北京中考数学试卷解析
2020年北京市中考数学试卷及答案解析
2020年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．圆椎C．三棱柱D．长方体2．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×1033．（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5 4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2分）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°6．（2分）实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足﹣a ＜b ＜a ，则b 的值可以是（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣37．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．（2分）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．（2分）已知关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 ． 11．（2分）写出一个比√2大且比√15小的整数 ． 12．（2分）方程组{x −y =13x +y =7的解为 ．13．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与双曲线y =mx交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为 ．14．（2分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 （写出一个即可）．15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC S △ABD （填“＞”，“＝”或“＜”）．16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：（13）﹣1+√18+|﹣2|﹣6sin45°．18．（5分）解不等式组：{5x −3＞2x ，2x−13＜x 2．19．（5分）已知5x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）的值． 20．（5分）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ，CD ∥AB ． 求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP =12∠BAC ． 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP=12∠BAC．21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．24．（6分）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．25．（5分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1． 给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A 'B '（A '，B ′分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为（2，32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．圆椎C．三棱柱D．长方体【解答】解：该几何体是长方体，故选：D．2．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103【解答】解：36000＝3.6×104，故选：C．3．（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A正确；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误；故选：A．4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．6．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．2B．﹣1C．﹣2D．﹣3【解答】解：因为1＜a＜2，所以﹣2＜﹣a ＜﹣1， 因为﹣a ＜b ＜a ， 所以b 只能是﹣1． 故选：B ．7．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：列表如下：1 2 1 2 3 234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果， 所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C ．8．（2分）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系【解答】解：设容器内的水面高度为h ，注水时间为t ，根据题意得： h ＝0.2t +10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是 x ≠7 ．【解答】解：若代数式1x−7有意义，则x ﹣7≠0， 解得：x ≠7． 故答案为：x ≠7．10．（2分）已知关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 1 ． 【解答】解：∵关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝22﹣4×1×k ＝0， 解得：k ＝1． 故答案为：1．11．（2分）写出一个比√2大且比√15小的整数 2或3（答案不唯一） ． 【解答】解：∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数2或3（答案不唯一）． 故答案为：2或3（答案不唯一）．12．（2分）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【解答】解：{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．13．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与双曲线y =mx交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为 0 ． 【解答】解：∵直线y ＝x 与双曲线y =mx 交于A ，B 两点，∴联立方程组得：{y =xy =m x，解得：{x 1=√m y 1=√m ，{x2=−√my2=−√m，∴y 1+y 2＝0， 故答案为：0．14．（2分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 BD ＝CD （写出一个即可）．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD ， 添加BD ＝CD ， ∴在△ABD 与△ACD 中 {AB =AC∠ABD =∠ACD BD =CD， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）， 故答案为：BD ＝CD ．15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC ＝ S △ABD （填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：∵S △ABC =12×2×4＝4，S △ABD ＝2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2＝4， ∴S △ABC ＝S △ABD ， 故答案为：＝．16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 丙、丁、甲、乙 ．【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票， 此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排， ①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买， 即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14）， 或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）； ②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票， 此时，四个人购买的票全在第一排，即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13）， 或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13）， 因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：（13）﹣1+√18+|﹣2|﹣6sin45°．【解答】解：原式＝3+3√2+2﹣6×√22 ＝3+3√2+2﹣3√2 ＝5．18．（5分）解不等式组：{5x −3＞2x ，2x−13＜x 2．【解答】解：解不等式5x ﹣3＞2x ，得：x ＞1， 解不等式2x−13＜x2，得：x ＜2，则不等式组的解集为1＜x ＜2．19．（5分）已知5x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）的值． 【解答】解：（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2） ＝9x 2﹣4+x 2﹣2x ＝10x 2﹣2x ﹣4， ∵5x 2﹣x ﹣1＝0， ∴5x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（5x 2﹣x ）﹣4＝﹣2．20．（5分）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ，CD ∥AB ． 求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP =12∠BAC ． 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点； ②连接BP ．线段BP 就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵CD ∥AB ， ∴∠ABP ＝ ∠BPC ． ∵AB ＝AC ， ∴点B 在⊙A 上． 又∵点C ，P 都在⊙A 上，∴∠BPC =12∠BAC （ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ）（填推理的依据）． ∴∠ABP =12∠BAC ．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴∠ABP=12∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE＝OE=12AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴∠CDO ＝90°，∴∠CDA +∠ADO ＝∠ADO +∠BDO ＝90°， ∴∠CDA ＝∠BDO ， ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠B ， ∴∠AOF ＝∠ADC ； （2）∵OF ∥BD ，AO ＝OB ， ∴AE ＝DE ， ∴OE =12BD =12×8＝4， ∵sin C =OD OC =13， ∴设OD ＝x ，OC ＝3x ， ∴OB ＝x ， ∴CB ＝4x ， ∵OF ∥BD ， ∴△COF ∽△CBD ， ∴OC BC =OF BD ，∴3x 4x=OF 8，∴OF ＝6，∴EF ＝OF ﹣OE ＝6﹣4＝2．24．（6分）小云在学习过程中遇到一个函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）． 下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x ＜0时，对于函数y 1＝|x |，即y 1＝﹣x ，当﹣2≤x ＜0时，y 1随x 的增大而 减小 ，且y 1＞0；对于函数y 2＝x 2﹣x +1，当﹣2≤x ＜0时，y 2随x 的增大而 减小 ，且y 2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当﹣2≤x ＜0时，y 随x 的增大而 减小 ．（2）当x ≥0时，对于函数y ，当x ≥0时，y 与x 的几组对应值如下表： x 0 12 1322523… y116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x ≥0时的函数y 的图象．（3）过点（0，m ）（m ＞0）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）的图象有两个交点，则m 的最大值是73．【解答】解：（1）当﹣2≤x ＜0时，对于函数y 1＝|x |，即y 1＝﹣x ，当﹣2≤x ＜0时，y 1随x 的增大而减小，且y 1＞0；对于函数y 2＝x 2﹣x +1，当﹣2≤x ＜0时，y 2随x 的增大而减小，且y 2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当﹣2≤x ＜0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l 与函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）的图象有两个交点， 观察图象可知，x ＝﹣2时，m 的值最大，最大值m =16×2×（4+2+1）=73， 故答案为7325．（5分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段 1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 173 （结果取整数）； （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s 12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s 22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s 32．直接写出s 12，s 22，s 32的大小关系．【解答】解：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为100×10+170×10+250×1030≈173（千克），故答案为：173；（2）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的17360≈2.9（倍），故答案为：2.9；（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中， ∴s 12＞s 22＞s 32．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为抛物线y ＝ax 2+bx +c （a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0，∵对称轴x＝1，∴M，N关于x＝1对称，∴x2﹣2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．（2）∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=3 2，观察图象可知满足条件的值为：t≤3 2．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形，∴DE ＝CF =12BC ，∴CF ＝BF ＝b ，∵CE ＝AE ＝a ，∴EF =√CF 2+CE 2=√a 2+b 2；（2）AE 2+BF 2＝EF 2．证明：过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，则∠AED ＝∠BMD ，∠CBM ＝∠ACB ＝90°，∵D 点是AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADE 和△BDM 中，{∠AED =∠BMD ∠ADE =∠BDM AD =BD，∴△ADE ≌△BDM （AAS ），∴AE ＝BM ，DE ＝DM ，∵DF ⊥DE ，∴EF ＝MF ，∵BM 2+BF 2＝MF 2，∴AE 2+BF 2＝EF 2．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A 'B '（A '，B ′分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 P 1P 2∥P 3P 4 ；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点 P 3 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为（2，32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．【解答】解：（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是P 1P 2∥P 3P 4；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点P 3的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”．故答案为：P 1P 2∥P 3P 4，P 3．（2）如图1中，作等边△OEF ，点E 在x 轴上，OE ＝EF ＝OF ＝1，设直线y =√3x +2√3交x 轴于M ，交y 轴于N ．则M （﹣2，0），N （0，2√3）， 过点E 作EH ⊥MN 于H ，∵OM ＝2，ON ＝2√3，∴tan ∠NMO =√3，∴∠NMO ＝60°，∴EH ＝EM •sin60°=√32，观察图象可知，线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1的最小值为√32．（3）如图2中，以A 为圆心1为半径作⊙A ，作直线OA 交⊙O 于M ，交⊙A 于N ，以OA ，AB 为邻边构造平行四边形ABDO ，以OD 为边构造等边△ODB ′，等边△OB ′A ′，则AB ∥A ′B ′，AA ′的长即为线段AB 到⊙O 的“平移距离”，当点A ′与M 重合时，AA ′的值最小，最小值＝OA ﹣OM =52−1=32， 当点B 与N 重合时，AA ′的长最大，如图3中，过点A ′作A ′H ⊥OA 于H ．由题意A ′H =√32，AH =12+52=3，∴AA ′的最大值=(√32)2+32=√392，3 2≤d2≤√392．∴。
2022年北京市中考数学试卷-含答案详解
2022年北京市中考数学真题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下面几何体中，是圆锥的为( )A. B.C. D.2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为( )A. 26.2883×1010B. 2.62883×1011C. 2.62883×1012D. 0.262883×10123. 如图，利用工具测量角，则∠1的大小为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )A. a<−2B. b<1C. a>bD. −a>b5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )A. 14B. 13C. 12D. 346. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )A. −4B. −14C. 14D. 47. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 58. 下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若√x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10. 分解因式：xy2−x=．11. 方程2x+5=1x的解为．12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1y2(填“>”“=”或“<”)．13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14. 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则SΔACD =．15. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC =14，则AE的长为．16. 甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．(1)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)；(2)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.18. 解不等式组：{2+x>7−4x, x<4+x2.四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
2020年北京市中考数学试卷附答案解析版
绝密★启用前 在
2020 年北京市高级中等学校招生考试
数学
此
考生须知：
1.本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟.
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.
答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE ， EF ， BF 之间的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1， A，B 为 O 外两点， AB 1 ． 给出如下定义：平移线段 AB ，得到 O 的弦 AB（ A，B 分别为点 A，B 的对应点）， 线段 AA 长度的最小值称为线段 AB 到 O 的“平移距离”. 数学试卷 第 7 页（共 8 页）
（2）若点 A，B 都在直线 y 3x 2 3 上，记线段 AB 到 O 的“平移距离”为 d1 ，求
d1 的最小值；
3
（3）若点
A
的坐标为
2， 2
，记线段
AB
到
O
的“平移距离”为
d2
，直接写出
d2
的
取值范围.
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE a ， BF b ，求 EF 的长（用含 a，b 的式子表示）；
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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2022年北京市中考数学真题(解析版)
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10.分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
北京市中考数学试卷及答案(完整版)
北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
2022年北京市中考数学试卷(含答案)
2022年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．2．（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（）A．26.2883×1010B．2.62883×1011C．2.62883×1012D．0.262883×10123．（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（2分）（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b5．（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．47．（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．58．（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）（2022•北京）分解因式：xy2﹣x＝．11．（2分）（2022•北京）方程＝的解为．12．（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．13．（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14．（2分）（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．15．（2分）（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．16．（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x （x+2）+（x+1）2的值．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE ＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．27．（7分）（2022•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．28．（7分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．2022年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【分析】简单几何体的识别．【解答】解：A是圆柱；B是圆锥；C是三棱锥，也叫四面体；D是球体，简称球；故选：B．【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．2．（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（）A．26.2883×1010B．2.62883×1011C．2.62883×1012D．0.262883×1012【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：262883000000＝2.62883×1011．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】根据对顶角的性质解答即可．【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，故选：A．【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键．4．（2分）（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5．（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．【解答】解：列表如下：红绿红（红，红）（绿，红）绿（红，绿）（绿，绿）所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，故选：A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．5【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，故选：D．【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．8．（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；（2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；（3）根据矩形的面积公式判断即可．【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．故选：A．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥8．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．10．（2分）（2022•北京）分解因式：xy2﹣x＝x（y﹣1）（y+1）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，＝x（y2﹣1），＝x（y﹣1）（y+1）．故答案为：x（y﹣1）（y+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（2分）（2022•北京）方程＝的解为x＝5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝x+5，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x（x+5）≠0，∴分式方程的解为x＝5．故答案为：x＝5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y ＝（k＞0）的图象上，则y 1＞y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．13．（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243 2455126321销售量/双根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为120双．【分析】应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．【解答】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为（双）．故答案为：120．【点评】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．14．（2分）（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．15．（2分）（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为1．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC＝4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC ＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∴＝，∴，∴，∴AE＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案ABE或BCD（写出要装运包裹的编号）．【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．【解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求；选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求；选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求；选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求；选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求；选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）；（2）选择ABC时，装运的I号产品重量为：1+2+3＝6（吨）；选择ABE时，装运的I号产品重量为：1+2+5＝8（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3＝4 （吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）；故答案为：ABE或BCD．【点评】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，由x＜，得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝4+1＝5．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∵∠B+∠ACB+∠A＝180°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE ＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∵OA＝OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得，解得，∴函数解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A点坐标为（0，1）；（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k ≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙（填“甲”“乙”或“丙”）．【分析】（1）根据平均数的定义即可求解；（2）计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．【解答】证明：（1）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），∴h＝8，k＝23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：20.00＝a（0﹣8）2+23.20，解得：a＝﹣0.05，∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，解得：x＝8+或x＝8﹣，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+，第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，解得：x＝9+或x＝9﹣，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+，∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），∴＜，∴d1＜d2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，∴，∵m＝n，。
2023年北京市中考数学试题和答案解析
2023年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×1091．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）解：239000000=2.39×108，故选：B．【解答】A．B．C．D．2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【解答】A．36°B．44°C．54°D．63°3．（2分）如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）解：∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-36°=54°．故选：C．【解答】A．-1<-a<a<1B．-a<-1<1<a C．-a<-1<a<1D．-1<-a<1<a 4．（2分）已知a-1>0，则下列结论正确的是（ ）解：∵a-1>0，∴a>1，∴-a<-1，∴-a<-1<1<a,故选：B．【解答】A．-9B．−94C．94D．9 5．（2分）若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）解：∵关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0有两个相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =（-3）2-4m =0，解得m =94．故选：C ．【解答】A ．30°B ．150°C ．360°D ．1800°6．（2分）正十二边形的外角和为（ ）解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C ．【解答】A ．14B ．13C ．12D ．347．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是14，故选：A ．【解答】A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．（2分）如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB <BC ，∠A =∠C =90°，△EAB ≌△BCD ，连接DE ．设AB =a ,BC =b ,DE =c ,给出下面三个结论：①a +b <c ；②a +b >a 2+b 2；③2（a +b ）>c .上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）√√解：①过点D 作DF ∥AC ，交AE 于点F ；过点B 作BG ⊥FD ，交FD 于点G ．∵DF ∥AC ，AC ⊥AE ，∴DF ⊥AE ．又∵BG ⊥FD ，∴BG ∥AE ，∴四边形ABGF 为矩形．同理可得，四边形BCDG 也为矩形．∴FD =FG +GD =a +b .∴在Rt △EFD 中，斜边c >直角边a +b .故①正确．②∵△EAB ≌△BCD ，∴AE =BC =b ,∴在Rt △EAB 中，BE =AB 2+AE 2=a 2+b 2．∵AB +AE >BE ，∴a +b >a 2+b 2．故②正确．③∵△EAB ≌△BCD ，∴∠AEB =∠CBD ，又∵∠AEB +∠ABE =90°，∴∠CBD +∠ABE =90°，∴∠EBD =90°．∵BE =BD ，∴∠BED =∠BDE =45°，∴BE =a 2+b 2=c •sin 45°=22c .∴c =2a 2+b 2．∵[2(a +b )]2=2（a 2+2ab +b 2）=2（a 2+b 2）+4ab >2（a 2+b 2），【解答】√√√√√√√√二、填空题（共16分，每题2分）∴2(a +b )>2(a 2+b 2)，∴2(a +b )>c .故③正确．故选：D ．√√√9．（2分）若代数式5x −2有意义，则实数x 的取值范围是 ．解：由题意得：x -2≠0，解得：x ≠2，故答案为：x ≠2．【解答】10．（2分）分解因式：x 2y -y 3= ．解：x 2y -y 3=y （x 2-y 2）=y （x +y ）（x -y ）．故答案为：y （x +y ）（x -y ）．【解答】11．（2分）方程35x +1=12x的解为 ．解：方程两边同时乘以2x （5x +1）得，3×2x =5x +1，∴x =1．检验：把x =1代入2x （5x +1）=12≠0，且方程左边=右边．∴原分式方程的解为x =1．【解答】12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数y =kx（k ≠0）的图象经过点A （-3，2）和B （m ,-2），则m 的值为．解：∵函数y =k x（k ≠0）的图象经过点A （-3，2），∴k =-3×2=-6，∴反比例函数的关系式为y =-6x ，又∵B （m ,-2）在反比例函数的关系式为y =-6x的图象上，∴m =−6−2=3，故答案为：3．【解答】13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x <10001000≤x <16001600≤x <22002200≤x <2800x ≥2800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只．解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×17+650=460（只）．故答案为：460．【解答】三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）14．（2分）如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD ，若AO =2，OF =1，FD =2，则BE EC的值为 ．解：∵AO =2，OF =1，∴AF =AO +OF =2+1=3，∵AB ∥EF ∥CD ，∴BE EC=AF FD=32，故答案为：32．【解答】15．（2分）如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为．解：∵OA 是⊙O 的半径，AE 是⊙O 的切线，∴∠A =90°，∵∠AOC =45°，OA ⊥BC ，∴△CDO 和△EAO 是等腰直角三角形，∴OD =CD ，OA =AE ，∵OA ⊥BC ，∴CD =12BC =1，∴OD =CD =1，∴OC =2OD =2，∴AE =OA =OC =2，故答案为：2．【解答】√√√√16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B 、C ，D 、E ，F 、G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟，最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28（分钟），故答案为：53，28．【解答】17．（5分）计算：4sin 60°+（13）-1+|-2|-12．√解：原式=4×32+3+2-23=23+3+2-23=5．【解答】√√√√18．（5分）解不等式组：V Y W Y X x >x +235x −3<5+x．解：VY W Y X x >x +23①5x −3<5+x ②，解不等式①得：x >1，解不等式②得：x <2，∴原不等式组的解集为：1<x <2．【解答】19．（5分）已知x +2y -1=0，求代数式2x +4yx 2+4xy +4y2的值．解：∵x +2y -1=0，∴x +2y =1，∴2x +4yx 2+4xy +4y 2=2(x +2y )(x +2y )2=2x +2y =21=2，∴2x +4yx 2+4xy +4y2的值为2．【解答】20．（6分）如图，在⏥ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE =DF ，AC =EF ．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）若AE =BE ，AB =2，tan ∠ACB =12，求BC 的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∵BE =DF ，∴AD -DF =BC -BE ，即AF =EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC =EF ，∴平行四边形AECF 是矩形；（2）解：∵四边形AECF 是矩形，∴∠AEC =∠AEB =90°，∵AE =BE ，AB =2，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =BE =22AB =2，∵tan ∠ACB =AE EC=12，∴EC =2AE =22，∴BC =BE +EC =2+22=32，即BC 的长为32．【解答】√√√√√√√21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm ,宽为27cm .若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【解答】解：设天头长为6x cm,地头长为4x cm,则左、右边的宽为x cm,根据题意得，100+（6x+4x）=4×[27+（6x-4x）]，解得x=4，答：边的宽为4cm,天头长为24cm.22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x 轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；x+n的值大于函数y=kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．（2）当x<3时，对于x的每一个值，函数y=23解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y=kx+b（k≠0）得：b=1，k+b=2，【解答】解得：k=1，b=1，∴该函数的解析式为y=x+1，由题意知点C的纵坐标为4，当y=x+1=4时，解得：x=3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：当x=3时，y=x+1=4，因为当x<3时，函数y=2x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4，3所以当y=2x+n过点（3，4）时满足题意，3代入（3，4）得：4=2×3+n,3解得：n=2．23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m,n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175．在选另（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于32，其次要求所选的两名学生9与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生身高的中位数为m =166+1662=166（cm ），众数为n =165（cm ），故答案为：166，165；（2）甲组学生身高的平均值是：162+165+165+166+1665=164.8（cm ），甲组学生身高的方差是：15×[（164.8-162）2+（164.8-165）2+（164.8-165）2+（164.8-166）2+（164.8-166）2]=2.16，乙组学生身高的平均值是：161+162+164+165+1755=165.4（cm ），乙组学生身高的方差是：15×[（165.4-161）2+（165.4-162）2+（165.4-164）2+（165.4-165）2+（165.4-175）2]=25.04，∵25.04>2.6，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）∵168，168，172的平均数为13（168+168+172）=16913（cm ），且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，∴数据的差别较小，可供选择的有170cm ,172cm ,平均数为：15（168+168+170+172+172）=170（cm ），方差为：15[（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（172-170）2+（172-170）2]=3.2<329，∴选出的另外两名学生的身高分别为170cm 和172cm .故答案为：170cm ,172cm .【解答】24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分∠ABC ，∠B AC =∠ADB ．（1）求证DB 平分∠ADC ，并求∠BAD 的大小；（2）过点C 作CF ∥AD 交AB 的延长线于点F ，若AC =AD ，BF =2，求此圆半径的长．（1）证明：∵∠BAC =∠ADB ，∠BAC =∠CDB ，∴∠ADB =∠CDB ，∴BD 平分∠ADC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ABC +∠ADC =180°，∴∠ABD +∠CBD +∠ADB +∠CDB =180°，∴2（∠ABD +∠ADB ）=180°，∴∠ABD +∠ADB =90°，∴∠BAD =180°-90°=90°；（2）解：∵∠BAE +∠DAE =90°，∠BAE =∠ADE ，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠AED =90°，∵∠BAD =90°，∴BD 是圆的直径，∴BD 垂直平分AC ，∴AD =CD ，∵AC =AD ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ADC =60°∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =12∠ADC =30°，∵CF ∥AD ，【解答】∴∠F+∠BAD=180°，∴∠F=90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠FBC+∠ABC=180°，∴∠FBC=∠ADC=60°，∴BC=2BF=4，∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，∴BC=12BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990．方案一：采用一次清洗的方式：结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为（x1+x 2）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C 0.990.9890.990.990.990.990.990.9880.990.990.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C 0.990（填“>”“=”或”<”）．解：（Ⅰ）表格如下：x 111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x 20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5x 1+x 211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C 0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．故答案为：4；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量．故答案为：11.3；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到C <0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：<．【解答】26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x =t .（1）若对于x 1=1，x 2=2，有y 1=y 2，求t 的值；（2）若对于0<x 1<1，1<x 2<2，都有y 1<y 2，求t 的取值范围．解：（1）∵对于x 1=1，x 2=2，有y 1=y 2，∴a +b +c =4a +2b +c ,∴3a +b =0，∴ba =-3．∵对称轴为x =-b 2a=32，∴t =32．（2）∵0<x 1<1，1<x 2<2，∴12<x 1+x 22<32，x 1<x 2，∵y 1<y 2，a >0，∴（x 1，y 1）离对称轴更近，x 1<x 2，则（x 1，y 1）与（x 2，y 2）的中点在对称轴的右侧，【解答】∴x 1+x 22>t ,即t ≤12．27．（7分）在△ABC 中，∠B =∠C =α（0°<α<45°），AM ⊥BC 于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段D M 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF =DC ，连接AE ，EF ，直接写出∠AEF 的大小，并证明．（1）证明：由旋转的性质得：DM =DE ，∠MDE =2α，∵∠C =α，∴∠DEC =∠MDE -∠C =α，∴∠C =∠DEC ，∴DE =DC ，∴DM =DC ，即D 是MC 的中点；（2）∠AEF =90°，证明：如图，延长FE 到H 使FE =EH ，连接CH ，AH ，∵DF =DC ，∴DE 是△FCH 的中位线，∴DE ∥CH ，CH =2DE ，由旋转的性质得：DM =DE ，∠MDE =2α，∴∠FCH =2α，∵∠B =∠C =α，∴∠ACH =α，△ABC 是等腰三角形，∴∠B =∠ACH ，AB =AC设DM =DE =m ,CD =n ,则CH =2m ,CM =m +n ,.DF =CD =n ,∴FM =DF -DM =n -m ,∵AM ⊥BC ，∴BM =CM =m +n ,∴BF =BM -FM =m +n -（n -m ）=2m ,∴CH =BF ，在△ABF 和△ACH 中，V Y YW Y Y X AB =AC ∠B =∠ACH BF =CH ，∴△ABF ≌△ACH （SAS ），∴AF =AH ，∵FE =EH ，∴AE ⊥FH ，即∠AEF =90°，【解答】28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点A （-1，0），B 1（−22，22），B 2（22，−22）．①在点C 1（-1，1），C 2（−2，0），C 3（0，2）中，弦AB 1的“关联点”是 ；②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；√√√√√√（2）已知点M （0，3），N （655，0），对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ,当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．√解：（1）①由关联定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点A （-1，0），B 1（−22，22），点C 1（-1，1），C 2（−2，0），C 3（0，2），∴直线AC 2经过点O ，且B 1C 2与⊙O 相切，∴C 2是弦AB 1的“关联点”，∵C 1（-1，1），A （-1，0）的横坐标相同，与B 1（−22，22）都位于直线y =-x 上，∴AC 1与⊙O 相切，B 1C 1经过点O ，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；故答案为：C 1，C 2；②∵A （-1，0），B 2（22，−22），设C （a ,b ），如图所示，共有两种情况，a 、若C 1B 2与⊙O 相切，AC 经过点O ，则C 1B 2，AC 1所在直线为V W X y =x −2y =0，解得V W X x =2y =0，∴C 1（2，0），∴OC 1=2，b 、若AC 2与⊙O 相切，C 2B 2经过点O ，则直线C 2B 2，AC 2所在直线为V W X x =−1y =−x ，解得V W X x =−1y =1，∴C 2（-1，1），∴OC 2=2，综上所述，OC =2；（2）∵线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且M （0，3），N （655，0），OM >ON ，∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点M （0，3）时，MP 为⊙O 的切线，作PJ ⊥OM ，∵M （0，3），⊙O 的半径为1，且MP 是⊙O 的切线，∴OP ⊥MP ，∵PJ ⊥OM ，∴△MPO ∽△POJ ，【解答】√√√√√√√√√√√√√√√∴OP OJ =OMOP，即1OJ=3，解得OJ=13，∴PJ=Q1P 2+Q1J2=223，Q1J=23，∴PQ1=PJ2+Q1J 2=233，同理PQ2=PJ2+Q2J 2=263，∴当S位于M（0，3）时，PQ1的临界值为233和263；②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时，，∵M（0，3），N（655，0），∴MN=OM2+ON2=955，∴OK=OM•ONMN=2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ=30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ=1或3，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和3，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤233内，最大值在263≤t≤3，综上所述，t的取值范围为1≤t≤233，263≤t≤3．√√√√√√√√√√√√√√√√√√√。
2020年北京市中考数学试卷(解析版)
2020年北京市中考数学一．选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱锥D. 长方体【答案】D【解析】【分析】根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体．【详解】解：长方体的三视图都是长方形，故选D ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D. 50.3610⨯53.610⨯43.610⨯43610⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解： 36000=，43.610⨯故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．3.如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1＞∠4+∠5D. ∠2＜∠5【答案】A【解析】【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B 选项为∠2＞∠3，C 选项为∠1=∠4+∠5，D 选项为∠2＞∠5．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，正确理解定义是关键．5.正五边形的外角和为（ ）A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【解析】【分析】根据多边形的外角和定理即可得．【详解】任意多边形的外角和都为，与边数无关360︒故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和定理是解题关键．6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（）a b a b a -<<bA . 2 B. -1 C. -2 D. -3【答案】B【解析】【分析】先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．【详解】由数轴的定义得：12a <<21a ∴-<-<-2a ∴<又ab a-<< 到原点的距离一定小于2b ∴观察四个选项，只有选项B 符合故选：B ．【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A. B. C. D. 14131223【答案】C【解析】【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是 21.42=故选C ．【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．8.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系【答案】B【解析】【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．,hcm t h t 【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，,hcm t 则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9.若代数式有意义，则实数的取值范围是_____．17x -x 【答案】7x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即，17x -70x -≠7x ≠故答案为：．7x ≠【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．x 220x x k ++=k 【答案】1【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，0=A ∴，440k -=解得：．1k =故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．11.______．【答案】2（或3）【解析】【分析】【详解】∵1＜2，34，∴小的整数是2或3．故答案为：2（或3）相邻的整数之间是解答此题的关键．12.方程组的解为________．137x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：两个方程相加可得，48x =∴，2x =将代入，2x =1x y -=可得，1y =故答案为：．21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为，xOy y x =m y x=12,y y 则的值为_______．12y y +【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，120y y +=故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.14.在ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明ABD ≌ACD ，A A A 这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】∠BAD=∠CAD （或BD=CD ）【解析】【分析】证明ABD ≌ACD ，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．A A ,,AB AC AD AD ==【详解】解：,,AB AC AD AD == 要使∴,ABD ACD A A ≌则可以添加：∠BAD=∠CAD ，此时利用边角边判定：,ABD ACD A A ≌或可以添加：,BD CD =此时利用边边边判定：,ABD ACD A A ≌故答案为：∠BAD=∠CAD 或（）.BD CD =【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．15.如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系A A 为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）ABC S A ABD S A【答案】=【解析】【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，由网格图可得个平方单位，14242ABC S =⨯⨯=A ，123111=52101513224222⨯---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=A ABD S S S S 故有=．ABC S A ABD S A 故答案为：“＝”【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD 的面积．16.如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．【答案】丙，丁，甲，乙【解析】【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：11(|2|6sin 453-+--︒【答案】5【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=326++-32=++-5.=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．18.解不等式组：5322132x x x x ->⎧⎪-⎨<⎪⎩【答案】12x <<【解析】【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．【详解】解：5322132x x x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩①②解不等式①得：，1x >解不等式②得：，2x <∴此不等式组的解集为．12x <<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．19.已知，求代数式的值．2510x x --=(32)(32)(2)x x x x +-+-【答案】，-221024x x --【解析】【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体2510x x --=代入求值即可．【详解】解：原式=22942x x x-+-2102 4.x x =--∵，2510x x --=∴，251x x -=∴，21022x x -=∴原式=．242-=-【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．20.已知：如图，ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．A 求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=．12BAC ∠作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=∠BAC （ ）（填推理依据）12∴∠ABP=∠BAC 12【答案】（1）见解析；（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC ，从而可得答案．,ABP BPC ∠=∠12【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP= ．BPC ∠∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=∠BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）12∴∠ABP=∠BAC 12故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．21.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长．【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】【分析】(1)先证明EO 是△DAB 的中位线，再结合已知条件OG ∥EF ，得到四边形OEFG 是平行四边形，再由条件EF ⊥AB ，得到四边形OEFG 是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最1212后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE ∥FG ，∵OG ∥EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF ⊥AB ，∴平行四边形OEFG 为矩形．(2)∵点E 为AD 的中点，AD=10，∴AE=152AD =∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt △AEF 中，．3===AF ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，12∵四边形OEFG 为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点xOy (0)y kx b k =+≠y x =(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出1x >x (0)y mx m =≠y kx b =+m 的取值范围．【答案】（1）；（2）1y x =+2m ≥【解析】【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入可得b (0)y kx b k =+≠y x =y x b =+值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，1x =12x m >>，(0)y mx m =≠都大于，根据，可得可取值2，可得出m 的取值范围．1y x =+1x >m【详解】（1）∵一次函数由平移得到，(0)y kx b k =+≠y x =∴，1k =将点（1，2）代入可得，y x b =+1b =∴一次函数的解析式为；1y x =+（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：1x >(0)y mx m =≠1y x =+1y x =+临界值为当时，两条直线都过点（1，2），1x =∴当时，都大于，12x m >>，(0)y mx m =≠1y x =+又∵，1x >∴可取值2，即，m 2m =∴的取值范围为．m 2m ≥【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：∠ADC=∠AOF ；（2）若sinC=，BD=8，求EF 的长．13【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）连接OD ，根据CD 是⊙O 的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF ⊥AD ，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA ，可得∠ODA=∠DAO ，即可证明；（2）设半径为r ，根据在Rt △OCD 中，，可得，AC=2r ，由AB 为⊙O 的直径，sin 13C =3OD r OC r ==，得出∠ADB=90°，再根据推出OF ⊥AD ，OF ∥BD ，然后由平行线分线段成比例定理可得，求12OE OA BD AB ==出OE ，，求出OF ，即可求出EF ．34OF OC BD BC ==【详解】（1）证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF ⊥AD ，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠DAO ，∴∠ADC=∠AOF ；（2）设半径为r ，在Rt △OCD 中，，1sin 3C =∴，13OD OC =∴，3OD r OC r ==，∵OA=r ，∴AC=OC-OA=2r ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ，∴，12OE OA BD AB ==∴OE=4，∵，34OF OC BD BC ==∴，6OF =∴．2EF OF OE =-=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．24.小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；20x -≤<1||y x =1y x =-20x -≤<1y x 10y >对于函数，当时，随的增大而，且；结合上述分析，进一步探221y x x =-+20x -≤<2y x 20y >究发现，对于函数，当时，随的增大而．y 20x -≤<y x （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：0x ≥y 0x ≥y x x 0121322523y116167161954872综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当0x ≥y x xOy 0x ≥时的函数的图象．y（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数0m >x l l 的图象有两个交点，则的最大值是 ．21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-m【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）73【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．2x =-【详解】解：（1）根据题意，在函数中，1y x =-∵,10k =-<∴函数在中，随的增大而减小；1y x =-20x -≤<1y x ∵，222131(24y x x x =-+=-+∴对称轴为：，1x =∴在中，随的增大而减小；221y x x =-+20x -≤<2y x 综合上述，在中，随的增大而减小；21||(1)6y x x x =-+20x -≤<y x 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；0x ≥y x 由（1）可知在中，随的增大而减小；21||(1)6y x x x =-+20x -≤<y x ∴在中，有20x -≤<当时，，2x =-73y =∴m 的最大值为；73故答案为：．73【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：a．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：b 时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为21,s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系．22s 23s 222123,,s s s 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【解析】【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：（千克）；1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=故答案为：173；（2）倍；17360 2.9÷=故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：；222123s s s >>【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中xOy 1122(,),(,)M x y N x y 2(0)y ax bx c a =++>．12x x <（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，1x =12,x x 12;y y c ==（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．x t =123x x +>12y y <t 【答案】（1）；（2）120,2x x ==32t ≤【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c ），因为，抛物线的对称轴为，可得点M ，N 12y y c ==1x =关于对称，从而得到的值；1x =12,x x （2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右x t =12,x x 侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再12,x x 12,x x 进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c ，即抛物线必过（0，c ），∵，抛物线的对称轴为，12y y c ==1x =∴点M ，N 关于对称，1x =又∵，12x x <∴，；10x =22x =（2）由题意知，a ＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为，x t =12x x <∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立12,x x 1x t ≥12y y <情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立12,x x 1x 2,t x t ≤12y y <情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即12,x x 1x <2,t x t >12y y <12x t x t -<-()()2212x t x t -<-解得，122x x t +>∴3≥2t ，∴32t ≤综上所述，．32t ≤【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．27.在中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，ABC A 交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设，求EF 的长（用含的式子表示）；,AE a BF b ==,a b （2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1；（2）图见解析，，证明见解析．222EF AE BF =+【解析】【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形//DE BC 12DE BC =CE AE a ==的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；DE CF =CF BF b ==（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全EAD GBD ∠=∠DEA DGB ∠=∠等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最ED GD =AE BG =EF FG =后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．Rt BGF A 【详解】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点∴DE 为的中位线，且ABC A CE AE a ==∴，//DE BC 12DE BC =∵90C ∠=︒∴18090DEC C ∠=︒-∠=︒∵DF DE ⊥∴90EDF ∠=︒∴四边形DECF 为矩形∴DE CF=11()22CF BC BF CF ∴==+∴CF BF b ==则在中，Rt CEF A EF ==（2）过点B 作AC 的平行线交ED 的延长线于点G ，连接FG ∵//BG AC∴，EAD GBD ∠=∠DEA DGB ∠=∠∵D 是AB 的中点∴AD BD=在和中，EAD A GBD △EAD GBDDEA DGBAD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD GBD AAS ≅A A ∴，ED GD =AE BG =又∵DF DE⊥∴DF 是线段EG 的垂直平分线∴EF FG=∵，90C ∠=︒//BG AC ∴90GBF C ∠=∠=︒在中，由勾股定理得：Rt BGF A 222FG BGBF =+∴．222EF AE BF =+【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．28.在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，xOy 得到⊙O 的弦（分别为点A ，B 的对应点），线段长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平A B '',A B ''AA '移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在12PP 34P P 点中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；1234,,,P P P P（2）若点A ，B 都在直线上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，求的最小值；y =+1d 1d （3）若点A 的坐标为，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，直接写出的取值范围．32,2⎛⎫⎪⎝⎭2d 2d【答案】（1）平行，P 3；（23）23722d ≤≤【解析】【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由得到的最1d OE OF =-1d 小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，32,2⎛⎫⎪⎝⎭且长度为1的弦即可．平移距离的最小值即点A 到⊙O 的最小值；平移距离的最大值即点A 到⊙O 2d 2d 的最大值，由此得出的取值范围．2d 【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD ∥AB ，过点O 作y =+OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为0y =60°，∴．2sin 60OE ︒==由垂径定理得：，OF ==∴；1d OE OF =-=21（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且长度为1的弦即可；点A 到O 的距离为．52AO ==如图，平移距离的最小值即点A 到⊙O 的最小值：；2d 53122-=平移距离的最大值即点A 到⊙O 的最大值：．2d 57122+=∴的取值范围为：．2d 23722d ≤≤【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．。
2023年北京中考数学26题详解(一)
2023年北京中考数学26题详解(一)2023年北京中考数学26题详解题目背景本题出自2023年北京市中考数学试卷，是一道较为典型的几何题。
题目要求给定一个圆O，半径为r，以A为圆心作半径为r的圆，与圆O交于B、C两点，连接AO延长线与圆O交于D，连接CD。
已知AC的长为3r，求CD的长。
解题思路根据题意，我们要求CD的长度，即求C点到D点的距离。
步骤一首先，我们需要找到CD的长度与其他线段之间的关系。
根据几何定理，我们知道在一个圆上，半径垂直于弦，那么这个半径就被分为两部分，其中一部分是弦的中垂线。
因此，AD就是弦BC的中垂线。
我们将圆O的半径标为OA，标记半径AD为h，弦BC的中点为E。
步骤二利用勾股定理，我们可以求出AE的长度。
由于AE是半径AD的一半，而AD等于OA减去半径OC的长度，所以我们可以得到以下关系式：AE = * (OA - OC)步骤三进一步利用勾股定理，我们可以求出CE的长度。
根据题目中已知的信息，AC的长度为3r，且AE的长度已知，我们可以得到以下关系式：CE = sqrt(AC^2 - AE^2)步骤四最后，我们利用勾股定理求出CD的长度。
根据三角形CDE，我们有以下关系式：CD = sqrt(CE^2 + DE^2)其中，DE等于OC的长度减去CE的长度：DE = OC - CE将以上关系式带入，即可求得CD的长度。
解题过程根据以上步骤，我们可以按照以下方式求解题目：1.根据题目要求，建立坐标系，并设定圆心O的坐标为(0,0)。
2.利用勾股定理，求出AE的长度，即 * (OA - OC)。
3.利用勾股定理，求出CE的长度，即sqrt(AC^2 - AE^2)。
4.利用勾股定理，求出DE的长度，即OC - CE。
5.利用勾股定理，求出CD的长度，即sqrt(CE^2 + DE^2)。
答案及详解根据以上步骤，我们可以得出CD的长度为sqrt(CE^2 + DE^2)。
具体计算过程请参考以下代码：import mathdef calculate_CD_length(r):OA = rOC = * OAAC = 3 * rAE = * (OA - OC)CE = (AC**2 - AE**2)DE = OC - CECD = (CE**2 + DE**2)return CD# 示例：假设r为1r = 1CD_length = calculate_CD_length(r)print("CD的长度为:", CD_length)根据上述计算过程，当圆的半径r为1时，CD的长度为2。
2024年北京市中考数学试卷及解析
2024年北京市中考数学真题试卷第一部分选择题一、选择题（共16分,每题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.如图,直线AB 和CD 相交于点O ,OE OC ⊥,若58AOC ∠=︒,则EOB ∠的大小为（）A.29︒B.32︒C.45︒D.58︒3.实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是（）A.1b >- B.2b > C.0a b +> D.0ab >4.若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根,则实数c 的值为（）A.16- B.4- C.4D.165.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球,除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后,放回并摇匀,再从中随机取出一个小球,则两次都取到白色小球的概率为（）A.34B.12C.13D.146.为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位）,整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到m Flops ,则m 的值为（）A.16810⨯ B.17210⨯ C.17510⨯ D.18210⨯7.下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图,以点O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA ,OB 于点C ,D（2）作射线O A '',以点O '为圆心,OC 长为半径画弧,交O A ''于点C ';以点C '为圆心,CD 长为半径画弧,两弧交于点D ¢（3）过点D ¢作射线O B '',则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠,其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8.如图,在菱形ABCD 中,60BAD ∠=︒,O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D '''',两个菱形的公共点为E ,F ,G ,H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论:①该八边形各边长都相等②该八边形各内角都相等③点O 到该八边形各顶点的距离都相等④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
2022年北京中考数学试题及答案
时，相当于减排二氧化碳约 2.2 亿吨．将 262 883 000 000 用科学计数法表示应为（）
A. 26.28831010
B. 2.628831011
C. 2.628831012
D. 0.2628831012
【参考答案】B
3. 如图，利用工具测量角，则 1 的大小为（）
A. 30°
B. 60°
又由 x 0 ，得 2 2n 0， 解得 n 1， ∴ n 的取值范围为 n 1．
23. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比
且喜平常度，切忌神慌乱。畅游题海后，金榜题君名。考试在即，祝你成功。
真题在手 何必模拟
选择 ABE 时，装运的 II 号产品重量为：1 2 5 8 （吨）； 选择 AD 时，装运的 II 号产品重量为：1 3 4（吨）； 选择 ACD 时，装运的 II 号产品重量为：1 3 3 7 （吨）； 选择 BCD 时，装运的 II 号产品重量为： 2 3 3 8 （吨）；
解不等式组：
x 4x. 2
【参考答案】1 x 4
2 x 7 4x? ①
【详解】解：
x
4
2
x
②
解不等式①得 x 1， 解不等式②得 x 4 ， 故所给不等式组的解集为：1 x 4 ．
19. 已知 x2 2x 2 0 ，求代数式 x(x 2) (x 1)2 的值．
【参考答案】５
选择 ABC 时，装运的 I 号产品重量为：5 3 2 10（吨），总重6 5 5 16 19.5（吨），
符合要求；
选择 ABE 时，装运的 I 号产品重量为：5 3 3 11（吨），总重 6 5 8 19 19.5（吨），
北京市2022中考试卷分析-数学
北京市2022中考试卷分析-数学一、各个知识板块所占分值二、各个知识板块考查的难易程度三、试卷整体难度特点分析2020年北京中考数学刚刚终止, 今年试卷整体出现出“新颖”的特点，与近几年中考试题以及今年一模、二模试题有比较大的差异。
总体难度与去年持平，然而最难的题目难度并没有去年高。
考生做起来会感受不太顺手，此份试卷关于优秀学生的区分度将会比去年大，而关于中当学生的区分度将可不能有太大变化。
此份试卷出现出以下几个特点：1.题目的背景和题型都比较新颖。
例如选择题的第8题、解答题第25题，专门是25题第一次在代数题目中用到了定义新运算，题目专门新颖，知识点融合度较高。
考察的方式差不多上平常同学们专门少见到的题型。
2.填空题第12题试题结构与往年不同，考察观看能力和精确作图能力。
本试卷的填空题第12题，需要同学们在试卷上画出比较精确的线段才能专门好的发觉其中的规律，而所表达的规律本身并不复杂，是一个等差数列问题。
3.弱化了关于梯形的考察。
解答题第19题并没有像之前一样是一道题型的问题，取而代之的是一道四边形的题目。
难度并不大。
4.与圆有关的题目增多，例如选择题第8题、解答题第20题。
解答题第24题第二问也能够通过构造辅助圆来解决。
5. 考察学生关于知识点的深入明白得能力。
解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入明白得，难度较大。
四、试题重点题目分析（2020年北京中考第23题）23．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都通过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。
2021年北京市中考数学真题试卷附答案2
2021年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）（2021•北京）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，∴展开图可得此几何体为圆柱．故选：B．【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．2．（2分）（2021•北京）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）（2021•北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD 的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．4．（2分）（2021•北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．【解答】解：A．三角形的内角和为180°；B．四边形的内角和为360°；C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故选：D．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．5．（2分）（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜0【分析】根据图象逐项判断对错．【解答】解：A ．由图象可得点A 在﹣2左侧， ∴a ＜﹣2，A 选项错误，不符合题意． B ．∵a 到0的距离大于b 到0的距离， ∴|a |＞b ，B 选项正确，符合题意． C ．∵|a |＞b ，a ＜0， ∴﹣a ＞b ，∴a +b ＜0，C 选项错误，不符合题意． D ．∵b ＞a ，∴b ﹣a ＞0，D 选项错误，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义． 6．（2分）（2021•北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树形图得：由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24=12，故选：C ．【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．7．（2分）（2021•北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n 为整数且n ＜√2021＜n +1，则n 的值为（ ） A ．43B ．44C ．45D ．46【分析】先写出2021所在的范围，再写√2021的范围，即可得到n的值．【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜√2021＜45，∴n＝44，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．8．（2分）（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，可得S关于x 的函数关系式，代简即可得出答案．【解答】解：由题意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，即y与x是一次函数关系．∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，即满足二次函数关系，故选：A．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．二、填空题(共16分，每题2分)9．（2分）（2021•北京）若√x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥7．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣7≥0，解得：x≥7，故答案为：x≥7．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．（2分）（2021•北京）分解因式：5x2﹣5y2＝5（x+y）（x﹣y）．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．（2分）（2021•北京）方程2x+3=1x的解为x＝3．【分析】先将分式化为整数，然后求解并检验．【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：2x＝x+3，解得x＝3，检验：x＝3时，x（x+3）≠0，∴方程的解为x＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．12．（2分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为﹣2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m＝1×2，然后解关于m的方程即可．【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，即m的值为﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．13．（2分）（2021•北京）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝130°．【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．故答案为130°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．14．（2分）（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是AE＝AF（写出一个即可）．【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，即AF∥CE，推出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．15．（2分）（2021•北京）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2＞s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：x甲=15×（11+12+13+14+15）＝13，s甲2=15[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，x乙=15×（12+12+13+14+14）＝13，s乙2=15[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，∵2＞0.8，∴s 甲2＞s 乙2． 故答案为：＞．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n [（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．（2分）（2021•北京）某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a +1）小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b +3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 2：3 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为12．【分析】设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得4x +1＝2（5﹣x ）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3，进而求解即可得出答案．【解答】解：设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得： 4x +1＝2（5﹣x ）+3， 解得：x ＝2，∴分配到B 生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2：3；∴第二天开工时，给 生产线分配了（2+m ）吨原材料，给 生产线分配了（3+n ）吨原材料，∵加工时间相同，∴4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3， 解得：m =12n ， ∴m n=12，故答案为：2：3；12．【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
北京市中考数学试卷(含答案解析)
2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何体中，是圆柱的为A．B．C．D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．||4a>B．0c b->C．0ac>D．0a c+>3．方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m，则FAST的反射面积总面积约为A．327.1410m⨯B．427.1410m⨯C．522.510m⨯D．622.510m⨯5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒6．如果23a b-=，那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A．3B．23C．33D．437．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6-）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12-，6-）时，表示左安门的点的坐标为（10，12-）； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为（11，11-）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5-，7.5-）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．下图所示的网格是正方形网格，BAC∠．（填“>”，“=”或“<”）∠________DAE10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a b<，则ac bc<”是错误的，这组值可以是a=_____，b=______，c=_______．12．如图，点A，B，C，D在O上，CB CD∠==，30∠=︒，则ADB∠=︒，50CADACD________．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4AB=，AD=，则CF的长为________．314．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t≤≤3540t<≤4045t<≤4550t<≤合计A59151166124500 B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．求作：PQ，使得PQ l∥．作法：如图，①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，CB=_______，∴PQ l∥（____________）（填推理的依据）．18．计算：04sin45(π2)18|1|︒+--+-．19．解不等式组：3(1)1922x xxx+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．20．关于x的一元二次方程210ax bx++=．（1）当2b a=+时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．22．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP CD ⊥；（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值； /cm x0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.624.673.762.653.184.372/cm y5.62 5.59 5.53 5.425.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APC△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050≤，x<x<≤，5060≤，90100xx<≤≤）；x<6070≤，7080x<≤，8090≤这一组是：x<b．A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．在平面直角坐标系xOy中，直线44=+与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y x23=+-经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．y ax bx a（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作⊥交DG的延长线于点H，连接BH．EH DE（1）求证：GF GC=；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（2-）．-），C（6，2-，6），B（2-，2（1）求d（点O，ABC△）；（2）记函数y kx=，=（11xk≠）的图象为图形G，若d（G，ABC-≤≤，0△）1直接写出k的取值范围；（3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，ABC=，直接写出的取值△）1范围．2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱，D 选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．||4a >B ．0c b ->C ．0ac >D ．0a c +>【答案】B【解析】∵43a -<<-，∴34a <<，故A 选项错误；数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，故B 选项正确； ∵0a <，0c >，∴0ac <，故Ｃ选项错误；∵0a <，0c >，a c >，∴0a c +<，故D 选项错误．【考点】实数与数轴3．方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩【答案】D【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．【考点】二元一次方程组的解4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m，则FAST的反射面积总面积约为A．327.1410m⨯B．427.1410m⨯C．522.510m⨯D．622.510m⨯【答案】C【解析】5714035249900 2.510⨯=≈⨯（2m），故选C．【考点】科学记数法5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【解析】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．【考点】正多边形，多边形的内外角和．6．如果23a b-=，那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A ．3B ．23C ．33D ．43【答案】A【解析】原式()2222222a b a b ab aa ab a a b a a b -+--=⋅=⋅=--，∵23a b -=，∴原式3=． 【考点】分式化简求值，整体代入．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m【答案】B【解析】设对称轴为x h =，由（0，54.0）和（40，46.2）可知，040202h +<=， 由（0，54.0）和（20，57.9）可知，020102h +>=， ∴1020h <<，故选B ．【考点】抛物线的对称轴．8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6-）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12-，6-）时，表示左安门的点的坐标为（10，12-）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为（11，11-）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5-）-，7.5时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【答案】D【解析】显然①②正确；③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；-，④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18-）”的基础上，将所有点向右平9-）时，表示左安门的点的坐标为（15，18移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．下图所示的网格是正方形网格，BAC∠．（填“>”，“=”或“<”）∠________DAE【答案】>【解析】如下图所示，△是等腰直角三角形，∴45AFG∠=∠=︒，∴BAC DAE∠>∠．FAG BAC另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】0x≥【解析】被开方数为非负数，故0x≥．【考点】二次根式有意义的条件．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a b<，则ac bc<”是错误的，这组值可以是a=_____，b=______，c=_______．【答案】答案不唯一，满足a b<，0c≤即可，例如：，2，1-【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【考点】不等式的基本性质12．如图，点A，B，C，D在O上，CB CD=，30CAD∠=︒，50ACD∠=︒，则ADB∠= ________．【答案】70【解析】∵CB CD=，∴30CAB CAD∠=∠=︒，∴60BAD∠=︒，∵50ABD ACD∠=∠=︒，∴18070ADB BAD ABD∠=︒-∠-∠=︒．【考点】圆周角定理，三角形内角和定理13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4AB=，3AD=，则CF的长为________．【答案】10 3【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴4AB CD==，AB CD∥，90ADC∠=︒，在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴225AC AD CD =+=， ∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD ==， ∵AB CD ∥，∴12AF AE CF CD ==，∴21033CF AC ==． 【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数 线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 【答案】C【解析】样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C ．【考点】用频率估计概率15．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船四人船六人船八人船（限乘两人）（限乘四人）（限乘六人）（限乘八人）每船租金90100130150（元/小时）某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．【答案】380【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380++=（元）【考点】统筹规划16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．【答案】【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从下图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．【考点】函数图象获取信息三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．求作：PQ，使得PQ l∥．作法：如图，①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，CB=_______，∴PQ l∥（____________）（填推理的依据）．【解析】（1）尺规作图如下图所示：（2）PA，CQ，三角形中位线平行于三角形的第三边．【考点】尺规作图，三角形中位线定理18．计算：04sin45(π2)18|1|︒+--+-．【解析】解：原式241321222=⨯+-+=-．【考点】实数的运算19．解不等式组：3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．【解析】解：由①得，2x >-，由②得，3x <，∴不等式的解集为23x -<<．【考点】一元一次不等式组的解法20．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=．（1）当2b a =+时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【解析】（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b a a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b a -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．【考点】一元二次方程21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥∴CAB ACD ∠=∠ ∵AC 平分BAD ∠ ∴CAB CAD ∠=∠ ∴CAD ACD ∠=∠ ∴AD CD = 又∵AD AB = ∴AB CD = 又∵AB CD ∥∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB AD = ∴ABCD 是菱形（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112OB BD ==． 在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒． ∴222OA AB OB =-=． ∵CE AB ⊥，在Rt AEC △中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122OE AC OA ===． 【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线22．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP CD ⊥；（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．【解析】（1）证明：∵PC 、PD 与O ⊙相切于C 、D ．∴PC PD =，OP 平分CPD ∠．在等腰PCD △中，PC PD =，PQ 平分CPD ∠． ∴PQ CD ⊥于Q ，即OP CD ⊥． （2）解：连接OC 、OD ．∵OA OD =∴50OAD ODA ∠=∠=︒∴18080AOD OAD ODA ∠=︒-∠-∠=︒∴18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒． 在等腰COD △中，OC OD =．OQ CD ⊥ ∴1302DOQ COD ∠=∠=︒．∵PD 与O ⊙相切于D ． ∴OD DP ⊥． ∴90ODP ∠=︒．在Rt ODP △中，90ODP ∠=︒，30POD ∠=︒ ∴243cos cos30332OD OA OP POD ====∠︒．【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数23．在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围． 【解析】（1）解：∵点A （4，1）在ky x=（0x >）的图象上． ∴14k=，∴4k =．（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．② a ．当直线过（4，0）时：1404b ⨯+=，解得1b =-b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得54b =-c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得74b =d ．当直线过（1，3）时：1134b ⨯+=，解得114b =∴综上所述：514b -<-≤或71144b <≤．【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值； /cm x0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.624.673.762.653.184.372/cm y5.62 5.59 5.53 5.425.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APC△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【解析】（1）3.00（2）如下图所示：（3）3.00或4.83或5.88．如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050≤，x<≤，5060x<x<≤，90100≤，8090≤≤）；x6070x<≤，7080x<≤这一组是：x<b．A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．【解析】（1）78.75（2）B ．该学生A 课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B 课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A 课程成绩超过75.8的人数为36人． ∴3630018060⨯=（人） 答：该年级学生都参加测试．估计A 课程分数超过75.8的人数为180人．【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体26．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解析】（1）解：∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．∴A （1-，0），B （0，4）∴C （5，4）（2）解：抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0）∴30a b a --=．2b a =-∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212a x a -=-=． （3）解：①当抛物线过点C 时．251034a a a--=，解得13a=．②当抛物线过点B时．34a-=，解得43a=-．③当抛物线顶点在BC上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a--=，解得1a=-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-． 【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A ，B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．【解析】（1）证明：连接DF ．∵A ，F 关于DE 对称．∴AD FD =．AE FE =．在ADE △和FDE △中．AD FD AE FE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ADE FDE △≌△∴DAE DFE ∠=∠．∵四边形ABCD 是正方形∴90A C ∠=∠=︒．AD CD =∴90DFE A ∠=∠=︒∴18090DFG DFE ∠=︒-∠=︒∴DFG C ∠=∠∵AD DF =．AD CD =∴DF CD =在Rt DCG △和Rt DFG △．DC DF DG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DCG △≌Rt DFG △∴CG FG =．（2）2BH AE =．证明：在AD 上取点M 使得AM AE =，连接ME ．∵四这形ABCD 是正方形．∴AD AB =．90A ADC ∠=∠=︒．∵DAE △≌DFE △∴ADE FDE ∠=∠同理：CDG FDG ∠=∠∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠1122ADF CDF =∠+∠ 1452ADC =∠=︒ ∵DE EH ⊥∴90DEH ∠=︒∴18045EHD DEH EDH ∠=︒-∠-∠=︒∴EHD EDH ∠=∠∴DE EH =．∵90A ∠=︒∴90ADE AED ∠+∠=︒∵90DEH ∠=︒∴90AED BEH ∠+∠=︒∴ADE BEH ∠=∠∵AD AB =．AM AE =∴DM EB =在DME △和EBH △中DM EB MDE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=∠⎩∴DME △≌EBH △∴ME BH =在Rt AME △中，90A ∠=︒，AE AM =． ∴222ME AE AM AE =+= ∴2BH AE =．【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（2-）．-），C（6，2-，6），B（2-，2（1）求d（点O，ABC△）；（2）记函数y kx=，=（11k≠）的图象为图形G，若d（G，ABC-≤≤，0x△）1直接写出k的取值范围；（3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，ABC=，直接写出的取值△）1范围．【解析】（1）如下图所示：∵B（2-）-，2-），C（6，2∴D（0，2-）∴d（O，ABC△）2==OD（2）10<≤kk-<≤或01（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【考点】点到直线的距离，圆的切线。
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2015年北京市高级中等学校招生考试数学试卷逐题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意的.1.截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140 000立方米，将140 000用科学记数法表示应为A.14×104B.1.4×105C.1.4×106D.0.14×106【答案】B【解析】难度：★本题考查了有理数的基础—科学计数法.难度易.2.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是A.aB.bC.cD.d【答案】A【解析】难度：★本题考查了有理数的基础数轴的认识以及绝对值的几何意义；3.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为A.61B. 31C. 21D. 32【答案】B 【解析】难度：★本题考查了概率问题，难度易.4.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为A. B. C. D.【答案】D 【解析】难度：★本题考查了轴对称图形的判断；难度易.5.如图，直线l 1,l 2,l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为A.26°B.36°C.46°D.56°【答案】B 【解析】难度：★本题考查了相交线平行线中角度关系的考查，难度易.132l 4l 3l 216.如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 和点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M,C 两点间的距离为A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】D 【解析】难度：★本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，难度易.7.某市6月份的平均气温统计如图所示，则在日 平均气温这组数据中，众数和中位数分别是A.21,21B.21,21.5C.21,22D.22,22【答案】C 【解析】难度：★本题考查了中位数，众数的求法，难度易； 8. 右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东，正北方向为x 轴，y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4,1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是 A.景仁宫（4,2） B.养心殿（-2,3） C.保和殿（1,0）CAM20 21 22 23 24气温/°C天数68104O2D.武英殿（-3.5，-4） 【答案】B 【解析】难度：★本题考查了平面直角坐标系点的坐标的确定，难度易；例如，购买A 类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为 A.购买A 类会员年卡 B. 购买B 类会员年卡 C. 购买C 类会员年卡 D.不购买会员年卡【答案】C【解析】难度：★★本题考查了方案讨论问题，难度中.10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC 组成，为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为 A.A→O→BB.B→A→CC.B→O→CD.C→B→Ox图1图2【答案】C【解析】难度：★★本题考查了动点函数图像与路径问题，难度中.二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.分解因式：5x3-10x2+5x=_________.【答案】5x(x-1)2【解析】难度：★本题考查了因式分解的计算，难度易12.右图是由射线AB，BC,CD,DE,EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=________.【答案】360°【解析】难度：★本题考查了多边形的外角和为360°，难度易；13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术，正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两.问：牛，羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两.问：每头牛，每只羊各值多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______.【答案】5x+2y=10 2x+5y=8ìíî【解析】难度：★★本题考查了简单的二元一次方程组的应用问题，但是阅读量较大，需要学生迅速提取有用信息，难度中14.关于x 的一元二次方程ax 2+bx +14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a,b 的值：a =________,b =________. 【答案】a=4,b=2(答案不唯一，满足2b a ) 【解析】难度：★本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数值的问题，难度易；15.北京市2009~2014年轨道交通日均客运量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约为________万人次，你的预估理由是_________________________. 【答案】1038根据2009～2014年平均增长率. 【解析】难度：★本题考查了根据图像求平均增长率问题，难度易.16.阅读下面材料：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确.” 请回答：小芸的作图依据是______________________________________.【答案】三角形的全等判定（SSS ）尺规作图：作一条线段的垂直平分线， 已知：线段AB ，求作：线段AB 的垂直平分线.AB如图，（1） 分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ,D 两点；（2） 作直线CD ， 所以直线CD 就是所求作的垂直平分线.DC【解析】难度：★本题考查了垂直平分线的画图依据，难度易；三、解答题（本题共72分，第17～26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17. 计算：(2124sin 602π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.【答案】5 【解析】难度：★解：原式本题考查了实数，零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值的运算，二次根式的化简.综合考查了实数的混合运算.解决此类问题的关键是熟练记住三角函数值，掌握实数，零指数幂，负整数幂的运算及二次根式的化简.难度易.18. 已知22360a a +-=，求代数式()()()3212121a a a a +-+-的值. 【答案】7【解析】难度：★★ 解：原式=()226341a a a +--=226341a a a +-+ =2231a a ++∵2a 2+3a -6=02236a a ∴+= ∴原式=6+1=7本题考查了整式的混合运算与化简求值，注意先化简，再整体代入求值.难度中.19. 解不等式组()41710853x xxx+≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有非负整数解.【答案】解集为722x-≤<；非负整数解：x=0，1，2，3【解析】难度：★解：()41710853x xxx+≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②解①得：2x≥-解②得：72 x<∴原不等式的解集为7 22x-≤<∴它的所有非负整数解为x=0，1，2，3本题考查了一元一次不等式的解法及把解集在数轴上表示出来，解答这类问题学生往往会在解题时不注意移项时”变号“而出现错误.重点掌握不等式的基本性质，难度易.20. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E ， 求证：CBE BAD ∠=∠【答案】证明见解析 【解析】难度：★★ 证明：∵AB =ACABC ∴∆是等腰三角形∵AD 是BC 边上中线 BAD CAD ∴∠=∠90ADB ADC ∠=∠=∵BE ^AC90BEA ∴∠=AEB ADB ∴∠=∠∵ÐAOB =ÐAEB +ÐEADAOB EBC ADB ∴∠=∠+∠ CBE BAD ∴∠=∠本题考查了等腰三角形的概念及”三线合一“的性质，八字模型的运用.难度中.B21. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？ 【答案】1000个 【解析】难度：★★解：设2015年底，全市将有租赁点x 个.根据题意得：50000250001.2600x =⨯解得：x =1000经检验：x =1000是原分式方程的解.答：预计到2015年底，全市将有租赁点1000个.本题考查了分式方程的应用，找出题目中蕴含的数量关系，列出方程解出即可.难度中. 22. 在中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF ，BF .（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF =3，BF =4，DF =5，求证：AF 平分DAB ∠.【答案】证明见解析； 【解析】难度：★★（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形AC∵DF =BE∴四边形DEBF 是平行四边形∵DE ⊥AB∴90DEB ∠= ∴四边形BFDE 是矩形（2）证明：四边形BFDE 是矩形90BFD ∴∠= 90BFC ∴∠=在Rt △BFC 中，CF =3，BF =45BC ∴===∵四边形ABCD 是平行四边形∴BC =AD =5，DFA FAB ∠=∠∵DF =5∴AD =DF∴DAF DFA ∠=∠ ∴DAF FAB ∠=∠ ∴ AF 平分DAB ∠.本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质.等腰三角的定义及性质运用，主要考查了平时所讲到的”角平分线+平行必出等腰的模型.难度中.23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线8y x=的一个交点为(2,)P m ，与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . （1）求m 的值；（2）若PA =2AB ，求k 的值. 【答案】 （1）4【解析】难度：★★★解：（1）∵P 是直线与双曲线的交点，∴P 在双曲线8y x=上.∴m =4（2）<方法一 代入法> 由（1）知，P （2,4） 代入直线y =kx +b 得：4=2k +b∴b =4-2k∵直线交x 轴、y 轴于A 、B 两点 42,0k A k -⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()0,42B k -PA ∴=AB = 又∵PA =2AB()2222424224442k k k k k ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫∴++=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴k =1或k =3 ∴k 的值为1或3（2）<方法二 几何法>此题分情况讨论 ①若k >0且P 、A 分别在点B 的两侧如图①图①∵PA =2AB∴B 为PA 中点 ∴OB 为中位线 ∴B （0,2） ∴2(0)y kx k =+≠ ∴4=2k +2 ∴k =1②若k >0且P 、B 分别在点A 的两侧如图② 【解析】难度：★★本题考察了反比例函数和一次函数的基本性质；两点之间坐标距离公式；分类讨论；相似.难度中. 本题可用两种方法解决：第一种可利用两点之间坐标距离公式计算得出答案，虽然比较好思考，计算量却很大；第二种利用几何法画图求相似的方法，分类讨论一次函数中k 的取值范围画出不同情况的图形解决问题.24.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且弧DA 的长度等于弧DC 的长度，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E . （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）延长OE ，若DE =2，求OE 的长.【答案】 （1）证明：∵ =∴AD =CD ∵CD ∥BM∴CD ⊥AB ∵AD=AC∴AD=AC=CD∴△ACD 是等边三角形 （2）解：设AD =x ，则AE =2+ BE =2+x2，半径= ∴AB EB =3 ∴ 解得=6 ∴ DE =27 【解析】难度：★本题考察了圆的性质和判定；勾股定理；难度易.25.阅读下面材料2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次，其中玉渊潭公园的樱花，北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次，20万人次，17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.x x 33x x 33223=+⨯x2014年清明小长假，天气晴好，北京晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增加了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次.2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次根据以上材料回答下列问题：（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次.（2）选择统计表或统计图，将2013－2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.【答案】（1） 40（2）本题考查了学生的阅读理解及简单的数据分析，本题与往年考题不同之处在于以往是根据统计图进行数据分析计算，今年不仅需要简单的数据分析计算，而且需要学生自己画出统计表.难度中.26.有这样一个问题：探究函数y =12x 2+1x 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数y =12x 2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1） 函数y =12x 2+1x 自变量x 的取值范围是_________；（2求m 的值；（3） 如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点.画出该函数的图象；（4） 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，32），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：__________.【答案】（1）x≠0（2）29 6（3）（4）该函数与y轴没有交点；该函数与x轴交点坐标为0）该函数在y轴左侧因变量随着自变量的增大而减小；y轴右侧因变量随着自变量的增大先减小再增大（符合图像的性质均可）【解析】难度：★★本题考察了学生阅读材料的能力；函数的基本性质和汇总能力；难度中.本题难点位于描点画图的能力，要注意此题函数图像不可与y轴有交点，但是可以与x轴有交点.27.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y =x -1交于点A ，点A 关于直线x =1的对称点为B ，抛物线C 1: y =x 2+bx +c 经过点A 、B .（1）求点A ，B 的坐标（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y =ax 2(a ¹0)与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.【答案】（1）A(3,2) B(-1,2) （2）y=x 2-2x-1 顶点（1，-2）（3）292<≤a【解析】难度：★★本题考查了对数形结合的认识和了解，难度适中.备用图首先必须对基本的函数解析式以及图像有清晰的认识，进而快速的画出图像.①根据交点特征写出A 点坐标，然后根据对称的性质直接写出B 点坐标. ②根据待定系数法快速求出解析式.③的重点在于画出图像，分别找出有两个交点的临界条件是过B,有一个交点的临界条件是过点A,进而得出答案在y=ax 2刚好过A 、B 点取值之间.28.在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线.点P 在射线CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH .（1）若点P 在线段CD 上，如图1， ①依题意补全图1；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果） 【答案】（1）备用图图1DA（2）∵平移△ADP ，使点D 移动到点C 得到△BCQ ∴△ADP ≌△BCQ ∴DP=CQ ∵DC=DP+PC PQ=QC+PC ∴DC=PQ∵正方形ABCD ∴DA=DC=PQ ∵BD∴∠∵QH ∴∠∴在△⎪⎩⎪⎨⎧=∠=PQ AD HDAHD ∴△HAD ≌△HPQ∴HA=HP 、∠AHD=∠PHQ ∵∠DHP+∠PHQ=90° ∴∠DHP+∠AHD=90° ∴∠AHP=90° ∴HA ⊥HP （3）∵AHQ=152°, ∠∴∠PHD=360°-∠∵∠HPD=∠HDQ-∠∴∠HPD=17° ∵HA=HP,HA ⊥HP ∴∠HPA=45°∵∠APD=∠APH+∠∴∠APD=62°∵∠APD+∠PAD=90° ∴∠PAD=28°∵ADPDPAD =∠tan ，AD=1 ∴︒=28tan PD【解析】难度：★★本题考查了平移作图、旋转全等和三角形函数，难度适中.今年的几何压轴题实际难度相比去年是有所降低的，但是学生的感知难度并不低，主要难点在于两方面：一、对学生作图能力的考查，尤其第三问需要学生能精确画出题中描述的图形.二、今年出现新颖问法“请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果）”.这给学生解题带来了一定干扰，学生在不知道如何使用152度的情况下，还要思考答案究竟该如何表示等问题，问题较为开放，表示方法并不单一.实际上解出答案并不难，关键是学生求完了答案不确定对不对.难度中.29. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线．．CP上存在一点'P存在，满足CP+CP'=2r，则称'P为点P关于⊙C的反称点.下图为点P关于⊙C的反称点'P 的示意图.特别地，在点'P与圆心C重合时，规定CP'=0.（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M（2,1），N（32，0），T（1关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=-x+2上，若点P关于⊙O的反称点'P存在，且点'P不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y+x轴、y轴分别交于点A，B，若线段．．AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点'P在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.【答案】（1）① M 关于⊙O 的反对称点不存在，点N 关于⊙O 的反对称点是1,02⎛⎫⎪⎝⎭，点T 关于⊙O 的反对称点是()0,0②P 点横坐标x 的取值范围是02x <<（2）圆心C 横坐标x 的取值范围是28x ≤≤【解析】难度：★★（1）①可以算出MO的长度是，NO 的长度是32，TO 的长度是2 而⊙O 的半径是1，只需满足点与反对称点分别到原点的距离长度和是2即可 ②点P 的反对称点存在，可知PO 的长度不能超过2，而'P 不在x 轴上，可求出x 的取值范围（2）由题意可知C 到已知线段的任一点的距离要大于1且不超过2，也可理解评析：自13年中考最后一题第一次考察新定义的形式以来，近连续三年都是新定义的方式出题，从知识点来说，13年考查的是坐标系下新定义与圆的结合，14年考察的是坐标系下新定义与一次函数，反比例函数，二次函数的综合，而今年考察的仍然是坐标系下新定义与圆的综合并且结合了特殊斜率的直线，对于圆的切线，两点之间的距离公式，相似或解直角三角形也都有涉及.但对于所给新定义的深度挖掘要求较小，计算量也不大，所以今年的题目难度不比前两年.从以上我们可以看出，虽然中考试卷题目由25道变为29道，但是未来几年的压轴题的难度是下降的，考查形式仍然会是新定义，但结合函数或者圆却不一定，也不排除未来会结合其他几何图形或方程与不等式，或者都结合到一起也不是不可能的，考查形式特别灵活，这就要求同学们不能有任何知识盲点，对于每章节的重点要熟练掌握.。