2014年广东省广州市高考文科数学二模试题及答案解析

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广东省广州市2014届高三年级调研测试(文数)试卷及答案

7 8 994 4 6 4 7 3广州市2014届高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84 B ． 84，85 C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1图15．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则A B 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 A．4+ B． C．4+ D．8+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x =[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______．图3正视图侧视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C +=（1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表．（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．ABCOM N图4图518．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC中，A B ++=π．………………………………………………………………1分所以co 22A CBπ+-= (2)分sin2B ==．………………………………………………………………………3分所以2co 2BB =- (5)分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理222c o s b a c a c=+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分（3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正A MB ∆中，D是AB的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故P A A B ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分（2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为A M ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =．所以11422BCS S ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥．在ABC ∆中，1522CD AB ==，所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为M B BC M V V --=， (12)分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分所以512=h ．故点B到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ，所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯， (12)分所以34122552BC DEBH CD⨯⨯===．方法2：在Rt△BHD中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………………………………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ，② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分所以2n n a =． (5)分因为12a =，适合上式，所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2n n a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122nn n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由MD PD 2=知点M为线段PD的中点．……………………………………………1分设点M的坐标是(,x y ，则点P的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=． (3)分所以曲线C的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，xx =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上，所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分（2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分所以()222221*********x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以2123934x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-． (9)分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以[]ma 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减，所以[]2ma ()f x ==．…………………………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。

广东省广州市2014届高三调研测试数学文试题 PDF版含答案

2
2．命题“若 x 1 ，则 1 x 1 ”的逆否命题是 A．若 x 1 ，则 x 1，或x 1
2 2 C．若 x 1，或x 1 ，则 x 1
B．若 1 x 1 ，则 x 1
2
D．若 x 1，或x 1 ，则 x 1
2
3．如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A． 85，84 C． 86，84 B． 84，85 D． 84，86
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18．（本小题满分 14 分）如图 6，在三棱锥 P ABC 中， PA AC ， PC BC ，
P
M 为 PB 的中点， D 为 AB 的中点，且△ AMB 为正三角形．
（1）求证： BC 平面 PAC ；（2）若 BC 4 ， PB 10 ，求点 B 到平面 DCM 的距离． A D 图6 B M C
19．（本小题共 14 分）设数列 a n 满足 a1
a a2 a3 2 nn 2n ， n N* ． 1 2 2 2
（1）求数列 a n 的通项公式；（2）设 bn
an ，求数列 bn 的前 n 项 S n ． an 1 an1 1
图3

10．函数 f ( x) sin x x 在区间 0, 内 A．没有零点 C．有且仅有 2 个零点 B．有且仅有 1 个零点 D．有且仅有 3 个零点
二．填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．（一）必做题（11～13 题） 11．若向量 m 1, 2 ， n x,1 满足 m n ，则 | n | __________． 12．在等比数列 {an } 中，若 a2 a3 3a1 ，则 a4 ．

2014年高考真题——文科数学(广东卷) PDF版含解析

A．充分必要条件
x2 y2 x2 y2 1 与曲线 1的 16 5 k 5 k 16
C．离心率相等 D．焦距相等
B．虚半轴长相等
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【考点与思路】本题考查双曲线的标准方程及几何性质.先判断曲线的类型，再考虑选项. 【答案】D 【解析】由 0 k 5 ，可知曲线为双曲线， a1 16, b1 5 k , c1 21 k ，
12．从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同的字母，则取到字母 a 的概率为【考点与思路】本题பைடு நூலகம்查古典概型概率计算.用列兴法求解即可. 【答案】
2 5
【解析】从5个字母中任取两个不同的字母，有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况，而取得字母a有ab,ac,ad,ae，共4种情况. 所以所求概率为 P
2
为 x 1 ，联立俩曲线直角坐标方程易得交点坐标为 (1, 2) .
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15．(几何证明选讲选做题)如图 3，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB 2 AE ， AC 与 DE 交于点 F ，则
CDF的周长 AEF的周长
【考点与思路】本题考查相似三角形的判断与性质.求【答案】3 【解析】由 EB 2 AE 得
4 2 . 10 5
13．等比数列 an 的各项均为正数，且 a1a5 4 ，则 log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 ＝【考点与思路】本题考查等比数列的和对数的运算性质. 【答案】5 【解析】
a1 a5 a32 4,a3 2 ,
2 2 2

广东省广州市2014年普通高中毕业班综合测试(二)数学文试题(word版)

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2014．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A．y = B ．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+ 5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是图1俯视图侧视图正视图33422A ．16B ．13C ．12D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =，则sin BAC ∠的值为ABCD9．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ija 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅ 的值为 .13．设,x y 满足约束条件220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R . (1) 求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值.17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2HFEDCBA名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表218．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；（3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax=++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f x g x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828)21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T .（1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141+ 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分∴4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x的值域为⎡⎣. ……………5分（2）解法1：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ……………7分 ∴sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分212=-⨯34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ……………6分∴1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分E∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n ===，解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分 (2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，OHFEDCBA∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C = , ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H = ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt △BFC 中，112FH BC ==，∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分()()221121n pn q n p n q n p⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n-⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12d a p-=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分∴1p =-. ……………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①……………10分()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .……………10分由()12311n nx x x x x x x x +-++++=≠- ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax=++， ∴()12f x x a x '=++. ……………2分∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，∴ ()0f x '≥, 即120x a x ++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分∴12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时, 12x x +≥=, 当且仅当12xx =,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x ++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分当0∆≤,即a -≤≤时, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时,()()2ln ln 111f x x x x x g x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分令()11ln x x xϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x x ϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---=⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =， ∴12x x -=由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=.展开得()()22222414414k x x y k k k ++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441kk k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (7)分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k +-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. (13)分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2014年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）z==3+4i3．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）解：∵向量=，﹣=4．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（），由于﹣6．（5分）（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取7．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”解：由正弦定理可知⇒，8．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的﹣=1﹣=19．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，10．（5分）（2014•广东）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1122）12=（）1+z1=1，21z1，2，等式不成立，故错误；二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11．（5分）（2014•广东）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．12．（5分）（2014•广东）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为0.4．中任取两个不同字母，共有=10=4=0.413．（5分）（2014•广东）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．，解得：．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．．=四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．x+）=，）﹣x+））（）=Asin））﹣））﹣（cos=3sin，﹣）．名工人年龄数据如下表：（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．=30[18．（13分）（2014•广东）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．CD=；=，即=，，∴PE=CD；MD=，S MD=××=．19．（14分）（2014•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．得：，即．）由．，．）可知=，=＜（时，显然有=＜时，+﹣•＜，有20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+=1++21．（14分）（2014•广东）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．）转化为（的两根为）时，，）∵∴若存在∪，使得在的两根为，∴依题意有，且，且．∪时，存在唯一的∪，使得∪}∪，使得。

2014高考文科数学真题及答案解析(广东卷)

2014高考广东卷文科数学真题及答案解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3 （2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（）A. 7B. 8C. 10D. 11 5.下列函数为奇函数的是（）A.x x 212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A s i n s i n ≤”的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定 10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABC D 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分 16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1）求A 的值；（2）若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.18（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1）证明：CF ⊥平面MDF （2）求三棱锥M-CDE 的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a.3.2232243sin )3125sin()125(.223)125(),3sin()(=∴=⋅==+=∴=+=A A A A f f x A x f ππππππ且 20（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。

2014广州二模考前必做解答题(文科数学)

2014二模考前必做解答题1（本小题满分12分）已知函数1cos 2cos sin 2)(2-+⋅=x x x x f ，R x ∈． ⑴求)(x f 的最大值；⑵若点)4 , 3(-P 在角α的终边上，求)8(πα+f 的值．解：⑴x x x f 2cos 2sin )(+=……2分)42sin(2π+=x ……5分（其中，“2”1分，“4π”2分）所以)(x f 的最大值为2……6分。

⑵由⑴得)22sin(2]4)8(2sin[2)8(παππαπα+=++=+f ……7分α2cos 2=……8分)4 , 3(-P 在角α的终边上，53cos -=α……10分（这2分与上面2分相互独立）所以2cos 22)8(2-=+απαf ……11分 2527-=……12分．3．（本小题满分14分）如图4，在三棱锥P ABC-中，90PAB PAC ACB∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）若1PA=，=2AB，当三棱锥P ABC-的体积最大时，求BC的长．（1）证明：因为90PAB PAC∠=∠=，所以PA AB⊥，PA AC⊥．………1分因为AB AC A=，所以PA⊥平面ABC．…………………………2分因为BC⊂平面ABC，所以BC PA⊥．……………………………………3分因为90ACB∠=，所以BC CA⊥．……………………………………4分因为PA CA A=，所以BC⊥平面PAC．…………………………………5分因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．………………………6分（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，BC CA⊥，所以PA是三棱锥P ABC-的高．……………………………7分因为1PA=，=2AB，设BC x=()02x<<，……………8分所以AC==9分因为13P ABC ABCV S PA-=⨯△16=………………………………………………10分=()224162x x+-≤⨯…………………………………………11分13=．………………………………………12分当且仅当224x x=-，即x=13分所以当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC．……………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，所以PA是三棱锥P ABC-的高．…………………………………………7分因为90ACB∠=，设ABCθ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，…………………8分则cos2cosBC ABθθ==，sin2sinAC ABθθ==．…………………………9分所以112cos2sin sin222ABCS BC ACθθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．……………………………10分所以13P ABC ABCV S PA-=⨯△1sin23θ=．…………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABCV-有最大值13．…………………………………………………12分此时2cos4BCπ==13分所以当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC．………………………………14分4（1）解：因为数列{}n a是等差数列，所以()11na a n d=+-，()112nn nS na d-=+．………………………………1分依题意，有52722270,.Sa a a=⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a da d a d a d+=⎧⎪⎨+=++⎪⎩…………………3分解得16a=，4d=．……………………………………………5分所以数列{}n a的通项公式为42na n=+（*n∈N）．…………………………6分（2）证明：由（1）可得224nS n n=+．…………………………………7分所以()21112422nS n n n n==++11142n n⎛⎫=-⎪+⎝⎭．…………………………8分PAB图4所以123111111n n n T S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…9分111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．……………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．……………12分所以116n T T ≥=．…………………………………………………………13分所以1368n T ≤<．………………………………………………………………14分5.解:（1）1(0)()(0)⎧+>⎪=⎨⎪+⎩x x x F x x e x x ≤，当0>x 时，1()2=+F x x x≥，即1=x 时，()F x 最小值为2．当0x ≤时，()=+xF x e x ，在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤．所以1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,]-∞+∞．（2）依题意得'21(0)()(0)⎧->⎪=⎨⎪+⎩x k xF x xe k x ≤ ①若0=k ，当0>x 时，'()0<F x ，()F x 递减，当0x ≤时，'()0>F x ，()F x 递增．②若0>k ，当0>x 时，令'()0=F x ，解得=x 当0<<x 时，'()0<F x ，()F x 递减，当>x '()0>F x ，()F x 递增．当0<x 时，'()0>F x ，()F x 递增．③若10-<<k ，当0>x 时，'()0<F x ，()F x 递减．当0<x 时，解'()0=+=x F x e k 得ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，'()0>F x ，()F x 递增，当ln()<-x k 时，'()0<F x ，()F x 递减．④1-k ≤，对任意0≠x ，'()0<F x ，()F x 在()()+∞∞-,0,0,上递减．综上所述，当0>k 时，()F x 在(,0]-∞或)+∞上单调递增，在上单调递减；当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k ，(0,)+∞上单调递减；当1-k ≤时，()F x 在()()+∞∞-,0,0,上单调递减．。

2014广东高考真题数学文(含答案)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（广东卷）参考答案与解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1． B 2． D 3． B 4． C 5． A 6． C 7． A 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11． y 5x 3 选做题 14． 1, 2 16．解：（1） f ( 15． 3 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） 12．
f ( ) 3sin( ) 3cos 6 6 6 3
17．解：（1）众数是 30，极差是 21．

பைடு நூலகம்

（2）
（3） X
19 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 30 20
s2
(19 30) 2 3(28 30)2 3(29 30) 2 5(30 30) 2 4(31 30)2 3(32 30)2 (40 30)2 12.6 20
CDF的周长 = _______ AFE的周长
三．解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）
π 5π 3 2 已知函数 f ( x) A sin x , x R ，且 f ( ) 3 12 2 （1）求 A 的值；
2 2

得 9 x0

2
k
2
2 x0 y0 k 4 y0 2 0
设两切线的斜率为 k1 , k2 ，因为两切线垂直，所以 k1k2 1 故 k1k2
4 y0 2 1 ，得 x0 2 y0 2 13 2 9 x0

2014年广东省高考文科数学模拟试卷及参考答案

17. （本小题满分 12 分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．
）
解（ 1） ∵
x
0.19
2000
x 380
………………３分
（ 2）高三年级人数为 y＋z＝2000 －（ 373＋ 377＋ 380＋ 370）＝ 500， …………………５分现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为：
棱锥的高为 2，连结 AM ，则 AM=
2
AB
BM 2 =
2
2
BM 2 ，
由（ 2）知 PA
AM
∴S
1 PAM= PA ? AM
2
1 2 22 BM 2 2
4 BM 2
∴ V D— PAM= 1 ? S PAM 3
?2= 1 ?
3
4
BM 2 ? 2 = 2 4 BM 2
3
…………………
11分
∵ S AMD
5
（ 1）求 cos( A C ) 的值；
（ 2）求 sin B
的值；
6
uuur uuur （ 3）若 BAgBC 20 ，求
ABC 的面积 .
.
17．（本小题满分 12 分）某完全中学高中部共有学生
2000 名，各年级男、女生人数如下表：
女生
高一年级 373
高二年级 x
高三年级 y
男生
377
370
∴ GH//AD//EF ，
∴ E， F， G， H 四点共面。
…………………………２分
又 H 为 AB 中点，∴ EH//PB 。
…………………………３分
又 EH 面 EFG， PB 平面 EFG，

2014年高考文科数学广东卷及答案

数学试卷第1页（共12页）数学试卷第2页（共12页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据1x ,2x ,…,n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-…,其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,3,4}M =,{0,2,3,5}N =,则M N =( ) A .{0,2} B .{2,3}C .{3,4}D .{3,5} 2.已知复数z 满足(34i)25z -=,则z =( ) A .34i -- B .34i -+ C .34i - D .34i + 3.已知向量(1,2)=a ,(3,1)=b ,则-=b a( ) A .(2,1)-B .(2,1)-C .(2,0)D .(4,3)4.若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤则2z x y =+的最大值等于( )A .7B .8C .10D .11 5.下列函数为奇函数的是( ) A .122x x-B .3sin x xC .2cos 1x +D .22x x +6.为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( ) A .50 B .40 C .25 D .20 7.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的( )A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件8.若实数k 满足05k ＜＜,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的( ) A .实半轴长相等 B .虚半轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等 9.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( ) A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数1ω,2ω定义1212*ωωωω=,其中2ω是2ω的共轭复数,对任意复数1z ,2z ,3z ,有如下四个命题：①1231323()*(*)(*)z z z z z z z +=+； ②1231213*()(*)(*)z z z z z z z ++=+ ③123123(*)**(*)z z z z z z =； ④1221**z z z z =. 则真命题的个数是( ) A .1 B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷第3页（共12页）数学试卷第4页（共12页）(一)必做题(11～13题)11.曲线5e 3x y y =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12.从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为 . 13.等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则212223log log log a a a +++2425log log a a += .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 与2C 的方程分别为2cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图1,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF =△的周长△的周长 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()3f x A x =+,x ∈R ,且5π()12f .（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若()()f f θθ--=,π(0,)2θ∈,求π()6f θ-.17.（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32340 1 合计20（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差. 18.（本小题满分13分）如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==.作如图3折叠：折痕EF DC ∥,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.（Ⅰ）证明：CF ⊥平面MDF ；（Ⅱ）求三棱锥M CDE -的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足22(3)n n S n n S -+--23()0n n +=,*n ∈N .（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有11221111+(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++++…＜.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）数学试卷第5页（共12页）数学试卷第6页（共12页）已知函数321()1()3f x x x ax a =+++∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＜时,试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈,使得01()()2f x f =.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题(文科)解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高。

一组数据12,,,n x x x L 的方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ,其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N ⋂=A.{}0,2B.{}2,3C.{}3,4D.{}3,5 答案:B2、已知复数z 满足()3425i z -=，则z =A.34i --B.34+i -C.34i -D. 34i + 答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3、已知向量()()1,2,3,1==a b ，则-=b aA.()2,1-B.()2,1-C.()2,0D.()4,3 答案:B4、若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8 C .10 D.11 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C.5、下列函数为奇函数的是A.1 22 xx-B.2sinx x C.2cos1x+ D.22xx+答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x xf x f x R f xf xf x--=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6、为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.207、在ABC∆中，角,,A B C所对应的变分别为,,a b c，则a b≤“”是sin sinA B≤“”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8、若实数k满足05k<<，则曲线221165x yk-=-与曲线221165x k y--=的A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9、若空间中四条两两不相同的直线1234,,,l l l l满足122334,//,l l l l l l⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l⊥ B.14//l l C.14l l与既不平行也不垂直 D.14l l与位置关系不确定10、对任意复数12,w w，定义1212w w w w*=，其中2w是2w的共轭复数.对任意复数123,,z z z，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z+*=*+*②()()()1231213z z z z z z z*+=*+*③()()123123z z z z z z**=**④1221z z z z*=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11:13题）11.曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++＝212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）：14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分）已知函数 532()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈= （1）求A 的值；（2）若()()3,(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-. 5533232:(1)()sin()sin 2 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 33331cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17．（本小题满分13 分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）E F D C B A（1）求这20（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（1）求这20名工人年龄的方差；:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ;（2）求三棱锥M CDE -的体积1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0A BCDFPMPEDCBA00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴I I QQ 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅====∴=⋅==19.(本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈ (1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++L221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣Q Q 解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++L 又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-L20.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为), (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程21.(本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ,使得01()()2f x f ='22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->>∴<<U U Q Q 若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭U U U U U 即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。

2014广州市二模(文科)试题及参考答案

俯视图侧视图正视图试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科） 2014．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =，则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与H FE DC BA 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；（3）求五面体ABCDEF 的体积.图219．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分（2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分212=-⨯⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分M OHFE DC B1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===，解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ，OH FEDCBA∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM = ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =, ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BCFH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n n x x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时,12x x +≥=当且仅当12x x =,即2x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥- ∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分② 当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x+-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<, ∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln 33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=.由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k ++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k ++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122k k k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2014年广东省“十二校”高考数学二模试卷(文科)

2014年广东省“十二校”高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设a∈R，若（a-i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】解：∵（a-i）2i=（a2-1-2ai）i=2a+（a2-1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2-1）=0，∴a=1，故选B．化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．2.已知全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，则（）A.M∩N={4}B.M∪N=UC.（∁U N）∪M=UD.（∁U M）∩N=N【答案】B【解析】解：∵全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，∴C U M={2}，C U N=[3}．∴M∩N={4，5}，故A错；M∪N={2，3，4，5}=U，故B对；（C U N）∪M={3，4，5}，故C错；（C U M）∩N={2}，故D错．故选B．由题意，由全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，求出它们的交集、并集或补集即可得到答案．本题考查交并补集的运算，属于集合中的基本运算题，熟练掌握交、并、补运算的定义是解题的关键．3.下列命题中的假命题是（）A.∃x∈R，x3＜0B.“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C.∀x∈R，2x＞0D.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【答案】D【解析】解：当x=-1时，x3=-1＜0，故A为真命题；∵“a＞0”时，“|a|＞0”成立，而“|a|＞0”时，“a＞0”不一定成立，故“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题由对数函数的性质，2x＞0恒成立，故C为真命题若p∧q为假命题，则p，q可能一个为真命题，一个为假命题，故D为假命题故选D利用特称命题的性质，充要条件的定义，全称命题的性质，及复合命题真假的判断方法，逐一分析四个答案，即可得到结论．本题考查逻辑语言，指数函数、幂函数的值域，充要条件的判断及复合命题真假性的判断．属于中等题4.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【答案】A【解析】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选A根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l 与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．5.在等差数列{a n}中，a2+a12=32，则2a3+a15的值是（）A.24B.48C.96D.无法确定【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，所以有：a2+a12=a1+d+a1+11d=32，即：a1+6d=16．∴2a3+a15=2（a1+2d）+a1+14d=3（a1+6d）=3×16=48．故选B．先设等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，利用a2+a12=32求出首项a1和公差d之间的关系；再代入所求问题整理即可求得结论．本题主要考查等差数列中基本量之间的关系．因为已知条件中只有一个等式，没法求出首项a1和公差d；所以在求解本题时，用的是整体代入的思想．6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出i的值是（）A.63B.31C.27D.15【答案】A【解析】解：因为S赋值为0，0不大于50，S=S2+1=02+1=1，i=2i+1=2×1+1=3；1不大于50，S=S2+1=12+1=2，i=2×3+1=7；2不大于50，S=S2+1=22+1=5，i=2×7+1=15；5不大于50，S=S2+1=52+1=26，i=2×15+1=31；26不大于50，S=S2+1=262+1=667，i=2×31+1=63；667大于50，算法结束，输出i的值为63．故选A．题目首先给计数变量S和输出变量i赋值0和1，然后判断S与50的大小关系，S小于等于50进入执行框，S大于50时结束．本题考查的是程序框图题，解答的关键是清楚框图表达的意思，特别是当不满足条件是执行循环，满足条件时算法结束，输出i．7.动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（）A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x【答案】D【解析】解：双曲线x2-=1左焦点为（-2，0），则∵动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，∴M到（-2，0）的距离等于M到直线x=2的距离，∴M的轨迹是以（-2，0）为焦点的抛物线，∴圆心M的轨迹方程是y2=-8x．故选：D．求出双曲线的焦点，根据动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，可得M到（-2，0）的距离等于M到直线x=2的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论．本题考查双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．8.O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（-）•（+-2）=0，则△ABC 的形状一定为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形【答案】C【解析】解：∵====0，∴∴△ABC为等腰三角形．故选C利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，向量模的计算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．9.已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A（，0），则z=||的最大值为（）A.6B.C.4D.2【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当M位于点B（0，2）时，z=||取得最大值则d=，故选：B．作出不等式对应的平面区域，根据z=||的几何意义，利用距离公式即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据距离公式结合数形结合是解决本题的关键．10.已知a是函数f（x）=2x-x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A.f（x0）=0B.f（x0）＞0C.f（x0）＜0D.f（x0）的符号不确定【答案】C【解析】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号…，196-200号）．若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是______ ．【答案】42【解析】解：∵从200名职工中，用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，则样本数据间隔为，若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是22+4×5=42，故答案为：42．根据系统抽样的定义可知样本数据间隔为5，然后根据第5组的号码即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定样本数据间隔是解决本题的关键，比较基础．12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=，a=，c=1，则△ABC的面积S= ______ ．【答案】【解析】解：∵A=，a=，c=1，∴由正弦定理=得：sin C==，由a＞c，得到A＞C，∴C=，∴B=π-（A+C）=，即△ABC为直角三角形，则△ABC的面积S=ac=．故答案为：由A的度数求出sin A的值，再由a与c的值，利用正弦定理求出sin C的值，又a大于c，利用三角形的边角关系判断出A大于C，利用特殊角的三角函数值求出C的度数为，可得出三角形ABC为直角三角形，利用直角边乘积的一半即可求出三角形ABC的面积S．此题考查了正弦定理，三角形的面积，以及三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13.已知实数a≠0，函数f（x）=，＜，，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为______ ．【答案】-【解析】解：当a＞0时，1-a＜1，1+a＞1∴2（1-a）+a=-1-a-2a解得a=舍去当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1∴-1+a-2a=2+2a+a解得a=故答案为对a分类讨论判断出1-a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．14.已知点P是曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P的直角坐标为______ ．【答案】，【解析】解：由曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）消去参数θ化为（-3≤y≤0）．由直线OP的倾斜角为，可得直线OP的方程为y=x．联立，解得x=y=-．∴点P，．故答案为：，．利用平方关系把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，与直线OP的方程联立即可得出．本题考查了把椭圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交问题，属于基础题．15.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB、CB，已知BC=3，BD=4，则AB= ______ ．【答案】2【解析】解：由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理∠ACB=∠DAB，所以△ACB∽△DAB，从而，即AB2=BC•BD．因为BC=3，BD=4，所以AB=2．故答案为：2．先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论．本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=sinx+cos（x-π）（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）若函数f（x）的图象过点（α，），＜α＜．求f（+α）的值．【答案】解：（1）∵f（x）=sinx-cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），∴函数f（x）的最小正周期T=2π，值域为[-2，2]；（2）∵f（α）=2sin（α-）=，∴sin（α-）=，又＜α＜，∴0＜α-＜，∴cos（α-）==，∴f（+α）=2sin[（+α）-]=2sin[（α-）+]=2（sin（α-）cos+cos（α-）sin）=2（×+×）=．【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（x-），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最小正周期和值域；（2）依题意易知，sin（α-）=，cos（α-）=，利用两角和的正弦即可求得f（+α）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查同角三角函数间的关系与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．17.为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．【答案】解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32，则共有1000×0.32=320人；（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08=1，∴x=0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P=【解析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．18.一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E-BCD的体积．【答案】（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，（6分）解得所以BC=4，．以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，所以．（10分）因为EA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB．其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）方法2：因为EA⊥平面ABC，所以．（10分）其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）【解析】（1）由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易求出AC⊥平面EBD，进而得到答案．（2）要求三棱锥E-BCD的体积，我们有两种办法，方法一是利用转化思想，将三棱锥E-BCD的体积转化为三棱锥C-EBD的体积，求出棱锥的高和底面面积后，代入棱锥体积公式，进行求解；方法二是根据V E-BCD=V E-ABC+V D-ABC，将棱锥的体积两个棱次的体积之差，求出两个辅助棱锥的体积后，得到结论．本题考查的知识点是棱锥的体积公式，简单空间图形的三视图，直线与平面垂直的性质，其中根据已知中三视图的体积，判断出几何体中相关几何量的大小，结合已知中其中量，进而判断出线面关系是解答本题的关键．19.已知数列{a n}有a2=P（常数P＞0），其前N项和为S n，满足S n=（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1，并判断{a n}是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；（2）令P n=+，T n是数列{P n}的前n项和，求证：T n-2n＜3．【答案】（1）解：由S1=a1==0，得a1=0，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-，故（n-2）a n=（n-1）a n-1，故当n＞2时，a n==…•a2=（n-1）p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=（n-1）p，a n+1-a n=p，由于p是常数，故数列{a n}为等差数列．a n=（n-1）p；（2）证明：S n==，P n=+=+=2+2（），∴T n=2n+2（1-+-+-+-+…+-+）=2n+2（1+--）=2n+3-2（+）．∴T n=3-2（+）＜3．【解析】（1）先利用a n=S n-S n-1（n≥2）求出数列的递推关系式（n-2）a n=（n-1）a n-1，再通过一步步代换求出数列的通项公式，最后看是否满足等差数列的定义即可证明结论．（2）先对数列的通项整理得P n=2+2（-），再利用裂项求和法求数列{P n}的前n项和T n，易作出判断；本题主要考查数列的求和以及数列的递推关系式的应用和数列与不等式的综合，是对知识的综合考查，属于中档题．20.如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上．【答案】解：（1）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，∴4a=8，a=2．∵△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形，∴e=，即，∴c=1，∴b2=a2-c2=3．∴椭圆E的方程为；（2）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），∴m≠0，△=0，∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0．∴4k2-m2+3=0．此时x0==，y0=，即P（，）由，得Q（4，4k+m）．取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）．取k=-，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）．故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵，，，，∴故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）．【解析】（1）已知△ABF2的周长为8，即4a=8，求得a，再由△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形可得椭圆的离心率，则c可求，进一步求得b，则椭圆方程可求；（2）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0得到k与m 的关系，从而求得直线与椭圆的公共点的坐标，再由直线y=kx+m与x=4联立求得Q 的坐标，然后利用取特殊值法求得以PQ为直径的圆与x轴的交点坐标，进一步证明得答案．本题椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了计算能力，是高考试卷中的压轴题．21.若函数y=在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”，（m，+∞）为f（x）的一阶比增区间．（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2（λ＞0，λ为常数），且g（x）=有唯一的零点，求f（x）的“一阶比增区间”；（3）若f（x）是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈（0，+∞），f （x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．【答案】解：（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，则y==lnx-2ax，则y'=，要使f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，则y'=≥0恒成立，即a恒成立，∵x＞0，∴a≤0．（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2（λ＞0，λ为常数），则g（x）==λx2-lnx-x，由g（x）==λx2-lnx-x=0，得λx2-x=lnx，设y=λx2-x和y=lnx，要使g（x）=有唯一的零点，则由y=λx2-x和y=lnx的图象可知当y=λx2-x经过点（1，0）时，函数g（x）=有唯一的零点，此时λ-1=0，解得λ=1，此时g（x）==x2-lnx-x，g'（x）=2x-1-=，由g'（x）=＞0，得2x2-x-1＞0，∴x＞1或x＜（舍去），即函数g（x）的单调区间为（1，+∞），∴f（x）的“一阶比增区间”是（1，+∞）；（3）∵f（x）是“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上是增函数，又∀x1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，∴＜，＜，即＜，＜∴＜=f（x1+x2）．∴∀x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立．【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义，利用导数和函数单调性之间的关系即可得出；（2）利用“一阶比增函数”的意义，利用g（x）=有唯一的零点先求出λ的值，即可得到f（x）的“一阶比增区间”；（3）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明；本题主要考查函数单调性的应用，正确“一阶比增函数”的意义及增函数的定义及利用已经证明过的结论是解题的关键．涉及的知识点较多，综合性较强．。

2014年广东省高考文科数学模拟试卷及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．22．集合M ＝{}R y x x x y x ∈++-=,,762，N ＝{}R y x x x y y ∈++-=,,762，则集合M N ⋂＝ A ．∅ B ．[－1，4] C ．[－1，7] D ．[0，4] 3．右茎叶图是第十五届全国青年歌手电视大奖赛决赛上十五位评委给某民族唱法选手的所有打分，按照比赛规则，去掉一个最高分和一个最低分，该选手的最终得分是A ．88B ．89C ．90D ．91 4．偶函数)(x f y =当),0( ∞+∈x 时，1)(-=x x f ，则0)1(<-x f 的解集是 A ．[－1，1] B ．[0，1] C ．[0，2] D ．∅ 5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．343cm B ．383cm C ．32cm D ．34cm6．已知a ，b 是实数，则“a +b >0且ab >0”是“a >0且b >0”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，且()0z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值范围是A ．2B ． 1C ． 45-D ．无法确定 8．设f’(x )是函数f (x )的导函数，y = f’(x )的图象如图3所示，则y = f (x )的图象最有可能的是9．设S n 是等比数列{a n }前n 项的乘积，若a 9＝1，则下面的等式中正确的是 A ．S 1＝S 19 B ．S 3＝S 17 C ．S 5＝S 12 D ．S 8＝S 1110．某中学要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为7 9 08 9 8 4 99 5 4 5 2 0 4 3 1 2xyo1 2()y f x =xyo12()y f x =xyo 12()y f x =xyo 1 2()y f x =xy o'()y f x = 2 正视图俯视图22侧视图211 2 图2A B C D 图3图1A ．3[]10x y +=B ．4[]10x y +=C ．5[]10x y += D ．[]10xy =二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．图4所示的程序框图的输出结果为 .12．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为 . 13．请判断以下给出的所有命题：①使“1lg <m ”成立的一个充分不必要条件．．．．．．．是),0(+∞∈m ； ②给出一组向量12(5,7),(1,2)==-e e ，它们可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；③函数x y 2sin =的图象向左平移3π个单位后，得到函数)32sin(π+=x y 图象；④若,,m m l l αβ⊥⊂P 且,m β⊄则αβ⊥；⑤函数(2)f x -的定义域是[1,3]，则函数(21)f x +的定义域是[0,1]. 其中属于假命题．．．的有 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为．15.（几何证明选讲选做题）如图5,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D ,4BD =，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，4cos 5B =. （1）求cos()AC +的值；（2）求sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）若20BA BC =u u u r u u u rg ，求ABC ∆的面积.图4图517．（本小题满分12分）某完全中学高中部共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生 373 x y 男生377370z已知在全校高中学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，求在高三年级抽取的人数；（3）已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率.18．(本小题满分14分)如图6所示，圆柱的高为2，P A 是圆柱的母线，四边形ABCD 为矩形， AB =2，BC =4，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点. （1）求证：PB //面EFG ；（2）求证：平面PDC ⊥平面P AD ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面P AM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分14分）已知二次函数 )(x f 的最小值为－4，且关于x 的不等式0)(≤x f 的解集为{}R x x x ∈≤≤- ,31|. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数x xx f x g ln 4)()(-=的零点个数.图620．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b na n N ---=+∈L (1)11*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（3）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.21．（本小题满分14分）已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M与直线y =相切，圆N ：22(2)1x y -+=．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．st是否为定值？请说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试（广东卷）数学（文科）试题A 参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCCBABDCA二、填空题：11．1006201312.3或5 13.①③⑤ （第12和13题漏填不得分）14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=，cos 3sin 1ρθρθ+=） 15. 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质、三角函数基本关系、两角和的正弦、向量运算和三角形面积公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力）解：(1)在ABC ∆中，∵A B C π++=,∴A C B π+=- ………………1分 ∵4cos 5B =,∴4cos()cos()cos 5A CB B π+=-=-=- ………………3分 (2) 在ABC ∆中，∵4cos 5B =，∴2243sin 1cos 155B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭………………5分 ∴sin sin cos sin cos 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3314334522510+=⨯+⨯= ………………8分 (3) ∵20BA BC =u u u r u u u r g ，即cos 20BA BC B =u u u r u u u r， ………………9分∴4205c a ⋅⨯=，即25ac = ………………10分 ∴ABC ∆的面积11315sin 252252ABC S ac B ∆==⨯⨯= ………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．）解（1）∵0.192000x= ∴ 380x = ………………3分（2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， …………………5分现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名； ………………7分（3）设高三年级女生比男生多的事件为A ，高三年级女生男生数记为（y ，z ）；由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个； …………………9分事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个,∴ 5()11P A =. ………………12分18. （本小题满分14分）（本小题主要考查几何体体积，空间线线、线面关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）（1）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ，数学（文科）参考答案及评分标准A 第1页（共4页）∵E ，F ，G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点， ∴GH//AD//EF ，∴E ，F ，G ，H 四点共面。