极坐标参数方程立体几何卷
极坐标与参数方程高考真题58题(学生) (1)
极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。
经典《极坐标及全参数方程》综合测试题含问题详解
适用标准文案《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点P（ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ）﹣ 6．若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点 P（x，y）是圆 C上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的 O为极点， Ox为极轴，选择同样的长度单位成立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是ρ =．（ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3，当直线 l 与曲线 C ,02AB2.订交于 A，B 两点，求PA PB5．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立极坐标系，曲线x 3cos 为参数），曲线 C 的极坐标方C 的参数方程为(12sin2y 程为．（ 1）求曲线 C 1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C 1 上一点， Q 曲线 C 2 上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ 2= ，点 R （ 2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ =2，曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞ 0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2 =|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．9．在极坐标系中，射线l ：θ =与圆C：ρ =2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ =．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求 B 点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞ 0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A 两点，与 C2交于 O、B 两点．当α =0 时，|OA|=1；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为 C2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案一．解答题（共16 小题）1．在极坐标系中，已知曲线 C：ρ =2cosθ，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点 P （ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（ 1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为： x2+y2﹣2x=0 即（ x﹣1）2+y2=1．∴曲线 C1的直角坐标方程为=1，∴曲线 C 表示焦点坐标为（﹣，0），（， 0），长轴长为 4 的椭圆（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程=1 中，得13t24t 12 0 ．设 A、B 两点对应的参数分别为t 1， t 2，∴+=210 ．32．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．【解答】解：（I ）利用 cos2φ +sin 2φ =1，把圆 C 的参数方程为参数）化为（ x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣ 2ρ cosθ =0，即ρ =2cosθ．（ II ）设（ρ1，θ1）为点 P 的极坐标，由，解得．（ρ 2 ，θ 2 ）点Q 的极坐，由，解得．∵θ 1=θ2 ，∴|PQ|=|ρ1ρ 2|=2．∴|PQ|=2 ．3．在极坐系中， C 的极坐方程：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ） 6．若以极点 O原点，极所在直 x 成立平面直角坐系．（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐系中，点 P（x，y）是 C上点，求 x+y 的最大，并求出此点 P 的直角坐．【解答】（本小分 10 分）修 4 4：坐系与参数方程解：（Ⅰ）因ρ2=4ρ（ cosθ +sin θ） 6，因此 x2+y2=4x+4y 6，因此 x2+y24x 4y+6=0，即（ x 2）2+（y 2）2=2C的一般方程．⋯（ 4 分）因此所求的 C 的参数方程（θ 参数）．⋯（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，⋯（7 分）当，即点 P 的直角坐（3，3），⋯（9 分）x+y 取到最大 6．⋯（10 分）4．若以直角坐系xOy 的 O极点， Ox极，同样的度位成立极坐系，得曲 C 的极坐方程是ρ =．（ 1）将曲 C 的极坐方程化直角坐方程，并指出曲是什么曲；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3,0，当直线 l 与曲线 C 2AB2.订交于 A， B 两点，求PA PB【解答】解：（1）∵ρ =，∴ρ 2sin2θ =6ρcosθ，∴曲线 C 的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，张口向右的抛物线．（ 2）直线 l的参数方程可化为，代入 y2=6x 得 t 2﹣4t ﹣12=0．解得 t 1=﹣2，t 2=6．22AB∴ | |=|t 1﹣t 2|=8 ．3PA PB5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立x3cos为参数），曲线 C 的极坐标方程为极坐标系，曲线 C 的参数方程为(12sin 2y．（1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1上一点， Q曲线 C2上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．【解答】解：（ 1）由消去参数α，得曲线C1的一般方程为．由得，曲线 C2的直角坐标方程为．（2）设 P（2 cosα， 2sin α），则点P到曲线C2的距离为．当时， d 有最小值，因此|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ2=，点 R（2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为 x=ρcosθ， y=ρsin θ，则：曲线 C 的方程为ρ2=，转变成．点 R 的极坐标转变成直角坐标为： R（2，2）．（Ⅱ）设 P（）依据题意，获得 Q（ 2， sin θ），则： |PQ|=，|QR|=2﹣sin θ，因此： |PQ|+|QR|=．当时，（ |PQ|+|QR| ）min=2，矩形的最小周长为 4．7．已知平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线 C1交于 P，Q两点，求 |PQ| 的长度．【解答】解：（I ）曲线 C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2 =9，睁开为： x2+y2﹣ 2 x+2y﹣ 5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρ sin θ﹣ 5=0．2曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ=2ρ cos θ，可得直角坐标方程：（ II ）把直线θ =（ρ∈ R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣ 2ρ﹣ 5=0，∴ρ 1+ρ2 =2，ρ 1?ρ2=﹣5，∴ |PQ|=| ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，曲线 C的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2=|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．【解答】解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，化为直角坐标方程： x﹣y﹣2=0．∵ x=﹣2+ t ，∴ y=x﹣2=﹣ 4+ t ，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ =2pcosθ（ p＞0），即为ρ2 sin 2θ=2pρ cos θ（ p＞0），可得直角坐标方程： y2=2px．把直线 l 的参数方程代入可得： t 2﹣（ 8+2p）t+8p+32=0．∴ t 1+t 2=（8+2p），t1t2=8p+32．不如设 |MP|=t 1， |MQ|=t 2．|PQ|=|t 1﹣ t 2 |===．∵|PQ| 2=|MP|? |MQ|，∴ 8p2+32p=8p+32，化为： p2+3p﹣4=0，解得 p=1．9．在极坐标系中，射线 l ：θ =与圆C：ρ =2 交于点 A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系 xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线 l ：θ =与圆 C：ρ =2 交于点 A（ 2，），点 A 的直角坐标（，1）；椭圆Γ 的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设 F（ cosθ， sin θ），∵ E（ 0，﹣ 1），∴=（﹣，﹣ 2）， =（cosθ﹣， sin θ﹣ 1），∴?=﹣3cosθ +3﹣2（sin θ﹣ 1）=sin （θ +α） +5，∴?的取值范围是 [5 ﹣，5+] ．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（1）曲线的 C 参数方程为（φ为参数），一般方程为（x﹣ 1）2+（y﹣ 1）2=4，直线 l 的极坐标方程为ρ =，直角坐标方程为x﹣ y﹣ 4=0；（ 2）点 P 到直线 l 的距离 d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ =2kπ﹣（k∈ Z），距离的最小值为2﹣2，点P 的直角坐标（ 1+，1﹣）．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．【解答】解：（I ）由可得ρ =x﹣2，∴ρ 2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线 C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线 C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵ M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，∴|M1M2| 的最小值等于 M2到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值．设 M2（r 2﹣ 1，2r ）， M2到直线 2x+y+4=0 的距离为 d，则 d==≥．∴ |M1M2| 的最小值为．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求点 B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）x1 cos(0，θ为参数）y sin2（ 2）：设 A（ρ0，θ0），且知足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依题意，即代入ρ 0=2cosθ0 并整理得，，，因此点 B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A两点，与 C2交于 O、 B 两点．当α =0 时， |OA|=1 ；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线 C1：（φ为参数，实数a＞0），化为一般方程为（ x﹣ a）2+y2 =a2，睁开为： x2+y2﹣ 2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρ cos θ，即ρ =2acosθ，由题意可适当θ=0 时， |OA|=ρ =1，∴ a= ．曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0），化为一般方程为x2 +（ y﹣ b）2=b2，睁开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ，由题意可适当时， |OB|= ρ=2，∴ b=1．（Ⅱ）由（ I ）可得 C1，C2的方程分别为ρ =cosθ，ρ =2sin θ．∴2|OA| 2+|OA| ? |OB|=2cos 2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2 θ+1=+1，∵ 2θ + ∈，∴+1 的最大值为+1，当 2θ+ =时，θ =时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．2（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，且曲线 C3与曲线 C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），一般方程为（ x′﹣ 1）2+y′2=1，∴ C2的极坐标方程为ρ =2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心， 2 为半径的圆，曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d== ，∴ |PQ|=2=．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆 C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ，则圆的一般方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ， x2+y2=ρ2，可得半圆 C 的极坐标方程为ρ =2sin θ，θ∈ [0 ，] ；（Ⅱ）由题意可得半圆 C 的直径为 2，设半圆的直径为OA，则 sin ∠TAO=，因为∠ TAO∈ [0 ，] ，则∠ TAO=，因为∠ TAO=∠TOX，因此∠ TOX=，T 点的极坐标为（，）．16．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线 C1的参数方程式（t为参数），得（ x﹣4）2+（y﹣5）2=25 即为圆 C1的一般方程，即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣ 10ρsin θ +16=0，此即为 C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin θ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴ C1与 C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。
参数方程 极坐标专项训练 高三数学解析几何专项训练试题(含例题、练习、答案)
心尺引州丑巴孔市中潭学校第三章 参数方程 极坐标专项训练参数方程、极坐标〔一〕【例题精选】：一、参数方程：例1：化以下方程为普通方程解：〔1〕∴=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴--=-+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x t t y t t x t t y t t 311211131121①②②2－①2得 〔2〕解出cos sin θθ=+=-x y y x 4929〔3〕由x tt =-+21中解出t 得t x x x =-+≠-211（）代入y t t=+21中，化简得：〔4〕由y tg y tg x tg =+=+=sin (cos )θθθθθ得·1 例2：P x y (,)是以A 〔1，0〕为圆心且过原点O 的圆，设∠=AOP α，以α为参数，写出此圆的参数方程。
解：连BP ，自P 作PM OB ⊥，M 为垂足，∴所求圆的参数方程是x y ==⎧⎨⎩∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥22222cos sin αααππ， 例3：一个质点按照规律x a t y b t t =+=+⎧⎨⎩cos sin θθ（为参数）运动，试求它从时间t 1到t 2所经过的距离。
解：设时间t 1、t 2对应的点为A 、B ，那么A 、B 点的坐标分别是：例4：圆锥曲线方程是x t y t =++=-+-⎧⎨⎩3516452cos sin ϕϕ〔1〕假设t 为参数，ϕ为常数，求这圆锥曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
〔2〕假设ϕ为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程，并求出它的离心率。
解：〔1〕方程化成x ty t --=-+=-⎧⎨⎩5134562cos sin ϕϕ 消去参数t ，得()()x y --=--+5132452cos sin ϕϕ 顶点为()5145cos sin ϕϕ+-，焦点到准线的距离为P =34〔2〕方程化成x t y t --=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪3156542cos sin ϕϕ消去参数ϕ，得例5：直线l x t y t t R :sin cos =-︒=+︒⎧⎨⎩∈125525（）的倾斜角是：A ．115B ．75C ．155D ．25分析：y t -=︒525cos答案：A例6：直线x ty t t y x =--=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--=1352452122（为参数）与曲线()相交于A 、B 两点。
高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案
高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分 （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
11.17立体几何 三角函数 极坐标与参数方程-教师用卷
立体几何三角函数极坐标与参数方程一、解答题（本大题共8小题，共96.0分）1.已知几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD⊥DC,EA⊥平面ABCD,FC∥EA,AB=AD=EA=1,CD=CF=2．(Ⅰ)求证：平面EBD⊥平面BCF；(Ⅱ)求点B到平面ECD的距离．【答案】(I)证明：∵AB∥CD,AD⊥DC,AB=AD=1,CD=2,∴BD=BC=√2,∴BD2+BC2=CD2,∴BD⊥BC,∵EA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴EA⊥BD,∵EA∥FC,∴FC⊥BD,又BC⊂平面BCF,FC⊂平面BCF,BC∩CF=C,∴BD⊥平面FBC,又BD⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面BCF．(II)解：过A作AM⊥DE,垂足为M,∵EA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴EA⊥CD,又CD⊥AD,EA∩AD=A,∴CD⊥平面EAD,又AM⊂平面EAD,∴AM⊥CD,又AM⊥DE,DE∩CD=D,∴AM⊥平面CDE,∵AD=AE=1,EA⊥AD,∴AM=√22,即A到平面CDE的距离为√22,∵AB∥CD,CD⊂平面CDE,AB⊄平面CDE,∴AB∥平面CDE,∴B到平面CDE的距离为√22．【解析】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质,空间距离的计算,属于中档题．(I)推出BD⊥平面FBC,即可证明平面EBD⊥平面BCF；(II)证明AB∥平面CDE,于是B到平面CDE的距离等于A到平面CDE的距离,过A作AM⊥DE,证明AM⊥平面CDE,于是AM的长即为B到平面CDE的距离．2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1−BCDE．(Ⅰ)证明：CD⊥平面A1OC；(Ⅱ)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1−BCDE的体积为36√2,求a的值．【答案】解：(I)在图1中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,∠BAD=π2,所以BE⊥AC,即在图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥面A1OC,由CD∥BE,所以CD⊥面A1OC,(II)即A1O是四棱锥A1−BCDE的高,根据图1得出A1O=√22AB=√22a,∴平行四边形BCDE的面积S=BC⋅AB=a2,V=13×S×A1O=13×a2×√22a=√26a3,由a=√26a3=36√2,得出a=6．【解析】(I)运用E是AD的中点,判断得出BE⊥AC,BE⊥面A1OC,考虑CD∥DE,即可判断CD⊥面A1OC．(II)运用好折叠之前,之后的图形得出A1O是四棱锥A1−BCDE的高,平行四边形BCDE的面积S=BC⋅AB=a2,运用体积公式求解即可得出a的值．本题考查了平面立体转化的问题,运用好折叠之前,之后的图形,对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．3.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(Ⅰ)证明：AC⊥HD′；(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD′=2√2,求五棱锥D′−ABCFE体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, 点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,∴EF//AC,且EF⊥BD,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,则D′H⊥EF,∵EF//AC,∴AC⊥HD′；(Ⅱ)若AB=5,AC=6,则AO=3,BO=OD=4,∵AE=54,AD=AB=5,∴DE =5−54=154, ∵EF//AC , ∴DE AD =EH AO =DH OD =1545=34, ∴EH =94,EF =2EH =92,DH =3,OH =4−3=1, ∵HD′=DH =3,OD ′=2√2,∴满足HD ′2=OD ′2+OH 2,则△OHD ′为直角三角形,且OD ′⊥OH ,又OD ′⊥AC ,AC ∩OH =O ,即OD ′⊥底面ABCD ,即OD ′是五棱锥D ′−ABCFE 的高． 底面五边形的面积S =12×AC ⋅OB +(EF+AC)⋅OH 2=12×6×4+(92+6)×12=12+214=694, 则五棱锥D ′−ABCFE 体积V =13S ⋅OD ′=13×694×2√2=23√22． 【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断,以及空间几何体的体积,根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键.本题的难点在于证明OD′是五棱锥D ′−ABCFE 的高.考查学生的运算和推理能力． (Ⅰ)根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．(Ⅱ)根据条件求出底面五边形的面积,结合平行线段的性质证明OD ′是五棱锥D ′−ABCFE 的高,即可得到结论．4. 已知函数,x ∈R ． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x),求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．【答案】解：(1)f(x)=1+2√3sinxcosx −2sin 2x , =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6),令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ,得kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ,可得函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k ∈Z ； 令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2,k ∈Z , 得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3,k ∈Z , 可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3],k ∈Z ；(2)若把函数f(x)的图像向右平移π6个单位, 得到函数的图像, ∵x ∈[−π2,0],∴2x −π6∈[−7π6,−π6], ．故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2,最大值为1．【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数y =Asin(ωx +φ)的图象性质和最值,考查了学生的计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题．(1)利用二倍角公式和辅助角公式,化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得函数f(x)的单调区间；(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,由x 的范围求出ωx +φ的范围,即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围．5. 在△ABC 中 ,角A ,B ,C 对应边分别为a ,b ,c ,若√3asinC +acosC =c +b ．(1).求角A ；(2).若a =√3,求b +c 的取值范围．【答案】解：(1)∵acosC +√3asinC =b +c ,∴由正弦定理可得sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC ,∴sinAcosC +√3sinAsinC =sin(A +C)+sinC ,∴√3sinA −cosA =1,,,,；(2)由题意,b >0,c >0,b +c >a =√3,∴由余弦定理当且仅当b =c =√3时取等号),即(b +c)2≤12,∴b +c ≤2√3．∵b +c >√3,∴√3<b +c ≤2√3．【解析】(1)利用正弦定理,结合和差的正弦公式,化简可得结论；(2)利用余弦定理结合基本不等式,可求b +c 的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题．6. 已知直线l 的参数方程为{x =1+ty =3+2t (t 为参数),曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−16cosθ=0,直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P(1,3),(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)求1|PA |+1|PB |的值．【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =1+t y =3+2t(t 为参数), 消去参数,可得直线l 的普通方程y =2x +1,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−16cosθ=0,即ρ2sin 2θ=16ρcosθ,所以曲线C 的直角坐标方程为y 2=16x ；(2)直线l 的参数方程改写为{x =1+√55t y =3+2√55t (t 为参数),代入y 2=16x , 得45t 2−4√55t −7=0, 设A 、B 对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1+t 2=√5,t 1t 2=−354,∴|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√10,则1|PA|+1|PB|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2t 1t 2|=8√1035． 【解析】本题考查三种方程的转化,考查参数方程的运用,属于中档题．(1)利用三种方程的转化方法,求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程即可；(2)直线的参数方程改写为{x =1+√55t y =3+2√55t (t 为参数),代入y 2=16x ,利用参数的几何意义求1|PA|+1|PB|的值．7. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =−5+√2cost y =3+√2sint ,(t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2,A ,B 两点的极坐标分别为A(2,π2),B(2,π)．(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)点P 是圆C 上任一点,求△PAB 面积的最小值．【答案】解：(1)由{x =−5+√2cost y =3+√2sint ,化简得：{x +5=√2cost y −3=√2sint, 消去参数t ,得(x +5)2+(y −3)2=2,∴圆C 的普通方程为(x +5)2+(y −3)2=2．由ρcos(θ+π4)=−√2,化简得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2, 即ρcosθ−ρsinθ=−2,即x −y +2=0,则直线l 的直角坐标方程为x −y +2=0； (2)将A(2,π2),B(2,π)化为直角坐标为A(0,2),B(−2,0),∴|AB|=√(0+2)2+(2−0)2=2√2,设P 点的坐标为(−5+√2cost,3+√2sint), ∴P 点到直线l 的距离为d =|−5+√2cost−3−√2sint+2|√2=|−6+2cos(t+π4)|√2, ∴d min =4√2=2√2, 则△PAB 面积的最小值是S =12×2√2×2√2=4．【解析】此题考查了圆的参数方程,以及简单曲线的极坐标方程,熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键．(1)由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程,由直线l 的极坐标方程,利用两角和与差的余弦函数公式化简,根据x =ρcosθ,y =ρsinθ转化为直角坐标方程即可；(2)将A 与B 的极坐标化为直角坐标,并求出|AB|的长,根据P 在圆C 上,设出P 坐标,利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离,利用余弦函数的值域确定出最小值,即可确定出三角形PAB 面积的最小值．8. 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：为参数,t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=2sinθ,曲线C 3：ρ=2√3cosθ．(Ⅰ)求C2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ)若C 2与C 1相交于点A ,C 3与C 1相交于点B ,求|AB|的最大值．【答案】解：(Ⅰ)曲线C 2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,即x 2+y 2=2y ,①C 3：ρ=2√3cosθ,则ρ2=2√3ρcosθ,即x 2+y 2=2√3x ,②由①②得{x =0y =0或{x =√32y =32,即C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0),(√32,32)；(Ⅱ)曲线C 1的直角坐标方程为y =tanαx ,则极坐标方程为,其中0≤a <π．因此A 得到极坐标为(2sinα,α),B 的极坐标为(2√3cosα,α)．所以|AB|=|2sinα−2√3cosα|=4|sin(α−π3)|,当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4．【解析】本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用,考查学生的运算和转化能力．(Ⅰ)将C 2与C3转化为直角坐标方程,解方程组即可求出交点坐标；(Ⅱ)求出A ,B 的极坐标,利用距离公式进行求解．。
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《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x +y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C 3P ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2AB PA PB⋅5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩程为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2=，点R （2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案 一．解答题（共16小题）1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点P （1,0），倾斜角为，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．3π（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1．∴曲线C 1的直角坐标方程为=1，∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程=1中，得．2134120t t +-=设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∴+． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C3P ,02⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2ABPA PB⋅【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin 2θ=6ρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=6x ．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．（2）直线l 的参数方程可化为，代入y 2=6x 得t 2﹣4t ﹣12=0．解得t 1=﹣2，t 2=6．∴||=|t 1﹣t 2|=8．2AB 2PA PB 3=⋅ 5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方程3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C 1的普通方程为．由得，曲线C2的直角坐标方程为．（2）设P（2cosα，2sinα），则点P到曲线C2的距离为．当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；（2）点P到直线l的距离d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M 1M 2|的最小值为．12．设点A 为曲线C ：ρ=2cosθ在极轴Ox 上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，（1）求曲线C 的参数方程；（2）以A 为直角顶点，AO 为一条直角边作等腰直角三角形OAB （B 在A 的右下方），求点B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）θ为参数）1cos (0sin 2x y θπθθ=+⎧≤≤⎨=⎩（2）：设A （ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B （ρ，θ），依题意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以点B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA |=1；当α=时，|OB |=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA |2+|OA |•|OB |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），化为普通方程为（x ﹣a ）2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]，则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，]；（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，则sin∠TAO=，由于∠TAO∈[0，]，则∠TAO=，由于∠TAO=∠TOX，所以∠TOX=，T点的极坐标为（，）．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。
2023年高考数学真题分训练 极坐标系与参数方程(含答案含解析)
专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。
极坐标参数方程全套试题
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标参数方程 全国卷 含答案
(2015新2) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：23cos ρθ=。
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23,)αα．所以2sin 23AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4(2014新2) 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：（I ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤）（Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3,3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即33(,)22。
(2013新2) 已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【答案】(2012新2)已知曲线1C 的参数方程是12cos ,3sin ,x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π。
2023年高考数学试题分项版——极坐标参数方程(解析版)
2023年高考数学试题分项版——极坐标参数方程（解析版）一、解答题1．(2023·全国甲卷理，22)已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．2．(2023·全国甲卷文，22)已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．3．(2023·全国乙卷理，22)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞ .4．(2023·全国乙卷文，22)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),02,-∞+∞【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.。
全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为 与 的交点，求 的极径．
6．解析⑴将参数方程转化为一般方程 ①
②
，消 可得 ，即点 的轨迹方程为 .
⑵将极坐标方程转化为一般方程 ，联立 ，解得 .
由 ，解得 ，即 的极半径是 ．
【解析】(1)由 得 +y2=1.因为ρsin = ρsinθ+ ρcosθ=2 ,
所以x+y=4.所以C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为 ,因为C2是直线,所以 的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= .
当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为
∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②
C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.
①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.
（2016年2卷）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为 ．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .……5分
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为 的半径为1，则 的面积 = .
1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy中,曲线 (t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2 cos α,α).
极坐标与参数方程题型及答案
极坐标与参数方程题型及答案数学选择题：1. 下列哪个极坐标表示点(3, 5)？A. (5, 53.13°)B. (3, 53.13°)C. (5, 37.12°)D. (3, 37.12°)答案：A2. 唯一表示点(-4, 60°)的极坐标是A. (4, 60°)B. (4, 120°)C. (-4, 60°)D. (-4, 240°)答案：C3. 参数方程x = 2cosθ、y = 3sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 表示的图形是A. 长方形B. 正方形C. 长椭圆D. 圆答案：C4. 必要条件方程x = 1 + cosθ、y = 2 + sinθ （0 ≤ θ ≤ 2π）表示的图形是A. 点B. 圆C. 椭圆D. 双曲线答案：B填空题：1. 将极坐标(4, 240°)转化为直角坐标形式，其对应的坐标为(______, ______)。
答案：(-2, -3.46)2. 给出参数方程x = 2cosθ、y = 5sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 所表示直线的斜率，其斜率为 _______。
答案：2.5判断题：1. 下列哪些图形可以由参数方程表示？I. 点 II. 圆 III. 双曲线 IV. 三角形A. I、II、IIIB. I、II、IVC. II、III、IVD. I、II、III、IV答案：B2. 唯一表示点(4, 30°)的极坐标是(4, π/6) 。
答案：正确简答题：1. 极坐标系表示的是平面直角坐标系的哪些信息不同？答案：极坐标系表示的是点与极点之间的距离和点与极轴的夹角，而直角坐标系则表示的是点在x、y轴之间的坐标。
2. 怎样将一个极坐标转换为另一个等价的极坐标？答案：若(r, θ)为一个点在极坐标系中的坐标，则其等效于(r, θ + 2kπ) (k 为整数)。
3. 参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的图形是什么？有何特点？答案：参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的是单位圆，其特点是对于任意θ值，点到原点的距离都是1。
极坐标与参数方程高考题(含答案)
极坐标与参数方程高考题1。
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求12,C C 的极坐标方程.(II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=,2ρ=,｜MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12。
2。
已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:(t 为参数) （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.解:（1）曲线C 的参数方程为(θ为参数)。
直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2）曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ—6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)—6|，其中α为锐角，且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，当sin （θ+α)=1时,｜PA|取得最小值, 3。
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,（1）求C 的参数方程;（2）设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1)。
极坐标参数方程试题
极坐标参数方程解答题训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mty t=+⎧⎨=-⎩m R t ∈（，为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l1，求实数m 的值．2．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为612x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数），曲线2C 的参数方程22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线:(0)l θαρ=分别交12C ,C 于A ，B 两点，求||||OB OA 的最大值.3．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求1C 和2C 的参数方程； （2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值.5．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.6．已知在极坐标系中，点(2,)6A π，2(23,)3B π，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于,P Q 两点，求CP CQ ⋅的值.7．在直角坐标系xOy 中，直线1:3C x =-，圆()()222:211C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为A ，B ，求2C AB ∆的面积．8．在极坐标系下，已知圆和直线（1）求圆和直线的直角坐标方程； （2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标.9．已知曲线C 的极坐标方程是2221sin θρ=+，直线l的参数方程是1(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是P ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值．10．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28cos 8ρθρθρ+=+（1）求曲线1C 的直角坐标方程;（2）曲线2C 的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且8AB ＝，求直线AB 的斜率.11．已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线1:2sin C ρθ=上任一点P 满足3OP OM =，设点P 的轨迹为Q .（1）求曲线Q 的平面直角坐标方程；（2）将曲线Q 向右平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线:1x tl y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，记点()0,1T ，求TA TB +.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=. （1）设点,M N 分别为曲线1C 与曲线2C 上的任意一点，求||MN 的最大值；（2）设直线1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1C 交于,P Q 两点，且||1PQ =，求直线l 的普通方程.13．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．14．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(1)(1)3y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min 的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程； （2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.15．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值．16．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．17．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．18．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 在圆Cy -的取值范围.19．在直角坐标系xoy 中,以原点O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为22312cos ρθ=+,直线的极坐标方程为4sin cos ρθθ=+.(1)写出曲线1C 与直线的直角坐标方程;(2)设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线距离的最小值.20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cosx y αα=⎧⎪⎨⎪⎩，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB +的值．。
高中数学参数方程 极坐标经典练习题(含答案)
B．2p（t1-t2）
C．2p（t12+t22）
D．2p（t1-t2）2
6．直线 ，上对应t=0，t=1，两点间的距离是（ ）
A．1
B．
C．10
D．2
7．直线 的倾斜角是（ ）
A．40°
B．50°
C．130°
D．140°
8．参数方程 （为参数）与极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形分别是（ ）
故选D．
14．若直线的参数方程为 （t为参数），则直线的斜率为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2
答案：D
解析：
解：∵直线的参数方程为 （t为参数），消去参数化为普通方程可得y=-2x+4．
故直线的斜率等于-2．
故选：D．
15．参数方程 （θ为参数）所表示的曲线为（ ）
A．圆的一部分
B．抛物线的一部分
C．双曲线的一部分
17．已知直线l的参数方程为 （t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2 ．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求 的值．
18．（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程为ρ=2，直线l的参数方程为 ，则直线l被曲线C截得的弦AB的长为______．
19．已知直线l的参数方程为 （t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为p=2 cos（θ+ ），则圆心C到直线l的距离为______．
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
答案：B
解析：
解：∵曲线的参数方程 （为参数），
消去参数t得：2x-y-5=0．
参数方程、极坐标专项训练(2) 高三数学解析几何专项训练(含例题答案)
心尺引州丑巴孔市中潭学校第三章 参数方程、极坐标〔2〕【例题精选】：〔极坐标〕 例1：在极坐标系中，点P ()()ρθρ，≠0关于极轴对称的点的坐标是A ．()-ρθ，B ．()ρθ，-C ．()--ρθ，D ．()ρπθ，+答案：B例2：点M 的极坐标为33，π⎛⎝⎫⎭⎪，试分别写出它符合以下条件之一的极坐标的形式：〔1〕[)ρθπ<∈002，，〔2〕(]ρθπ>∈-020，，〔3〕()ρθππ<∈-0，，解：点M 的极坐标一般可写成323，k ππ+⎛⎝⎫⎭⎪和()-++⎛⎝⎫⎭⎪∈323，k k Z πππ，由题意可得：〔1〕M -⎛⎝ ⎫⎭⎪343，π 〔2〕M 353，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π〔3〕M --⎛⎝ ⎫⎭⎪323，π例3：∆ABC 三顶点的极坐标分别是A 56，π⎛⎝ ⎫⎭⎪、B 52，π⎛⎝ ⎫⎭⎪和C -⎛⎝ ⎫⎭⎪433，π，试判断∆ABC 的形状，并求出它的面积。
解：AC BC =∆ABC 是等腰三角形，易知AB =5，AB 边上的高为435231323+= 例4：：A B -⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪343556，和，ππ两点，求AB S AOB 和∆〔O 为极点〕。
解：A 、B 两点的极坐标可分别表示为A B 33576，和，ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪由余弦定理得AB 2223523515034153=+-⨯⨯⨯︒=+cos由三角形面积公式得例5：极坐标方程ρθ=sin 所表示的曲线是A ．正弦曲线B ．直线C ．和极轴相切的圆D ．圆心在极轴上的圆分析：ρθ=sin ，ρρθ2=·sin ，∴+=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x y y x y 22221214，答案：C例6：化ρθ=-1653cos 为直角坐标方程。
解：将原方程变形为53165316ρρθρρθ-==+cos cos ，即两边平方并将x y ==ρθρθcos sin ，代入，得例7：化以下极坐标方程为直角坐标方程：〔1〕ρθθ+=20ctg ·csc ；〔2〕ρθθ=+222cos sin解：〔1〕()ρθθρρθθ+=+=202022·cos sin sin cos〔2〕ρθθρθρρθsin cos sin cos 2222222=+=+，【专项训练】：〔时间90分钟〕 一、参数方程：1、参数方程x t ty t t =-+=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪231141〔t 为参数〕化成普通方程是，它表示的图形是2、直线x t y t =︒+=-︒⎧⎨⎩sin cos 20320〔t 为参数〕的倾斜角是3、参数方程x e ey e et tt t=-=+⎧⎨⎪⎩⎪--〔t 为参数〕表示的曲线是A ．双曲线B ．双曲线的下支C ．双曲线的上支D ．圆4、将以下参数方程化成普通方程5、曲线x y ==⎧⎨⎪⎩⎪2322cos sin θθ〔θ为参数〕的长是6、假设直线l x x t y y t ：=+=+⎧⎨⎩00cos sin αα〔t 为参数〕与y 轴相交，那么l 在y 轴上的截距是7、过点P 〔2，0〕的直线l 夹在直线y x y x ==+332和间线段长为2，那么l 的普通方程是8、直线x t y t=+=⎧⎨⎩23〔t 为参数〕被双曲线x y 221-=截得的弦长为：A ．10B ．210C ．102D ．1039、过点P 〔2，1〕作椭圆x y 221641+=的弦，使P 为弦的中点，求弦所在的直线方程和弦长。
极坐标与参数方程(经典39题)(整理版)
( Ⅱ ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A ， B ．若点 P 的坐标为 (3 ， 5 ) ，求 PA PB 与
PA PB ．
32．已知 A,B 两点是椭圆 x 2 y 2 1 与坐标轴正半轴的两个交点 . 94
(1) 设 y 2sin , 为参数，求椭圆的参数方程；
(2) 在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB的面积最大，并求此最大值 .
标；
（Ⅱ） 点 M （ x0 ，y0 ）在 e O1 上运动， 点 P (x, y) 是线段 AM 的中点， 求点 P 运
动轨迹的直角坐标方程．
x 3cos
15．已知曲线 C :
，直线 l : (cos
y 2sin
2sin ) 12 ．
（ 1）将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 距离的最小值．
2．在极坐标系中，曲线 L : sin 2 2cos ，过点 A（ 5 ， ）（ 为锐角且
3
tan
）作平行于
4
( Ⅰ ) 以极点为原点，极轴为
( R) 的直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B， C两点 . 4
x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直
角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的普通方程；
（ 2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍， 分别得到曲线 C1， C2 ．写
出 C1， C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
同？说明你的理由．
C1 与 C2 公共点的个数是否相
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7cos 2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程 ; 点 P(x, y) 是（ 1）中曲线 C上的动点，求 2x y 的取值
极坐标和参数方程真题卷(含答案)
2015级《极坐标和参数方程》真题卷班级___________________________1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣求l 的斜率.3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ. （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.4．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M,N ,求2C MN ∆的面积.5．在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6．已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．7．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈．（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8．已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
极坐标与参数方程综合测试题(含答案)
极坐标与参数方程1. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{y =t −3x=t+1（t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A. √14 B. 2√14 C. √2 D. 2√22. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=-2，曲线C 2的参数方程为{x =t 2y =2√2t （t 为参数），则C 1与C 2交点的直角坐标为______．3. 已知直线l ：{x =5+√32ty =√3+12t（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为（5，√3），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |•|MB |的值．4. 已知直线l 的参数方程为{x =2+ty =√3t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C 的直角坐标方程.（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.5. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{y =−2+3sint x=1+3cost（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为√2ρsin （θ-π4）=m ，（m ∈R ） （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ。
极坐标参数方程立体几何卷
极坐标参数方程立体几何卷一．解答题（共6小题）1．选修4﹣4：极坐标与参数方程已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．2．C选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：（t 为参数），曲线C的极坐标方程：ρ=2sin （θ+），求直线l被曲线C 截得的弦长．3．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．4．如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC CD⊥AD，PDC⊥，平面平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形．（1）证明：AB⊥PB；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．（3）求三棱锥A﹣PBD的体积．5．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求点E到平面ACD的距离；（III）求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．6．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求二面角P﹣AM﹣D的大小；（Ⅲ）求直线PD与平面PAM所成角的正弦值．参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．选修4﹣4：极坐标与参数方程已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．考点：简单曲线的极坐标方程；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（1）利用两角差的余弦公式展开极坐标方程，再将直角坐标与极坐标的互化公式代入，极坐标方程即ρ2﹣4 （+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，故x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin （α+），由于﹣1≤sin（α+）≤1，可得2≤x+y≤6．解答：解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin （α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．2．C选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：（t 为参数），曲线C的极坐标方程：ρ=2sin （θ+），求直线l被曲线C 截得的弦长．考点：简单曲线的极坐标方程。
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一．解答题（共6小题）1．选修4﹣4：极坐标与参数方程已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．2．C选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程：ρ=2sin （θ+），求直线l被曲线C截得的弦长．3．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．4．如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC CD⊥AD，PDC⊥，平面平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形．（1）证明：AB⊥PB；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．（3）求三棱锥A﹣PBD的体积．5．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求点E到平面ACD的距离；（III）求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．6．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求二面角P﹣AM﹣D的大小；（Ⅲ）求直线PD与平面PAM所成角的正弦值．参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．选修4﹣4：极坐标与参数方程已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．考点：简单曲线的极坐标方程；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（1）利用两角差的余弦公式展开极坐标方程，再将直角坐标与极坐标的互化公式代入，极坐标方程即ρ2﹣4 （+），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，故 x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin （α+），由于﹣1≤sin（α+）≤1，可得2≤x+y≤6．解答：解：（1）即ρ2﹣4（+），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin （α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．2．C选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程：ρ=2sin （θ+），求直线l被曲线C截得的弦长．考点：简单曲线的极坐标方程。
专题：计算题。
分析：先将直线l的参数方程化成普通方程，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为曲线C 的极坐标方程：ρ=2sin （θ+）化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质求解即得．解答：解：将直线l的参数方程化为普通方程为：y=2x+1（12分）将圆C的极坐标方程化为普通方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（4分）从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径r=，所以，圆心C到直线l的距离d=＜=r（6分）所以直线l与圆C相交．（7分）所以直线l被圆C截得的弦长为：2=．（10分）点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．3．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程。
专题：计算题。
分析：（1）由题意可得直线l的参数方程为，化简可得结果．（2）圆C的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入 x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1•t2的值，即可得到点P到A，B 两点的距离之积为2．解答：解：（1）直线l的参数方程为，即．…（5分）（2）圆C 的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入 x2+y2=4，可得，∴，t1•t2=﹣2，则点P到A，B 两点的距离之积为2．…（10分）点评：本题考查直线和圆的参数方程，参数方程与普通方程之间的转化，以及直线参数方程中参数的几何意义，求出t1•t2=﹣2，是解题的关键．4．如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC CD⊥AD，PDC⊥，平面平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形．（1）证明：AB⊥PB；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．（3）求三棱锥A﹣PBD的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）由已知中中在直角梯形ABCD中，因为AD=2，BC=，CD=2，我们易求出AB值，双由为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，则BC⊥平面PDC，再由勾定理得到，我们可得AB⊥PB；（2）设线段DC的中点为E，连接PE，EB，结合△PCD是等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，我们易得AB⊥PE，AB⊥PB，则∠PBE就是二面角P﹣AB﹣D的平面角，解△P BE即可得到答案．（3）V A﹣PBD=V P﹣ABD，求出棱锥的底面面积及高，代入棱锥体积公式即可得到答案．解答：证明：（1）在直角梯形ABCD中，因为AD=2，BC=，CD=2所以AB==．因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP 中，PB==．因为BC∥AD所以AD⊥平面PDC，所以在Rt△PAD中，PA===．所以在△PAB中，PA2=AB2+PB2，所以AB⊥PB．解：（2）设线段DC的中点为E，连接PE，EB因为△PCD是等边三角形，所以PE⊥C，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以PE⊥平面ABCD，因此AB⊥PE，由（1）知AB⊥PB，所以AB⊥平面PEB，所以AB⊥BE，因此∠PBE就是二面角P﹣AB﹣D的平面角，在Rt△PBE 中，sin∠PBE===，所以∠PBE=．解：（3）∵V A﹣PBD=V P﹣ABD ====点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，二面角平面角的求法，在求二面角时，根据三垂线定理找到二面角的平面角是解答的关键．5．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求点E到平面ACD的距离；（III）求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算。
专题：计算题；证明题。
分析：（I）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，结合已知条件，根据勾股定理即可得到答案．（II）以O为原点，以OB，OC，OA方向为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，求出平面ACD 的法向量的坐标，根据点E到平面ACD的距离h=，可求出点E到平面ACD的距离；（III）结合（II）中结论，再由AO⊥平面BCD ，即为平面BCD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．解答：证明：（I）△ABD 中，∵AB=AD=，O是BD中点，BD=2∴AO⊥BD且=1△BCD中，连接OC∵BC=DC=2∴CO⊥BD且△AOC中AO=1，CO=，AC=2∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO∴AO⊥平面BCD．（5分）解：（II）如图建立空间直角坐标系，设平面ACD 的法向量为=（x，y，z）则即．（7分）令y=1得=（﹣，1，）是平面ACD的一个法向量．．（8分）又=（﹣，，0）∴点E到平面ACD的距离h==．（10分）（III）∵AO⊥平面BCD∴=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量；∴cos＜，＞==则二面角A﹣CD﹣B 的余弦值为．（14分）点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题．6．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求二面角P﹣AM﹣D的大小；（Ⅲ）求直线PD与平面PAM所成角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角。
专题：综合题。
分析：法一：（Ⅰ）取DC的中点N，连接PN，AN，NM．因为PD=PC，所以PN⊥DC．因为PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，所以PN⊥平面ABCD．由此能够证明AM⊥PM．（Ⅱ）由AM⊥PM且NM⊥AM，知∠PMN为二面角P﹣AM﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AM﹣D的大小．（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为d，由V P﹣AMD=V D﹣PAM，求得d=，所以点D到平面PAM的距离为．由此能求出直线PD与平面PAM所成角的正弦值．法二：（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），M （，2，0），由=0，得到AM⊥PM．（Ⅱ）设，且平面PAM，由，得，取，显然平面ABCD，由向量法能得到二面角P﹣AM﹣D的大小．（Ⅲ）设直线PD与平面PAM所成角为θ，由向量法能求出直线PD与平面PAM所成角的正弦值．解答：（方法一）（Ⅰ）证明：取DC的中点N，连接PN，AN，NM．因为PD=PC，所以PN⊥DC又因为PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥AM．因为AN=3，MN=，AM=，所以NM⊥AM，又因为PN∩NM=N，所以AM⊥PM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥PM且NM⊥AM，所以∠PMN为二面角P﹣AM﹣D的平面角，又因为PN=NM=，所以∠PMN=45°．即二面角P﹣AM﹣D的大小为45°．（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为d，因为V P﹣AMD=V D﹣PAM，所以，求得d=，即点D到平面PAM 的距离为．设直线PD与平面PAM所成角为θ，则=，故直线PD与平面PAM 所成角的正弦值为．（方法二）（Ⅰ）证明以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，依题意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），M （，2，0），∴，，∴=﹣2+2+0=0，即，∴AM⊥PM．（Ⅱ）解设，且平面PAM，则，∴，，取，显然平面ABCD，∴cos＜＞=．结合图形可知，二面角P﹣AM﹣D为45°．（Ⅲ）设直线PD与平面PAM所成角为θ，则故直线PD与平面PAM 所成角的正弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，求二面角的大小，求直线与平面所成角的正弦值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。