1.3.2 函数的奇偶性

问题４： (1)定义在［-2,7］上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？ (2)定义在［-2,2］上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1).函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于 原点对称。 o [-b,-a] [a ,b] (2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说 函数f(x) 具有奇偶性。
思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?
－３－２
o
２３
x
f(-2)=f(2)
f(-３)=f(３)
问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使 f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？
f ( x) ( x) 2 x 2 f ( x)
函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
x
练习1. 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ①f(x)=x4 ________
奇函数 ② f(x)=x ________ 奇函数 ③ f(x)=x5 __________
奇函数 ④ f(x)= x -1 __________
⑤f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________
o
x
x
( x, g ( x))
( x, g ( x))
函数y=f(x)的图象 关于原点对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(-x)=-f(x)
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(-x)=- f(x)，那么函数f(x) 就叫做奇函数(odd function) 。
2 2
既是奇函数又是偶函数
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图， 画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 y 解：画法略
o
x
例3、研究函数
的性质并作出它的图像
解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即｛x∈R|x≠0｝
分析略：请一位同学一边分析，一边画出函数图像来！
1 x … -3 -2 -1 - 1 … 0 … 2 2 1 1 1 4 … 不存 … 4 y … 9 4 在
奇函数的图象(如y=x3 )
y
偶函数的图象(如y=x2)
y
p(a ,f(a))
P/(-a ,f(-a))
p(a ,f(a))
(-a,f(a))
-a
o
a a
x
-a
o
a
x
P/(-a ,f(-a))
(-a,-f(a))
奇函数的图象关于原点对称. 反之,若一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数是奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴 对称,那么这个函数是偶函数.
练 ： p361、 习 2 p39 A6、B3
1.3.2
函数的奇偶性
引 例：
问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值．
解: f(-2)=(-2)2=4 f(-３)=(-３)2=９
f来自百度文库2)=２２＝4 f(３)= ３2=９
( x, f ( x))
( x, f ( x))
y
( x, f ( x))
说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。
例1：判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R
(2)
f(x)=2x4+3x2
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
1 1
2
1 4
3 …
1 9
…
由图像可以看出这个函数的 单调区间是什么？
偶 数 （ 0,)上 增 数 函 在 是 函 ， 在 ， 上 减 数 则 （ 0） 是 函 。
练习3 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。
x2 x 练 4、 明 数 f ( x) 习 证 函 x x2 是 函 奇 数 ( x 0) ( x 0)
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(x)=f(-x)
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x) 就叫做偶函数（even function）。
问题３.已知g(x)=x3,画出它的图象,并求出g(-2),g(2),g(-1), g(1)及g(-x)
y
练习5如图是奇函数y=f(x)图象 的一部分，试画出函数在y轴 左边的图象。
x
0
本课小结:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为奇函数。 f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数 它的图象关于原点对称。 它的图象关于y 轴对称。
y y
O
x0
x
-2
-1
O
1
x
练习2. 判断下列函数的奇偶性
1 (1) f(x)=x- x
非奇非偶
奇函数
(2) f(x)= x2 +2，x∈[-4,4)，若x∈（-4,4）呢？
偶函数
(3) f(x)=5
偶函数
1 x f ( x) ( x 1) 1 x
非奇非偶
(4) f(x)=0
(5)f (x) x 1 1 x
=2x4+3x2
= -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数 即 f(-x)= f(x) ∴f(x)为偶函数
☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。
也可以通过图像 的对称 性判断函数的奇偶性
y
解: g(-2)=(-2)3=-8
g (2)=8
-x
g(-x)
(x g(x) , g ( x))
g(-1)=(-1)3=-1 g(1)=1 g(-x)=(-x)3=-x3 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律? g(-2)= - g(2) g(-1)= - g(1) g(-x)= - g(x)