常微分方程全册课件
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常微分方程----第一章-绪论PPT课件
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
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一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
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例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
cosx sinx 10
sinx cosx
特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。
x,
y,
,
《高等数学》课件第6章 常微分方程
将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
12-1常微分方程27页PPT
一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。 通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常 数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用 其它方法直接由方程解出。
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例：
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关（与未知函数及其导数无关），则称
该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例：
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关（与未知函数及其导数无关），则称
该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
常微分方程PPT讲稿
则 常向量组x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )线性相关,
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
5
例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
1
§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
5
例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
1
§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
《常微分方程》PPT课件
两边积分
dxx((tt)) kdt G(y)F(x)C
G(y)
F(x)
P(x) dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的
繁殖率与细菌的数目成正比，假设t 0时细菌的数
目为 x(t，) 求系统的细菌繁殖规律。
解： 设 t示在 时x(t刻) 细菌数目，依题意有
t 时y， r k
两边积分
f(x)dx
《常微分方程》PPT课件
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6.1 微分方程的根本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的根本概念
zxy
2. zaxbyc型方程
作变换 dy abf(z) dx
d y(xy)2 dx 例8. 求方程 n1,令zy1n y 的通解
2
arctan(xy)xC 解：令 则 r y(t) krky0 en y0
得方程通解为 VlnV dV lnVadt
将 代回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原方程通解 y(t)krrky0 en y0
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点
。 dz
dx
2处1y 的ddyx 切线斜率为2x，求这曲线的方程
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系
式:
r1,2b2ba24ac
①
yx12
②
由 ① 得 y2xdxyf(y) (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
dy f (x)g( y) dx
dxx((tt)) kdt G(y)F(x)C
G(y)
F(x)
P(x) dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的
繁殖率与细菌的数目成正比，假设t 0时细菌的数
目为 x(t，) 求系统的细菌繁殖规律。
解： 设 t示在 时x(t刻) 细菌数目，依题意有
t 时y， r k
两边积分
f(x)dx
《常微分方程》PPT课件
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6.1 微分方程的根本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的根本概念
zxy
2. zaxbyc型方程
作变换 dy abf(z) dx
d y(xy)2 dx 例8. 求方程 n1,令zy1n y 的通解
2
arctan(xy)xC 解：令 则 r y(t) krky0 en y0
得方程通解为 VlnV dV lnVadt
将 代回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原方程通解 y(t)krrky0 en y0
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点
。 dz
dx
2处1y 的ddyx 切线斜率为2x，求这曲线的方程
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系
式:
r1,2b2ba24ac
①
yx12
②
由 ① 得 y2xdxyf(y) (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
dy f (x)g( y) dx
常微分方程PPT
解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
常微分方程ppt
1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
特权福利
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学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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常微分方程PPT课件
8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.
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n阶线性微分方程的一般形式
d y d y a1 ( x) n1 n dx dx
n
n 1
an ( x) y f ( x)
(2)
这里a1 ( x),an ( x), f ( x)是x的已知函数 .
微分方程的解
定义
如果函数y ( x), x I , 满足条件: y ( x)在I上有直到n阶的连续导数 ;
n
(1)
(2) 对x I有 : F ( x, ( x), ' ( x), n ( x)) 0,
dy d y 则称y (x)为方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx 在I上的一个解 .
dy d y F(x,y, ,, n ) 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x,y, , , n ) 0是x, y, , , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
线性和非线性
n dy d y 如果方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 ,, n 的一次有理式 , dx dx 则称其为n阶线性方程 .
人口模型的改进
• Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假 设：净相对增长率为
N (t ) r (1 ) Nm
logistic模型
传染病模型
假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在 时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t) 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数 为k
两生物种群生态模型
意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数 学模型
假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t)
假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感 染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被 感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者， 而治愈率l为常数
如:
dy (1) 2x dx
(2) xdy ydx 0
是一阶微分方程
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程 是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
常微分方程
第一章 绪论
线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对 数方程、三角方程和方程组
这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式
基本思想:
把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或 几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解微分 方程
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程
注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分 方程简称为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微 分的阶数称为微分方程的阶数.
如 (1) dy 2 x
dx
(2) xdy ydx 0
是线性微分方程
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
不是线性方程的方程称为非线性方程
如
d x dx (3) tx x 0 2 dt dt
2
3
是非线性微分方程
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程
由微分方程发现2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数 导数（或微分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) 2x ; dx
d x dx (3) tx x 0 ; 2 dt dt
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
偏微分方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 如
1.1 常微分方程模型
RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程
RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律
在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中， 净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口 总数之比）是常数，记为r
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统
从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导 数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型
数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型