信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

发散的球面波在xy面上的复振幅分布
振幅中用z取代r。因为k值很大，位相中r对相位影响较大，因此 展开式中多保留一项。 相位因子中包含 称常相位因子 为二次相位因子 在z为常数时xy平面上等相位线为一组同心圆
一组同心圆是球面波穿过一平面 的特征。
2.平面波的复振幅 单色平面波在P(x,y,z)处产生的复振幅为
则
5.导数定理 设
则有
6.积分定理 设 则
证明：将积分写为卷积形式 作傅里叶变换
重心
惯量矩 回转半径
7. 矩定理 f(x,y) 的m+n 阶矩，指积分
,
傅里叶变换对
1.6线性系统分析
系统的作用可以用算符 一维 二维 1.6.1线性系统 一个系统对输入 f1、 f2的输出响应分别为g1、g2, 则 如果 f1+f2 作为系统输入，则输出是 g1+g2 表示
振幅传递函数为偶函数，相位传递函数为奇函数。
情况2
正余弦函数是线性系统的本征函数。
设系统的传递函数H（ξ，η）， 输入函数 输入函数的频谱 线性空（平移）不变系统的输出频谱
系统的输出函数
δ函数与普通函数乘积的性质 函数f（x,y）在（x0，y0）点连续，
则有
1 2. 筛选性 设函数f（x,y）在（x0，y0）点连续 ，则有
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
所以称 为点扩散函数（脉冲响应函数），是脉冲位置和像位置的函数。 线性系统的输出为：
1.6.2线性平移不变系统
当输入系统发生平移,这时如果输出也 只是平移，称平移不变。 f(x1,y1) 变成 f(x1-x0， y1-y0)， 则 g(x2,y2) 变成 g(x2-Mx0，y2-My0)， 对有垂轴放大的系统，输入函数平移，输出也作相应的平移。 如果平移是线性的则 变成 称线性平移不变系统（或线性不变系统）。 M＝1时，
令x-α=x’ ,y-β =y’
对于特定ξ，η，H为复常数。即输入与输出函数之比为复常数H。 所以 为线性不变系统的本征函数。
脉冲函数是实函数的传递函数性质 一个线性系统输入函数为实函数，其输出也是实函数 （如非相 干成像系统）。 其脉冲函数是实函数。其传递函数H（ξ,η）是厄米 的。即 设左边 A和φ为传递函数的模和幅角 而右边 代入上式 比较可得
两边作傅里叶变换得 在频域内描述了系统对输入函数的作用。
特点
在空域中进行的卷积运算，可以用在频域中进行的乘法运算 取代。显然频域中的运算简单。 公式 表示系统对输入函数中不同频率的基元成份的传递能力。称为 线性平移不变系统的 传递函数 。由于系统具有线性平移不变 性，因而可以用一点δ（x,y）的脉冲响应的频谱密度描述系统 的传递函数。
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
1.6.3线性平移不变系统的传递函数
空间频率： 系统输入的空间函数f(x,y),其傅里叶变换为
这里ξ，η具有长度倒数的量刚，即称为空间频率。单位（周/mm， 对线/mm）。 傅里叶变换 将空间函数f(x,y)与频谱联系起来F(ξ，η)。逆变换
意义： 空间函数f(x,y)可以分解成具有不同空间频率ξ，η的基元函数 的线性组合。而 为对应基元函数的权重。F(ξ，η)为频谱函数或频谱密度或谱密度。 由
空间一点的振动可表示为
光强为
1.球面波的复振幅 由一点发出的光波波面 为球面，称球面波。矢径
a0表示r＝1的单位半径上的振幅。k为波数。
k=|k|=2π/λ表示单位长度上的相位变化。 对于发散的球面波k与r方向一致
对于汇聚球面波k与r方向相反
旁轴条件
在xy面上只考虑一个对s点张角不大的范围 即满足傍轴条件。作泰勒展开略去高次项
物点的成像性质与位置无关。成像性质可由单位脉冲响应h(x2,y2)表 征。
由于物空间和像空间坐标在空间上是分别定义的，可以不区分函数 的变量（宗量）
线性平移不变系统可以表示为
如果一个光学系统，对整个视场，脉冲响应（点扩散函数） 形式不变，这种系统叫做空间不变系统。一般光学系统在视场的 某一区域范围内能够满足这个要求，这个区域叫做"等晕区"，故 光学系统在等晕区内是线性空间不变系统。
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
于是平面波表达式
也可用空间频率描述
将复振幅与空间频率联系起来。 由 得
,
负频率
当传播矢量与x0轴的夹角为钝角， 这时 为负值。表示xy平面 上相位沿x正向减小。 空间频率的正负仅表示平面波的传 播方向。
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
常用基元函数 （1） δ函数 （2）指数函数 1. δ函数的线性组合
任何函数都可分解为δ函数的线性组合。由δ函数的卷积性质
（发光点） （平面波）
可看成以 的线性叠加。
为权重不同位置的
以 f（x1，y1）为输入函数，g(x2,y2)为输出函数。系统的作用可 表示为 因为系统具有均匀性
意义：L源自文库δ(x1-α,y1-β)是点（x1＝α, y1＝β）上的单位脉冲（点光 源）通过系统后的响应（输出的分布）。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.5.1 傅里叶变换函数的基本性质 1. 线性性质 设 a，b为常数，则
2. 对称性
设 则
3. 迭次傅里叶变换
4. 坐标缩放性
5. 平移性 若 则
6. 体积对应关系 若
7. 复共轭的傅里叶变换 设 则
若f(x,y)为实数 因此具有厄米对称性
Antiherm. g(t)=g(-t)
因为空间频率与特定的传播方向相对应，可以看成是角度分布函数， 因此 也称平面波的角谱。
作业
• • • • 1.1 1.5 1.11, 1.12
则系统有叠加性。 设a 是常数，如有 则系统有均匀性。系统能够保持对输入信号的缩放因子不变。
如果系统同时具有叠加性和均匀性，即满足
则称为线性系统。线性系统必须满足叠加性和均匀性。 在线性系统中，可以把复杂的输入函数分解成某些基元函数 的线性组合。研究各基元函数的响应，并组合起来就得到系统 的输出。 在光学系统中,相干光学系统对输入物面的光振幅分布和输 出像面的光振幅分布是线性系统，非相干光学系统对输入物面 的光强分布和输出像面的光强分布是线性系统。
1.6.4 线性平移不变系统的本征函数
如果函数f(x,y)满足
a为复常数，称f(x,y)为算符L｛…｝所表征系统的本征函数。
本征函数是一个特定的输入函数，响应的输入函数与输出函 数之比是一个复常数。
情况1 基元函数 对线性不变系统有
是线性空不变系统的本征函数。
把 得到
代入上式,取代 f(x,y)，
方向余弦满足关系
在xy面上分布
第一个相位因子与xy坐标无关 引入复常数
在xy面上分布可简化为
称 为平面波的线性相位因子。是平面波穿过xy面的特征. 等相位线为一组平行直线
1.7.2平面波的空间频率
垂直于z轴的平面上复振幅分布
k位于x0z面（cosβ＝0）， xy面上 等相位线 相邻等相位线间相位差2π， 在x轴上间距X kXcosα＝2π，