常微分方程全册课件

dy d y F(x,y, ,, n ) 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x,y, , , n ) 0是x, y, , , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
线性和非线性
n dy d y 如果方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 ,, n 的一次有理式 , dx dx 则称其为n阶线性方程 .
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统
从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导 数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型
数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型
如:
dy (1) 2x dx
(2) xdy ydx 0
是一阶微分方程
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程 是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
偏微分方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 如
如 (1) dy 2 x
dx
(2) xdy ydx 0
是线性微分方程
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
不是线性方程的方程称为非线性方程
如
d x dx (3) tx x 0 2 dt dt
2
3
是非线性微分方程
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程
注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分 方程简称为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微 分的阶数称为微分方程的阶数.
n阶线性微分方程的一般形式
d y d y a1 ( x) n1 n dx dx
n
n 1
an ( x) y f ( x)
(2)
这里a1 ( x),an ( x), f ( x)是x的已知函数 .
微分方程的解
定义
如果函数y ( x), x I , 满足条件: y ( x)在I上有直到n阶的连续导数 ;
常微分方程
第一章 绪论பைடு நூலகம்
线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对 数方程、三角方程和方程组
这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式
基本思想:
把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或 几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解微分 方程
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感 染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被 感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者， 而治愈率l为常数
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程
人口模型的改进
• Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假 设：净相对增长率为
N (t ) r (1 ) Nm
logistic模型
传染病模型
假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在 时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t) 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数 为k
1.1 常微分方程模型
RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程
RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律
在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中， 净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口 总数之比）是常数，记为r
n
(1)
(2) 对x I有 : F ( x, ( x), ' ( x), n ( x)) 0,
dy d y 则称y (x)为方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx 在I上的一个解 .
由微分方程发现或预测新的规律和性质
9月3日
1.2 基本概念
1.2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数 导数（或微分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) 2x ; dx
d x dx (3) tx x 0 ; 2 dt dt
两生物种群生态模型
意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数 学模型
假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t)
假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型