1-2矢量场的散度

即
divA
(ex
x
ey
y
ez
z
) (ex Ax
ey Ay
ez
Az )
divA A
5 、高斯散度定理：
Ad A dS
S
散度定理把一个体积分变换成一个闭合面积分,因
此散度定理广泛用于将一个电磁场通量形式的积
分方程转换为一个散度形式的微分方程。
证明： 任取一体积 τ，其相应的闭合表面为 S。
i
j
lim (
i 0
A) i
lim (
j 0
A)
j
A dS A dS
Si
S j
∵表面上相的邻通两量个对体这积两元个有体一积个元公来共说表，面其，而n公方共向
恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 的积分只剩下 i 、 j 外表面上的通量，因 此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
S j
证毕
即 ( A)d A dS
S
例：长方体区域由 x 0 ,1; y 0,2; z 0,3
六个面组成，设其内矢量场
A
2
xyex
x2ey
试就此验证散度定理的有效性。
解： 由题意知 A矢量为二维矢量，且和 z 0, z 3 的表面
❖ 讨论：
A dS
divA lim S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ：“”
➢
ex x ey y ez z
求出通解，就可
ex ey ez (1 4 1)可写成 A dl Ax Ay Az 0
画出矢量线。
dx dy dz
即 dx dy dz Ax Ay Az
3 、矢量的通量： 有向面元
dS
A
dS endS （1-4-3）
e n 方向的确定：
• dS 是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，
现将体积元 τ分成N个体积元：1, 2,i , N
对任一体积元 i 而言
A
lim
A dS
Si
lim
i di
i 0
i
i 0
i
d i
即
i
A dS
Si
lim (
i 0
A)
i
同理：对 i相邻的体积元 j
j
A dS
S j
lim (
j 0
A)
j
从 i 、组j 成的体积中穿出的通量为：
而 A的散度为
A
Ax
Ay
S
Az
3
x y z
A dS
Ad
3d 3 4 R3 4R3.
S
3
•选绕定行dCS方是的向闭绕，合行大面方拇的向指面，指元则向，由则d右S 手e的螺n方为旋向该定，闭则也合，即面四的指e外n指法方向线向C方。的向。
∵ 面元足够小，视其上的A为常数
n
A dS AcosdS
A dS
▪ 讨论: S为闭合面
• ＞0 : S内必有发出通量线的源 正源
• ＜0 : S内必有吸收通量线的源 负源
• 0: S内没有净源.
d A dS AendS
S
S
S
二、矢量场的散度
１、散度的定义
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积
为 ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
A dS
divA
lim
0
S
❖ 散度的意义：表示场中任意一点M处，通 量对体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
✓
在直 角坐标系中,设某一矢量 函数
A
为：Fra Baidu bibliotek
A A(x, y, z) ex Ax (x, y, z) ey Ay (x, y, z) ez Az (x, y, z)
✓ 由定义:矢量线上任一点的切向长度元dl 与
该点的矢量场 A 平行.
则
而
Adl
A ex Ax
0
ey Ay ez Az
dl exdx eydy ezdz
平行，因此只需要计算其余表面的通量。
32
32
A dS 0 0 ( A)x0 (dydzex ) 0 0 ( A)x1 (dydzex )
s
31
31
0 0 ( A) y0 (dxdzey ) 0 0 ( A) y2 (dxdzey )
12
又因
A
Ax
Ay
Az
2y
x y z
A
2xyax
x2ay
于是体积分
3 21
32
AdV 0 0 0 2ydxdydz 0 0 2ydydz 12
V
z
以上计算表明：散度定理成立。
o
y
例：球 面S
上任意点的位置矢量为
A ex x ey y ez z, 求 A dS.
解：根据散度定理
S
Ad A dS
1.２ 矢量场的散度
一、矢量的通量：
1 、矢量场的矢量线：
▪ 常用带方向(箭头)的场线来形象地表示矢量场在空 间的分布情况.那么,这些场线就称为矢量线或流线. ▪ 线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方 向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小. ▪ 如点电荷产生的电场中的电力线.
2 、矢量线的微分方程：