快乐学堂小升初数学专题三容斥原理

快乐学堂小升初数学专题三容斥原理

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理1

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B )

例1

一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4

人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析

依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案

15+12-4=23

试一试

电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？

100-(62+34-11)=15

课堂训练

1. 在1,2，3，…,100这100个自然数中，能被5或9整除的数有( )。

2. 在1,2，3，…，100这100个自然数中，能被2和3整除，但不能被5整除的数有( )个。

3. 500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。

容斥原理2

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

例2

某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B 类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C 类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。

答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3

例3

在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？

分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。

1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。

例4分母是1001的最简分数一共有多少个？

分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。

解答：1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有

11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个.

由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有

(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.

课堂训练4、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有( )人。

5. 以60为分母的最简真分数共有( )个。

6. 某学校数学竞赛的加试题有2道。结果全校参赛的210人中，第一题得满分的有40人，第二题没得满分的有150人，两道都得满分的有10人。则两题都没得满分的人数有( )人。

7. 某兴趣小组有50人，有的会画画，有的会书法，有的两样都不会，有的两样都会，其中会画画的有25人，会书法的有21人，都不会的有14人。那么既会画又会书法的有( )人。

8. 90以内是3或7的倍数的自然数有( )个。

答案与解析

1. 解：

能被5整除的数是5，10，15，…，100，共20个；

能被9整除的数是9，18，27，…，99；共11个；

能被45整除的数是45，90。

则能被5或9整除的数有20+11-2=29(个)。

2. 解：能被2和3整除的数有6，12，18，…，96；共16个；

其中能被5整除的数有30，60，90，则能被2和3整除，但不能被5整除的数有16-3=13(个)。

3. 解：有2个。500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有1、64。因为1和4是完全平方数，那么它们的立方就是完全平方数，而9的立方超过500了。

4. 解：三种竞赛都参加过的人有：60-30-25-17+12+10+7=17(人)。

5. 解：只需要考察其中分子的个数即可；并且分子要满足与60互质，即分子不是2、3、5中任何一个数的倍数。在60以内，2的倍数有30个，3的倍数有20个，5的倍数有12个，2和3的公倍数有10个，2和5的公倍数有6个，3和5的公倍数有4个，2、3和5的公倍数有2个，则最简真分数共有60-(30+20+12-10-6-4+2)=16(个)。

6. 解：150-(40-10)=120(人)

7. 解：10。

50-14=36(人)画画、书法至少会一样，

则21+25-36=10(人)既会画画又会书法。

8. 解：38。

90以内是3的倍数的自然数有3，6，9，…，90，共30个；

90以内是7的倍数的自然数有7，14，21，…,84共12个；

90以内是21的倍数的自然数有21，42，63，84，共4个。

90以内是3或7的倍数的自然数的个数有30+12-4=38(个)。