开环幅相频率特性
绘制开环幅相频率特性曲线的教学方法研究
２ ０ １ ３年 １ １ 月 第３ １ 卷 第 ６ 期
的交点 的确 定
特 性 曲线 与实轴 的交 点 ： 由 Ｑ（ 叫 ） 一０求 出对 应
的 ∞的值 ， 再将 叫值代入到 Ｐ（ ） 表达式 中， 得到的 值 即为频率 特性 曲线 与 实轴交 点 的坐 标 ；
同理 ， 特 性 曲线 与 虚 轴 的 交 点 ： 由 Ｐ（ ） ＝ ＝ ＝ ０求 出对 应 的 的值 ， 再将 ∞值代 入到 Ｑ（ ∞ ） 表达式中， 得 到 的值 即为频率 特性 曲线 与 虚轴 交点 的坐 标 。 注： 问断 点 的问题 。随 着 叫的值 从 ０开 始 不 断 增加 ， 系统 的频率 特 性 曲线 在 某一 点 或某 些 点 处 不 连续 ， 特 别要 注 意这些 不 连续 点 ， 参 看本 文 开环 幅相 频率 特 性 曲线绘 制举 例部 分 中 的例 ４ 。
和虚部 的值及正负性 ， 确定起点坐标及所处的象限。 步骤 二 开环 幅 相频 率特性 曲线 终 点 的确定 将∞ 一＋。 。 分别代入到系统频 率特性 表达式 中的 实部和虚部 ， 分别 求 出实部 及虚部 的值 。根 据 实部 和 虚部 的值 及正负性 ， 确定终点坐标及所处的象限 。 步 骤 三 开环 幅 相频 率 特 性 曲线 与 实轴 、 虚 轴
２ 开 环幅 相频 率特 性 曲线 绘制举 例 例 １ 某 ０型 单 位 反 馈 系 统 Ｇ（ Ｓ ）一
［ 收稿 日期］２ ｏ １ ３ 一Ｏ ６ —１ Ｏ ［ 基金项 目］安徽省 教 育厅 自然科 学 重点 科 研项 目 （ Ｋ Ｊ ２ Ｏ １ ３ Ａ Ｏ ７ １ ） ； 安 徽 省质 量工 程 项 目（ ２ ０ １ ０ ０ ７ ５ ７ ） ； 安 徽 建 筑 大学 教 学 研究 项 目
4.2开环频率特性
Bode Diagram 100 System: G Frequency (rad/sec): 0.0998 Magnitude (dB): 51.9
Magnitude (dB)
50 System: G 0 Frequency (rad/sec): 0.496 Magnitude (dB): 35.4 -50
绘制L(ω)例题
L((s)H(s) s(2s 1)(s / 30 1) 的L(ω)曲线
[-20]
40 20 0dB -20 -40 [-40] [-20] 10 20 ω 100
0.1 0.2
1
2
[-40]
40 低频段： 0.1 时为52db 0.5 时为38db S 转折频率：0.5 2 30 斜率： -20 +20 -20
K G ( s) (1 T1s )(1 T2 s )
Q( )
A( ) K
1
1 T12 2
1
1 T22 2
( ) arctanT1 arctanT2
例
设某I型系统的开环频率特性为 绘制开环幅相频率特性。
K (T1 T2 ) P ( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K (1 T1T2 2 ) Q ( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
K G ( j ) v ( j )
i 1 i
经过ωi后，斜率变化量为+20dB/dec。 经过ωk后，斜率变化量为+40dB/dec。 经过ωj后，斜率变化量为-20dB/dec。 经过ωl后，斜率变化量为-40dB/dec。
5.3.15.2.2开环幅相特性曲线学习资料
j
1)
2 (1
k
0.25 2 )(1 2 ) [(1
2.5 2 )
j(0.5 2 )]
Im[ GK ( j)] 0.5 2
0
，求得
2 x
0.5 ，因此求得幅相曲线与实轴得交点为：Re[GK ( jx )] 2.67k
概略幅相曲线见右图：
入坐标原点；
n m 2 时， G( j) 0 180 0 ，Nyquist图从负实轴的方向进
入坐标原点；
n m 3时， G( j) 0 270 0 ，Nyquist图从正虚轴的方向进
入坐标原点。
图2
3）穿越实轴的位置。
令频率特性 G( j) 的虚部为零，即 Im[G( j)] 0 ，并求得相应的频率 x ，然后将此频率 x 代入 频率特性G( j) 的实部，则 Re[G( jx )] 就是Nyquist图与实轴的交点。
图1
5.2.2 开环幅相特性曲线
三要素
2）终点确定。
Nyquist图的终点是 时 G( j) 在复平面上的位置。
G(
j)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
... ...
bm1s an1s
bm an
b0 a0
(
1 j)nm
b0 / a0 ( j)nm
(3)
n m 1时， G( j) 0 900 ，Nyquist图从负虚轴的方向进
1）起点确定。
Nyquist图的起点是 0 时 G( j0 ) 在复平面上
的位置。
G(
j0 )
(
K
j)
G0 (
j)
0
(
K
j)
(2)
自动控制原理填空题复习(答案仅供参考)(优.选)
自动控制原理填空题复习（一）1. 对于一个自动控制的性能要求可以概括为三个方面： 稳定性 、 快速性 、 准确性 。
2. 反馈控制系统的工作原理是按 偏差 进行控制，控制作用使 偏差 消除或减小，保证系统的输出量按给定输入的要求变化。
3. 系统的传递函数只与系统 本身 有关，而与系统的输入无关。
4. 自动控制系统按控制方式分，基本控制方式有：开环控制系统 、 闭环控制系统 、混合控制系统 三种。
5. 传递函数G(S)的拉氏反变换是系统的单位 阶跃 响应。
6. 线性连续系统的数学模型有 电机转速自动控制系统。
7. ★系统开环频率特性的低频段，主要是由 惯性 环节和 一阶微分 环节来确定。
8. 稳定系统的开环幅相频率特性靠近（-1，j0）点的程度表征了系统的相对稳定性，它距离（-1，j0）点越 远 ，闭环系统相对稳定性就越高。
9. 频域的相对稳定性常用 相角裕度 和 幅值裕度 表示，工程上常用这里两个量来估算系统的时域性能指标。
10. 某单位反馈系统的开环传递函数2()(5)G S s s =+，则其开环频率特性是 2-2.0tan -)(1πωωϕ-= ，开环幅频特性是424252)(A ωωω+=，开环对数频率特性曲线的转折频率为 。
11. 单位负反馈系统开环传递函数为2()(5)G S s s =+，在输入信号r(t)=sint 作用下，，系统的稳态输出c ss (t)= , 系统的稳态误差e ss (t)= .12. 开环系统的频率特性与闭环系统的时间响应有关。
开环系统的低频段表征闭环系统的 稳定性 ；开环系统的中频段表征闭环系统的 动态性能 ；开环系统的高频段表征闭环系统的 抗干扰能力 。
自动控制原理填空题复习（二）1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 输入量 与反馈量的差值进行的。
2、复合控制有两种基本形式：即按 参考输入 的前馈复合控制和按 扰动 的前馈复合控制。
3、两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为()G s ，则G(s)为 G 1(s)+G 2(s) （用G 1(s)与G 2(s) 表示）。
自动控制原理考试填空题
自控原理填空题复习指南1.对于一个自动控制的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、快速性、准确性。
2.反馈控制系统的工作原理是按偏差进行控制，控制作用使偏差消除或减小，保证系统的输出量按给定输入的要求变化。
3.系统的传递函数只与系统本身结构参数有关，而与系统的输入无关。
4.微分方程是时间域中的连续（填连续或离散）系统的数学模型，传递函数是复数域中连续（填连续或离散）系统的数学模型。
差分方程是时间域中的离散（填连续或离散）系统的数学模型，脉冲传递函数是z域离散（填连续或离散）系统的数学模型。
频率特性是频率域数学模型。
（此题11/12/13班只需了解连续部分）5.自动控制系统按控制方式分，基本控制方式有：开环、闭环、复合三种。
6.传递函数G(S)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
7.线性连续定常系统的稳定的充分必要条件是闭环系统特征方程的根全部具有负实部，或者闭环传递函数的极点均位于s左半平面；线性离散定常系统稳定的充分必要条件是闭环系统特征方程的根模均小于1，或者闭环传递函数的极点均位于z平面单位园内。
8. 线性连续系统的数学模型有 微分方程、传递函数、频率特性、状态空间表达式（现代部分讲解） ；线性离散系统模型有 差分方程、脉冲传递函数、状态空间表达式（现代部分讲解）） 。
9. 系统开环频率特性的低频段，主要是由 放大环节（开环增益） 环节与 微积分 环节来确定。
10. 常用研究非线性系统的方法有 相平面 与 描述函数 两种。
11. 稳定系统的开环幅相频率特性靠近（-1，j0）点的程度表征了系统的相对稳定性，它距离（-1，j0）点越 远 ，闭环系统相对稳定性就越高。
12. 频域的相对稳定性常用 相角裕度（相位裕度） 与 幅值裕度（增益裕度） 表示，工程上常用这里两个量来估算系统的时域性能指标。
13. 某单位反馈系统的开环传递函数2()(5)G S s s =+，则其开环频率特性是5(90arctan )2()(5)o w j G jw jw jw +==+，开环幅频开环对数频率特性曲线的转折频率为5rad/s 。
5.2.2开环频率特性
, T1 T2
() 90 arctanT1 arctanT2
1
(0) 90
() 270
特性分析： K 10
幅相特性曲线起点： A(0) 幅相特性曲线终点 : A() 0
第二节 典型环节与系统的频率特性
1 1 1 K ( 1s 1) ( 2 s 1) ... ( m s 1) ... s s s 14442 4443 1 1 1
T1s 1 T2 s 1 Tn s 1 可知：系统开环传递函数一般是由典型 环节串联而成的。
G0 (s) G1 (s)G2 (s) L Gn (s)
带入式G0(jω)虚部中，得与虚轴的交点为
第二节 典型环节与系统的频率特性
例5-4 已知系统开环传递函数为 Go (s) 试绘制系统开环幅相特性曲线。 解 :频率特性为 Go ( j ) 幅频特性为 相频特性为
10 j (T1 j 1)(T2 j 1) 10 A( ) 1 T12 2 1 T22 2
T1 T2 2 j 1 T1T2 2 与实轴交点分析 Go ( j ) 10 2 1 T12 2 1 T22 2
令虚部为0 解得
1 T1T2x2 0
x T1T2
10TT 1 2 带入式G0(jω)实部中，得与实轴的交点为 T T , j 0 1 2
1 φ ( ω ) φ ω 对数相频特性： ( )=Σ i i= 1 1 1 n
第二节 典型环节与系统的频率特性
绘制系统开环对数频率特性曲线的 一般步骤： 1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
关于绘制开环幅相频率特性曲线的方法研究
特性 曲线 的绘制则是利用乃奎斯特判据的基础 。针对许多学生对概念理解 不清的现状 ， 本文着 重介绍绘制一般线性 系统开环幅相频率特性 曲
线 的原理 。 并分析其起点和终点的幅值与相位 ， 详细阐述绘制步骤的推理过程 通过实例表 明， 该绘 制方法 简便 ， 并且在教学 实践 中收 到了 良
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈ ｔ ｏ ｆｆｅ ｕ ｎ ｙａ ａ ｙ ｉ ｏ ｌ ｅ ｒｓ ｓ ｅ ｉ ａｖ ｒ ｓｒ ｃ ： ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｒ ｑ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓｓｔ ｉ ａ－ ｙ ｔｍ ｓ ｅ ｙｉ ｏ ｔ ｎ ｅｈ ｄｉ ｌｓ ｉａ ｕ ｏ — ｎ ｍｐ ｒａ ｔ ｔ ｏ ｃａ ｓｃ ｌ ｔ ｍａ ｍ ｎ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｒ ，ａ ｄ ｔ ｅ Ｎｙ ｕ ｉ ｃｉｅ ｉｎ ｉ ｋ ｙ ｉ ｅ ｒ ｉ ｇ ａ ｄ ｔａ ｈ ｎ ． Ｄｒ ｗｉｇ ｔ ｅ ｃ ｒ ｅ ｏ ｇ ｉｕ ｅ ｉ ｈ ｏ ｙ ｎ ｈ ｑ ｓｔ ｒｔ ｒ ｓ ｅ ｎ ｌａｎ ｎ ｎ ｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｏ ａ ｎ ｈ ｕ ｖ ｆｍａ ｎ ｔ ｄ － ｐ ａ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａａ ｔｒｓ ｉ ｂ ｓ ｄ ｏ ｐ ｎ —ｌｏ ｓｆ ｕ ｄ ｔ ｎ ｏ ｓｎ ｙ ｕ ｉ ｃｉｅ ｉｎ ． Ｉ ｒ ｅ ｏ ｈ ｓ ｒｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ａ ｅ ｎ ｏ ｅ ｃ ｏ ｐ ｉ ｏ ｎ ａ ｉ ｆｕ ｉｇ Ｎ ｑ ｓｔ ｒｔ ｒ ｏ ｏ ｎ ｏ ｄ ｒｔ ｉ ｒ ｖ ｈ ｔ ｄ ｎ ｓ ｎ ｅ ｓａ ｄｎ ｂ ｕ ｔ ｏ ｃ ｐ ，ｔ ｉ ｒｉｌ ｍ ｐ ａ ｉｅ ｒｎ ｉ ｌｓｏ ｒ ｗｉｇ ｃ ｒ ｅ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ’ｕ ｄ ｒ ｔ ｎ ｉｇ ａ ｏ ｔｉ ｃ ｎ ｅ ｔ ｈ ｓａ ｔ ｅｅ ｈ ｓｚ ｓｐ ｉｃｐ ｅ ｆ ａ ｎ ｕ ｖ ｓ ｃ ｄ ａ ｏ ｔｇ ｎ ｒ ｌｌ ｅ ｒｓ ｓｅ ｍ ａ ｎｔ ｄ ｐ ａ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ｎ ｏ ｅ －ｏ ｐ．ｔ ｅ ｎ ｌｚ ｓ ｍａ ｎ — ｂ ｕ ｅ ｅ ａ ｉ ａ－ ｙ ｔ ｍ ｇ ｉｕ ｅ ｈ ｓ ｒ ｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ｏ ｐ ｎ ｌ ｏ ｎ － ｃ ｈ ｎ ａ ａｙ ｅ ｇ ｉ ｔ ｄ ｎ ｈ ｓ ｆｃ ｒ ｅ Ｓｐ ｉ ａ ｎ ｅ ｍ ｉａ．Ｓ ｍ ｅｅ ａ ｐ ｅ ｎ ｉａ ｅｔ ａ ｈｓｍ ｅ ｈ ｄ ｉ ｓ ｐ ｅａ ｄｃ ｎ ｕ ｅａ ｄｐ ａ ｅｏ ｕ ｖ ’ ｒ ｌａ ｄ ｔｒ ｎ １ ｏ ｘ ｍ ｌｓｉｄ ｃ ｔ ｈ ｔｔ ｉ ｔ ｏ ｓ ｉ ｌ ｎ ｏ — ｍ ｍ ｖ ｎ ｅ ｔ ｕ ｔ ｅｍ ｏ ｅ ｉ ｇ ｔ ｏ ｄ ｔａ ｈ ｎ ｆｅ ｔ ｅ ｉｎ ；ｆ ｒｈ ｒ ｒ ｅ ｓａ ｇ ｏ ｅ ｃ ｉ ｇｅ ｆｃ． ｔ Ｋｅ ｗ ｒ ｓ ｍ ａ ｎ ｆ ｄ ｐ ａ ｅｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ｆ ｐ ｎ ｌｏ ； ｙ ｕ ｓ ｕ ｖ ；ｒ ｑ ｅ ｃ －ｉｌ ｎ ｌ ｓｓ ｙ ｏ ｄ ： ｇ ｉ ｅ — ｈ ｓ ｒ ｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃ ｅｉｔ ｏ ｅ －ｏ ｐ Ｎ ｑ ｉｔｃ ｒ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｆ ｄ ａ ａｙ ｉ ｉ ｃ ｏ ｅ
自动控制原理 第五章 频率法
频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
自动控制原理
蒋大明
幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
90o
(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
自动控制原理
蒋大明
第三节
1.
自动操纵历年考试题
试卷一一、填空题（每空1分，共15分）自动操纵是在___________情形下，利用___________使___________的被控量自动地按预先给定的规律去运动。
对操纵系统的大体要求是___________、___________和___________。
线性定常系统的传递函数概念为：初始条件___________时，系统___________拉式变换与系统___________拉式变换之比。
在频率域中表征系统稳固程度的指标是：___________和___________。
假设环节的传递函数为s K，那么其对数幅频特性L （）在零分贝点处的频率数值为______________。
Bode 图中对数相频特性图上的－180o 线对应于奈奎斯特图中的___________。
标志着系统最终可能达到的操纵精度，它既与系统的结构及参数有关，也取决于___________的形式及大小。
二、简答题（此题15分，其中第1小题10分，第2小题5分） 试求出以下图无源网络的传递函数)(/)(s U s U r c已知系统的闭环特点方程为0)3)(2)(1(=++++k s s s 试确信系统稳固时K 的取值范围 三、计算题（此题40分，其中第一、3小题15分，第2小题10分） 已知系统的结构图如以下图所示。
假设)(1)(t t r =时，试求 （1）当0=f K 时，求系统超调量%σ及调剂时刻s t。
（2）当0≠f K 时，假设要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此刻的调剂时刻s t 的值。
（3）比较上述两种情形，说明内反馈s K f 的作用是什么？R (s )C (s )-2K sN(s )1K系统结构图如以下图所示。
当输入信号)(1)(t t r =，干扰信号)(1)(t t n =时，求系统总的稳态误差系统结构图假设以下图所示，求传递函数)(/)(s R s C ，)(/)(s R s E四、图解题（此题30分，其中第1小题20分，第2小题10分） 已知某最小相位系统开环对数幅频特性如下图。
开环幅相频率特性
Q()
K (1 T1T2 2 ) (1 2T12 )(1 2T22
)
幅频特性和相频特性为
A()
K
1 2T12 1 2T22
() 90 tan 1 T1 tan 1 T2
这是Ⅰ
1、起点
当ω ＝0时，可计算出P(0) K(T1 T2 ) Q，(0)
A(0，)
实频特性
P()
K (1 T1T2 2 ) (1 2T12 )(1 2T22
)
虚频特性
Q()
K (T1 T2 )
(1 2T12 )(1 2T22 )
幅频特性
A()
K
1 2T12 1 2T22
相频特性 φ(ω) tan1 ωT1 tan1 ωT2
1、起点
当 0 时，P(0) 0 Q，(0) 0 ，A(0) K ，(0) 0
2
2
即特性总是以顺时针方向趋于原点，
并以 示。
的角度终n止 于m 原π 点，如下图所 2
3、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。
特性与负实轴的交点的频率由下式求出
Im[GK ( jω)] Q(ω) 0
特性与虚轴的交点的频率由下式求出
Re[GK ( jω)] P(ω) 0
如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大 到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如 果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同， 特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性 可能出现凹部。
P
0
例3.
G(S) K S2 (1T1S)(1T2S)
解:
G(j )
K
(j ) 2 (1 jT1 )(1 jT2 )
自动控制原理
幅频特性和相频特性分别为
G( j )H ( j ) K
1
1
T12 2 1 T22 2 1
G(
j )H (
j )
arctgT1
arctgT2
arctg
(T1 T2 ) 1 T1T2 2
34
1 极坐标图
当 0 时，G( j)H ( j) K,G( j)H ( j) 00
当 1
时，G( j )H ( j ) K T1T2 ，G( j )H ( j ) 900
对数相频特性
ω
tg1
2ζ Tω 1 T2ω2
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1＝0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
22
Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20 lg( 2T 2 ) 40 lg(T )
当ω增加10倍
部和虚部，求出渐近线;
5. 最后在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的
极坐标图。
2
绘制系统开环频率特性的极坐标图，需把系统所包含 的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
例5.2 ：求如下传递函数的极坐标图。
Gjω ejω T
1 jω T 解： G(jω)可写为：
Gjω e jω T 1
0.1
0.2 0.3
0.7 1
0.1
0.2 0.3 0.7
1
0.2
0.4 0.6 0.8 1
/n
2
4 6 8 10
24
可见：当频率接近 ω ωn 时，将产生谐振峰
值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
(完整版)幅相频率特性
⑹ 振荡环节
G(s)
wn2 s2 2wns wn2
(
s
1
)2 2
s
wn2
1 (s 1)(s 2 )
G(
jw)
1
w2 wn2
G
1
j2 w 1 wn
(1
w2 wn2
)
wn j2 w
wn
(1
w2 wn2
)2
(2
w wn
)2
wn
G( j0) 10 G( j) 0 180
[1
w2 wn2
(ms 1) (Tn s 1)
,
(
n
m)
（1）起点（低频段）：
G(
j0
)H
(
j0
)
lim
w0
(
K jw)v
可得低频段乃氏图：
w 0
（ １ ）
(2)终点（高频段）：此时 w ，这时频率特性与分子分 母多项式阶次之差n m有关。分析可得如下结论：
终点处幅值： lim G ( jω) 0 ω
终点处相角：lim ω
例 系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。
K
由曲线形状有
G(s)
s2
wn2
2
s
wn
1
由起点： G( j0) K0 K 2
K
G
[1
w2 w n2
]2
[2
w wn
]2
2 w
G arctan
wn w2
1 - wn2
由(w0)： G( jw0 ) 90 w0 wn 10
由|G(w0)|：
G(w0 )
1 G
1 w2T2 G arctanwT
第四章 频域分析(第三节)1
G (s) =
jt m w )
? ( j w ) (1 + jT1 w )(1 + jT 2 w ) 鬃 (1 + jT n - v w )
(n
m)
其分母阶次为n-m，分子阶次为m，v=0，1，2…， 乃奎斯特图具有以下特点： (1) 当ω=0时，乃奎斯特图的起点取决于系统的型次：
0型系统(v=0) 起始于正实轴上某一有限点；
由系统的频率特性
G ( jw ) = = K j w (1 + jT w ) - KT 1+ T w
2 2
= - K
K j w (1 - jT w )
( j w ) (1 + jT w )(1 - jT w )
w (1 + T w
2 2
2
+ j
)
- KT
则系统的实频特性为
U (w ) = R e 轾 ( jw ) = G 2 2 臌 1+ T w
ω=0
Im
K (T1T2 ) T1 T2
3 2
[G ( j )]
O ω=∞
Re
例 4-6 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G (s) =
K (1 + T1 s ) s (1 + T 2 s )
(T1＞ T 2 ) , 试 绘 制 其 N y q u i s t 图 。
解 系统是由一个比例环节﹑一个积分环节﹑ 一个一阶微分环节和一个惯性环节串联组成， 其频率特性为 K (1 + jT1 w ) G ( jw ) = ( j w )(1 + jT 2 w ) = K (T1 - T 2 )
(1 + T 2 w
自动控制理论(第3学期)
本科--自动控制原理（A1卷）一、单项选择题(每题2分，16分共8小题)1.经典控制理论主要以（ A ）为数学模型，研究单输入单输出系统的分析和设计问题。
A.传递函数 B.微分方程 C.状态方程 D.差分方程2.现代控制理论主要以（ D ）为数学模型。
A ．频域分析 B.根轨迹 C. 时域分析法 D.状态方程 3.自动控制系统主要有控制器和（ C ）组成。
A.检测环节B.放大环节C.被控对象D.调节环节 4.在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在（ A ）基础上建立起来的。
A ．传递函数 B ．频率分析 C ．惯性环节 D ．伯德图 5. 开环增益K 增加，系统的稳定性（ C ）。
A ．变好 B. 变坏 C. 不变 D. 不一定 6. 已知 f(t)=t+1，其L[f(t)]=( D )。
A ．S+S2 B. S2 C. 1S D. 211SS + 7.自动控制系统的反馈环节中必须具有（ B ）。
A.给定元件 B ．检测元件 C.放大元件 D.执行元件 8.已知系统的特征方程为S3+S2+τS+5=0，则系统稳定的τ值范围为（C ）。
A ．τ>0B. τ<0C. τ>5D. 0<τ<5 二、判断题(每题2分，10分共5小题)注：A.正确B.错误1.对控制系统的基本要求一般可以归纳为稳定性、快速性 和平稳性。
B A.正确 B.错误2.按系统有无反馈，通常可将控制系统分为开环控制系统和闭环控制系统 A 。
A.正确 B.错误3.相角条件不是确定根轨迹S 平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件。
B A.正确 B.错误4.频率响应是线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
A A.正确 B.错误5.稳态误差不仅取决于系统自身的结构参数，而且与输入信号的类型有关A 。
A.正确 B.错误 三、填空题（每题2分，10分共5小题）1．典型环节的传递函数中，比例环节的传递函数是 K 。
5-2频率特性的极坐标图
极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下 （注意起始点）：
II型系统
0
I型系统
0
Im
0
0
Re
0 型系统
26
（1） 0型系统的开环幅相频率特性
① 开环传递函数
m
K( js 1)
G(s)H(s)
j 1 n
，nm
(Tis 1)
i 1
② 频率特性
m
K( j j 1)
G( j)H ( j)
j( jTi 1)
i 1
30
③ 幅相频率特性(奈氏图)绘制
当 0 时
当 时
G( j)H ( j)
K
K
e
j
2
j
即幅值趋于 ，而相角位移为
2
A() 0
() (n m) 90
渐近线与虚轴的距离：
Vx
lim
0
Re[G(
j)H (
j)]
此时Vx是开环增益的函数。
31
当n – m = 4 时， I型系统的奈氏图如下所示：
G( j) G( j1) G( j 2) ……
然后在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。
1
（2） 计算
分别计算G(j)的实部和虚部，在复平面上找到相应点，
用光滑曲线连起来。
（3）描点法
找到几个特殊点绘制大致图形
0
| G( j)|0
c
| G( jc )| 1
g
|G( jg )|
G( j)|0 G( jc )
当输入信号的频率ω：0→∞变化时，向量G(jω)的幅值和 相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为 极坐标图。
4.4.2 开环频率和奈奎斯特图
3. 如果Nyquist图经过(-1,j0)，则系统临界稳定。
4. 如果Nyquist图的的变化范围为0到＋∞， 那么Z＝P－2N
推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。
(N = P － Z , 若N<0，P不会为负值，则必有Z ≥1)
k 例4-6 已知开环传递函数 G0 ( j ) ( T1 j 1 )( T2 j 1 ) 判断系统稳定性
C'
s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转 的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。图 4-9（a）、（b）分别表 示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆 弧在GH平面上的映射。
( 2)
j
S
R
0 I m
GH
k , k 100 例4-7 G0 ( j ) ( j 1)(0.5 j 1)(0.2 j 1)
画Nyquist图：
1
0
G0 ( j 0 ) 10000 G ( j ) 0 2700
2
0 单调变化
与实轴有交点，为－7.9
(分母有理化，按虚实部讨论)
j S 平面 j
2 1 - j D形围线 3
s
半径无限大
j j
S平面
Im G 平面 0
j
-1
Re
N= -2
Im G 平面 0
N= 0 • 注意域的映射关系
-1
Re
Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) : 必须使得Z=0(Z为不稳定闭环特征根的个数)。 1. 若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包 围(-1,j0)点。 （N = P － Z = 0－0 ＝ 0) 2. 闭环系统稳定的充要条件是 N = P ( N = P － Z = P 所以 Z = 0 )
自动控制原理(第2版)(余成波)_第5章习题解答 -
108第5章频率特性法教材习题同步解析5.1 一放大器的传递函数为：G (s )=1+Ts K测得其频率响应，当ω=1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。
求放大系数K 及时间常数T 。
解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为A ==222172K T ω=+ 稳态输出与输入信号的相位差arctan 45T ϕω=-=-︒，即1T ω=当ω=1rad/s 时，联立以上方程得T =1，K =12放大器的传递函数为：G (s )=121s +5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为5()1K G s s =+ 根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
（1）r （t ）=sin （t +30°）； （2）r （t ）=2cos （2t －45°）；（3）r （t ）= sin （t +15°）－2cos （2t －45°）； 解：该系统的闭环传递函数为65)(+=Φs s 闭环系统的幅频特性为109365)(2+=ωωA闭环系统的相频特性为6arctan )(ωωϕ-=（1）输入信号的频率为1ω=，因此有37375)(=ωA ，()9.46ϕω︒=- 系统的稳态输出()20.54)37ss c t t ︒=+ （2）输入信号的频率为2ω=，因此有()A ω=，()18.43ϕω︒=- 系统的稳态输出()cos(263.43)2ss c t t ︒=- （3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin （t +15°），系统的稳态输出如下1() 5.54)37ss c t t ︒=+ 对于输入分量2：－2cos （2t －45°），系统的稳态输出为2()63.43)ss c t t ︒=- 根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为)4363.632cos(210)537.5sin(37375)(︒︒--+=t t t c ss5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。
开环幅相特性曲线
开环幅相特性曲线
如果是0型系统，幅相曲线就是奈奎斯特曲线，但如果它不是0型系统就要在幅相曲线补齐虚线才是奈奎斯特曲线。
幅频特性就是指系统频率响应的幅度随频率变化的曲线,幅度大的地方对应通带,也就是对应频率成分通过系统有较小衰减,幅度小的地方对应阻带,也就是对应频率成分通过系统有较大衰减，根据这个特性，可以用来观测比较滤波器的情况，观察其是否符合要求也就是作为滤波器的技术指标。
理想滤波器是分段常数型的,对应的脉冲响应是无限长的sinc函数,实际系统不可能实现,因此要对脉冲响应进行截断处理,这就在频域产生吉布斯效应,也就是在通带和阻带内形成波动,并且不再尖锐截止,产生过度带。
同时可以画幅频特性曲线。
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G(j ) -360
G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )]
令 Re[G(j )] 0 得 1
T1T2
这 时 Im[G(j )] K(T1T2 ) 32
T1 T2 由 此 得 出Nyquist图 与 虚 轴 的 交 点
例4.
G(S)
K(T1S1) S (T2S 1)
例1：设开环系统的传递函数为 G(s)
K
，试绘出
系统的开环幅相曲线。
(1 T1s)(1 T2 s)
解： G( j)
K
(1 jT1 )(1 jT2 )
分母有理化并整理得
G( j) K(1 T1T2 2 ) j
K(T1 T2 )
(1 2T12 )(1 2T22 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
n m, A() 0
φ(ω) (m n) π (n m) π
2
2
即特性总是以顺时针方向趋于原点，
并以 示。
的角度终n止 于m 原π 点，如下图所 2
3、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。
特性与负实轴的交点的频率由下式求出
Im[GK ( jω)] Q(ω) 0
1、起点
当 0 时，P(0) 0 Q，(0) 0 ，A(0) K ，(0) 0
。
2、终点
当 时，P() 0 Q，() 0 A，() 0 (，) 180 。
3、与虚轴的交点
令 P() 0 ，即 K (1 T1T2 2 ) 0
，将此ω1值代入式P(ω)表达式中，可得
1 ，交点对应的频率为 T1T2 ，可以证明
KT1T2 T1 T2
K (T1
T2 )
幅相曲线如下图所示。
K (T1 T2 )
KT1T2 T1 T2
jQ G(s)平面
0
P
0
例3.
G(S) K S2 (1T1S)(1T2S)
Q() 0 －4.75 －5.77 －5.08 －4.14 －2.65 －1.72 －1.15 －0.24 0
在G（s）平面上绘出幅相频率特性曲线如下图所示：
jQ()
10 P()
。0 。。。
。
0.1
0
0.2
例2: 设开环系统的传递函数为
G(s) ,试绘K出幅相曲线。 s(1 T1s)(1 T2 s)
解:
G(j )
K
(j ) 2 (1 jT1 )(1 jT2 )
| G(j ) |
K
2 1 T12 2 1 T2 2 2
G(j ) 0
-180
| G(j )
|arctgT1Ga(jrct)gT2-180
| G(j ) | 0
特性与虚轴的交点的频率由下式求出
Re[GK ( jω)] P(ω) 0
如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω 由0增大 到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如 果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同， 特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性 可能出现凹部。
解解：: G( j)
K
j(1 jT1 )(1 jT2 )
经分母有理化可得
P()
(1
K (T1 T2 )
2T12 )(1 2T22 )
Q() K (1 T1T2 2 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
幅频特性和相频特性为
A()
K
1 2T12 1 2T22
() 90 tan 1 T1 tan 1 T2
这是Ⅰ
1、起点
当ω ＝0时，可计算出P(0) K(T1 T2 ) Q，(0)
A(0，)
(0,)
2
显然当ω→0时，G(jω) 的渐近线是一条过实轴上 K (T1 T2 ) 点，且平行于虚轴
实频特性
P() K (1 T1T2 2 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
虚频特性
Q()
K (T1 T2 )
(1 2T12 )(1 2T22 )
幅频特性
A()
K
1 2T12 1 2T22
相频特性 φ(ω) tan1 ωT1 tan1 ωT2
得， 1
1 T1T2
，代入Q() 中得
Q(1 )
K T1
T1T2 T2
设K＝10，T1＝1，T2＝5时 ，分别代入P() ，Q() 中得不同值时P() Q和()
的结果如下：
0 0.1
P() 1.00 7.5
0.2
0.3 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0
3.85 1.55 0.34 －0.59 －0.79 －0.77 －0.38 0
A(ω) , (ω) 90 1 90
v 2, A(ω) , (ω) 180 290
v 0, A(ω) , (ω) v 90
2、终点：
m
K Ti
n m,
A
i 1 n
, 0
Tj
j 1
一般实际系统
§5-3 开环系统幅相频率特性的绘制及
奈氏判据
一、开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制
开环系统频率特性的一般形式为
1、起点：
m
K ( jTiω 1)
GK ( jω)
i 1 n
( jω)v ( jT jω 1)
＝0
j 1
v 0(0型系统)，
A(ω) K G( jω) , φ(ω) φ(0) 0 v 1(型系统)，
的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是P(0) K(T1 T2 )
2. 终点
当ω→∞ 时，P() 0 ，Q() 0
。
该系统 m=0，n=3 ，故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。
3.
幅相曲线令与Q(实)轴 的0 交，点可为得T1K1T1TTT2211T2