小姚数学 专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程

三角形面积最小时，切点为 P（如图），双曲线 C1 :
x2 a2
y2 b2
= 1过点 P 且离心率为
3．
（1）求 C1 的方程；
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（2）椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A ，B 两 点，若以线段 AB 为直径的圆心过点 P ，求 l 的方程．
7
2．（2017 新课标Ⅱ）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x2 + y2 = 1上，过 M 做 x 轴的 2
垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP = 2 NM ．
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）设点 Q 在直线 x = 3 上，且 OP PQ = 1 ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过
C 的左焦点 F ．
3．(2016
年山东)平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
x2
C：
a
2
+
y2 b2
= 1a＞b＞0 的离心率是
3
，
2
抛物线 E： x2 = 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点
2 AQ 2
=
1 AM 2
+
1 AN 2 ，求点 Q 的轨迹方程．
14．（2012 湖南）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的点均在 C2 ：(x 5)2 + y2 = 9 外，且对 C1 上任意一点 M ， M 到直线 x = 2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线 C1 的方程； （Ⅱ）设 P(x0 , y0 ) （ y 3 ）为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线
17）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的焦
点为 F（1 –1、0），F（2 1，0）．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: (x 1)2 + y2 = 4a2
交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，
5
连结 DF1．已知 DF1= ．
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）求点 E 的坐标．
4.（2019 全国 III 理 21（1））已知曲线 C：y= x2 ，D 为直线 y= 1 上的动点，过 D 作 C
2
2
1
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的两条切线，切点分别为 A，B.
（1）证明：直线 AB 过定点：
C1 相交于点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在直线 x = 4 上运动时，四点 A，B，C，
D 的纵坐标之积为定值．
15．（2011 天津）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a,b) (a b 0) 为动点， F1, F2 分别为
x2
椭圆
a2
+ y2 b2
= 1的左右焦点．已知△ F1PF2 为等腰三角形．
18）设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左焦点
为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为
5
.
5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N
2
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在 y 轴的负半轴上.若 | ON |=| OF | （ O 为原点），且 OP MN ，求直线 PB 的斜率.
（Ⅰ）求椭圆的离心率 e ；
（Ⅱ）设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足 AM BM = 2 ，
求点 M 的轨迹方程．
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16 ．（ 2009 广 东 ） 已 知 曲 线 C : y = x2 与 直 线 l : x y + 2 = 0 交 于 两 点 A(xA, yA ) 和
5
（2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE
2
的面积. 5.（2019 北京理 18）已知抛物线 C : x2 = 2 py 经过点(2，-1). (I) 求抛物线 C 的方程及其准线方程； (II) 设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N， 直线 y=-1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B，求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两上 定点. 6.（2019 全国 II 理 21）已知点 A(−2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积 为− 1 .记 M 的轨迹为曲线 C.
其中，所有正确结论的序号是
（A）① （B）② （C）①② （D）①②③
2．（2019 浙江 15）已知椭圆 x2 + y2 = 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方， 95
若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是_______.
3．（2019 江苏
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专题九 解析几何
第二十九讲 曲线与方程 2019 年
1.（2019 北京理 8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C : x2 + y2 = 1 + x y就
是其中之一（如图）。给出下列三个结论：
① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ; ③ 曲线 C 所围城的“心形”区域的面积小于 3.
否存在点 Q ，使得 OQM = ONQ ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明 理由．
10．（2015 浙江）已知椭圆 x2 + y2 = 1上两个不同的点 A, B 关于直线 y = mx + 1 对称．
2
2
（Ⅰ）求实数 m 的取值范围；
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．
11．（2014 广东）已知椭圆 C
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（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设动直线 l 与两定直线 l1 : x 2 y = 0 和 l2 : x + 2 y = 0 分别交于 P, Q 两点．若直线 l
总与曲线 C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
的取值范围．
5．(2016 年全国 II)已知椭圆 E : x2 + y2 = 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的பைடு நூலகம்顶点，斜率为 t3
k(k 0) 的直线交 E 于 A, M 两点，点 N 在 E 上， MA NA ．
（Ⅰ）当 t = 4,| AM |=| AN | 时，求 AMN 的面积；
2010-2018 年
解答题
1．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 ( 3, 1) ，焦点 2
F1( 3, 0), F2 ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F1F2 ．
(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点．若 △OAB 的面积为 2 6 ，求直线 l 的方程．
7．（2015
江苏）如图，在平面直角坐标系
xoy
中，已知椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
= 1a
b 0 的离心
率为 2 ，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3． 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于
点 P,C ，若 PC = 2 AB ，求直线 AB 的方程．
4．(2016
年天津)设椭圆
x2 a2
+
y2 3
=1
(a
3) 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知
1 + 1 = 3e ，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率． | OF | | OA | | FA |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，若 BF HF ，且 MOA≤ MAO ，求直线 l 的斜率
2 （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结
QE 并延长交 C 于点 G.
（i）证明： △PQG 是直角三角形； （ii）求 △PQG 面积的最大值.
7. （2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y2 = 2 px( p 0) 的焦点，过点 F 的直线
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的一个焦点为 (
5, 0) ，离心率为
5
，
3
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若动点 P(x0 , y0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P
的轨迹方程．
12．（2014 辽宁）圆 x2 + y2 = 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该
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A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M． （i）求证：点 M 在定直线上；
（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记 △PFG 的面积为 S1 ， △PDM 的面积为 S2 ，
求 S1 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标． S2
交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得 △ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 右侧.记 △AFG,△CQG 的面积为
S1, S2 .
（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；
（2）求 S1 的最小值及此时点 G 的坐标. S2
8.（2019
天津理
QB PB 成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
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9．（2015
北京）已知椭圆 C
：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 a
b
0
的离心率为
2 ，点 P0，1 和点
2
Am，n m ≠ 0 都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是
x2
13．（2013
四川）已知椭圆
C：
a
2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1(1，0) ，F（2 1，0），
且椭圆 C 经过点 P( 4 ，1）． 33
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率
（Ⅱ）设过点 A（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是 MN 上的点，且
8．（2015
四川）如图，椭圆
E
：
x a
2 2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
的离心率是
2 ，过点 P(0,1) 的动 2
直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点，当直线 l 平行与 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长
为2 2 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 QA = PA 恒
（Ⅱ）当 2 AM = AN 时，求 k 的取值范围．
6．（2015 湖北）一种作图工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动， 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN = ON = 1 ， MN = 3 ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带．动．N 绕 O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如 图 2 所示的平面直角坐标系．
B(xB , yB ) ，且 xA xB ．记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平
面区域（含边界）为 D ．设点 P(s,t) 是 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合．
（1）若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程； （2）若曲线 G : x2 2ax + y2 4 y + a2 + 51 = 0 与 D 有公共点，试求 a 的最小值．