高中数学-常用逻辑用语练习

高中数学-常用逻辑用语练习

能力深化提升

类型一四种命题及其真假判断

【典例1】(·银川高二检测)将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假.

(1)垂直于同一平面的两条直线平行.

(2)当mn<0时,方程mx2-x+n=0有实数根.

【解析】(1)将命题写成“若p,则q”的形式为:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.

它的逆命题、否命题和逆否命题如下:

逆命题:若两条直线平行,则这两条直线垂直于同一个平面.(假)

否命题:若两条直线不垂直于同一个平面,则这两条直线不平行.(假)

逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不垂直于同一个平面.(真)

(2)将命题写成“若p,则q”的形式为:若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.

它的逆命题、否命题和逆否命题如下:

逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<0.(假)

否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.(假)

逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.(真)

【方法总结】四种命题的写法及其真假的判断方法

(1)四种命题的写法:

①明确条件和结论:认清命题的条件p和结论q,然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.

②应注意:原命题中的前提不能作为命题的条件.

(2)简单命题真假的判断方法:

①直接法:判断简单命题的真假,通常用直接法判断.用直接法判断时,应先分清条件和结论,运用命题所涉及的知识进行推理论证.

②间接法:当命题的真假不易判断时,还可以用间接法,转化为等价命题或举反例.用转化法判断时,需要准确地写出所给命题的等价命题.

【巩固训练】(·海南高二检测)有下列四个命题:

①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;

②“相似三角形的周长相等”的否命题;

③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;

④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.

其中是真命题的有( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.③④

【解析】选C.①逆命题是若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;②否命题是不相似的三角形周长不相等,是假命题;③逆否命题是若方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1.因为Δ=4b2-4(b2+b)<0,所以b>0,所以该命题为真命题;④因为A∪B=B,所以A⊆B,所以该命题为假命题.

类型二充分条件与必要条件的判定与应用

【典例2】(1)(·济南高二检测)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(·成都高二检测)已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+

λ2b(λ1,λ2∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是( )

A.λ1=λ2=-1

B.λ1=λ2=1

C.λ1λ2=1

D.λ1λ2=-1

【解析】(1)选B.当a=-1时,函数f(x)=ax2+2x-1=-x2+2x-1只有一个零点x=1;但若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的充分而不必要条件.

(2)选C.依题意,A,B,C三点共线⇔=λ⇒λ1a+b=λa+λλ2b⇒所以λ1

λ2=1.

【方法总结】对充要条件的理解及证明

(1)理解:对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”“当且仅当”“必须并且只须”“……,反之也真”等.

(2)证明:证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).

【巩固训练】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )

A.x<0

B.x≥0

C.x∈{-1,3,5}

D.x≤-或x≥3

【解析】选C.由2x2-5x-3≥0得,只有选项C中x的范围为其真子集.

类型三由逻辑联结词“且”“或”“非”构成的命题真假的判断与应用

【典例3】已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q 1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是

( ) A.q1,q3 B.q2,q3

C.q1,q4

D.q2,q4

【解析】选C.因为y=2x在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,所以y=2x-2-x在R上为增函数,所以p 1为真命题,p2假命题,故q1:p1∨p2为真命题,q2:p1∧p2为假命题,q3:(p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(p2)为真命题.故真命题是q1,q4.

【方法总结】含有逻辑联结词的命题及其真假判断的关键点

(1)先判断简单命题p,q的真假.

(2)根据“p且q”“p或q”“非p”的含义及其真假判断规律,即对于“p且q”有一假即为假;对于“p或q”有一真即为真;对于“非p”真假与p相反进行判断.

【巩固训练】已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( )

A.(-∞,-2)

B.[-2,0)

C.(-2,0)

D.(0,2)

【解析】选C.因为p∧q为真命题,所以命题p和命题q均为真命题,若p真,则m<0,①

若q真,则Δ=m2-4<0,所以-2

所以p∧q为真,由①②知-2

类型四全称命题与特称命题

【典例4】(1)(·武汉高二检测)下列命题中是假命题的是( )

A.∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ

B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数