完整版电磁场理论复习总结

1.1 标量场和矢量场

1.2 三种常用的正交坐标系

1.3标量场的梯度

哈密顿算符：(一e —e —e z)

x y z

2.梯度的垄本运算公式

1) VC-0 (C^S)

2) V(Cu)二CVw

3) V((/ 土巧二可肿土V7附

4) V(/a T) = Z/V V +T V;/

5) VF(u) = F r(u)Vu

6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)

v v

FF cF

7) ^7(^ v) = —Vw + — Vv

du dv

式中：U育常報；级甘为半标变最遢載;

3”梯度的重要性质

16CJ55 「「小

V x V/z = 0

产生场的场源所在的空闾位国点称

为源点上记为am或7 场所在的疇间

隹置点称为场贞「记为(x,y\2｝或尸

源点到场点的距S»j?=|r-r| 从源点指

向场点的矢量为

^ = r-F

例3求鸥叫哙呻・刃畑％&

R衣示对仗」4运算R表示对运算.

R^r-r1^J(x-A)r+(y-/>:

BR 、BR 、BR

—MY臥叫帝M还

W(R) = ARWR = ^-\R

(tri

旳和5 巧\2化砸事=蛰£虫=—%专

(lii dii fi

r ?S A dS A. A y A z

divA lim ——

V 0 V x y z

divA A x A y A z A

x y z

A e x( A z A y) e y( A x A z) e z(入s

y z z x x y

1) V Y C=0

2) Vx(i = A

3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.5

4) V x (u = uV y /< + V u K

X B)=2J-V XJ4-J4-V X5

l f ***** 4；

jd' V x Vy - 0

! 7)V (VxJ)-O：

W屜囲焉唉屋•熾常数，址为标量函数「

du

电磁总复习第一章矢量分析

l 〜Eit 十dit 〜du

It= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场心的梯度.

ex cy cz

V u =

—y

ir rot

A

c'R ex R

_y-y r漁—

R 忑R

VR = -

R

R'

矢童场的雄度

"_R _尸一*的散度恒为零

R ，|r-r'-

1.4矢量场的通量与散度

三. 散度的运算公式

])V C-0

2)V(Arl) = )tV^

4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)

- (IA

5) V J(rt) - V// —

du

四、高斯定理(散度定理)

L v知一丄％

物理詳5G穿过一封闭曲角的总谓呈等于矢虽散度的休秘分

1.5矢量场的环流与旋度

-------------------- V V

V v c A dl rotA nlim --

S 0S

r r r

e x e y e z

ir i

rot A A

x y z

A x A y A z

4-症度计算相关公式:

标葷场的梯度

的旌度恒为零

1G:2D3*

酶点

录场点

df R

max

三、斯托克斯定理

物理含义；

—个魚量场旋度的面税分導于演矢量沿此由面周界的曲线眦四、矢量场擬度的重要性质

卩（Vxj^O任意矢量场I?度的散度等于議

1.6亥姆霍兹定理与格林定理

一、矢量场的分类

矢量场有两种不同性质的源：

（1）散度源（标量）（2）旋度源（矢量）。

任一矢量场，可能是由两种源中的一种产生的，也可能是由两种源共同产生的。

根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类。

1）有源无旋场

若矢虽场申佐某区域'他处姑汁皿個在某些楼置或整个空间内，有歸*如则称在该区±«v内，场戶旧为有

源无旋壕•

P为矢虽场通虽谓密度；

VxF=0

蛍要性氐萨（F）皿二[严戶（尸）曲"

结臨无旋场场矢量沿任诃闭合路径的环流等于零（无激涡源

几VxVw-0

无旋场的旋度始终为6可引入标号辅助函数表征矢戢场即F 二-％

例如：静电场Vx£= O^F—Vp

2）无源有族场_若矢量场丙尸）在某区轍内，处处VJ = O,但在某些位冒或整亍空间内.有VxF=J^0 -则称在该区妳刚场戸㈤为有淀无源如说明器式中J为矢量场漩祸源密度。!

V-F-0

童要性质：^F（r） rf5 = [.V F（r）rfr=0

騒无散场通过任盍闭合曲面的通量等于零（无散度源八v

VxJ = 0

无散场的散度始络为0, 口I引入矢量函数的貰度表示无

®»F=VxJ 钏虬1S越4场V-5 =0z>fi=Vxl

3）无紅无哉场（源隹所i+论的区域Z外）Vx/ =0=>F - -Vtt

V w = O

4）有散「有旋场

这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分戶（F）二京

F）+ 和F}=-別（亍）+2（F）

忸- 札

；无散场部分

• ■**!■■・ O.・N ■亠亠・■■■・,

无冀场与无散场可以看磴展两科基本的矢量场，任一矢量场都可以分解为无庭场部分与无飲场部分上利也就是说，性一矢虽场都可以表示为一标屋场的梯度与另一矢虽场的龊度之刑.

F（F）二刁（可十£疔）4

一、浚姆崔玆定理

在有限的区域扌内，任一矢量场由它的散度"就度和边界条件（即限定区域V的0]合面S上的矢量场的分布）唯地确定，且可妬为

1）矢駅场户可以用一亍标虽函数的梯度和一个矢邑函数的旋度来表示。此标量函数由f的散度和匸在边界$上的法向分呈完全确赶而矢量函数则山戶的真度和戶在边界面S上的切向分量完全确定；

2）由于Vx[W（f）]- O t V [V x j（r）J = 0 f周而一^卜欠量场可以衷示为-个无旋场与无啟场之和，即

F（r）= ^（r）+ ^（r）

lV^(r) = O

V^^(7) = VxF(r) = J

3）如果在区域V内矢量场F的散度与旋度均处处为

0, ±其在边界面S上的场分布完全确定；

亥姆霍兹定理在电磁场理论中的査文：

无旋场部分1

说明:

F(r)--Vu(r) + VxJ(r)

已知在电短场中*

「电酋密卧

-电浚斋頂/ （矢里F喰一地

価》

L宙域讪界¥11