CFD-12-04-流动控制方程_守恒型
1.3 流体流动中的守恒原理
（2）选取位能基准面
必须与地面平行； 宜于选取两截面中位置较低的截面； 若截面不是水平面，而是垂直于地面，则基准面 应选过管中心线的水平面。
武汉工程大学化工原理课件 （3）选取截面 与流体的流动方向相垂直；
两截面间流体应是定态连续流动；
截面宜选在已知量多、计算方便处。
（4）定压力基准
压力表示方法也应一致，即同为绝压或同为表压。
武汉工程大学化工原理课件 4．伯努利方程的应用
利用伯努利方程与连续性方程，可以确定：
管内流体的流量； 输送设备的功率； 管路中流体的压力； 容器间的相对位置等。
武汉工程大学化工原理课件 使用步骤： （1）根据题意绘制流动系统示意图 标明流体的流动方向，定出上、下游截面，明确流 动系统的衡算范围 ；
u
流动阻力↑ →动力消耗↑ →操作费↑
均衡 考虑
武汉工程大学化工原理课件 常用流体适宜流速范围：
水及一般液体
粘度较大的液体 低压气体 压力较高的气体
1~3
m/s
0.5~1 m/s 8~15 m/s 15～25 m/s
武汉工程大学化工原理课件 三、连续性方程的推导 前提: ① 定态流动系统; ②管路中流体无增加和漏损。
0 0
u12 p1 u2 2 p2 z1 g z2 g (4) 2 2
u12 p1 u22 p2 z1 z2 (5) 2g g 2g g
伯 努 利 方程式
武汉工程大学化工原理课件 4.伯努利方程的讨论 u12 p1 u2 2 p2 gz1 he gz2 h f 2 2
pV p (J/kg) m
V pV A
设换热器向1kg流体提供的热量为qe (J/kg)。
3.CFD基本方程
x K T x q y K T y q z K T z q
4、总结
u t x
v w
y z
0
dV f p dt
流体力学控 制方程组
De ( V ) ( k T ) q Dt
二阶对称张量，第一个 下标表示切应力作用面 垂直于该轴，第二个下 标表示切应力方向。
广义牛顿内摩擦定理: 给出了三维粘性流体的切应 力与流体变形之间的关系
ui u j ij ( ) ij ( V ) x j xi
xx
u v w u 2 x x y z
dV f p dt
N-S（纳维-斯托克斯）方程表明质量力、粘性切应力 与压强共同确定了流体流动规律。
（2）粘性流体的微分运动方程－Navier-Stokes方程 切应力张量τ
xx xy xz [ ] yx yy yz zx zy zz
基本方程有5个，未知量为：p,ρ,T, e,u,v,w，需 要补充方程： e e(T , P) p RT e cvT
粘性流动方程 （N-S方程）
无黏流动方程 （欧拉方程）
初始条件与边界条件 流体力学基本方程组是自然界千千万万流动现象的控 制方程，对于某一个特定的流体力学问题，必须加上 相应的定解条件,即初始条件和边界条件。
dV (V n)dA 0 t V .Con S .Con
积分式：直观、物理意义明确，无需了解流场内部的流
动细节，只需要控制面上的流场参数
微分式：给出了密度与速度场的分布规律
CFD-12-03-流动控制方程_数学特性PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
ρFi
p xi
x j
(μ
ui x j
uj )) xi
λ
xi
( uj ) x j
ui t
uj
ui x j
ρ
p xi
2ui
Ui t
Uj
Ui x j
ρ P xi
2Ui x jx j
1 ρ
(ρui uj ) x j
(ρui uj )
动能方程：
D Dt
(
1 2
ui
ui
)
2
ν
(sijui x j
)
1 ρ
(pui xi
)
)
2ν
sijsij
D Dt
(1 2
UiUi )
x
j
(
P ρ
Uj
2ν
U iSij
uiuj
Ui)
2ν
SijSij
uiuj
S ij
(2) (1) (4) (3) (5)
平均运动的质量方程 平均运动的动量方程 平均运动的动能方程
RANS 方法
(ρui uj )
方程不封闭
代数模型（零方程模型）
无粘（不考虑粘性影响） 定常、可压、绝热等熵流动（无旋的）
Velocity Potential Equation
不可压流动
Laplace Equation 2 0
附面层粘性修正
（有粘/无粘耦合迭代技术）
基于 Prandtl 的附面层理论，人们认识到仅在物面附近的附面层内粘性效应起重 要作用。因此，在没有产生严重分离的情况下，粘性的影响可以在绕流物体的附 面层内考虑，通过有粘/无粘耦合迭代技术得到问题的修正解。
但是，对于CFD，控制方程的差异，往往会造 成计算结果上的巨大差别。
第4章-流体流动守恒原理-讲义1-守恒方程
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
CFD控制方程离散方法：有限容积法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
中心节点旳参数值为相邻节点旳加权平均。 假如离散格式不满足不足，那么解可能不收敛，或者有“摆动”
3、没有源项时，中心点系数为相邻点系数之和。 当控制方程只包括微分项时，T和T+C都满足微分方程。故参 数加上常数时离散方程依然成立。
举例
节点1： 节点5：
不大于1在边界处到达，因为ap涉及全部边界点（涉及 值已知）旳边界点，已知值旳边界点作为源项出现，使 ap更大。
中心差分：没问题 求 扩 散 通 量
二次插值：有问题 二次插值格式QUICK 守恒
2、有界性Boundedness
没有源项时内部节点旳参数值应该位于边界节点旳范围限制内
迭代收敛旳充分条件：
系数矩阵对角占优
1、源项旳线性化系数应该为负
若源项旳线性化系数为负：T增大→S增大→T增大→S增大：不稳定
2、离散方程里旳全部系数应该有相同旳符号（一般为正）。一种节点参数旳增长 应该造成相邻节点参数旳增长。
3、输运性Transportiveness
邻点W和E有两个恒定源，画出等值线
纯扩散
对流扩散
纯扩散使源旳影响向各个方向同等地传播；纯对流时，P点只受上游影响不受下游影响。
无源时场随时间变化
3、输运性Transportiveness
n时刻 n+1时刻
扰动被均匀向两侧传递
中心差分
对流项旳中心差分不合理，因为aE为负，使得下游增大会使上游 减小
在均分网格情况下与Taylor展开法旳成果一致。 在FVM中所谓不同旳格式就是指不同旳型线。
分离式求解过程
初始
ห้องสมุดไป่ตู้
No Image
流动传热及传质的控制方程
缺点： ①数学模化的全面和准确性需要不断提高：
Ⅰ、物理问题的数学模型是否正确（回流问题还是边界层问题， 稳态还是非稳态），否则，数值算法的改进没有意义。
Ⅱ、所有物性数据要可靠，否则减少数值误差的努力毫无意义。 ②真实再现某些过程的代价也是极其昂贵的或不可能；（用于气象，
石油） ③有些迫不得已的简化是致命的或大大降低其价值； ④计算结果准确性仍需接受实验或精确解检验。（如对有代表性点
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场速度场温度场浓度场等用一系列有限个离散点节点上的值的集合来代替通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关系的代数方程称为离散方程求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似值
流动与传热的数值计算
§1 绪论
1.1 引言 1、传热、传质与流体流动的重要性
工程设备（如结晶器，中间包，钢包及锅炉，高炉等） 内部流体流动及热交换过程，自然环境中的污染问题，暴 风雨雪，河流泛滥及着火过程中出现的热、质传递，流动 起着重要作用。 2、对过程估计和认识的必要性
一．质量守恒方程（连续性方程）
1.理论依据：质量守恒定律 2.数学描述： [单位时间内微元体中流体质量的增加]=[ 同一时间间隔内流入该微
元体的净质量] 3.数学表达式：
?? ? ? ?? u?? ? ?? v?? ? ?? w?? 0
?t ?x
?y
?z
?? ? div(? U) ? 0
?t
or
?? ? ? (? U) ? 0
五．控制方程的通用形式 引入背景：比较四个基本控制方程式，虽因变量各不相同，但它
)
?
div(?
gradu)
?
?p ?x
?
Su
流体流动中的守恒原理
2
2
2
根据管截面上流速的分布关系式可以 解出动能校正系数α 。
层流时α=2 ；湍流时α≈1
13
第 1 章 流体流动
u1 p2 u gz1 he gz2 hf 2 2
u12 p2 u22 gz1 1 he gz2 2 hf 2 2 p1
du dy
取一流体微元，在空间三维方向，即x,y,z方向上，分别分析 单位质量流体所受的力。并且应用牛顿第二定律。
与研究静力学时流体微元的受力分析相似。
2013-7-27 第 1 章 流体流动 5
P dz P z 2
理想流体 0
dV dx dy dz
P
第1章 流体流动（fluid flow）
1.3 流体流动中的守恒原理 1.3.1 质量守恒(conservation of mass) （理解、掌握） 1、流量与流速 2、定常态流动与非定常态流动（稳定流动与不稳定流动） 3、连续性方程 1.3.2 机械能守恒 (conservation of mechanical energy) 1、柏努利方程式(Bernoulli equation) （难点、理解） 2、实际流体的机械能衡算式 （重点、掌握）
2 2 P3 u3 u1 Z1 g Z3 g 2 2
P1
2013-7-27
第 1 章 流体流动
15
应用机械能衡算式时注意 （暂时忽略机械能损失）
a
b
c
2 2 p3 u3 u2 z2 g z3 g (a) 正确 2 2 2 2 p3 u3 p1 u1 (a) 正确 z1 g z3 g 2 2 2 2 2 p3 u3 p1 u1 p2 u2 z1 g z2 g z3 g (b)、(c ) 2 2 2
第二章流体力学控制方程及其分类
u( x, t) 2 x(2)
其中 (x,是t)待定的二阶可微分函数，将其代入(1)
式,得：
u t
2
(
x
t
x 2
t
)
2
(t x
)
u u x
4 2
x
(
xx
x2 2
)
2u x 2
2
2[( xx
)x
2 x xx 2
)
2
x3 3
代入(1)，则得:
[t xx ] 0
x
不妨设 为满足抛物方程的解 ，即：
定常不可压N-S方程为椭圆型。
5. 二维定常可压NS方程
采用降阶法分析：
1,2,3 0,
4
v u
,
5,6 i,
7,8 i
定常可压NS方程是双曲椭圆型。
6. 抛物化N-S方程
利用边界层流动的概念，设x方向为主流方向，
即考虑有：
2 x 2
2 y 2
把流动方向的二阶偏导数略去。
A U x
t
xx
0
(3)
将 的解代入(2)式，即给出了Burger方程的解析
解的一般形式。
若 u(x,t) 的初始条件为: u(x,0) f (x) ，
则由(2)给出的对应于 (x,t) 的初始条件是：
( x,0)
exp[
1
2
x
0
f
( )d ]
F(x)
由（3）给出的Burger方程的通解是：
(x,t)
1
a2
)
u
uv
u2 a2
求矩阵C的特征值得：
( v )2 [uv (u2 a2 )]2 a2 (u2 v2 ) a4 0
CFD基础流体力学
第1章 CFD 基 础计算流体动力学(computational fluid dynamics ，CFD)是流体力学的一个分支，它通过计算机模拟获得某种流体在特定条件下的有关信息，实现了用计算机代替试验装置完成“计算试验”，为工程技术人员提供了实际工况模拟仿真的操作平台，已广泛应用于航空航天、热能动力、土木水利、汽车工程、铁道、船舶工业、化学工程、流体机械、环境工程等 领域。
本章介绍CFD 一些重要的基础知识，帮助读者熟悉CFD 的基本理论和基本概念，为计算时设置边界条件、对计算结果进行分析与整理提供参考。
1.1 流体力学的基本概念1.1.1 流体的连续介质模型流体质点(fluid particle)：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微 元体。
连续介质(continuum/continuous medium)：质点连续地充满所占空间的流体或固体。
连续介质模型(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u (t ,x ,y ,z )。
1.1.2 流体的性质1. 惯性惯性(fluid inertia)指流体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性。
惯性与质量有关，质量越大，惯性就越大。
单位体积流体的质量称为密度(density)，以r 表示，单位为kg/m 3。
对于均质流体，设其体积为V ，质量为m ，则其密度为m Vρ= (1-1) 对于非均质流体，密度随点而异。
若取包含某点在内的体积V ∆，其中质量m ∆，则该点密度需要用极限方式表示，即0lim V m Vρ∆→∆=∆ (1-2) 2. 压缩性作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。
压缩性(compressibility)可用体积压缩率k 来量度d /d /d d V V k p pρρ=-= (1-3) 式中：p 为外部压强。
计算流体动力学方法及其在工程中的应用
计算流体动力学方法及其在工程中的应用计算流体动力学(CFD)是一种基于数值计算方法，通过数学模型来解决流体力学问题的工程分析方法。
它和传统试验方法和理论解析方法一样，是一种流体力学的分析方法。
但是，和传统方法不同的是，CFD方法可以通过计算机进行大规模并行计算，处理更为复杂的流体流动问题。
CFD方法的应用在工程上也得到了广泛应用，本文将从CFD方法的数学原理、应用案例和未来发展方向等方面，探讨计算流体动力学在工程上的应用。
一、CFD方法的数学原理CFD主要基于以下两个方程组：质量守恒方程：控制物质的动态平衡，可以表示为连续性方程。
动量方程组：表示了流体运动的基本方程。
CFD方法的计算过程如下：1.构建数学模型：CFD方法需要将实际情况用数学模型来描述，所以首先要建立一组模型和参数，包括模拟的几何形状，边界条件以及流体的性质参数等。
2.离散化：用有限元或有限体积等方法，将流体连续的空间分成一个个小块（网格），并对每个小块进行数值计算，用计算机对其进行离散化的处理。
3.求解：对量方程（质量守恒方程、动量方程等）进行数值求解，用计算机对其进行计算并得出数值解。
4.输出结果：将数值解转化为可视化结果，可以生成流场图、压力图、温度图等各种图形化结果，还可以进行数值化输出，如下游方程、介观速度、剪切力等，以供真实场景中的工程师进行分析和设计。
二、CFD在航空航天工程中的应用CFD在航空航天工程中的应用涵盖了飞行器的气动性、热力行为和结构强度等多方面，包括设计改进、优化和验证等。
具体应用场景如下：1.飞行器总体气动性分析：飞行器处于不同的飞行状态时，其流场的特性也不同，为了研究它们在颠簸、滑翔、加减速等运动下的气动性特点，借助CFD可以很好的反映飞行器的飞行特性。
2.飞行器部件的气动性、热力行为分析：反射器、气动状况室等部件都是容易造成气动阻力或者其他形态问题的重要因素，CFD可以在改善或者设计上来优化它们的性能，并可以对其热力特性进行分析。
流体流动中的守恒原理
2013-7-27
Phigh
u2 Pa h g 2
19
第 1 章 流体流动
3、柏努利方程式的应用
2 u1 p2 u2 gz1 gz2 2 2
p1
2
2013-7-27
第 1 章 流体流动
2013-7-27 第 1 章 流体流动
力 距离 功（机械能）
7
dy
dz
dx
d ux 1 p dx 1 2 Xdx dx dx d ux ux d ux d ux x dt dt 2
d uy 1 p dy 1 2 Yd y dy dy d uy uy d uy d uy y dt dt 2
20
3、柏努利方程式的应用
（4）
2 u1 p2 u2 gz1 gz2 2 2 Nhomakorabeap1
2
2013-7-27
第 1 章 流体流动
21
3、柏努利方程式的应用
（5）
2 u1 p2 u2 gz1 gz2 2 2
点流速
4
d2 u
u 与体积流量qV的关系
rR r 0
qV u d A
A
u 2r d r
u f r
2、定常态流动与非定常态流动（稳定流动与不稳定流动）
流体的流动参数是否随时间发生变化。
不随时间变化的流动称为定常态流动，否则为非定常态流动。
工业生产管道中通常为湍流形态，动能系数可取为1 ，管截面上 的平均流速就习惯地写为u 。
2 2 u1 p2 u2 gz1 he gz2 hf 2 2
计算流体力学CFD（非常好）
气体动力学1.理想气体运动的基本方程组理想气体：无粘性、无导热性雷诺数：度量粘性效应的相对大小的量纲一的数R e=ρVLμ=惯性力粘性力●要确定理想气体的流场，一般需要知道六个参数：速度V的三个分量，压力p，密度ρ和温度T。
因此理想气体动力学要建立六个独立的基本方程，连同初边值条件，以构成定解问题。
●基本方程所依据的是三个方面的物理定律，即运动学方面的质量守恒定律，动力学方面的牛顿定律和热力学方面的第一、第二定律以及气体热状态方程。
●建立基本方程时首先面临着这么一个问题：怎样选取流体物质形态的模型作为研究对象。
有两种流体模型可供选择。
一种是随体观点的模型，它认定某个有确定质量的流体团，称为封闭系统，其特点是：(1) 系统的体积τ(t)和界面积σ(t)随流体运动而随时变化；(2) 在系统的界面上，只有能量交换，没有质量交换。
一种是当地观点的模型，它在流体空间认定一个固定的控制面所包围的区域，称为开口系统，其特点是：(1) 系统的体积τ和界面积σ是固定不变的；(2) 在系统的界面上，既有能量交换，也有质量交换。
对于上述两种流体模型，即封闭系统和开口系统，还有两种数学表达形式。
一种是选取有限质量（体积）的系统，写成积分形式的基本方程。
另一种是选取微元质量（体积）的系统，写成微分形式的基本方程。
微分形式的方程适用于连续流程，便于探讨流场各处的参数分布规律。
积分形式的方程便于从总体上研究问题，而且可以用来求解系统中有间断面存在的情况。
综上所述，理想气体运动的基本方程组的要点可归为：六个方程、三个方面、两种观点、两种形式。
1.1 连续性方程质量守恒方程（当地观点、微分形式）微元体的质量平衡式：微元体内质量的增加率=进入微元体的质量净流率微元体内质量的增加率：ððt (ρδxδyδz)=ðρðtδxδyδz进入微元体的质量流率的净变化率：通过微元体每一个表面的质量流率等于密度、速度分量和面积的乘积。
CFD-12-04-流动控制方程_守恒型
激波的时候。
前面我们在很多场合曾多次提到过，守恒形式的 流体运动控制方程对于 CFD 研究的重要性。 疑问： 流体运动控制方程是由自然界三大守恒定律
推导得到的，守恒形式、非守恒形式只是流体运
动控制方程数学表达上的差异：数学方程左端项 是否表述为散度形式。而方程本身始终遵循自然 守恒律。CFD强调守恒形式的原因何在？ 下面以一维流质量方程为例来说明这个问题：
流动的详细结构，也不易作孤立因素的优化分析。
计算机问世以来，CFD 新兴分支发展异常迅速。 内存和外围设备达到一定程度时，才会有CFD发展
新阶段的出现。 CFD是多领域交叉的学科分支，涉及计算机科学、
流体力学、偏微分方程的数学理论、计算几何、数 值分析等各方面。
CFD涉及的几个方面:
1、计算机技术
流动控制方程需要配上一定的计算条件来求解，称 为定解条件。 若定解问题的解存在、唯一、并且连续地依赖于定 解条件，称为问题适定。 在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适 定非常重要。因为不正确或是不准确的边界条件及 初始条件有时也会取得数值解。
边界条件的处理是CFD研究中的一大难题。这方 面的研究，无论是偏微分方程本身还是它的差分近似， 都远远落后于实际计算。 而在实际流场计算中，如果边界条件提得不适当， 那么计算可能不收敛或是不稳定，或是数值结果近似 于错误的解，或在计算定常解时收敛很慢（收敛于正 确的解或错误的解）。 这一点，我们前面在介绍定解问题的适定性时已 做过简单介绍。
从差分离散的角度，CFD 计算中对边 界条件的处理应注意： 1、边界格式应与场内格式相匹配
2、边界处理的精度应与场内格式精度 相匹配
计算流体力学中，边界条件的重要性。
边界条件：物理边界条件与数值边界条件 物理边界条件：物面边界条件与远场边界条件 物面边界条件：有粘流动 无粘流动 物面无滑移 不可穿透
计算流体力学基础
For personal use only in study and research; not for commercial use一、计算流体力学的基本介绍一、什么是计算流体力学(CFD)?计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是流体力学的一个新兴的分支，是一个采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。
事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流动控制方程，我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化，这听起来似乎十分简单。
但遗憾的是，常见的流动控制方程如纳维一斯托克斯(Navier-Stokes)方程或欧拉(Euler)方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。
实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。
因此，采用CFD方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维一斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。
二、计算流体力学的控制方程计算流体力学的控剖方程就是流体流动的质量、动量和能量守恒方程。
守恒方程的常见的推导方法是基于流体微元的质量、动量和能量衡算。
通过质量衡算可以得到连续性方程，通过动量守恒可以得到动量方程，通过能量衡算可以得到能量方程。
式(1)一(3)是未经任何简化的流动守恒微分方程，即纳维一斯托克斯方程( N-S方程)。
N-S方程可以表示成许多不同形式，上面的N-S方程是所谓的守恒形式，之所以称为守恒形式，是因为这种形式的N-S方程求解的变量p、pu、pv、pw、pE是守恒型的，是质量、动量和能量的守恒变量。
流体力学的质量守恒方程
流体力学的质量守恒方程流体力学的质量守恒方程是描述流体在运动中质量守恒的基本方程。
它是流体力学中的一条重要定律，被广泛应用于流体力学、空气动力学、水力学等领域的研究和工程实践中。
质量守恒方程的基本形式是：在一个封闭系统内，流体的质量始终保持不变。
换句话说，如果没有质量的输入或输出，流体系统内的质量总和将保持恒定。
质量守恒方程可以通过对流体流动的观察和分析得出。
在流体力学中，我们通常将流体看作是连续分布的，即没有间隙或空白。
这意味着流体中任何一点的质量都可以用该点的密度和体积来表示。
因此，我们可以通过对流体中各点质量的积分来得到整个流体系统的质量。
质量守恒方程可以用以下形式表示：流体系统中的质量变化率等于质量通过系统边界的流入流出速率之差。
这个方程可以表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度算子。
这个方程的物理意义是，流体系统中的质量变化率等于流体流入流出速率之差。
如果质量流入速率大于流出速率，质量将增加；如果质量流出速率大于流入速率，质量将减少；如果质量流入流出速率相等，则质量保持不变。
质量守恒方程的应用非常广泛。
在空气动力学中，我们可以利用质量守恒方程来研究飞机在飞行过程中空气的流动情况。
在水力学中，质量守恒方程可以用来分析水流在管道中的流动情况。
在工程实践中，我们可以利用质量守恒方程来设计管道系统，确保流体从一处流向另一处时质量的平衡。
流体力学的质量守恒方程是描述流体在运动中质量守恒的基本方程。
通过对流体系统中质量的观察和分析，我们可以得出质量守恒方程，并应用于各个领域的研究和工程实践中。
质量守恒方程的应用可以帮助我们理解并控制流体的运动，从而实现各种实际应用。
CFD计算流体动方程力学控制
其中： D / Dt 是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间 变化率； / t 叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率； V 叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一 点运动到另一点，流场空间不均匀性而导致的时间变化率。
如：
D T T (V )T T u T v T w T
☞ 空间位置固定的流动模型直接导出的控制方程定义为守恒型方程。
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24
连续方程：随流体运动的微团
特点：流体微团有固定质量，但它 的形状和体积会在它向下游运动时 变化。
将这个流体微团固定的质量和可变
的体积分别用 m 和 V 表示，
有： mV
(2 26)
由微团质量守恒，有：
D ( m ) 0 Dt
B V dS S
(2 17)
控制体内总质量为： dV
V
体积 V 内质量的增加率为： dV t V
2022012/21//62/6
19
19
连续方程：空间位置固定的控制体
相反的，体积 V 内质量的减少率是上式的负数，即：
t
V
dV
C
(2 18)
因而，将式（2-17）和式（2-18）带入式（2-15b）， 得：
4. 适合CFD使用的控制方程
4
基础知识：流动模型
☞ 要得到流体流动的基本方程，要遵循下面的过程：
固定 有限控制体
随流场流动 有限控制体
固定 无穷小流体微团
随流场流动质量守恒 牛顿第二定律
能量守恒
将它应用于合适的流动模型
得到表现这一物理原理的方程
本节内容
2021/2/6
Vuivjwk
这里的速度x, y, z方向分别由下式给出： u u(x, y,z,t) v v(x, y,z,t) w w(x, y,z,t)
流动控制方程
流动控制方程
流动控制方程是计算流体力学（CFD）中用于描述流体运动的基本方程，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
质量守恒方程描述了流体的质量守恒性质，即在任意时间和位置，流体的质量流量是不变的。
在连续介质假设下，质量守恒方程可以写成控制方程通用形式：
其中，ρ是流体密度，v是流体速度，∇是Nabla算子。
动量守恒方程描述了流体的动量守恒性质，即在任意时间和位置，流体的动量总量是不变的。
在连续介质假设下，动量守恒方程可以写成控制方程通用形式：
其中，f是外力，p是压力。
能量守恒方程描述了流体的能量守恒性质，即在任意时间和位置，流体的能量总量是不变的。
在连续介质假设下，能量守恒方程可以写成控制方程通用形式：
其中，E是单位质量流体的总能量，T是温度，k是热传导系数，q是热源项。
这些方程是CFD数值模拟的基础，通过求解这些方程可以得到流体的速度、压力、温度等物理量随时间和空间的变化情况，进而预测流体的运动规律。
流体流动过程的能量守恒与转化
4
d 1 w 1 3600
2
4
0 . 08 7 . 34
2
=132.8
m3/h
——确定管道流体的流量
（2）确定设备间的相对位臵
例2: 有一输水系统，水箱内水面维持恒定，输水管直径 为φ 60×3mm ，输水量为18.3 m3/h ，水流经全部管道（不 包括排水口）的能量损失可 按∑Wf =15w2公式计算，求： (1) 水箱中水面必须高于排出口的高度H ？ (2) 若输水量增加5%,管路直径及其布臵不变，管道的能 量损失仍按公式计算，则水箱内的水面将上升多少米？
1 2
1’
2’
3-2 用压头表示的能量守恒与转化
z1 g
1 2
1
w
2
2
w1
2 p
p1
We z2 g
1 2
w2
2
p2
W f
用压头表示的能量
Z1 w
2 1
P1
2g
g
H Z2
w
2 2
P2
2g
g
h
3-3 应用流体动力学方程的注意事项
（1）根据题意画出流动系统的示意图，标明 流体的流动方向，定出上、下游截面，明确
z1 g 1 2 w1
2
p1
z2 g
1 2
w2
2
p2
——柏努利方程
各截面上的三种能量之和为常数——柏努利方程
柏努利方程的讨论：
（1）若流体处于静止，w =0，ΣWf =0，We=0，
则柏努利方程变为，
z1 g
流体流动中的守恒原理
单位 必须 一致
• 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换 算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压 强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。
1.3.2 机械能守恒
六、柏努利方程式的应用 2、柏努利方程的应用 （1）确定流体的流量
例：20℃的空气在直径为80mm的水平管流过，现于管路中接一文丘 里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直 径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里 管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时， 试求此时空气的流量为多少m3/h?
P1 Hg gR 13600 9.81 0.025 3335Pa(表压）
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 1000 9.81 0.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (101330 4905)
P1
(101330 3335)
u2 2
u
2
2
层流＝2 湍流 1
he ——截面1至截面2外加的机械能J/Kg；
h f ——流体在两截面间的阻力损失。
1.3.2 机械能守恒
四、实际流体管流的机械能衡算
以后计算均取 a 1 ，误差不大。
22
he
gz2
p2
u2 2
hf
以后可以把 u2上的－去掉，u表示平均速度。
P1
u12 2
he
P2
u22 2
hf
习惯上也把上式称为实际流体的柏努利方程或扩展了的柏努 利方程。
1.3.2 机械能守恒
五、柏努利方程式的讨论
1、柏努利方程式表明理想流体在管内做稳态流动，没有 外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能、 位能、静压能之和为一常数。
4流体流动的控制方程
S
内热源发热所获得的能量为
V
qdV
1 2 e dV
V
控制体内的流体的总能量为
U
2
能量方程
动量守恒定律的数学表达式
1 U t 2 e dV f U dV n U dS
n dS
S
n U U dS
S
V
U
t
S
n U U dS
V
f dV
n dS
S
积分形式！
对于x方向的动量守恒
V
u t
dV
n U udS
S
v y
w z
0
微 分 形 式
！
张量形式
t u i xi 0
运动（动量）方程
◆动量守恒定律
作用在控制体的上外力的合力与单位时间内通过控制面流入控制体内 的动量之和等于单位时间内控制体中流体动量的增量。
单位质量流体所受到的质量力为 微元面积矢量dS的应力张量为
Tu x j
j
T x j cV x j
温度表示的能量方程
牛顿型流体的控制方程
不可压缩流体，根据连续方程
u k xk 0
ui t
u i u j x j
ui f i x xi x j j p
▼流动现象及控制方程的一般分类
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计算流体力学（CFD）
第二讲：流体运动控制方程
—— 边界条件和守恒型的重要性
Pure experiment
Pure theory
Computational fluid dynamics
流体力学早年只有两个分支：理论流体力学和 实验流体力学。 理论流体力学公式严谨，但只能求解十分简单流动。 实验流体力学可研究复杂几何形状下的复杂流动， 但昂贵费时，所能模拟的因素受到限制。大型风洞 的投资费用十分巨大。另外，实验还难于测量复杂
CFD 计算中对边界条件的要求：
个数正确，且提法可使初边值问题的解连续依赖 于初边值。 对实际边界（如物面、自由面等）（所谓 Open 边界），即计算域边
界为从无穷区域切出的有限区域的边界。边界 条件应使问题“好比没有边界”，即无人为的
边界层以及无人为的边界反射。
流动控制方程需要配上一定的计算条件来求解，称 为定解条件。 若定解问题的解存在、唯一、并且连续地依赖于定 解条件，称为问题适定。 在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适 定非常重要。因为不正确或是不准确的边界条件及 初始条件有时也会取得数值解。
边界条件的处理是CFD研究中的一大难题。这方 面的研究，无论是偏微分方程本身还是它的差分近似， 都远远落后于实际计算。 而在实际流场计算中，如果边界条件提得不适当， 那么计算可能不收敛或是不稳定，或是数值结果近似 于错误的解，或在计算定常解时收敛很慢（收敛于正 确的解或错误的解）。 这一点，我们前面在介绍定解问题的适定性时已 做过简单介绍。
守 恒 形 式 的 N-S 方 程 组
方程的守恒形式的重要性
对于理论分析研究，采用守恒或非守恒变量，守
恒形式方程或非守恒形式方程，通常没有本质的
差别。 在离散化的数值计算中，守恒形式与非守恒形式 将可能导致很大差别，这一点是计算流体力学中 必须特别注意的重要问题，尤其是当流场中存在
激波的时候。
前面我们在很多场合曾多次提到过，守恒形式的 流体运动控制方程对于 CFD 研究的重要性。 疑问： 流体运动控制方程是由自然界三大守恒定律
推导得到的，守恒形式、非守恒形式只是流体运
动控制方程数学表达上的差异：数学方程左端项 是否表述为散度形式。而方程本身始终遵循自然 守恒律。CFD强调守恒形式的原因何在？ 下面以一维流质量方程为例来说明这个问题：
4、流体自身的特性
上节课，我们对流体运动控制方程及其数学特性 做了简要的介绍。 对于非定常流动方程，无论M>1还是M<1，如果 沿时间方向来看，方程均属双曲型，我们可沿时间方 向推进求解。实际CFD数值模拟中的许多问题（包括 定常及非定常流动）属于数学中的初边值问题。 对于流体力学问题的数值模拟而言，问题的普遍 性由流动控制方程决定，而对于所模拟问题的特殊性， 则由边界条件决定。
流动的详细结构，也不易作孤立因素的优化分析。
计算机问世以来，CFD 新兴分支发展异常迅速。 内存和外围设备达到一定程度时，才会有CFD发展
新阶段的出现。 CFD是多领域交叉的学科分支，涉及计算机科学、
流体力学、偏微分方程的数学理论、计算几何、数 值分析等各方面。
CFD涉及的几个方面:
1、计算机技术
2、流体力学知识（空气动力学） 3、偏微分方程数值求解技术 计算网格技术＋差分离散格式 差分解
当前，借助CFD 技术可以开展非常广泛的基础与 工程应用研究。
因此，我们必须明确流体运动控制方程的适用范 围与应用对象。 Emphasis is made that CFD solutions are slaves to
从差分离散的角度，CFD 计算中对边 界条件的处理应注意： 1、边界格式应与场内格式相匹配
2、边界处理的精度应与场内格式精度 相匹配
计算流体力学中，边界条件的重要性。
边界条件：物理边界条件与数值边界条件 物理边界条件：物面边界条件与远场边界条件 物面边界条件：有粘流动 无粘流动 物面无滑移 不可穿透
the degree of physics that goes into their formulation.
流体力学知识回顾
描述流动现象最完备的方程是: N-S 方程组， 它是自然界三大守恒定律针对流体运动的具体的 数学表达和描述。 1、质量守恒 2、F=ma（动量定理） 3、能量守恒
对于粘性流动：
对于无粘流动：
直接得到守恒形式的积分方程
直接得到非守恒形式的积分方程
直接得到守恒形式的微分方程
直接得到非守恒形式的微分方程
右 图 以 连 续 方 程 为 例 说 明
各 种 推 导 结 果 之 间 的 转 化 关 系
下面以微分形式流动控制方程为例，简要 介绍N-S方程的具体数学表达: