高级数理逻辑第2讲全解

3命题逻辑形式系统（FSPC）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL提出了布尔代数。

布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。

把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。

1、命题（Propositions）：可以判断真假的陈述句。

不涉及任何联结词的命题称为原子命题。

2、联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。

~A=1-A→如果A成立则B成立，<->如果A成立则B成立，并且如果B成立则A成立；A→BA∨B，或者A成立或者B成立；A∧B，A成立并且B成立。

3、真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。

A←→BT(~A)=1-T(A) A=1, ~A=0, 1-ATrue(⌝A)＝1- True(A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0T(A→B)=1 或者A不成立，或者B成立；A=1, B=1, A→B =1A=0, B=1, A→B=1A=0, B=0, A→B=1A=1,B=0 A→B=0或者A=0, 或者B＝1 ~AvB=A→BA<=B;;;;A<=BA=0,B=1A=0时，B=?,1;A=1,B=1,1;A=1,B=0,0;A=0,B=0,T(A→B)=1;A=0,B=1,T(A→B)=1;A=1,B=0,T(A→B)=1;A=1,B=1,T(A→B)=1;A=0;T(A→B)=1B=1;T(A→B)=1A→B是或者A=0,或者B=1；=～AvBA<=BA∨B=MAX(A,B) A=1, B=0, 1;A=1,B=1, 1, A=0,B=1;1, A=0,B=0, 0A∧B=MIN(A,B) =~(~A v ~B) DEMORGAN~A ∨BTrue(A->B)：True（A）《＝True（B）A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1； True(A ∨B);A=1,B=0,1,A=1,B=1, 1;A=0,B=0,0,A=0,B=1,1. True(A ∧B),A=1,B=0,0,A=1,B=1,1;1=0,B=0,0; A=0,B=1,0True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B)); 4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。

T(A)-----{0,1}5、 赋值映射：命题变元集合到{0,1}上的函数。

如果公式A 对任意的赋值映射，取值为真，则称A 为永真式TAUTLOGY 。

如果公式A 对于所有赋值映射为假，称为A 为矛盾式。

对于任意赋值映射，公式A 的真值等于公式B 的真值，成A 与B 等价。

(A →(B →C))→((A →B)→(A →C))=1A →A 1 A →(B →A)= A=0, 1; A=1, 1; A&~A =0T(A →B)= T(~A VB) A1→A1=1=~A1V A1 ~A1→A1=A1A →A (A →A)→(A →A) ......A →A A →B 或者~A,或者A命题逻辑有以下特点：1、 从语义角度研究逻辑命题之间真值变化规律。

对于任意公式可以给出其所有的真值可能性。

2、存在永真式，例如：P P P P →⌝∨,等。

3、 永真式通过三段论推理方法得到的公式，仍然为永真式。

基于这样的事实，提出一个问题“是否有永真式的最小集合？”。

答案是肯定的。

公理方法的出现，使人们开始用公理方法研究逻辑系统。

于是产生了命题逻辑形式系统。

A B C (A VB)→C0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 13.2 命题逻辑形式系统（FSPC ）PC 最著名的形式化系统可能源于Whitehead 和Russell 的《数学原理》(Principia Mathematica)。

3.2.1 FSPC 定义1、 语言部分（1）符号集：∑＝{（, ）,⌝ , →, ,p 1 ,p 2 ,p 3…….} ，其中⌝, →, ↔, ∨,∧为联接词；（，）为技术符号，即括号；p 1 ,p 2 ,p 3……为命题变量（命题变元或者命题符号）。

（2）项集：为空集。

（3）公式集合：公式集合有以下递归定义。

I. p 1 ,p 2 ,p 3……（命题变元）为公式，称为原子公式。

II. 如果A 、B 为公式，那么（A ⌝），（B A →），为公式。

III. 所有的公式都是由1和2有限步骤得到的，除此之外没有公式。

语言部分定义了FSPC 的公式（语言）产生规则。

2、 推理部分（1）公理：FSPC 包含下列三个公理模式：I A 1))((A B A →→II A 2 ))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ IIIA 3 ))())()(((AB B A →→⌝→⌝-->(A-->A) ( )→(A →A) A →(A →A)((A →(B →C))→((A →B)→(A →C))((A →(B →A))→((A →B)→(A →A))((A →((A →A)→A))→((A →(A →A))→(A →A)) A →((A →A)→A))(A →(A →A))→(A →A) (A →(A →A)) A →A(A →B)→(A →A)B →>(A →B)C →(B →A)A→B形式化：A B A→B1 1 11 0 00 0 10 1 1语义上的理解(如果A成立，则B成立)如B→(A→A)(如果x是实数，则x2大于等于0B)A BA→→B))(A(0 0 10 1 11 0 11 1 1A(x为实数)→B(x2大于等于0)如果(x不是实数)则x2不一定大于0在x不是实数(A=0)的情况下；A→B是否成立？＝＝＝＝1如果（x 如果是超出4中数定义之外的数）则x2大于0(2) 推理规则集合：只有一条推理规则，称为分离规则： 分离规则（modus poneus ）BBA A →, 3.2.2 公式结构1、公式产生序列：● 对于一个∑*上的字符串A 是公式的充分必要条件是存在一个公式序列)(,,,,321A A A A A L = 其中i A 为（1）到（3）中的一种：（1）：为原子公式（2）：存在i j <，使得)(j i A A ⌝=（3）：存在i j n <,，使得)(n j i A A A →=● 公式生成过程举例：例如公式：))())()(((p r r q p ∧→∨↔⌝，的生成过程。

（1）首先p 、q 、r 为公式（原子公式）p, q, r, ⌝p, ⌝q, ⌝r, p ∨q, q ∨r, r ∧p, ⌝p ↔( q ∨r), （2）（p ⌝）、)(r q ∨、)(p r ∧为公式 （3）))()((r q p ∨↔⌝为公式 （4）))())()(((p r r q p ∧→∨↔⌝公式我们有树能够更清晰地给出公式的生成过程：))())()(((p r r q p ∧→∨↔⌝为公式))()((r q p ∨↔⌝ → p r ∧)(p ⌝ ↔ )(r q ∨ r ∧ pp ⌝ q ∨ r3、公式结构特点（1）括号是在公式中，是成对出现，左右括号数量相同。

（2）在自然逻辑中，公式有否定式、合取式、析取式、蕴涵式、等值式等不同类型的概念。

（3）由于公式采用递归定义的方法来定义，因此，对∑*上的任意字符串能够判断是否为公式。

（4）形式系统的联结词只有两个→⌝,，因为在命题逻辑的语义上，其他联结词可以有这两个联结词表示。

~ , &（5）由于公式是采用递归定义方式来定义的，因此，对于公式的性质通常采用递归证明方法来证明。

例如： 归纳法证明：R 证明其在自然数集成立，（1）证明，当1的时候，R 成立 （2）假设，当K 的时候，R 成立 （3）证明，当k+1的时候R 成立设：R 是一个有关公式的性质，如果要证明R 对于所有公式有效则通过下面的证明步骤：I.对于)(FSPC Atom p ∈，则)(P R II. 假设公式A 和B 都具有RIII. )(FSPC Atom A ∈∀，且)(A R ，则)(A R ⌝IV. B A ,∀是公式，如果)(A R 且)(B R ，则)(B A R → 由以上三条，可知R 对于FSPC 上的所有公式成立。

3.3 命题形式演算 3.3.1 形式演算1、概念：演绎结果与定理：设A 为FSPC 上一公式，集合Γ为FSPC 上一公式集合。

称A 为Γ的演绎结果，记为Γ├A ，如果存在一个公式序列：)(,,,,321A A A A A L =A1, A2, A3, A4, A使得i A 或者为形式系统FSPC 的公理，或者为公式集合Γ中的元素，或者为),,,,(,,,,13211321i j j j j A A A A n j j j j n <-- 由推理规则r 得到；则称A 为FSPC 的演绎结果。

当Φ=Γ时，称A 为定理FSPC 上的定理。

称)(,,,,321A A A A A L = 为A 的证明序列。

逻辑等价：公式A 和B 分别为两个公式，如果A,B 满足B ├A ，且A ├B 同时成立，则称公式A 和B 为逻辑等价公式，记为A ├│B 。

即A,B 互为演绎结果。

～AvB=A BA,A2,…,B:::B,A2,….,A例如：A ⌝⌝├|A ，B A ∧├|A B ∧，B A ∨├|A B ∨。

对偶：设A 为FSPC 上由联结词⌝, ∨, ∧和原子公式构成的公式。

在A 中交换∨和∧，以及原子公式和他的否定公式，得到公式'A ，则称'A 为A 的对偶。

True(⌝A ∨B)=True(⌝(A ∧⌝B))=( ⌝A ∨B) (⌝A ∨B) 2、形式演算举例例：证明A A →为FSPC 的定理。

证明：（1） A 1 ：)))(((A A A A →→→（2） A 2 ：)))())(()))(((((A A A A A A A A A →→→→→→→→（3）A 1 ：)(A A A →→（4）))())(((A A A A A →→→→（1）（2）（5）)(A A →（3）（4）已知A ⌝⌝求证A 成立 A)(A A A →⌝⌝→ A A →⌝⌝3.3.2 形式演算方法1、主要的证明方法与手段形式演算方法多种多样，通常有以下方法：（1）公理代入原理：设A(P)为含有变元P 的公理（定理同样适用），如果将公式A 中的变元P 替换为命题变元B ，则A(B)仍为公理（定理）；（公理填充） A-->(B-->A), A-->((A-->A)-->A)（2）等价替换原理：设命题公式A 含有子公式C （C 为命题公式），如果C ├│D ，那么将A 中子公式C 提换为命题公式D （不一定全部），所得公式B 满足A ├│B 。