2-5矩阵的秩详解
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矩阵的秩
1、矩阵的 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. k k m n 矩阵共有 C m Cn 个 k 阶子式.
满秩方阵; r ( A ) n A 0 ,此时称A为降秩方阵
3
成为B , 定理2.5.1 若Amn经过若干次初等行变换 则r ( A ) r ( B ),即行等价的矩阵有相同 的秩
初等行变换不改变矩阵的非零子式的最高阶数 推论 2.5.1 初等列变换也不改变矩阵的秩
推论2.5.2 设Amn , Pmm 及Qnn均可逆,则有
r ( PA ) r ( AQ ) r ( PAQ ) r ( A )
即满秩方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变
4
矩阵秩的求法
A 初等行变换 阶梯形矩阵B A的秩 等于 B中非零行的行数 例1 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 例 2 设 1 2 2 1 1 求 R A , R B , 2 4 8 0 2 其中 B A b ,b A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
R( A ) r
（1） Dr 0 ; （2） Dr 1 0 .
性质： 若Amn 0 ,则 : 1 r ( A ) minm , n （ 1） T r ( A ) r ( A ) （ 2） （3）阶梯型矩阵的秩等于它的非零行的行数 （4） 对于Ann , r ( A ) n A 0 ,此时称A为
注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用 初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初 等列变换均可以使用.
7
4、小结 1）子式与 k 阶子式 2）矩阵的秩 ---------非零子式的最高阶数 3）等价的矩阵具有相同的秩 4）矩阵秩的求法
8
最低阶为 1 阶， 最高阶为 min{ m , n} 阶.
1
3 9 3 1 如：矩阵 A 0 1 3 4 2 3 9 6
1
3
2 6
12
是它的一个二阶子式
易见 A 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 方阵的最高阶子式就是方阵的行列式
2
2、矩阵的秩 定义 如果 A O , 则称A的秩为零；如果 A O ，则称A 中非零子式的最高阶数为A的秩. 记为 r ( A) 或 R( A) .
5
矩阵的秩标准形
称满足下列两个条件的矩阵为秩标准形： 1）左上角为单位阵； ２）其它元素均为０. 定理2.5.2
设r ( Amn ) r ,则可逆矩阵P及Q ,使得PAQ成为 下列矩阵之一 : Ir 0 0 , 0 In 0 ,
I m ,
0,
In
( 当r m n ) ( 当r m n ) ( 当r m且r n ) ( 当r n m )
6
例3 将下列矩阵利用初等变换2 1 1 1 2 1 4 1 A 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
1、矩阵的 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. k k m n 矩阵共有 C m Cn 个 k 阶子式.
满秩方阵; r ( A ) n A 0 ,此时称A为降秩方阵
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成为B , 定理2.5.1 若Amn经过若干次初等行变换 则r ( A ) r ( B ),即行等价的矩阵有相同 的秩
初等行变换不改变矩阵的非零子式的最高阶数 推论 2.5.1 初等列变换也不改变矩阵的秩
推论2.5.2 设Amn , Pmm 及Qnn均可逆,则有
r ( PA ) r ( AQ ) r ( PAQ ) r ( A )
即满秩方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变
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矩阵秩的求法
A 初等行变换 阶梯形矩阵B A的秩 等于 B中非零行的行数 例1 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 例 2 设 1 2 2 1 1 求 R A , R B , 2 4 8 0 2 其中 B A b ,b A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
R( A ) r
（1） Dr 0 ; （2） Dr 1 0 .
性质： 若Amn 0 ,则 : 1 r ( A ) minm , n （ 1） T r ( A ) r ( A ) （ 2） （3）阶梯型矩阵的秩等于它的非零行的行数 （4） 对于Ann , r ( A ) n A 0 ,此时称A为
注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用 初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初 等列变换均可以使用.
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4、小结 1）子式与 k 阶子式 2）矩阵的秩 ---------非零子式的最高阶数 3）等价的矩阵具有相同的秩 4）矩阵秩的求法
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最低阶为 1 阶， 最高阶为 min{ m , n} 阶.
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3 9 3 1 如：矩阵 A 0 1 3 4 2 3 9 6
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是它的一个二阶子式
易见 A 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 方阵的最高阶子式就是方阵的行列式
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2、矩阵的秩 定义 如果 A O , 则称A的秩为零；如果 A O ，则称A 中非零子式的最高阶数为A的秩. 记为 r ( A) 或 R( A) .
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矩阵的秩标准形
称满足下列两个条件的矩阵为秩标准形： 1）左上角为单位阵； ２）其它元素均为０. 定理2.5.2
设r ( Amn ) r ,则可逆矩阵P及Q ,使得PAQ成为 下列矩阵之一 : Ir 0 0 , 0 In 0 ,
I m ,
0,
In
( 当r m n ) ( 当r m n ) ( 当r m且r n ) ( 当r n m )
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例3 将下列矩阵利用初等变换2 1 1 1 2 1 4 1 A 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9