信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换公式的意义和理解
傅里叶变换公式的意义和理解摘要：1.傅里叶变换的基本概念和原理2.傅里叶变换的重要性3.傅里叶变换的应用领域4.深入理解傅里叶变换公式5.总结与展望正文：一、傅里叶变换的基本概念和原理傅里叶变换是一种将时间域或空间域中的信号转换为频域中的信号的数学方法。
它的基本原理是通过将原始信号分解成一组不同频率的正弦波，从而实现对信号的分析和处理。
傅里叶变换的核心公式为：X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域信号，x(t)表示时域信号，ω表示角频率，j表示虚数单位。
二、傅里叶变换的重要性傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域具有重要的应用价值。
它有助于我们更好地理解信号的频谱特性，从而为后续的信号处理和分析提供有力的理论依据。
三、傅里叶变换的应用领域1.信号处理：傅里叶变换有助于分析信号的频率成分，如音频信号、图像信号等。
2.图像处理：傅里叶变换可用于图像的频谱分析，如边缘检测、滤波等。
3.通信系统：傅里叶变换在通信系统中广泛应用于信号调制、解调、多路复用等领域。
4.量子力学：傅里叶变换在量子力学中具有重要作用，如描述粒子在晶体中的能级结构等。
四、深入理解傅里叶变换公式1.离散傅里叶变换：离散傅里叶变换是将离散信号从时域转换到频域的一种方法，如快速傅里叶变换（FFT）算法。
2.小波变换：小波变换是傅里叶变换的一种推广，可以实现信号的高频局部化分析，适用于图像压缩、语音处理等领域。
3.分数傅里叶变换：分数傅里叶变换是在傅里叶变换基础上发展的一种数学方法，可以实现信号的相位和幅度分析。
五、总结与展望傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在各个领域具有广泛的应用。
随着科技的发展，傅里叶变换及相关理论不断得到拓展和深化，为人类探索复杂信号和系统提供了强大的支持。
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
简述傅里叶变换
简述傅里叶变换傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一，它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具，是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发展而发明的。
一、傅里叶变换的定义傅里叶变换是指将一个时间域函数f(x)转换成一个频域函数F(u)的过程。
其定义是：$$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$其中，j为虚数单位，u为频率，f(x)为原信号，F(u)为转换后的频率信号。
该公式中，积分的上下限为负无穷到正无穷。
分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特点：1. 将原信号f（x）从时域转换到频域；2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形式决定了计算的难度；3. 积分变量是虚数u，表示频率；4. 傅里叶变换是线性的。
二、傅里叶变换的性质1. 时间移位性质该性质指的是如果将函数f(x)向右移动a单位，则傅里叶变换的频域函数F(u)将乘以e^-j2πau：$$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$2. 频率移位性质该性质是当函数f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变换后，其频率也将发生移位。
$$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$其中T是一个常数，表示频域移位的量。
3. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数f1(t)和f2(t)，有：$$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$其中a和b是任何常数。
4. 傅里叶变换的共轭对称性傅里叶变换具有共轭对称性，即：$$F^*(u) = F(-u)$$5. 卷积定理该性质的表述是：f和g的卷积时f和g的傅里叶变换的乘积。
即：$$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$其中“*”表示卷积操作。
信息光学中的傅里叶变换
f
F( fx, fy)
f
exp j2 ( f x x0 f y y0 ) F ( f x , f y )
f
F( fx, fy)
F( fx fx0, fy fy0)
f
5、对称性质
F f *( x, y) F*(- fx, fy ) F f *( x, y) F*( fx, fy )
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
1、线性性质
设 F f ( x , y ) F ( fx , f y ) F g( x, y ) G( fx , f y )
a,b为常数，则
F af ( x , y ) bg( x , y ) aF( fx , f y ) bG( fx , f y )
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
8、相关的傅里叶变换
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
信息光学基础1-6傅里叶变换性质
2
f
b 2
e
j
2
f
b 2
]
Hale Waihona Puke j2 f b e j2 fa sin( bf ) bf
b e j2 fa sin c(bf )
解法二： 比例和位移性质
F sin(2
f0 x)
1 2j
[d (
fx
f0 )
d
(
fx
f0 )]
F cos(2
f0 x)
b
解法一：根据傅里叶变换的定义
F 1{rect( x a )} rect( x a ) e j2 fx dx
b
b
b 2
a
e j2 fxdx
b 2
a
j 2 fx
b 2
a
[e ]
b 2
a
j2 f
e j2 fa
[e
j
d(x)
x
d (x a)g(x)dx g(a)
d(x)函数的筛选性质
1 ei2 fxdf d (u)
2）rect 函数的傅里叶变换
f
(x,
y)
rect(x,
y)
1
0
x
1 2
,
y
1 2
其它
解：F{rect(x)}
rect(x)exp(i2 fx)dx
1 2
(ei 2
f0x
ei 2
) f0 x
1 F{ei2 f0x} 1 F{ei2 } f0x
傅里叶变换知识点总结
傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。
一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。
2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。
（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。
（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。
（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。
三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。
2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换性质及定理
(1-15)
(1-16)
• 将变量t与ω
互换 2f ( ) F (t)e jtdt
所以
2πf(-ω) ←→ F(t)
特别地， 当f(t)是t的偶函数， 那么
F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω)
即有
f () 1 F(t) 2
(1-17)
•
例1-6 已知F1(ω)如图1-10所示， 利
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。 利用一个
低通滤波器（在后面介绍）， 滤除2ω0附
近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低 通 滤波 器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
信号与系统
傅里叶变换性质及定理
•
1. 线性
•
若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)， 则
•
af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω)
• 式中, a、 b为任意常数。
(3.3-1)
•证
af1(te jtdt
b
f(-t) ←→ F(-ω)
尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中 就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中 就一定压缩； 即信号的脉宽与频宽成反比。
•
一般时宽有限的信号， 其频宽无限，
反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）
时， 其能量成比例的减少（增加）， 因
此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。 也
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
第5讲 傅里叶变换性质及应用
例: 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频 谱函数F1(jw)。
f1 (t )
A
A
f (t )
T t
0
2
0
2
t
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图， 其对应的频谱函数为
F ( j ) A Sa (
2
)
因为 f 1 ( t ) f ( t T )
实信号
F j
偶分量
奇分量
j t
f ( t )e
dt
欧拉公式
f
e
( t ) f o ( t ) cos t j sin t d t
0
2 f e ( t ) cos t d t j 2
0
实部
0
f o ( t ) sin t d t
F1 ( j ) F 2 ( j )
j j t j t
dt
d t ]d
d
7. 频域卷积特性（调制特性）
若 f 1 ( t ) F1 ( j )
F
f 2 (t ) F 2 ( j )
F
则 f 1 ( t ) f 2 ( t )
1 2π
例题
已知 f ( t )的频谱为 F1 ( j ), 求 f ( t ) sin( 0 t )。
解：
因为
sin( 0 t ) j [ ( 0 ) ( 0 )]
F
根据频域卷积定理有
F f ( t ) sin( 0 t )
傅里叶变换的本质及其公式解析
傅里叶变换的本质及其公式解析傅里叶变换的基本思想是任意一个周期函数，都可以看作是若干个正弦波和余弦波的叠加。
换句话说，我们可以用频率不同的正弦函数来分解一个信号。
这种分解是通过傅里叶级数实现的，而傅里叶级数就是傅里叶变换的特例。
傅里叶级数表示了一个周期函数可以由一系列正弦和余弦函数按照一定比例组成的事实，而傅里叶变换则是将这种分解应用到非周期函数上。
傅里叶变换将一个非周期函数表示为一系列连续频率的正弦和余弦函数的叠加，其中每个正弦和余弦函数的振幅和相位信息反映了原始函数在相应频率上的能量分布和相对位置。
F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w) 表示变换后的频域函数；f(t) 表示原始时域函数；e^(-jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。
该公式表示了将一个时域函数f(t)变换到频域函数F(w)的过程，其中w取负无穷到正无穷范围内的任意实数。
这个公式反映了在频域上，一个信号可以用一系列关于频率w的复指数函数进行分解。
1.傅里叶变换是一个线性变换，即对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，傅里叶变换可以分别计算它们的变换F1(w)和F2(w)，然后将两个变换相加得到变换结果F(w)=F1(w)+F2(w)。
2.傅里叶变换存在两种表示方式：复数形式和指数形式。
复数形式将频域函数表示为实部和虚部的形式，而指数形式将频域函数表示为振幅和相位的形式。
3.傅里叶变换有一个逆变换，可以将频域函数重新变换回时域函数。
逆变换的公式表示为：f(t) = ∫[F(w) * e^(jwt)] dw其中，f(t) 表示逆变换后的时域函数；F(w) 表示频域函数；e^(jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。
傅里叶变换的本质是将一个时域上的信号或函数转换到频域上进行分解和分析。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频率特性，包括频率分量的能量分布和相位关系，从而可以对信号进行滤波、频谱分析、信号合成和解调等操作。
信息光学(第二版)06-二维线性系统分析2-傅里叶变换定理、
重要性质：
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
fy fx 1 g (ax, by) G a , b ab
g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2(fxa+fyb)] g(x,y) exp[j2(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb)
F.T.
sinc2(f
)
1 rect(x) 1/2 0 1/2 x
1 rect(x)
*
1 1 0
1/2 0 1/2 x
x
tri(x)
1
F.T.
sinc2(x) 1
0 -1 1 x
F.T.
= sinc(f) • sinc(f) = sinc2(f)
sinc(f) 1 0 -1 1
sinc(f) 1
2
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2fx)dx g ( )h( x )d
交换积分顺序:
h( x ) exp( j 2fx) dx d g ( )
留作习题自证.
g(-x,-y)
§1-2 二维傅里叶变换 Fourier Transform
傅里叶变换的基本性质
注意：微积分关系式成立的条件
第一步：求F2 (w)及F2 (0)：
F2 (w) =
F[ f2 (t)] =
F{2E [d(t + t
t )+ 2
d(t -
t )2
2d(t)]}
=
2E
-
(e
jwt 2
+
jwt
e2
-
2) = -
8E sin2 ( wt )
t
t
4
ò 且F2(0) =
¥
- ? f2 (t)dt = 0
f (t) 玾 F(
)
= Fn (w) （jw）n
0时，
例4（书例3-6）
已知三角脉冲信号 求其频谱 F(w)
f
(t)
E (1
2
t
)
0
(t )
2
(t )
2
f (t) E
0
2
t
2
解一：用时域积分性质
F (w)
F1 (w)
逆向应用
F2 (w)
f (t)
E
0
=
(1-
e-
)G j2wτ 2wc
(w)
从中可以得到幅度谱为
F
(ω)
=
ìïïíïïî
2 0
sin (wτ)
( ω < ωc ) ( ω < ωc )
在实际中往往取τ = π ,此时上式变成 ωc
F
ω
2
sin
πω ωc
0
( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。
23傅里叶变换性质及定理(精)
e
f x e jx dx
F je jt0
时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号
振幅频谱，仅使信号增加一 t0 线性相位。
例2.3-1 求如图2-15所示信号 f1 t 的频谱函数 F1 ，
并作频谱图。
解
f1 t 与门函数的关系为
0
f t e j0t e jt dt
f t e j 0 t dt F 0
j0t 相乘， e 频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子
则在频域中将使整个频谱搬移 0 。通信技术中的调制 是将频谱在 0 附近的低频信号乘以e j0t ，使其频谱
f u t e jt dt d
f
1 j e d j
j
f e
d
1 j f e d j
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f t 的频谱函数 F 。
f t
E
/ 2
0
/2
t
（a）
解：
2 E 1 t f t 0
t t
2 2
2E / f1 t f t 2 E /
f1 t Ef t
f1 t
2
E
由上节门函数的变换
f t F Sa
0
t
2
2
再由线性与时移性，得到
傅里叶变换原理与应用
傅里叶变换原理与应用1. 傅里叶变换的概念和基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的数学工具。
它可以将一个复杂的模拟信号分解成多个简单的正弦波或余弦波的叠加，从而揭示信号中不同频率成分的存在。
2. 傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特殊情况。
当一个周期函数进行傅里叶级数展开时，我们可以得到其频谱信息。
而对于非周期函数，需要使用傅里叶变换来分析其频域特性。
3. 傅里叶变换的公式及性质傅里叶变换有两种常见表示形式：离散傅立叶变换（DFT）和连续傅立叶变换（CTFT）。
它们分别适用于离散和连续信号。
除此之外，傅里叶变换还具有位移性、线性性、尺度性等重要性质。
4. 常见的傅里叶变换应用(1) 音频信号处理傅里叶变换可以对音频信号进行频谱分析，如音乐的频谱显示、降噪等。
它还被广泛应用于声音合成、压缩以及数字音频领域。
(2) 图像处理图像也可以通过傅里叶变换转化到频域中。
这在图像处理中有很多应用，例如滤波、边缘检测和图像增强等。
(3) 通信系统在通信系统中，傅里叶变换是数字调制和解调技术的关键部分。
它可以将基带信号转化为带通或带阻信号，并实现信号的复用与解复用。
(4) 控制系统傅里叶变换在控制系统中有广泛的应用，特别是对传感器输出进行频域分析与滤波，以提高控制系统的性能与稳定性。
5. 傅里叶变换的局限性和改进方法尽管傅里叶变换具有广泛的应用领域，但它也存在一些局限性。
例如，对于非周期且时间有限的信号，使用传统的傅里叶变换可能会产生截断误差。
为了克服这些问题，人们开发了一系列改进的傅里叶变换方法，如快速傅里叶变换（FFT）和小波变换等。
6. 总结傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将时域信号转化为频域信号。
它在音频信号处理、图像处理、通信系统和控制系统等领域都有广泛的应用。
然而，需要注意的是其局限性，并通过改进方法来解决相关问题，以提高信号处理与分析的质量与效率。
以上就是关于“傅里叶变换原理与应用”的详细内容。
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1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
于是平面波表达式
也可用空间频率描述
将复振幅与空间频率联系起来。 由 得
,
负频率
当传播矢量与x0轴的夹角为钝角， 这时 为负值。表示xy平面 上相位沿x正向减小。 空间频率的正负仅表示平面波的传 播方向。
则
5.导数定理 设
则有
6.积分定理 设 则
证明：将积分写为卷积形式 作傅里叶变换
重心
惯量矩 回转半径
7. 矩定理 f(x,y) 的m+n 阶矩，指积分
,
傅里叶变换对
1.6线性系统分析
系统的作用可以用算符 一维 二维 1.6.1线性系统 一个系统对输入 f1、 f2的输出响应分别为g1、g2, 则 如果 f1+f2 作为系统输入，则输出是 g1+g2 表示
常用基元函数 （1） δ函数 （2）指数函数 1. δ函数的线性组合
任何函数都可分解为δ函数的线性组合。由δ函数的卷积性质
（发光点） （平面波）
可看成以 的线性叠加。
为权重不同位置的
以 f（x1，y1）为输入函数，g(x2,y2)为输出函数。系统的作用可 表示为 因为系统具有均匀性
意义：L(δ(x1-α,y1-β)是点（x1＝α, y1＝β）上的单位脉冲（点光 源）通过系统后的响应（输出的分布）。
物点的成像性质与位置无关。成像性质可由单位脉冲响应h(x2,y2)表 征。
由于物空间和像空间坐标在空间上是分别定义的，可以不区分函数 的变量（宗量）
线性平移不变系统可以表示为
如果一个光学系统，对整个视场，脉冲响应（点扩散函数） 形式不变，这种系统叫做空间不变系统。一般光学系统在视场的 某一区域范围内能够满足这个要求，这个区域叫做"等晕区"，故 光学系统在等晕区内是线性空间不变系统。
因为空间频率与特定的传播方向相对应，可以看成是角度分布函数， 因此 也称平面波的角谱。
作业
• • • • 1.1 1.5 1.11, 1.12
令x-α=x’ ,y-β =y’
对于特定ξ，η，H为复常数。即输入与输出函数之比为复常数H。 所以 为线性不变系统的本征函数。
脉冲函数是实函数的传递函数性质 一个线性系统输入函数为实函数，其输出也是实函数 （如非相 干成像系统）。 其脉冲函数是实函数。其传递函数H（ξ,η）是厄米 的。即 设左边 A和φ为传递函数的模和幅角 而右边 代入上式 比较可得
1.6.3线性平移不变系统的传递函数
空间频率： 系统输入的空间函数f(x,y),其傅里叶变换为
这里ξ，η具有长度倒数的量刚，即称为空间频率。单位（周/mm， 对线/mm）。 傅里叶变换 将空间函数f(x,y)与频谱联系起来F(ξ，η)。逆变换
意义： 空间函数f(x,y)可以分解成具有不同空间频率ξ，η的基元函数 的线性组合。而 为对应基元函数的权重。F(ξ，η)为频谱函数或频谱密度或谱密度。 由
1.6.4 线性平移不变系统的本征函数
如果函数f(x,y)满足
a为复常数，称f(x,y)为算符L｛…｝所表征系统的本征函数。
本征函数是一个特定的输入函数，响应的输入函数与输出函 数之比是一个复常数。
情况1 基元函数 对线性不变系统有
是线性空不变系统的本征函数。
把 得到
代入上式,取代 f(x,y)，
发散的球面波在xy面上的复振幅分布
振幅中用z取代r。因为k值很大，位相中r对相位影响较大，因此 展开式中多保留一项。 相位因子中包含 称常相位因子 为二次相位因子 在z为常数时xy平面上等相位线为一组同心圆
一组同心圆是球面波穿过一平面 的特征。
2.平面波的复振幅 单色平面波在P(x,y,z)处产生的复振幅为
1.5 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.5.1 傅里叶变换函数的基本性质 1. 线性性质 设 a，b为常数，则
2. 对称性
设 则
3. 迭次傅里叶变换
4. 坐标缩放性
5. 平移性 若 则
6. 体积对应关系 若
7. 复共轭的傅里叶变换 设 则
若f(x,y)为实数 因此具有厄米对称性
Antiherm. g(t)=g(-t)
空间一点的振动可表示为
光强为
1.球面波的复振幅 由一点发出的光波波面 为球面，称球面波。矢径
a0表示r＝1的单位半径上的振幅。k为波数。
k=|k|=2π/λ表示单位长度上的相位变化。 对于发散的球面波k与r方向一致
对于汇聚球面波k与r方向相反
旁轴条件
在xy面上只考虑一个对s点张角不大的范围 即满足傍轴条件。作泰勒展开略去高次项
则系统有叠加性。 设a 是常数，如有 则系统有均匀性。系统能够保持对输入信号的缩放因子不变。
如果系统同时具有叠加性和均匀性，即满足
则称为线性系统。线性系统必须满足叠加性和均匀性。 在线性系统中，可以把复杂的输入函数分解成某些基元函数 的线性组合。研究各基元函数的响应，并组合起来就得到系统 的输出。 在光学系统中,相干光学系统对输入物面的光振幅分布和输 出像面的光振幅分布是线性系统，非相干光学系统对输入物面 的光强分布和输出像面的光强分布是线性系统。
所以称 为点扩散函数（脉冲响应函数），是脉冲位置和像位置的函数。 线性系统的输出为：
1.6.2线性平移不变系统
当输入系统发生平移,这时如果输出也 只是平移，称平移不变。 f(x1,y1) 变成 f(x1-x0， y1-y0)， 则 g(x2,y2) 变成 g(x2-Mx0，y2-My0)， 对有垂轴放大的系统，输入函数平移，输出也作相应的平移。 如果平移是线性的则 变成 称线性平移不变系统（或线性不变系统）。 M＝1时，
方向余弦满足关系
在xy面上分布
第一个相位因子与xy坐标无关 引入复常数
在xy面上分布可简化为
称 为平面波的线性相位因子。是平面波穿过xy面的特征. 等相位线为一组平行直线
1.7.2平面波的空间频率
垂直于z轴的平面上复振幅分布
k位于x0z面（cosβ＝0）， xy面上 等相位线 相邻等相位线间相位差2π， 在x轴上间距X kXcosα＝2π，
振幅传递函数为偶函数，相位传递函数为奇函数。
情况2
正余弦函数是线性系统的本征函数。
设系统的传递函数H（ξ，η）， 输入函数 输入函数的频谱 线性空（平移）不变系统的输出频谱
系统的输出函数
δ函数与普通函数乘积的性质 函数f（x,y）在（x0，y0）点连续，
则有
1 2. 筛选性 设函数f（x,y）在（x0，y0）点连续 ，则有
两边作傅里叶变换得 在频域内描述了系统对输入函数的作用。
特点
在空域中进行的卷积运算，可以用在频域中进行的乘法运算 取代。显然频域中的运算简单。 公式 表示系统对输入函数中不同频率的基元成份的传递能力。称为 线性平移不变系统的 传递函数 。由于系统具有线性平移不变 性，因而可以用一点δ（x,y）的脉冲响应的频谱密度描述系统 的传递函数。