ϕϕϕπ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭，当3=ϕπ时，OA OB 取得最大值， 此时直线l 的极坐标方程为：()3
=θρπ∈R ，化为直角坐标方程即为：3y x .…10分 23.（本题满分10分）
解：（1）不等式()(1)5f x f x +-<可化为12 5.x x -+-<
即有132 5.x x ≤⎧⎨-<⎩，或12x <<或223 5.x x ≥⎧⎨-<⎩
， 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<.
所以不等式的解集为{}|14x x -<<，故1,4m n =-=. …………………5分
（2）由（1）知，0nx y m ，即41x y +=，
由0x >，0y 得，()1111445549x y x y x y x y y x
⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x ,即11,63
x y 时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥.……10分。