高中必修五数学上期末试卷(附答案)

3x y 8 0
处取得最大值，则 a 的取值范围为_____________．
14．已知数列{an}中，其中 a1
1
99 99
， an
(an1 )a1
，那么 log99
a100
________
15．已知
Sn
为数列{an}的前
n
项和，且
a2 n1
an1
an2
1，
S13
a123
，则{an}的首项的所
n N*
)，若 a1
1， an1
an
1 2
n
，则
lim
n
a2n
．
三、解答题
21．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 向量 m 2a 3b, 3c ，向量
n (cos B,cosC) ，且 m / /n . （1）求角 C 的大小； （2）求 y sinA 3sin(B ) 的最大值.
【分析】
由已知条件得
an＝n2sin（
2n 2
1
π）＝
n2, n是奇数 n2, n是偶数
，所以
a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42
﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果．
【详解】
∵ 2n 1 2
=n
+
2
，n∈N*，∴an＝n2sin（
2n 1 2
π）＝
n2, n是奇数 n2, n是偶数
【详解】
设等比数列an的公比为 q （公比显然不为 1），则
a1 1 q6
S6 1 q
S3 a1 1 q3
1 1
q6 q3
1 q3
9
，得 q
2，
1 q
a1 1 q10
因此， S10 1 q S5 a1 1 q5
1 q10 1 q5
1 q5
1 25
33 ，故选
C.
1 q
【点睛】 本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一 般在求解等比数列问题时，有如下两种方法： （1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公 式或求和公式来进行计算； （2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
p sin A cos B,sin A, q cos B sin A,sin B ，且 p q cos2 C
（Ⅰ）求 C ； （Ⅱ）若 c 3, a b 2 3 ，求 ABC 中边上的高 h . 24．某企业生产 A 、 B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：
产品品种
7．已知等比数列{an} 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ，若 a2 2, S6 S4 6a4 ，则 a5
A． 4
B．10
C．16
D． 32
x 2y 0
8．设
z
2x
y
，其中
x,
y
满足
x
y
0
，若 z 的最小值是 12 ，则 z 的最大值为
0 y k
（）
A． 9
B．12
C． 12
有可能值为______
16．已知 x 0, y 0 ， 1 2 2 ，则 2x y 的最小值为 . x y 1
17．已知函数 f x 2x ，等差数列an的公差为 2 ，若 f a2 a4 a6 a8 a10 4 ，
则
log2 f a1 f a2 f a3 f a10 ___________.
12．B
解析：B 【解析】
0 2(1 5 2013) 0 2(3 7 2015) 0 4504 2016 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查
学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可知 【详解】 由内角和定理知
于基础题.
9．A
解析：A 【解析】
【分析】
由 Sn
n2
n 得到 an
2n 2 ，即 bn
2(n 1) cos
n 2
，利用分组求和法即可得到结果.
【详解】
由数列an的前 n 项和为 Sn n2 n ，
当 n 1时， a1 S1 11 0 ；
当 n 2 时， an Sn Sn1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 2 ，
，
∴a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝ 10 1+10 =55
2
故选 C．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中
档题．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出 S10 . S5
6．A
解析：A 【解析】
依题意， 2a7 2b7
a1 a13 13
b1
2 b13
13
S13 T13
41 . 26
2
7．C
解析：C
【解析】
由 S6 S4 a6 a5 6a4 得， q2 q 6 a4 0, q2 q 6 0 ，解得 q
a5 a2 23 =2 8=16 ，故选 C. 8．B
所以
，
，再由正弦定理即可求出 AB. ，
即
，
故选 D. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型 x y x 2 y 2 4即可得出.
详解：
x,
y
均为正实数，且
x
1
2
y
1
2
1 6
，则
6
x
1
2
1 y2
1
x y (x 2) ( y 2) 4
2an , n 2k 1,
(k
2n, n 2k,
N*)
．
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）求数列{bn}的前 2n 项和 T2n ．
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】
Sn
4
1 2
0
4
1 2
1
4
1 2
n1
4n
1
1 2
n
1
1 2
(x)
3 {x2
log2 x
x, 1,
x x
0 0
，则不等式
f
(x)
5 的解集为
()
A． 1,1
B． 2, 4
C． ,20,4 D．,20,4
6．数列
an,bn
为等差数列，前
n
项和分别为
Sn
,
Tn
，若
Sn Tn
3n 2 ，则 a7
2n
b7
（
）
A． 41 26
B． 23 14
C． 11 7
D． 11 6
A． 1 2
B． 2
C． 2
D． 2 2
3．已知数列 an 的通项公式是
an
n2
sin（
2n 2
1
），则
a1
a2
a3
a10
A．110
B．100
C．55
D．0
4．等比数列
an
的前
n
项和为
Sn
，若 S3 =2，S6 =18
，则
S10 S5
等于(
)
A．－3
B．5
C．33
D．－31
5．已知函数
f
解析：B 【解析】
【分析】
2 ，从而
作出不等式对应的可行域，当目标函数过点 A 时， z 取最小值，即 zmin 12 ，可求得 k
的值，当目标函数过点 B 时， z 取最大值，即可求出答案. 【详解】
作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为 y 2x z ，
联立
x
y
2y k
4n
2 3
2 3
1 2
n
1 pSn 4n 3
即1
p
2 3
2 3
1 2
n
3
对任意 n N* 都成立， 当 n 1时，1 p 3
当 n 2 时， 2 p 6
当 n 3 时， 4 p 4 3
归纳得： 2 p 3
故选 B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列 an 的前 n 项和为 Sn ，为求 p 的取
D．9
9．已知数列an的前 n
项和 Sn
n2
n ，数列bn满足 bn
an
sin
n 1 2
，记数列 bn
的前 n 项和为 Tn ，则T2017 （ ）
A．2016
B．2017
C．2018
D．2019
10．在
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
11．已知 x ， y 均为正实数，且 1 1 1 ，则 x y 的最小值为（ ） x2 y2 6
0
，可得
A2k,
k
，当目标函数过点
A
时，
z
取最小值，则
22k k 12 ，解得 k 4，
联立
x
y
y k
0
，可得
B
k,
k
，即
B
4,
4
，当目标函数过点
B
时，
z
取最大值，
zmax 2 4 4 12 . 故选：B.
【点睛】
本题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属
劳动力（个）
煤t
电 kW h
A
3
9
4
B
10
4
5
已知生产1t A 产品的利润是 7 万元，生产1t B 产品的利润是12 万元.现因条件限制，企业 仅有劳动力 300 个，煤 360t ，并且供电局只能供电 200kW h ，则企业生产 A 、 B 两种产
品各多少吨，才能获得最大利润？
25．已知函数 f (x) cos2 x sin2 x 1 , x (0, ) ． 2
A．20
B．24
C．28
D．32
12．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1＝1，Sn＝2an1，则 Sn ＝( )
A． 2n1 二、填空题
B． ( 3)n1 2
C． ( 2 )n1 3
D．
1 2n1
x 3y 4 0 13．已知变数 x, y 满足约束条件{x 2 y 1 0 , 目标函数 z x ay (a 0) 仅在点 (2, 2)
3
22．在 ABC 中内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c .已知 a 2,b 7 ，面积
S 3 accosB . 2
（1）求 sin A 的值；
（2）若点 D 在 BC 上（不含端点），求 BD 的最小值. sin BAD
23．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，设平面向量
上式对 n 1时也成立，
∴ an 2n 2 ，
∴ bn
an
cos
n 2
2(n 1) cos n 2
，
∵函数 y cos n
的周期 T
2
4，
2
2
∴ T2017 b1 b5 b2013 b2 b6 b2014
b3 b7 b2015 b4 b8 b2016 b2017
18．已知△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 bcosC﹣ccosB 1 a2，tanB 4
＝3tanC，则 a＝_____．
19．等比数列
an
的首项为 a1 ，公比为
q，
lim
n
Sn
1 2
，则首项 a1 的取值范围是
____________．
20．已知数列 {an } (
值范围则根据 n 为奇数和 n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果 2．D
解析：D 【解析】
设公比为 q ，由已知得 a1q2 a1q8 2 a1q4 2 ，即 q2 2 ，又因为等比数列 an 的公比为
正数，所以 q
2
，故 a1
a2 q
1 2
2 ，故选 D. 2
3．C
解析：C 【解析】
（1）求 f (x) 的单调递增区间；
（2）设 ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a 19 ，角 B 所对边 b 5 ，若 f ( A) 0 ， 求 ABC 的面积． 26．在公差不为 0 的等差数列{an} 中， a1 ， a3 ， a9 成公比为 a3 的等比数列，又数列{bn}
满足 bn
高中必修五数学上期末试卷(附答案)
一、选择题
1．已知数列an的前 n
项和为
Sn
，且
an
4
1 2
n
1
，若对任意
n
N*
，都有
1 pSn 4n 3 成立，则实数 p 的取值范围是（ ）
A． 2,3
B． 2, 3
C．
2,
9 2
D．
2,
9 2
2．已知等比数列 an 的公比为正数，且 a3 a9 2a52 , a2 1 ，则 a1 ( )
5．B
解析：B 【解析】 分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
详解：由于
f
x
3x2loxg2 x1,,
x x
0 0
，
当 x＞0 时，3+log2x≤5，即 log2x≤2=log24，解得 0＜x≤4，
当 x≤0 时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式 f（x）≤5 的解集为[﹣2，4]， 故选 B． 点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的 值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每 段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
6( 1 1 )[(x 2) ( y 2)] 4 x2 y2
6(2 y 2 x 2 ) 4 6(2 2 y 2 x 2 ) 4 20 当且仅当 x y 10 时取等
x2 y2
x2 y2
号.
x y 的最小值为 20.
故选 A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.