理论力学4复合运动
工程力学(运动学与动力学)14点的复合运动
绝对运动的分析方法
绝对运动
描述一个物体相对于绝对空间的运动， 是物体在固定参考系中的位置和速度。
VS
分析方法
通过绝对坐标系和相对坐标系之间的关系 ，分析物体的绝对运动。
复合运动的合成定理
合成定理
将相对运动和牵连运动结合起来，描述一个 物体在复合运动中的位置和速度。
应用范围
适用于分析复杂机械系统中的运动关系，如 机床、机器人等。
要点二
弹性体在振动时发生的形变
例如，振动的弦或振动的梁，在振动过程中发生的形变可 以通过动力学方程进行描述。这种形变是由于弹性体内部 分子之间的相互作用以及外力作用共同作用的结果。
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THANKS
平面内两个旋转运动的复合
例如，搅拌机的搅拌叶片，既围绕中心轴做旋转运动 ，同时又围绕自身的轴线做旋转运动。这种复合运动 可以通过引入角速度和角加速度的概念进行描述。
空间内复合运动的实例分析
空间内旋转与直线运动的 复合
例如，直升机的螺旋桨，在围绕自身轴线旋 转的同时，直升机机体沿着垂直方向做直线 运动。这种运动可以通过三维坐标系进行描 述，并运用相应的运动学和动力学公式进行 分析。
空间运动
物体在三维空间中的运动，其轨迹位 于三维空间中。
定轴转动与定平台转动
定轴转动
物体绕固定轴线的转动，轴线位置固定不变。
定平台转动
物体绕固定平面上某点的转动，平面位置固定不变。
刚体运动与弹性体运动
刚体运动
物体在运动过程中形状和大小保持不 变。
弹性体运动
物体在运动过程中发生弹性形变，恢 复原状后继续运动。
工程力学（运动学与动力学 14点的复合运动
目录
• 复合运动的概述 • 复合运动的分类 • 复合运动的运动学分析 • 复合动力学的分析方法 • 复合运动的实例分析
第3章复合运动
dA dt
~ dA dt
(3.2)
8
§3.4
点的复合运动的矢量解法
M
r
O
3.4.1 动点的运动方程
(1) 确定参考点：
O 定系中任一确定点 O 动系中任一确定点
r
O
(2) 动点M的变化规律：
绝对运动方程 相对运动方程
牵连运动方程 rO rO (t ) 点O 相对点O 的矢径 在任意时刻t r t rO t r t
ve vN vO e r
(3.33) (3.34)
于是
va ve vr
速度合成定理
（矢量方程式，在任意瞬时均成立）
速度合成定理：
在任一瞬时，动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。 速度合成定理的适用范围：
速度合成定理虽然是在牵连运动为平面运动时推导所得，但当牵连运动为其 12 他形式的刚体运动时，依然成立。
方向由 vr 顺 e 的转向转 90 得到。
aC
vr
15
当 0 或 180 时， e // vr aC 0 (3) 综合上述：
e
一般情况下，
将 vr 正交分解，得到 vr ，vr ， 大小
vr
vr
aC
其方向为 vr 顺 e 的转向转过 90 (如
4. 运动合成与分解的应用
（1）某些工程机构，只有用上述方法才能求出机构中各构件的运动关系； （2）实际问题需要在不同的参考空间研究物体的运动。
这种利用动系和定系来分析运动的方法（或运动的合成与分解），不仅在 工程技术上有广泛应用，而且还是在非惯性参考系中研究动力学问题的基 础。
理论力学第4章 刚体的平面运动
独立的参变量。
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13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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14
3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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55
2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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19
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法
论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法1引言理论力学是机械、土木类专业的专业基础课。
包括静力学、运动学和动力学三大部分。
运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。
其中点的合成运动是运动学的重点内容。
此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。
当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。
本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述在日常生活中，会经常遇到这样的情况。
当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。
人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。
而以公共汽车为参考物，则人静止的。
可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。
再引申一个例子，如图2。
沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。
对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。
轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。
于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
（1）定参考系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。
理论力学点的复合运动
绝对运动：曲线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动： 平动
§7–1 复合运动的概念
3、车床车外圆 动点： 车刀刀头上一点 静系： 地面 动系： 工件
绝对运动：直线运动 相对运动：曲线运动 牵连运动： 定轴转动
§7–1 复合运动的概念
分析三种运动时要明确： 1）站在什么地方观察物体的运动 2）观察哪个物体的运动
A R
φ n
解： 1、选择动点，动系与定系 动点－ AB的端点A 。
动系－Ox'y' ，固连于凸轮。
静系－固连于地面
v
2、运动分析
a
绝对运动 －直线运动
相对运动 －圆周运动
牵连运动 －直线平动
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
分析：
B
are
R
ar
n r
A
r
arr?
aa
φ
n
加速度ar合araa：成?方定a向r理e：：?a竖rara直r??方?ar向are rn?
?
r ar
r 牵连运动为 定轴平动 时 aa
?
r ae
?
r ar
是否成立？
一圆盘以匀角速度 ? 绕定轴Ｏ
顺时针转动，盘上圆槽内有一点 M 以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运 动，那么 M点的绝对加速度应是多 少？
§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
选M点为动点，动系固结在圆盘上 。
则牵连运动 为匀速转动
MM1
t瞬时的牵连点
MM1为t瞬时牵连点的位移
§7–2 速度合成定理
将上式两边同除以 ? t ，
? t ? 0时取极限，得：
uuuuur
MM?
复合运动的基本概念
复合运动的基本概念复合运动是指多个简单运动连续组合而成的一种运动形式。
它充分利用了不同简单运动的优点，使得整个运动更加高效、流畅、灵活，并且能够适应各种不同的动作要求。
复合运动具有以下几个基本概念：1.简单运动：指单一的、基础的、固定形式的运动动作，例如：抓握、握拳、弯曲、伸展等。
简单运动是复合运动的基础，通过简单运动的组合，才能形成复合运动。
2.组合运动：指将多个简单运动按照一定的规则和顺序组合而成的运动形式。
这些简单运动通过时间和空间的变化，相互联系起来，形成整合的、连贯的动作。
复合运动是由组合运动构成的。
3.连续性：复合运动的特点之一就是运动动作的连续性。
也就是说，在进行复合运动的过程中，各个简单运动之间没有明显的间隔，动作之间能够流畅地衔接。
这样可以提高整个运动的效率，减少能量的浪费。
4.协调性：在复合运动中，各个简单运动之间需要相互协调，才能形成整体的动作。
不同的身体部位和肌肉群之间需要密切配合，才能完成一个完整的复合运动。
协调性的提高可以使整个运动更加灵活、流畅，并且能够适应复杂多变的动作要求。
5.可变性：复合运动具有多样化的特点，可以根据具体的需要进行变化。
通过改变简单运动的顺序、时间和空间的变化等方式，可以形成不同形式的复合运动，适应不同的运动要求。
这种可变性可以提高运动的刺激性、趣味性和实用性。
6.功能性：复合运动具有强大的功能性。
通过不同简单运动的组合，可以综合锻炼身体的不同部位和系统，提高身体的协调性、灵活性和耐力。
复合运动还可以通过改变运动的难度和强度，实现不同的训练目的，如增加力量、改善有氧能力、提高柔韧性等。
复合运动在体育训练和健身中具有重要的意义。
通过复合运动的训练，可以全面提高身体的运动能力和素质，增强身体的适应能力和抗压能力。
同时，复合运动也是一种很好的运动方式，它可以提高运动的趣味性和挑战性，增加运动的乐趣，提高运动的持久性和坚持性。
所以，复合运动在体育竞技和健身运动中都有广泛的应用和推广价值。
刚体的复合运动
mgh
1 2
m
v
2 C
1 1 2 2
mR 2
vC R
2
3 4
mv
2 C
vC
4 gh 3
解法二 请同学们自学 (P46)
4
3.3 刚体的复合运动
M
dL
dt
Mdt dL
L
M r
M
r
mg 不旋转的陀螺
mg
旋转的陀螺 进动！
L
dL
L
俯视图
5
ri Fi 在质心系：
d mrdC t
L
M = J
i
mi ri 0
注意： 实验室中质心 系 一般为非惯性系
ω mvC m ivi 0
零动量参照系 P44
2
d
惯性系中
质心系中
ri Fi
ri
Fi
d
t
mi a C
L i
(2.19)
d
L
dt
i
惯性力矩
其中
ri mi aC
d ri Fi d t
L
i
mi ri aC 0 Cf:重力矩 cf : P 44 3.25
对于 刚体
二、 柯尼 希定 理
M = J α cf : P 38 3.12 : M = Jα
质心系中过质心的某定轴
E
121mmivvi22
1 2mi m v
vC
vi
v
2
1m
12mi v2
vC2
12mivi2
2 iC
iC i
2
质i i点组 轨道动能
质点组 内动能
3
例3.5 质量为m半径为R的圆柱体，沿斜面向下无滑动滚
《理论力学》(范钦珊)习题解答第2篇第46章.doc
(b)第2篇 工程运动学基础第4章 运动分析基础4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。
已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2π，试确定小环 A的运动规律。
解：Rv a a 2ns in ==θ，θs in 2R v a =θθt an co s d d 2tR v a tv a ===，⎰⎰=t v v t R v v 02d t an 1d 0θ t v R R v t s v 00t an t an d d -==θθ⎰⎰-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθtv R R R s 0t an t an ln tan -=θθθ4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1．⎪⎩⎪⎨⎧-=-=225.1324t t y tt x ， 2．⎩⎨⎧==t y t x 2cos 2sin 3解：1．由已知得 3x = 4y （1） ⎩⎨⎧-=-=t y t x3344 t v 55-=⎩⎨⎧-=-=34y x5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。
2．由已知，得2ar cco s 213ar cs i n y x =化简得轨迹方程：2942x y -=（2）轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。
4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为221Rt s π=，式中s 以厘米计，t 以秒计。
轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。
当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x 和y 轴上的投影。
解：Rt s v π== ，R v a π== t，222n Rt Rv a π==y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2212ππ== ，12=∴tR a a x π==t ，R a y 2π-=4－4 滑块A ，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r 的鼓轮上，鼓轮A习题4－1图习题4－2图习题4－3图e e -t (c)e e -t υ (b)R t R +υ (a)习题4-6图以匀角速度ω转动，如图所示。
《理论力学》 第九章 点的复合运动.
dvr dt
ar
ωe
vr
由速度的定义，知：
z
ve ωe r
e
dve dt
dωe dt
r
ωe
dr dt
e
其中：dωe dt
αe
O
dr dt
va
ve
vr
x
dve dt
αe r
ωe (ve
vr )
ae αe r ωe vr
M r′ r
rO
vB
vAa B
C
a
O
vAe vvBAr r
A
vBa vBe vBr
O1
1
vBa
例题6
已知：h； ；
求：AB 杆的速度
解：取 AB 杆端点 A 为动点， 凸轮为动系
B
va
vr
ve
A
va ve vr
ve h
h
O
n
va ve tan h tan
例题7
M2
vr
M
va ve
M′ M1
MM MM1 M1M
lim MM lim MM1 lim M1M t0 t t0 t t0 t
MM
va lim t 0
Δt
vr
lim t 0
MM 2 Δt
ve
lim
t 0
MM1 Δt
va ve vr
求：(1) 小环M的速度 (2) 小环M相对于AB杆的速度
解：（1）取小环M为动点 AB杆为动系
va ve vr
理论力学---第七章复合运动 (2)
例2已知：简谐运动机构的 求：图示位置T形槽的速度。
例3已知：凸轮顶杆机构中 求： 与水平成 角时顶杆的速度。
。
分析：不能再选接触点为动点， 选动系与顶杆固结，选C为动点。
如果 为任意瞬时的角度，则 任意瞬时顶杆之速度为
§7-3 加速度合成定理
由 自然想到
引例：半径为R的圆盘绕O以 作等角速 转动，点M沿其边缘相对圆盘以 反向等速运动，求M点的绝对加速度。
r’ r a r1 e 1 e1
va’
e’
因为牵连运动为平动，所以有：
vr1 vr
ve1 ve '
y
v ' v a a l i ma a t 0 t v' v r 1 a l i mr r t 0 t v v e 1 e a l i m e t 0 t
v v v a e r
v v e asin
v r wsin a
2 r w 2 2 l r
o1
x
w1
v e
2 r w 2 2 l r
O A w 1 1
2
2 r w 2 2 l r
O A l r w 1 1
2
解 题 步 骤
（1）、选定动点、动参考系和定参 考系。 （2）、分析三种运动和三种速度。 （3）、作出速度平行四边形。 （4）、利用速度平行四边形中的几 何关系解出未知数。
v ' v v v v ' v a a e 1 e r r 1 l i m l i m l i m t 0 t 0 t 0 t t t
即 M’
vr’ va’ ve’
a a a a r e
复合运动
点的复合运动
p
z
R
R0
r
o x
y
R R0 r R0 A
对时间求导得 p 点的绝对速度： O
Y
R r A R X 0 ~ 向量形式为： d r v p v0 r ve vr dt ~ dr 其中 vr 称为相对速度，ve v0 r 称为牵连速度。
A 2 vr ) ac 2 vr (ac A
称为科氏加速度。
第三章 复合运动
例题 3.1
点的复合运动
一根直管 OP 在 oxy 平面内绕 o 转动，其运动 方程为 (t ) 。一小球 M 在管内沿 OP 运动，其运动 方程为 (t ) 。求 M 的速度和加速度。 y 解：取与管子固联的坐标系 e1 ， e2为 P 动参考系，则小球的相对运动是直线 运动，相对运动的速度和加速度分别 M e1 和 ar e1 为： vr e1 牵连运动是假想把小球在某瞬时冻结 在管子壁上，由管子拖带着它一起运 动。这个牵连运动是定轴转动，因此
e1 e2 v ve vr 2 )e1 ( 2 )e2 a ae ar ac (
这与点的运动学中得到的极坐标公式完全一致。
第三章 复合运动
作业题 10-41，10-42
第三章 复合运动
点的复合运动
§3-1 点的复合运动 向量的绝对导数和相对（局部）导数 设向量 r 在定系和动系中的列阵分别为 r 和 。 它们的关系为 r A 。我们定义 r 为向量 r 的绝对 导数，定义 A 为向量 r 的相对导数或局部导数。
复合运动
对于动系 S ' , 1
v1
e
=v
1
,
v 1r
只能沿直线
1
方向。
对于动系 S ' , 2
v
2
e=
v
2
,
v 2r
只能沿直线
2
方向。
v 1e
v
P
v
2e
v
1
2
1
P 点速度 v=v1ev1r 矢端只能沿图示平行于直线 1 的虚线方向滑动 P 点速度 v=v2ev2r 矢端只能沿图示平行于直线 2 的虚线方向滑动 只有图示虚线交点才能使等式同时成立，此即求得的 P 点速度 v
(2). S' 中观察者只能观测到 v 和 a , 观测不到 v, v ,a, a 和 a .
r
r
e
e
c
S 中观察者只能观测到 v 和 a , 无法区分 v 中的 v 和 v ,
e
r
a 中的 a , a 和 a . 只有站在理论工作者的角度 , 同时考虑
er
c
到 S 系和 S' 系 , 才能把 v 和 a 理性地分解出来 .
Oxyz-->OXYZ 动作分解 将 Oxyz 绕 Oz 轴转动 φ, Ox 转到 ON 再绕 ON 轴转动 θ, Oz 转到 OZ 再绕 OZ 轴转动 ψ, ON 转到 OX
θ
O
φ
ψ
这样我们有三个过 O 点的角速度矢量
˙ e3 ˙ N ˙ E3
根据瞬时定轴转动的合成定理，有
=˙ e3˙ N ˙ E3
⇒
dV dt
=
d'V dt
×V
也就是说这个公式不仅仅是对于不同参考系成立；对同一参考系内
理论力学判断题
1。
作曲线运动的动点在某瞬时的法向加速度为零，则运动其轨迹在该点的曲率必为零。
( × ）2. 刚体作定点运动时，其瞬时转动轴上所有点相对固定系的速度都为零，所以在运动过程中瞬时转动轴相对固定系始终静止不动.（× ）3. 刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等.( × )平面运动不是平动！!！！4。
在复合运动问题中，点的相对加速度是其相对速度对时间的相对导数。
( √ ) 5. 在刚体复合运动中，角速度合成公式为：( × )记住这个肯定是错的6。
刚体的角速度是刚体相对参考系的转角对时间的导数。
（× )7. 在复合运动问题中,定参考系可以是相对地面运动的，而动参考系可以是相对地面静止不动的。
（√ )8。
速度投影定理只适用于作平面运动的刚体，不适用于作一般运动的刚体。
（× ）可以9。
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹均为直线。
（× )刚体视作整体10.圆轮沿直线轨道作纯滚动,只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心.( √ )圆心是加速度瞬心11. 理想约束的约束反力不做功。
（× ）不做虚功12。
真实位移是虚位移之一.（× )可能不位移13 如果所作的受力图是一个显然不平衡的力系,那么受力图一定有错.（× )14 跨过滑轮的柔绳两端的拉力一定相等。
( × ）拉力不是张力15.如果作一般运动的刚体的角速度不为零，在刚体或其延拓部分上一定存在速度等于零的点。
（× ）角速度和速度同直线即角速度的线速度与平动速度方向垂直第五题思路：将杆分成小微元，写出每个微元的加速度和重力,代入达朗贝尔－拉各朗日原理（将求和号改为积分号1 刚体作平面运动时,如果刚体的瞬时角速度和角加速度都不等于零，则刚体的瞬时加速度中心一定存在.（√ ）2 刚体作定点运动时，若其角速度向量相对刚体不动，则相对固定参考系也不动；反之亦然。
理论力学 点的复合运动
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
实例分析
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
在实际问题中，往往不仅要知道物体相对地球的运动，而 且有时要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情 况。 例如在运动着的飞机、车船上观察其他飞机、车船的运动。
在运动学中，所描述的一切运动都只具有相对的意义。在
代入（1）式可得
vr
M(m)
va vr ve
第三章 点的复合运动
ve r1
§3–2 点的速度合成定理
va vr ve
绝对速度
相对速度
M '(m')
牵连速度
z' x'
M2(m2)
速度合成定理
动点的绝对速度等于其相 对速度与牵连速度的矢量 和。
y'
va
r
vr
M(m)
r '
M1(m1)
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
练习题 6
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
练习题 6
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
练习题 6
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
思考题 2
思考题 2
动
点？
动参考系？ 绝对运动？
相对运动？ 牵连运动？
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
练习题 5
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
练习题 5
第三章 点的复合运动
§3–1 基 本 概 念
练习题 6
练习题 6
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va v e v r
原则：
@ 动点动系在不同刚体上；
@ 保证有尽量多的已知量。
选法一：动点：套筒上A点 动系：摇杆O1B
动点、动系选好后，三种运动都清晰， 特别是相对运动轨迹。
12
选法一：动点：套筒上A点 动系：摇杆O1B 运动分析 绝对运动： 圆周运动
相对运动： 直线运动
在某瞬时,动系所在刚体上与动点重合的点。 牵连点具有瞬时性特点。
ve
•牵连(加)速度：
动点：M 动系：凸轮
动点：M 动系：带滑槽摇杆
ve
牵连点相对静系的(加)速度
10
观察动点M的牵连点M’
动系刚体可以进行延拓！
例：已知OA在图示瞬时水 平，其角速度为w0，O1B与 铅垂向夹角300。求 O1B杆的 角速度。
用几个简单的运动合成一个复杂的运动
？
3
点的复合运动
目的：
合成运动
不同坐标系描述同一点运动时，各运动之间关系； 利用运动关系求解刚体系的运动学问题。
内容：
点的合成运动概念； 点的速度合成定理；
点的加速度合成定理；
点的合成运动概念
z
x'
z'
o'
M
一点 二系 三 运动
动点：P
研究运动的点为动点 O x y z 为静参考系 O’x’y’z’为动参考系
30
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k ' ro ' xo ' i yo ' j zo ' k
ro '
r'
r
y'
M
o x
y
d vr d(ωe r ') ae ar 2ωe vr aa aO' dt dt aO' ar ωe vr αe r ' ωe vr ωe (ωe r ')
运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 未知曲线运动 牵连运动： 定轴转动
14
方法二： 动点：摇杆O1B 上的A 动系：OA杆
运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 未知曲线运动 定轴转动 牵连运动： 速度分析： 大小： 方向：
va ve vr
? ? ?
ve va vr ?
ae ao ' αe r ' ωe (ωe r ')
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k ' ro ' xo ' i yo ' j zo ' k z'
牵连运动： 定轴转动
速度分析： 其中： 则：
va v e v r
？ ？
va w0 R
ve va sin 30
成功！
w0 OA
2
ve
va vr
wO B
1
ve w0 AO1 4
13
选法二： 动点：摇杆O1B 上的A 动系：OA杆
猜一猜相对运动轨迹！
27
例
已知：两根杆分别以速度 v1、 v2在 平面上平动，两杆夹角为 ， 试求交点M的速度。 解： 将动系固结于AB杆
A C
ve
M
v2
vr
v1
B
D
再将动系固定于CD杆
1、 v a v e v r v1 v r
大小： ？ ？
2、 v a v e v r v 2 v r
点的复合运动
平面运动
同一刚体内的点，其运动学关系
问题：已知OA杆运动，
如何求摇杆O1B的运动？
1
观察:直升飞机作机 动飞行时,旋翼上某 一点 P 的运动。
在不同参照体上，观察到的同一点的运动不同。
2
@ 研究同一物体(点)在不同参考系中运动的关系
观察: 画 y=f(x) 的曲线 时,绘图机构如何运动?
' i ' y ' j ' z ' k ') ◎ d vr d( x ar ωe vr dt dt d(ωe r ') α r ' ω v ω ( ω e ◎ e r e e r ') dt
动系转动角速度
8
dr ' vo ' ωe r ' vr ve vr va vo' dt
◎ ◎
vo ' ωe r ' ve
d r ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') ωe r ' vr dt dt
由
dr dro' dr ' 两边对t 求导 dt dt dt dr ' va vo' vo ' ωe r ' vr dt dr ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') ◎ dt dt ωe r ' vr
300
相对运动： 直线运动
牵连运动： 直线平移
w
O
va
vr
ve
c
R
速度分析： va ve vr va cos ve
ve Rw cos300
26
选动点、动系
B 动点：圆心C 动系：AB杆 相对运动：
A
以A为圆心的圆周运动
w
O
cRFra bibliotek动点：圆心A
动系：凸轮C 相对运动： 以C为圆心的圆周运动
（2）杆上点A的速度：
vr
va
ve
由速度合成定理：
va vr ve
？
大小： ？ 方向：
va ve cotθ
w R cos θ
vB va
问题: 如果动点不选在杆上点A,而选在凸轮上，则该选哪一点？三
种运动又会怎么变化？应用速度合成定理求得点B速度是否相同？
z
ro '
o' x '
r'
y
M
o x
r y'
dr ' ωe r ' vr dt
aa ae ar 2ωe vr
aC 2ωe vr
科氏加速度
31
aa ae ar aC
加速度合成定理 aC 2ωe vr
？ ？
方向： ？
由于 va不随动系而变 大小： 方向：
？
v1 v r v 2 v r
？ ？
A C
ve
vr
M
v2
v1
B
28
D
v1 v r v 2 v r
将上式投影到垂直于AB方向：
v 1 O v 2 c o s v r ' s in
有3个未知量！不可解！
15
动点动系的选择规律
（1）动点、动系分别在两个物体上，否则就没有相对运动。 （2）相对运动轨迹清晰：为已知的、简单的情况。
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动点动系的选择规律
（1）动点、动系分别在两个物体上，否则就没有相对运动。
（2）相对运动轨迹清晰：为已知的、简单的情况。
动点：A 动系：凸轮C 相对运动： 绕C的圆周运动
是刚体的运动！
判断三种运动
动点：滑块上点A
动系：T型构件
动点：B 动系：OA杆上
6
速度的解析表达
z
x'
z' o'
r'M
r y'
o x
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k '
y
•绝对速度：动点相对静系的(加)速度
•科氏加速度:(Coriolis acceleration) 例：已知动系的角速度和动点的相 对速度，求动点的科氏加速度。
aC 2ωe vr
由动系转动引起
w
y'
y
w
aC
x'
aC
vr
x
vr
aC 2wvr
i y j z k va x
•相对速度： 动点相对动系的(加)速度
' i ' y ' j ' z 'k ' vr x
•牵连速度： ？？
7
速度合成定理
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k '
A C
ve
M
v2
v1 B vr
v2
D
将上式投影到垂直于CD方向：