电磁学第四章恒定电流和电路

电磁学第四章恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。

从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。

若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以本章主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念。

§4.1 恒定电流一、电流、电流强度、电流密度导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止。

若能使内部场强不为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生。

1、电流（1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）本章只讨论：导体内部的电流。

（2）载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子,它们是形成电流的内在因素。

不同性质的导体有不同的载流子：金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等。

（3）电流的方向正电荷运动的方向为电流的方向。

结论：A ：导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处；B ：导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。

2、电流强度−−→−描述电流的大小（1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。

（这里的截面可以推广到任意曲面）表示为：tqI t ∆∆=→∆0lim （2）电流强度I 是反映导体中某一截面整体特征的标量。

就某S 面：t qI ∆∆= ：平均地反映了S 面的电流特征。

3、电流密度J（1）定义：导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：⊥=dS dIJ dS ┴J（2）J与I 有不同： I 是一个标量，描写导体中的一个面；J是矢量点函数，描写导体中的一个点。

（3）J与I 的普遍关系⊥=dS dIJ 只反映了J 与I 的特殊关系（要求面元与J 垂直），下面推导J与I 的一般关系。

dSdS ┴n Jθ在导体中某点处取一任意面元dS （dS 与J并非垂直），面元dS 的法线方向n ˆ与该点的J 夹角为θ，则dS 在与J垂直的平面上的投影为：θcos dS dS =⊥而 θcos JdS JdS dI ==⊥ （标量）S d J dS nJ⋅=⋅=ˆ （二矢量点乘仍为标量） 所以通过导体中任意曲面S 的电流强度I 与J的关系为：⎰⎰⋅=SS d J I此式说明：一曲面上的I 是J 对该曲面的通量（J 通量）。

（4）J 是矢量，J 在空间的分布形成J场——电流场。

由J 的定义，导体中各点J有确定的数值和方向，即使在导体的外部（真空），J =0，也有确定的值，可见J在整个空间具有确定的分布，这样就构成一个矢量场，称之为电流场（J场）为了研究J 场的性质，仿照前面讨论电场E 的方法，讨论矢量J对任一闭合曲面的通量。

二、连续性方程SdS 1dS 2在J场中（导体中）任选一闭合曲面S ，由通量的定义知：J 对曲面S 的通量就是由面内向外流出的电流强度（由内向外是n ˆ方向），也等于单位时间内由面内向外流出的电荷量（正电荷）。

而根据电荷守恒定律：单位时间内从面内流出的电荷量应等于面内电荷量的减少。

如果S 内电量为q （正电荷），则单位时间内的减少为dtdq-。

因此：1212nSdS dS dS nJ dS J dS J dS J dSI I I ⋅=⋅+⋅++⋅=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=流出的I=单位时间内由面内向外流出的电荷量 =单位时间内面内电荷量的减少 =dtdq -（减小率）此式称为连续性方程，它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。

三、恒定电流和电场1、恒定电流：空间各点J都不随时间而变化的电流叫做恒定电流。

2、维持恒定电流的条件：要维持电流，则导体内的电场0≠内E，而导体内的电场是由导体各处分布着的电荷激发的。

若产生电场内E的空间电荷分布(密度)随时间发生变化⇒它们激发的电场内E 也随时间变化⇒导体内的电流密度J也随时间变化⇒不是恒定电流。

电流的恒定条件：空间各点的电荷分布（密度）不随时间而变。

故对任意闭合曲面S 有0=-=⋅⎰⎰dt dq S d J S→ 恒定条件的数学表达式 此式的物量意义：在恒定电流的情况下，从闭合面S 某些部分流进去的电流强度（J通量）必然等于该闭合曲面其他部分流出去电流强度。

注意：0=dtdq并不是电荷不运动，只是对某一闭合面S 而言，单位时间内流进S 的电荷量q 与流出的q 相等，结果好象是q 没随时间变化一样。

3、电流线（J线）（1）规定：电流线上每点的切线方向与该点的电流密度J的方向相同，通过场中任一曲面（非闭合面）的电流线条数等于该曲面的J通量（即该曲面的电流强度）。

即：通过任一曲面S 的J线条数=I s d J S=⋅⎰⎰（2）J线的性质：对恒定电流： 0=⋅⎰⎰SS d J即：J 对闭合曲面S 的通量为零，说明穿进S 的J线条数必然等于穿出的J 线条数，即J线不中断，无间断点。

故性质：恒定电流场中的J线是既无起点又无终点的连续闭合曲线。

这个性质叫做恒定电流的闭合性。

所以恒定电流流通的路径是一个闭合路径。

4、恒定电场（1）定义：分布不随时间变化的电荷所产生的电场；或与恒定电流相伴的电场。

（2）特点（恒定电场与静电场的共同点）： 0=dtdq，空间各点E 不随时间变化，因此恒定电场也视为静电场；但和前面讲的静电场有所不同（不同点）：前面的静电场，产生电场的电荷是静止不动的，这里产生恒定电场的电荷是运动的，只是电荷分布（密度）不随时间而变。

既然恒定电场也视为静电场，所以在恒定电场中，高斯定理和环路定理也完全适用。

例：P167习题4、1、1 iJ J ˆ=zyxOθφdS =R sin θd φx Rd θR解：（1）球面上任一面元ˆˆdS dSndSr ==，其面上的J通量为： ϕθθd d R r i J n dS iJ S d J dI sin ˆˆˆˆ2⋅=⋅=⋅=222ˆˆˆˆsin cos sin sin cos sin sin cos Ji i j k R d d JR d d θϕθϕθθθϕθϕθϕ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭= （2）在x ≥0的半球面上（用yoz 面来分割球面成x ≥0的半球面和x ≤0的半球面）⎰⎰⎰⎰===-ππππϕϕθθoR J d d JRdI I 22222S 1cos sin 1同理，在x ≤0的半球面上：⎰⎰⎰⎰-===-ππππϕϕθθoR J d d JRdI I 22222S 2cos sin 21212120S S S S SI I dI dI J dS J dSJ dS +=+=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （恒定电流场）§4.2 直流电路 一、电路1、电路：电流流通的路径叫电路。

通常的电路往往由若干分支组成，每个分支叫做一条支路。

若一电路只由一条支路组成，称为无分支电路，它是最简单的电路，也称全电路。

2、节点：支路与支路之间有联结点，三条或三条以上支路的联结点叫做节点（或结点）。

二、直流电路1、直流电路——载有恒定电流的电路，也称为恒定电流电路。

恒定电流时，各点的电流密度J不随时间而变，而⎰⎰⋅=SS d J I ，所以直流电路中任一截面的电流强度也不随时间变化。

2、直流电路的性质（实际是恒定电流条件的推论） （1）直流电路中同一支路的各个截面有相同的电流强度I 。

S n 1n 2S 1S 2I J证明：如图，选一闭合曲面S 包含同一支路的任两个截面S 1、S 2。

（闭合曲面S 与支路相截的部分为S 1、S 2，S 1、S 2为支路中任意选取的两个截面）应用恒定条件于S 有：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅+⋅+⋅=⋅其它021S d J S d J S d J S d J S S S而导体（导线）置于真空中（空气中），⎰⎰=⋅⇒=其它00S d J J，且()()面的电流强度面的电流强度221121S I S d J S I S d J S S ⎰⎰⎰⎰-=⋅+=⋅外方向：从里右方向：从左→→n J ˆ∴ +I 1－I 2=0 I 1=I 2 若支路形状为：n 1n 2JJS则⎰⎰⎰⎰=⋅-=⋅2121S S I S d J I S d J仍有： I 1=I 2 （2）流进直流电路任一节点的电流强度等于从该节点流出的电流强度。

n 1n 2n 3n 4n 5I 1I 2I 3I 4I 5SA如图：节点A 由5条支路组成，由恒定条件：1251250S S S JdS J dS J dS J dS ⋅+⋅++⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其它而0J dS ⋅=⎰⎰其它∴+I 1+I 2+（－I 3）+I 4+（－I 5）=0I 1+I 2+I 4 = I 3+I 5即流出=流进（3）这个结论称为基尔霍夫第一方程组，它是恒定条件的必然推论，也是电荷守恒定律的必然结果。

§4.3 欧姆定律和焦耳定律 一、欧姆定律 电阻电阻 UI R=，R 值反映导体对电流的阻碍程度，称为导体的电阻。

二、电阻率Sl R ρ= 或 d lR S ρ=⎰（与材料、形状、长短、粗细、温度有关） ρ与导体的材料及温度有关，称为导体的电阻率。

对纯金属：()ργαρρ110=+=t 称电导率三、欧姆定律的微分形式（经典金属电子论）P127（金属导电、欧姆定律和焦耳定律的经典微观解释）金属中有很多自由电子：结构组成为 自由电子+原子实 1、当金属内0=内E时，自由电子作无规则热运动——形成电子气，热运动平均速度510=v （米/秒）（由统计力学）。

自由电子热运动过程中不断与金属骨架（原子实）碰撞，故自由电子的运动轨迹为折线。

折线2、当0≠内E时，电子气除热运动v 外，还有定向运动u 形成电流，但 v u <<。

（1）考虑电子在两次碰撞之间的运动时0=内E时，匀速运动； 0≠内E时，初速为0的匀加速直线运动加速度： mE e a-= 初速： 00=u （定向速率）末速： ττmE e a u f-==⎪⎩⎪⎨⎧−−→−+=<<为平均自由程，时间为两次碰撞之间的平均l v l u v v u λττ 平均速度： vm lE e u u f22-=+=→ 定向运动平均速度与场强E 的关系。

（2）考虑与J 垂直的面元S ∆上的J的表示ΔSJū在金属内部与J垂直的方向上取一面元S ∆。

以S ∆为底，u 为高取一柱体。

单位时间内要通过S ∆面而形成电流的电子数应为柱体体积（u S ∆）内的电子数：∴S ∆上的电流强度：qdI nu S e n t∆==∆⋅∆为单位体积内的电子数 S ∆上一点的电流密度：e u n S dIJ =∆=⊥（大小） 写成矢量： u ne J-= （方向：电流密度方向与电子定向运动的速度方向相反）∴E E vm l ne Jγ==22 γ是电导率，金属中同一点γ是一个正常数，不同金属γ不同，同一E下有不同的J 。