初等几何研究试题答案(1)

★撼海一舟★作品
前言：此稿于本人在汕头职业技术学院从事师范类数学专业教学所完 成，在完稿过程中，我的学生（10 级数学教育专业的学生）也参与 进来，共同努力，教与学共同促进！
初等几何研究试题答案
一、线段与角的相等
1. ⊙O1、⊙O2 相交于 A、B,⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E,⊙O2 的弦 BD 交⊙ O1 于 F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则 DF=CE;
⇒ 2DF + 2CF = 2BH + 2CH
⇒ 2DC = 2BC
⇒ DC = BC
∴四边形为菱形
9. 凸四边形被对角线分成 4 个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四 边形是菱形 .
A
O1
P O4
B
Q
ON
D
O2
M O3
C
证明:连结 O1 、O2,分别作 O1 、O2 到 AC 的垂线,垂足分别为 P 、M ∵在△ABC 中,BO 是☉O1 、☉O2 的公切线
又∵M 为 BC 的中点,I 为内心,则 AL∥ＭＩ 又∵AH⊥BC
∴AH∥LK 又∵点 E 点 I 分别都在 AH、LK 上
∴AE∥LI ∴四边形 AEIL 为平行四边形 ∴AE＝LI 命题得证.
13. 在矩形 ABCD 中,M 是 AD 的中点,N 是 BC 的中点,在 CD 的延长
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★撼海一舟★作品
14. 给定以 O 为顶点的角,以及与此角两边相切于 A、B 的圆周,过 A 作 OB 的平行线交圆于 C,连结 OC 交圆于 E,直线 AE 交 OB 于 K,求 证:OK=KB.
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★撼海一舟★作品
A
C
E
O
K
B
D
证明:如图所示,过 C 作圆的切线交 OB 延长线于 D.
∵OD,OA,CD 都是圆的切线,且 AC∥CD
F
C E
D
A
B
证明:延长 AE,BC 交于点 F
∵∠AED = ∠BCA = 90° ∠ADE = ∠BDC
∴∠CBD = ∠CAF
又∵∠ACF = ∠BCA = 90° AC = BC
∴∆ACF ≅ ∆BCD ∴ AF = BD
又∵AE = 1 BD ∴ AE = 1 AF
2
2
又∵ABEE ⊥ BE
线取 P 点,记 Q 为 PM 与 AC 的交点,求证:∠QNM＝∠MNP
P
M
A
D
Q O
B N
C
R
证明:利用矩形的中心 设 O 是矩形 ABCD 的中心,则 O 也是 MN 的中点, 延长 QN 交 OC 的延长线于 R,如图,则 O 又是 PR 的 中点,故 NC 平分∠PNR.,而 NM⊥NG. ∴NM 平分∠PNQ
11. △ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心,BC 与内切圆相切与 K. 求证:直线 IM 平分线段 AK.
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★撼海一舟★作品 A
L G
H I C
K M
BD
E
F O
证明:作出∠A 的旁切圆 O,设它与 BC 边和 AB,BC 的延长线分别切 于 D,E,F,（如图） 连接 AD 交内接圆于 L,则因内接圆和旁切圆以 A 为中点成位似, 则: IL⊥BC,即 K,I,L 共线 于是原题借中位线可如下转化 MI 平分 AK, ∴M 平分 DK ∴BD=KC 后者利用圆 I 与圆 O 两条外公切线相等 ∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到 IM 平分线段 AK.
1
(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD
★撼海一舟★作品
∴AD=AE 在⊙O2 中,由 AD=AE 可得∠DBA=∠CBA
2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是 AC 上的一点,AE⊥BD 的延长线 于 E,又 AE= 1 BD,
2
求证:BD 平分∠ABC.
∴ABCN、DMCN 为平行四边形,AD=BM
∴DN=CM、AN=BC
∴△ADN≌△BMC
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∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7 ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A、C、N、D 共圆（视角相等） ∴∠5=∠7（同弧 AD） ∴∠5=∠6 即∠ACD=∠BCM
★撼海一舟★作品
17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°- 1 ∠BDC,求证:△ABC 是等
∴∠BDE=(180°－2α )-α =180º－3α
∴A、B、D、E 共圆
同理 A、C、D、E 共圆
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
4. 设 H 为锐角△ABC 的垂心,若 AH 等于外接圆的半径.
求证:∠BAC=60º
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★撼海一舟★作品
A
D H
B
C
证明:过点 B 作 BD⊥BC,交圆周于点 D,连结 CD、AD C
★撼海一舟★作品
18.⊙O1、⊙O2 半径皆为 r,⊙O1 平行四边形`过的二顶 A、B,⊙O 2 过顶 点 B、C,M 是⊙O1、⊙O2 的另一交点,求证△AMD 的外接圆半径也是 r.
D
C
M O2
O
A
B
O1
E 证明: 设 O 为 MB 的终点
连接 CO 并延长⊙O1 于 E 则由对称知 O 为 CE 的中点 ∵O 平分 MB O 平分 CE ∴MEBC 是平行四边形∴ ∴ME∥BC∥AD
∴∠BAC=∠BDC=60º
5. 在△ABC 中,∠C=90o,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的高,过 BE、 CD 之交点 O 且平行于 AB 的直线分别交 AC、BC 于 F、G,求证 AF=CE.
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★撼海一舟★作品
A
F
E
D
6
O
54
31
C
2
B
G
证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG, 又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF, ∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE. 6. 在△ABC 中,先作角 A、B 的平分线,再从点 C 作上二角的平分线值 平行线,并连结它们的交点 D、E,若 DE∥BA,求证:△ABC 等腰.
∵DL∥CK∥E'B 及 DC=CE'
∴KL=LB.
16. 点 M 在四边形 ABCD 内,使得 ABMD 为平行四边形,试证:若
∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.
N
4C
7
56
D2 3
M 1
A
B
证:作 AN∥BC 且 AN=BC,连接 DN、NC
∵ABMD 为平行四边形,AN∥BC 且 AN=BC
★撼海一舟★作品
7. 三条中线把△ABC 分成 6 个三角形,若这六个三角形的内切圆中有 4 个相等. 求证:△ABC 是正三角形．
A
FG H
r
I
L
E K
O
r
J
B
D
C
证明:∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD 面积都相等
6
∴S =S △OFB △OEC
★撼海一舟★作品
即: 1 BF×r+ 1 FO×r+ 1 BO×r= 1 CE×r+ 1 OE×r+ 1 OC×r
(2) 若 DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
C A
O1 E
F O2
B
证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD 在⊙O1 中,由∠CBA=∠DBA 得 AC=AF 在⊙O2 中,由∠CBA=∠DBA 得 AE=AD 由 A、C、B、E 四点共圆得∠1=∠2 由 A、D、B、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE
2
腰的.
A
B F
D C
证明:延长 CD 使得 BD＝DE,并连结 AE
∵∠ADB＝90°－ 1 ∠BDC
2
∴2∠ADB＋∠BDC＝180°
又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180°
∴∠ADB＝∠ADE
又∵BD＝DE,AD＝AD
∴△ADB≌△ADE
∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE
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又∵∠ACD＝60° ∴△ACE 为正三角形 ∴AC＝AE ∴AB＝AC ∴△ABC 为等腰三角形
10. 在锐角△ABC 中,BD,CE 是两高,并自 B 作 BF⊥DE 于 F,自 C 作 CG⊥DE 于 G,证明:EF=DG.
9
A
G
D
EM
F
★撼海一舟★作品
B
O
C
证明:设 O,M 分别是 BC,FG 的中点, 所以 OM∥BF, 因为 BF⊥FG, 所以 OM⊥FG, 又因为∠BEC=∠BDC= 90° 所以 BCDE 四点在以 BC 为 直径的圆上, 因为 OM⊥DE, 所以 OM 平分 ED, 所以 FM-EM=MG-MD 即 EF=DG.
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★撼海一舟★作品
12．在△ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心,AH⊥BC 于 H,AH 交 MI 于 E,求证:AE 与内切圆半径相等.
A
LE F
G I
B
MKH C
证明:如图所示 作△ABC 的内切圆, ∴切点分别交于 BC 于点 K、AB 于点 F、AC 于点 G,连接
KL 与 AC ∴ KL 是直径,
∵∠DBC=90º, ∴CD 是直径,则∠CAD=90º
由题,可得 AH⊥BC, BH⊥AC
∴BD∥AH, AD∥BH
∴四边形 ADBH 是□
∴AH=BD
又∵AH 等于外接圆的半径(R)
∴BD=R,而 CD=2R
∴在 Rt△BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30º
∴∠BDC=60º
又∵∠BAC=∠BDC
A
L B
K
C
E
D
H E
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★撼海一舟★作品
证明:延长 AC 至 E'使 CE'=CE,再连 BE'交 AE 的延长线于 H.
∵∆ABC 是等腰直角三角形
∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°
又∵CE=CE'
∴∆BCE'≌∆ACE
∴∠CAE=∠CBE'
∵∠AEC=∠BEH
∴∆BHE∽∆ACE
∴∠BHE=∠ACB=90°
∴ BE平分 ∠ABF
即BD平分∠ABC
2
★撼海一舟★作品
3. 已 知 在 凸 五 边 形 ABCDE 中 , ∠ BAE=3 α ,BC=CD=DE, 且 ∠ BCD= ∠ CDE=180º－2α , 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.
A
B
E
C
DFra Baidu bibliotek
证明:连接 BD,得ΔCBD 是等腰三角形
且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α )]÷2=α .
8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.
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★撼海一舟★作品 A
E OI
D
B
F
G
H
C
证明:又∵△AOB、△BOC 、△COD、△DOA 四个三角形的面积相等
∴ 1 (OD + DC + OC)× r = 1 (OB + BC + OC)× r
2
2
∴CD + OC + OD = BC + OB + OC OD + OC + DC − OE − OG = OB + OC + BC − OI − OG
2
2
2
2
2
2
1 (BF+FO+BO)×r= 1 (CE+OE+OC)×r
2
2
∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC
∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ
∴2DH+2BH=2FK+2CK
∴2BF=2CE
又 F、E 分别为 AB、AC 之中点
∴AB=AC
同理:AB=BC
故△ABC 是正三角形.
∴四边形 ACDO 是等腰梯形,∠DOA=∠D
∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK ∴∠BOC=∠OAK
∵∠DOA=∠D ∴△AOK～△ODC
∵ CD = 1 ∴ KO = 1
OD 2
AO 2
∵ OA=OB ∴OB=OA=2KO,即 OK=KB
15. 在等腰直角∆ABC 的两直角边 CA,CB 上取点 D、E 使 CD=CE, 从 C、D 引 AE 得垂线,并延长它们分别交 AB 于 K、L,求证:KL=KB.
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★撼海一舟★作品
∴BO⊥O1 O2 又∵☉O1 、☉O2 半径相同,且都与 AC 相切
∴O1 O2‖AC ∴BO⊥AC BD⊥AC ∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3 在对顶三角形
△AOB 与△COD 中 ∴周长 C =C △AOB △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理 AD=BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形 又∵AC⊥BD ∴四边形 ABCD 是菱形
C
E
D
A
B
证:如图所示 设 AC、ED 的交点为 F
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∵AD 是∠A 的平分线 ∴∠1=∠2
∵DE∥AB
∴∠1=∠3
∵CE∥AD
∴∠3=∠5, ∠4=∠2
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
则△FAD 和△FCE 是等腰三角形
∴AF=DF,EF=CF
∴AC=DE
同理可证 BC=DE
∴AC=BC
∴△ABC 是等腰三角形
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∴MEAD 亦是平行四边形 ∴△MAE≌△AMD ∴△AMD 的外接圆半径也为 r
★撼海一舟★作品
19. 在凸五边形 ABCDE 中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB, 求证:∠BAC=∠DAE.