理论力学4复合运动

r ro' r '
x' o' i y j z k va x ro' y' r ' i ' y ' j ' z 'k ' o vr x
z
z'
r'
y
M
x

泊松公式 di ' ωe i ' dt d j' ωe j ' dt dk' ωe k ' dt
有3个未知量！不可解！
15
动点动系的选择规律
（1）动点、动系分别在两个物体上，否则就没有相对运动。 （2）相对运动轨迹清晰：为已知的、简单的情况。
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动点动系的选择规律
（1）动点、动系分别在两个物体上，否则就没有相对运动。
（2）相对运动轨迹清晰：为已知的、简单的情况。
动点：A 动系：凸轮C 相对运动： 绕C的圆周运动
i y j z k va x
•相对速度： 动点相对动系的(加)速度
' i ' y ' j ' z 'k ' vr x
•牵连速度： ？？
7
速度合成定理
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k '
•科氏加速度:(Coriolis acceleration) 例：已知动系的角速度和动点的相 对速度，求动点的科氏加速度。
aC 2ωe vr

由动系转动引起
w

y'
y
w
aC
x'
aC
vr
x
vr
aC 2wvr
aa ae ar
z
z' x' o'
？
ae ao ' αe r ' ωe (ωe r ')
由
r ro ' r '
dr ' vo ' vr ωe r ' 两边对t求导 v a vo ' dt d vr d(ωe r ') a a 两边再对t求导 a O' dt dt
z
ro '
o' x '
r'
y
M
o x
r y'
dr ' ωe r ' vr dt
aa ae ar 2ωe vr
aC 2ωe vr
科氏加速度
31
aa ae ar aC
加速度合成定理 aC 2ωe vr
在某瞬时,动系所在刚体上与动点重合的点。 牵连点具有瞬时性特点。
ve
•牵连(加)速度：
动点：M 动系：凸轮
动点：M 动系：带滑槽摇杆
ve
牵连点相对静系的(加)速度
10
观察动点M的牵连点M’
动系刚体可以进行延拓！
例：已知OA在图示瞬时水 平，其角速度为w0，O1B与 铅垂向夹角300。求 O1B杆的 角速度。
由
dr dro' dr ' 两边对t 求导 dt dt dt dr ' va vo' vo ' ωe r ' vr dt dr ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') ◎ dt dt ωe r ' vr
？如何选动点、动系？
va v e v r
原则：
@ 动点动系在不同刚体上；
@ 保证有尽量多的已知量。
选法一：动点：套筒上A点 动系：摇杆O1B
动点、动系选好后，三种运动都清晰， 特别是相对运动轨迹。
12
选法一：动点：套筒上A点 动系：摇杆O1B 运动分析 绝对运动： 圆周运动
相对运动： 直线运动
例： 已知图示瞬时圆盘的
角速度 w ， 求杆上A点的 速度。
A
300
wwk.baidu.com
O
c
R

21
平底凸轮机构的运动分解
如何选动点、动系？
22
选法1 Х
23
选法2 Х
24
选法3 √
25
例： 已知图示瞬时圆盘的
角速度 w ， 求杆上A点的 速度。
A
解：动点： 盘心C 动系： 杆 运动分析 绝对运动： 圆周运动
动系转动角速度
8
dr ' vo ' ωe r ' vr ve vr va vo' dt
◎ ◎
vo ' ωe r ' ve
d r ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') ωe r ' vr dt dt
29
加速度合成定理
i y j z k va x ' i ' y ' j ' z 'k ' vr x ve vo ' ωe r ' aa xi yj zk
a r x ' i ' y ' j ' z 'k '
' i ' y ' j ' z ' k ') ◎ d vr d( x ar ωe vr dt dt d(ωe r ') α r ' ω v ω ( ω e ◎ e r e e r ') dt
是刚体的运动！
判断三种运动
动点：滑块上点A
动系：T型构件
动点：B 动系：OA杆上
6
速度的解析表达
z
x'
z' o'
r'M
r y'
o x
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k '
y
•绝对速度：动点相对静系的(加)速度
27
例
已知：两根杆分别以速度 v1、 v2在 平面上平动，两杆夹角为 ， 试求交点M的速度。 解： 将动系固结于AB杆
A C
ve
M
v2
vr
v1
B
D
再将动系固定于CD杆
1、 v a v e v r v1 v r
大小： ？ ？
2、 v a v e v r v 2 v r
用几个简单的运动合成一个复杂的运动
？
3
点的复合运动
目的：
合成运动
不同坐标系描述同一点运动时，各运动之间关系； 利用运动关系求解刚体系的运动学问题。
内容：
点的合成运动概念； 点的速度合成定理；
点的加速度合成定理；
点的合成运动概念
z
x'
z'
o'
M
一点 二系 三 运动
动点：P
研究运动的点为动点 O x y z 为静参考系 O’x’y’z’为动参考系
30
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k ' ro ' xo ' i yo ' j zo ' k
ro '
r'
r
y'
M
o x
y
d vr d(ωe r ') ae ar 2ωe vr aa aO' dt dt aO' ar ωe vr αe r ' ωe vr ωe (ωe r ')
√
17
动点：圆周上A1点 动系：杆AB
X
18
例: 已知图示凸轮以角速度w运动：（1）判断三种运动并标注 三种速度方向；（2）求杆上点A的速度。 解：（1）： 动点：杆上点A
vr
va
动系：凸轮
ve
绝对运动：直线运动
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动
va vr ve
牵连运动： 定轴转动
速度分析： 其中： 则：
va v e v r
？ ？

va w0 R
ve va sin 30
成功！
w0 OA
2
ve
va vr
wO B
1
ve w0 AO1 4
13
选法二： 动点：摇杆O1B 上的A 动系：OA杆
猜一猜相对运动轨迹！
牵连速度
x' o' r ' ro' y' r o y x
z
z'
M
是该时刻动系所在刚体上， 与动点重合的点的速度 牵连点(M’)
问题：不同时刻牵连点是否相同？
速度合成定理
绝对速度
va v e v r
相对速度 牵连速度
9
速度合成定理
•牵连点 ：
va v e v r
ae ao ' αe r ' ωe (ωe r ')
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k ' ro ' xo ' i yo ' j zo ' k z'
300
相对运动： 直线运动
牵连运动： 直线平移
w
O
va
vr
ve
c
R

速度分析： va ve vr va cos ve
ve Rw cos300
26
选动点、动系
B 动点：圆心C 动系：AB杆 相对运动：
A
以A为圆心的圆周运动
w
O
c

R
动点：圆心A
动系：凸轮C 相对运动： 以C为圆心的圆周运动
（2）杆上点A的速度：
vr
va
ve
由速度合成定理：
va vr ve
？
大小： ？ 方向：

va ve cotθ
w R cos θ
vB va
问题: 如果动点不选在杆上点A,而选在凸轮上，则该选哪一点？三
种运动又会怎么变化？应用速度合成定理求得点B速度是否相同？
动系：飞机上
y'
o x
y
绝对运动 ( absolute motion )：动点相对静系的运动 相对运动 ( relative motion )： 动点相对动系的运动 牵连运动 (entrainment motion)： 动系相对静系的运动
va
vr ve
5
aa
ar ae
？ ？
方向： ？
由于 va不随动系而变 大小： 方向：
？
v1 v r v 2 v r
？ ？
A C
ve
vr
M
v2
v1
B
28
D
v1 v r v 2 v r
将上式投影到垂直于AB方向：
v 1 O v 2 c o s v r ' s in
运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 未知曲线运动 牵连运动： 定轴转动
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方法二： 动点：摇杆O1B 上的A 动系：OA杆
运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 未知曲线运动 定轴转动 牵连运动： 速度分析： 大小： 方向：
va ve vr
? ? ?
ve va vr ?
i y j z k va x ' i ' y ' j ' z 'k ' vr x ve vo ' ωe r '
aa xi yj zk
a r x ' i ' y ' j ' z 'k '
点的复合运动
平面运动
同一刚体内的点，其运动学关系
问题：已知OA杆运动，
如何求摇杆O1B的运动？
1
观察:直升飞机作机 动飞行时,旋翼上某 一点 P 的运动。
在不同参照体上，观察到的同一点的运动不同。
2
@ 研究同一物体(点)在不同参考系中运动的关系
观察: 画 y=f(x) 的曲线 时,绘图机构如何运动?
A C
ve
M
v2
v1 B vr
v2
D
将上式投影到垂直于CD方向：
v 1 c o s v r s in v 2
A C
ve
vr
M
v1
B
D
v ' 再利用(1)或(2)将 v r或 r 代入
va v12 vr2 1 2 v12 v2 2v1v2 cos sin v v1 sin tg 1 vr v1 cos v2