高三数学一轮复习 函数的奇偶性教案
高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理
2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义
域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×
偶=偶,奇×偶=奇.
所以函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,f( )=f( -2)=f(- )= .
故选 C.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
2x3-3x+1,则f(-3)=-(-54+9+1)=44.
是奇函数,且单调递增,
故原不等式等价于 f(x)- ≤ -f(a-2x),
即(-) ≤-(--) =(2x-a+1)
,
所以 x-1≤2x-a+1,
所以 x+2≥a 在任意的 x∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在
定义域为 R,g(-x)=ln( + -x),
而 g(-x)+g(x)=ln( + -x)+ln( + +x)=0,符合题意.故选 ABD.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
2021届高三数学(理)一轮复习学案：第二章第三节 函数的奇偶性及周期性含解析
第三节函数的奇偶性及周期性[最新考纲][考情分析][核心素养]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是2021年高考考查的热点．题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度，分值为5分到10分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有1f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于2y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有3f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于4原点对称►常用结论(1)函数奇偶性的几个重要结论①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．④奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(2)有关对称性的结论①若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称．②若对于R上的任意x都有f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；若f(x)＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )关于点(a ，b )中心对称．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )f (x )的最小正周期．►常用结论定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |；若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f （x ），f (x ＋a )＝－1f （x ）(a >0)，则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和点(b ，0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、走进教材2．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案：B3．(必修4P 46A 10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 答案：1 三、易错自纠4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}解析：选D 由题意，得f (－x )＝－f (x )，∵x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0.奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致图象如图所示： 则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}，故选D ．5．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)6．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋0＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2. 答案：－2考点一函数奇偶性的判断与应用|题组突破|1．(2019届山东青岛二模)下列函数是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x sin x B ．f (x )＝x 2＋4x ＋4 C ．f (x )＝sin x ＋cos xD ．f (x )＝log 3(x 2＋1＋x )解析：选A 选项A 、B 、C 、D 中函数的定义域均为R .对于选项A ，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝(－x )(－sin x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数是偶函数；对于选项B ，f (－x )＝x 2－4x ＋4≠f (x )，所以函数不是偶函数；对于选项C ，f (－x )＝sin(－x )＋cos(－x )＝－sin x ＋cos x ≠f (x )，所以函数不是偶函数； 对于选项D ，f (－x )＝log 3(x 2＋1－x )＝log 31x 2＋1＋x ＝－log 3(x 2＋1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A ．2．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D 设F (x )＝f (x )＋x ，由已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，得F (x )＝F (－x )，即f (x )＋x ＝f (－x )－x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，∴f (－2)＝f (2)＋2×2＝5.3．(2020届贵阳摸底)若f (x )＝a －22x ＋1是奇函数，则a ＝________． 解析：解法一：因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1⇒a ＝12x ＋1＋12－x ＋1＝12x ＋1＋2x2x ＋1＝1. 解法二：因为函数f (x )是奇函数且x ∈R ，所以f (0)＝0，即a －21＋1＝0⇒a ＝1.答案：1 ►名师点津应用函数奇偶性可解决的3类问题(1)判定函数奇偶性 ①定义法 ②图象法 ③性质法设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(2)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(3)利用函数的奇偶性求值首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．考点二函数周期性的判断及应用|题组突破|4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2015)＝________． 解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2015)＝f (671×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－25．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2016)＋f (2017)＋f (2018)的值为________．解析：∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， ∴f (x )是R 上的奇函数．又f (x ＋2)＝f (－x )， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4， ∴f (2017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2016)＋f (2018)＝f (2016)＋f (2016＋2)＝f (2016)－f (2016)＝0，∴f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＝4.答案：4 ►名师点津函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．考点 函数性质的综合应用——多维探究函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主，多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合．●命题角度一单调性与奇偶性结合【例1】(2019年全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314>f (2－23)>f (2－32)C ．f (2－32)>f (2－23)>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．f (2－23)>f (2－32)>f ⎝⎛⎭⎫log 314 [解析]∵f (x )是定义域为R 的偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (log 34)． ∵log 34>log 33＝1，0<2－32<2－23<20＝1， ∴0<2－32<2－23<log 34.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (2－32)>f (2－23)>f ⎝⎛⎭⎫log 314，故选C ． [答案]C●命题角度二周期性与奇偶性结合【例2】(2020届四川五校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，1]时，f (x )＝2x ＋ln x ，则f (2019)＝________．[解析]由f (x )＝f (x ＋4)得f (x )是周期为4的函数，故f (2019)＝f (4×505－1)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(2＋ln1)＝－2.[答案]－2●命题角度三单调性、奇偶性与周期性结合【例3】已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a[解析]由①得，f (x )在[4，8]上单调递增；由②得，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故f (x )是周期为8的周期函数，所以c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③得，f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．结合f (x )在[4，8]上单调递增可知，f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .故选B ．[答案]B ►名师点津函数性质综合问题的求解方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)函数周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．|跟踪训练|1．(2019届石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选BA 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D 错误．故选B ．2.(2019届四川达州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选D ∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2.∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1，0]上单调递减，∴a >c >b ，故选D ．考点 函数性质的创新探究应用【例】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，其图象如图，关于点(0，1)对称．又f (－x )＝2－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝2，∴y ＝f (x )的图象也关于点(0，1)对称．又∵y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，∴由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称．不妨设点(x 1，y 1)与(x m ，y m )关于点(0，1)对称．点(x 2，y 2)与(x m －1，y m －1)关于点(0，1)对称，….由对称性可知x 1＋x m ＝0，x 2＋x m －1＝0，…，y 1＋y m ＝2，y 2＋y m －1＝2，….∴∑m i ＝1(x i ＋y i )＝∑m i ＝1x i ＋∑m i ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .故选B ．[答案]B ►名师点津求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴．|跟踪训练|(2019届江西南昌模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x ＋2)＝4，g (x )＝sin πx ＋2.若函数f (x )的图象与g (x )的图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．nB ．2nC ．3nD ．4n解析：选C因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sinπx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以∑ni＝1x i＝n，∑ni＝1y i＝2n，所以∑ni＝1(x i＋y i)＝3n，故选C．。
一轮复习函数的奇偶性活动单
课题8：函数的奇偶性活动目标：1. 掌握函数的奇偶性的定义及图象特征；2. 能判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决问题．活动一：基础知识梳理活动二：基础训练（见苏大P17基础训练1,2,3；P18，2）5. 已知()x f y =是偶函数，则函数()1+=x f y 的对称轴是6. 已知函数()1,21x f x a =-+若()f x 为奇函数，则a = 7.已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且其定义域为[]则,2,1a a -_______=a ，_______=b活动三：典型例题例1. 判断函数的奇偶性，并说明理由.（1）[]4,1,1)(2-∈+-=x x x x f （2）x x x f -++=11)(（3）()(f x x =-（4）()221lg )(22---=x x x f（5） ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=.1,2,1,0,1,2)(x x x x x x f （6）()R a a x f ∈=)(（7）设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是①()()f x f x ⋅-是奇函数②()()f x f x ⋅-是奇函数 ③()()f x f x +-是偶函数④()()f x f x --是偶函数 （8）已知函数,,1)(2R a xax x f ∈+=讨论)(x f 的奇偶性，并证明你的结论.（9）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（I ）求证：()f x 为奇函数；（II ）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .例2.由奇偶性求函数的解析式（1）数)(x f 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，且0>x 时，,12)(2+-=x x x f 则)(x f 的解析式为____________________.（2）函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =（3）()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f x g x x +=-，求)()(x g x f 及.例3.用奇偶性解决问题（1）若函数a x x x f +-=2)(为偶函数，则实数________=a（2）函数_______)(,2)(),(1sin )(3=-=∈++=a f a f R x x x x f 则若（3）设函数_______0)()12lg()(的取值范围是的是奇函数，则使x x f a xx f <+-= （4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(1)1(==f f ，则)4()3(f f -=____（5）奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是。
高三数学 第一轮复习 11：函数的奇偶性
高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。
奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。
[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。
模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。
（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。
（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。
（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。
高三数学高效课堂资料函数的奇偶性
D. | f (x)g(x) | 是奇函数
2.函数奇偶性的应用 （1）基础解读: 利用函数的奇偶性，可以将两个对称区间上的问题转化到一 个区间上。
（2）应用:
①（2016 潍坊一模）设函数 y f xx R 为偶函数，且 x R ，满足
f
x
3 2
f
x
当 x 0,2时，f(x)=2x x2
(1)求证：f(x)是周期函数； （2）当 x2,4 时，求 f(x)的解析式。
变式1.若x 2,6，则f (x)
2. f (0) f (1) f (2) f (2017)
四、巩固提升 知识点一：函数奇偶性的判定
思考： y f (x 1)与y f (1 x)关于那一条直线对称？
x0
1.y f (x)满足f (a x) f (b x),则y f (x)对称轴为___x__a_2_b___ 2.y f (a x)与y f (b x)对称轴为___x __b__a____
2 5x,0x 1,
其中 aR.
若
f
(
5) 2
f
(9) 2
，则
f（5a）的值是
-2 。 5
12.（2016 新课标 2）已知函数 f (x)(x R) 满足 f (x) 2 f (x) ，若函数 y x 1 与 x
m
y f (x) 图像的交点为 (x1, y1), (x2, y2 ),, (xm, ym), 则 (xi yi ) （ i 1
）B
A. 0
B. m C. 2m
D. 4m
13.设定义在[-2，2]上的偶函数 f(x)在区间[0，2]上单调递减，若 f(1-m)<f(m)，求实
高中数学一轮复习之函数的奇偶性
第7节 函数的奇偶性【基础知识】1. 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,；如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f(x)是奇函数．2．若一个函数既是奇函数又是偶函数，则解析式为()f x ＝0，但既是奇函数又是偶函数的函数不唯一，任意一个关于原点对称的区间都可以成为其定义域．3.奇函数的图象关于原点对称，反之亦然；偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦然．4．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．5．若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |),若函数()f x 是奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．6．在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【规律技巧】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【典例讲解】例1、判断下列函数的奇偶性：(1) f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3. ∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0.即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．【拓展提高】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．【变式探究】 下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x. 其中奇函数的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f (－x )＝ln(－x ＋ －x 2＋1)＝ln1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；④f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ， 又f (－x )＝3－x －3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )， 则f (x )为奇函数；⑤由1－x 1＋x>0得－1<x <1， f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－ln 1－x 1＋x＝－f (x )， 则f (x )为奇函数，∴奇函数的个数为5.【针对训练】1、判断下列函数的奇偶性：(1)(f x ；(2)()=(f x x +；()(3)f x 【答案】（1）()f x 既是奇函数，又是偶函数；（2）()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数.2、 已知函数()2m f x x－＝是定义在区间2[3]m m m －－，－上的奇函数，则f (m )＝________．【答案】1－3、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -等于( ) A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A4、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】B【综合点评】判断函数奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简最后判断f (－x )与f (x )间的关系(相等还是互为相反数)；若定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性．对于分段函数的奇偶性应分段判断．5、已知定义域为R 的函数()122x x a f x b+-+=+是奇函数，求,a b 的值． 【答案】12a b =⎧⎨=⎩【练习巩固】1、判断下列函数的奇偶性：（1）2lg(1)()22x f x x -=--； （2）222,0,()0,0,2,0,x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩ 【答案】（1）()f x 为奇函数；(2) ()f x 为奇函数2、已知函数()x f y =是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：②()()x f x f y -+=为非奇非偶函数； ③()()x f x f y --=为奇函数； ④()[]2x f y = 为偶函数． 其中正确判断的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B3、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，设）A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称【答案】C4、设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则)(x f 的值域是（ ）． A ．[10,2]- B ．[12,0]- C ．[12,2]- D ．与,a b 有关，不能确定【答案】A5、若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有( )A ．()()()230f f g <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()023g f f <<【答案】D6、已知偶函数()f x 在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且αβ>，则下列结论正确的是( )A ．(cos )(cos )f f αβ>B ．(sin )(sin )f f αβ＜C ．(sin )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<【答案】C。
高三数学第一轮复习 第10课时—函数的奇偶性教案
一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩． 解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩． （2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<- 例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++，若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．（参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A 计划》考点10，智能训练2，3， 8，9，10，11，13．。
高三数学一轮复习 7.函数的奇偶性与周期性学案
【学习目标】1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．预习案1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝a x＋a－x为函数，函数f(x)＝a x－a－x为函数；(2)函数f(x)＝a x－a－xa x＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a>0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝log a 1－x1＋x为函数；(4)函数f(x)＝log a(x＋x2＋1)为函数．5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．【预习自测】1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.2．下列函数为偶函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝ln x2＋13．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的（）A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))5．(2013·某某调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________．探究案题型一判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1 x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1a x－1＋12(a>0，a≠1)．探究1.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln 2－x2＋x；(2)g(x)＝x2＋|x－a|；(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x x≥0，x2＋2x x＜0.题型二奇偶性的应用例2.(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－1)＜0的解集为．2(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为．探究2.(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)<f(a)的实数a的取值X围是________．(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性例3.设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1f x＋1，试判断函数f(x)的周期性．例4.已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。
高三数学一轮复习教案第四节函数的奇偶性
第4课函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1.给出4个函数：①；②；③；④．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．2.（1）一次函数是奇函数的充要条件是_____________；（2）二次函数是偶函数的充要条件是_____________．3.设函数为奇函数，则实数－1 ．4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5] ．若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________ ．5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A.B.C.D.【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．解：（1）定义域为，关于原点对称；,所以为偶函数．（2）定义域为，关于原点对称；，，故为奇函数．（3）定义域为，关于原点对称；，且，所以既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为，关于原点对称；，又，，故为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则．解：设，则，．又是奇函数，，．当时，．综上，的解析式为．作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．例3. 奇函数定义在上，且在定义域内是减函数．若，求实数a的取值范围．分析：运用函数的性质脱去“外衣”．解：由，解得：．又，得，定义在上是减函数，，即，解得：．又，故a的取值范围是．点评：在上是减函数时，若设，则成立，反之，也成立．例4. 已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有．当时，．（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：函数在上是减函数；（3）解不等式．分析：赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法．（1）证明：令，则，得．令，则，即．故函数是奇函数．（2）证明：对于上的任意两个值，，且，则，又，则，又当时，．，即．故函数在上是减函数．（3）解：由（2）知：函数在R上是减函数．，．，解得．又所以解集为．点评：本题实质是过原点的一次函数模型，可结合一次函数模型分析，求解．在解决第（3）问时，应注意定义域的范围．【反馈演练】1．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ D ）A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数2．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（D）A．B．C．D．3.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数4.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___．5．设函数为奇函数，则________．6．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（－2，2）．7．已知函数是定义在上的偶函数．当时，，则当时，．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为____0 ___．9. 已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间的最小值为___－1_____．10. 已知函数是奇函数．又，．（1）求a，b，c的值；（2）问函数图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：由，得，得．又，得，而，得，解得．又，或1．若，则，应舍去；若，则．所以，．（2）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0，x0=1±∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称．11.已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围．解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设，，由得，要使在区间是增函数只需，即恒成立，则．另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数．12.已知函数，其中表示不超过x的最大整数．如：，，．（1）判断的奇偶性；（2）若，求的值域．解：（1）取特殊值得，．且，故是非奇非偶函数．（2）当时，，则，则可取2，3，4；当时，，则，则可取0，1；当时，，则，则可取0；当时，，则，则可取1；当时，．综上，可知的值域为．。
2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性 教案
1．理解函数奇偶性的定义，以及几何意义．2．能够准确的判断函数的奇偶性，并能利用函数奇偶性求函数解析式，函数值等．1．奇函数、偶函数的代数特征（1）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数；（2）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数． 2．奇函数、偶函数的几何特征 （1）奇函数图象关于原点成中心对称； （2）偶函数图象关于y 轴成轴对称． 注意：1．具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称． 2．若奇函数()f x 在原点处有定义，则()00f =．3．既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的集合．【例1】（1）已知下面四个函数中：①412x x y +=，②(ln 2y x =，③2ln 2x y x -=+，④()x xy x e e -=-，是奇函数的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【解析】对①，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()411412222x x xx x x f x f x --++-==+==，故函数为偶函数；对②，20x >恒成立，故函数定义域为R ，关于原点对称， 且()(22ln 2x x f x x --=-=(()lnln 2x f x ==-=-，故函数为奇函数；对③，由202xx->+可解得22x -<<，即函数定义域为()2,2-，关于原点对称， 且()()22lnln 22+--==-=--+x xf x f x x x，故函数为奇函数； 对④，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()x x x xf x x e e x e e f x ---=--=-=，故函数为偶函数，综上，②③为奇函数，故选B ． （2）下列函数中：①2y x =，②21(1)y x =+，③21y x =+，④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩偶函数的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】①2y x=，定义域是{|0}x x ≠，满足()()f x f x -=-，所以是奇函数； ②21(1)y x =+，定义域是{|1}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；③21y x =+，定义域是R ，满足()()f x f x -=，所以是偶函数；④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，定义域是{|0}x x ≠，当0x <时，()1()1()f x x x f x -=--=+=； 当0x >时，()1()1()f x x x f x -=+-=-=，满足()()f x f x -=，所以是偶函数， 故选C ．（3）判断下列函数的奇偶性．（1）()f x =（2）()22,0,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨-<⎩；（3）()22f x x x a =--+．【答案】（1）函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；（2）函数是偶函数；（3）答案见解析．【解析】（1）因为函数()f x =32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不关于坐标原点对称，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）易知函数的定义域为()(),00,-∞+∞，关于原点对称，又当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，0x ->，故()()2f x x x f x -=-=； 当0x <时，()2f x x x =-，则当0x >时，0x -<，()()2f x x x f x -=+=，故原函数是偶函数．（3）函数()f x 的定义域为R ，当0a =时，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数．当0a ≠时，()22f a a =+，()222f a a a -=-+，()()f a f a ≠-，且()()()2217222022f a f a a a a ⎛⎫+-=-+=-+≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数．【变式1．1】（多选）下列函数是奇函数的是（）A ．()cos f x x x =B ．()21x xf x x -=-C ．()lg f x x =D ．()x xf x e e -=-【答案】AD【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，()f x 是奇函数； 对于B ，定义域为()(),11,-∞+∞，不关于原点对称，()f x 是非奇非偶函数；对于C ，定义域为()(),00,-∞+∞，()()lg lg f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数；对于D ，定义域为R ，()()()x x x xf x e e e e f x ---=-=--=-，()f x 是奇函数，故选AD ．【变式1．2】（多选）下列函数中，是奇函数且在()0,1上单调递减的函数是（） A ．1112x y e =-+B ．3sin 3sin y x x =+C ．1lg1xy x-=+D ．1,00,01,0x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-->⎩【答案】ACD【解析】对于A ，设()1112xy f x e ==-+，该函数的定义域为R ， 且()()111121210x x f x f x e e --+=-+-=++，所以该函数为奇函数， 又函数10x y e =+>在()0,1上恒成立且单调递增， 所以函数1112x y e =-+在()0,1上单调递减，故A 正确； 对于B ，设()3sin 3sin y g x x x ==+，该函数的定义域为R ，且()()()()33sin 3sin sin 3sin g x x x x x g x -=-+-=--=-，所以该函数为奇函数，又sin y x =在()0,1上单调递增，所以函数3sin 3sin y x x =+在()0,1上单调递增，故B 错误；对于C ，设()1lg1xy h x x-==+，该函数的定义域为()1,1-， 且()()11lglg 11x xh x h x x x+--==-=--+，所以该函数为奇函数， 又12111x y x x-==-+++在()0,1上单调递减， 所以函数1lg1xy x-=+在()0,1单调递减，故C 正确； 对于D ，设()1,00,01,0x x y p x x x x -+<⎧⎪===⎨⎪-->⎩，定义域为R ， 且当0x >时，()()1p x x p x -=+=-；当0x <时，()()1p x x p x -=-=-， 所以该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()1p x x =--，单调递减，故D 正确， 故选ACD ．1．函数奇偶性的判断方法 （1）定义法①判断函数的定义域是否关于原点对称 ②计算()f x -③判断()f x -与()f x 的关系：当()()f x f x -=或()()0f x f x --=时，()f x 为偶函数； 当()()f x f x -=-或()()0f x f x -+=时，()f x 为奇函数； 当()()f x f x -≠或()()0f x f x --≠时，()f x 为非奇非偶函数． （2）奇偶性的“运算”①奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数②奇函数⨯奇函数=偶函数，奇函数⨯偶函数=奇函数，偶函数⨯偶函数=偶函数 2．常见的奇偶性模型①()x x f x a a -=+()0,1a a >≠且为偶函数； ②()x x f x a a -=-()0,1a a >≠且为奇函数；③()x xx x a a f x a a ---=+()0,1a a >≠且为奇函数；④()log a b xf x b x-=+()0,1,0a a b >≠≠且为奇函数；⑤())log af x x=()0,1a a >≠且为奇函数；⑥类似于()432f x ax bx cx dx e =++++这种由幂函数乘以一个系数再相加形式的函数， 当()f x 为奇函数时，偶次项系数都为0，即0,0,0a c e ===； 当()f x 为偶函数时，奇次项系数都为0，即0,0b d ==． 3．分段函数的奇偶性判断判断分段函数的奇偶性，应判断每段期间上()f x 与()f x -的关系，只有每段函数都满足相同的奇偶关系，我们才能说函数具有奇偶性．【例2】已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．52【答案】B【解析】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-，故选B ．【变式2．1】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且当()0,x ∈+∞时，()2xf x =，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】5-【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2211log log 055f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2log 5221log log 5=255f f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，故答案为5-．【例3】已知3()1f x ax bx =++，且()57f =，则()5f -的值是（） A ．－5 B ．－7 C ．5 D ．7【答案】A【解析】因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+，则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-， 所以()()551615f g -=-+=-+=-，故选A ．【变式3．1】已知()()tan 6x xe f x x e -=⋅++，()8f t =，则 ()f t -=______．【答案】4【解析】∵()()6tan x xe f x x e --=⋅+，∴()()()6tan()tan ()[()6]x x x x e f x x ex e f e x ------=-⋅+=-⋅+=--， 即()6f x -为奇函数，∴()6()6f t f t --=-+，故()12()1284f t f t -=-=-=， 故答案为4．【变式3．2】已知函数()22421x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于___________． 【答案】8 【解析】()2244244212121x xx xx x x xf x +++⋅++===++++，()21x xg x =+， 因为()()2121xxx x g x g x ---==-=-++，所以函数()21xx g x =+是奇函数，因此()min max ()0g x g x +=，因此max min ()4()48M m g x g x +=+++=， 故答案为8．【变式3．3】已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=__________．【答案】32-【解析】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=， 即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-， 故答案为32-．【变式3．4】已知3sin x x m +=，311sin 288y y m +=-，且π,4π,,4x y m ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭R ，则πtan 23x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭_________．【解析】设3()sin f x x x =+，因为()()()33()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以3()sin f x x x =+是奇函数，又331(2)8sin 28sin 28f y y y y y m ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，()(2)0f x f y m m ∴+=-=，20x y ∴+=，tan 2ππtan33x y ⎛⎫∴++== ⎪⎝⎭【例4】已知函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅，则函数()f x =__________． 【答案】33x x -+【解析】因为()()23x f x g x +=⋅，所以()()23x f x g x --+-=⋅， 又(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-；所以()()()()23xf xg x f x g x --+-=-=⋅，则()()()()2323xx f x g x f x g x -⎧+=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩， 两式相加得()22323x x f x -=⋅+⋅，所以()33x xf x -=+，故答案为33x x -+．【变式4．1】已知函数)(f x 是定义在R 上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当)(,0x ∈-∞时，)(f x =_________． 【答案】21x x --+【解析】函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()2211f x x x x x -=----=+-，故()()21f x f x x x =--=--+，故答案为21x x --+．【例5】已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =--，则当0x <时，()f x =_________． 【答案】23x x -【解析】当0x ≥时，()23f x x x =--，当0x <时，则0x ->，∴()()()2233f x x x x x -=----=-+， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，()22()()33x x x x f x f x =--=--+=-，故答案为23x x -．【变式5．1】定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()f x g x +=432421x x x +-+，若()2522f x a a ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．31,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．31,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．13,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()432421f x g x x x x +=+-+，所以()()()()432432421421f x g x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-+-=--+⎪⎩， 所以()()()()432432421421f xg x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-=--+⎪⎩，所以()42421f x x x =-+， 因为x ∈R ，所以20x ≥，令2t x =，则0t ≥，()()2421f x h t t t ==-+，由二次函数的性质知()h t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()211134214444h t h ⎛⎫⎛⎫≥=⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 因为()2522f x a a ≥-恒成立，所以253224a a -≤，解得1342a -≤≤，所以实数a 的取值范围为13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ．【例6】已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且()3f a -=，则a =（） A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【答案】B【解析】函数()f x 为奇函数，(3)(3)f f a ∴-=-=．又2()log (1)f x x ax =++，则2(3)log 43f a a =+=-，解得12a =-，故选B ．【变式6．1】已知()g x 是定义在R 上的奇函数，()()2f xg x x =+，若()2f a =，2(2)f a a -=+，则a =（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．2或1【答案】C【解析】()g x 是奇函数，()()0g x g x ∴+-=，2()()2f x f x x ∴+-=， 而()2f a =，2(2)f a a -=+，所以2422a a +=，解得2a =或1-， 故选C ．【例7】已知函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，则()f a =（）A ．1e e-B ．1C ．1e e -D ．1e e+【答案】A【解析】函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，可得()f x 在定义域R 上为奇函数， 根据奇函数性质()()f x f x -=-， 令0x =，可得()00f =， 又()0000f e ae =+=，1a ∴=-，()x x f x e e -∴=-，故()()1111f e e a f e e--==-=-，故选A ．【变式7．1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()6f -=__________． 【答案】2- 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，又当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()2log (02)00f t =∴++=，1t ∴=-，∴当0x ≥时，2()log (2)1f x x =+-，()()[]()322log (626)1log 2621f f +-=-∴-=-=--=-， 故答案为2-．【例8】已知函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式()()20x f x -<的解集为（）A．(()2,+∞B．()+∞C ．()2,+∞D．()2【答案】A【解析】因为函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()222222ax a x a ax a x a -++=+++，所以2(2)0a x +=，所以20a +=，得2a =-，所以()224f x x =-+，所以不等式()()20x f x -<可转化为20()0x f x -<⎧⎨>⎩或20()0x f x ->⎧⎨<⎩，即22240x x <⎧⎨-+>⎩或22240x x >⎧⎨-+<⎩，解得x <<或2x >，故原不等式的解集为(()2,+∞，故选A ．【变式8．1】已知函数()22x xa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于__________． 【答案】13-或3【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即2222x xx xa a a a ----=-++， 212212212212x x x x x x xx a a a a a a ⋅--⋅-∴==⋅++⋅+，整理可得222222x x x x a a -⋅=⋅-， 21a ∴=，解得1a =±．当1a =时，()1212xx f x -=+，()()1211123f a f -∴===-+； 当1a =-时，()1212x xf x +=-，()()11213112f a f +∴=-==-， 综上所述：()13f a =-或3，故答案为13-或3．【变式8．2】已知函数())lnf x x =是奇函数，则a =_________．【答案】1【解析】函数())lnf x x =是奇函数，()()f x f x ∴-=-，))lnln x x ∴=-，即))ln ln 0x x +=， )ln 0x x =，)1x x ∴=，1a ，故答案为1．【例9】已知()21f x ax bx =-+是定义域为[],1a a +的偶函数，则2b a a -=（）A ．0B ．34CD ．4【答案】B【解析】∵()21f x ax bx =-+在[],1a a +上是偶函数，∴1a a -=+，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()2112f x x bx =--+，∵()f x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以有1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，代入解析式可解得0b =， ∴213144b a a -=-=，故选B ． 【变式9．1】已知函数()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，则a =（） A ．1- B ．12C ．12- D ．1【答案】D【解析】函数的定义域为{1x x ≠-且}x a ≠， 因为()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，所以定义域关于原点对称，则1a =，所以()()()2sin sin 111x xx x x f x ==+--，因为()22sin()sin ()()11x xf x x x f x --===-----，满足()f x 为奇函数，故选D ．【变式9．2】设函数()f x ，()g x 均是定义在241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦上的偶函数和奇函数，且满足()()2221x f x g x x +=++，则()f m 的值为（）A ．12 B ．32C ．134D ．174【答案】D【解析】∵函数()f x ，()g x 均是定义域为241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦的偶函数和奇函数，即有24122m m m +=++，解得1m =，∵()()()()()22221221x xf xg x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-+-=+-+⎪⎩， ∴有()()()()22221221x x f x g x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-=++⎪⎩，解得()()2122212x x f x x -=+++， ()()1714f m f ∴==，故选D ． 【例10】已知奇函数()22,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩，则不等式()13x f x ++≤的解集为________． 【答案】(],1-∞【解析】因为()f x 是奇函数且()10f =，所以()10f -=，所以1a =-，所以不等式()13x f x ++≤等价于()()210113x x x x +≥⎧⎪⎨++-+≤⎪⎩或()()210113x x x x +<⎧⎪⎨-+-+≤⎪⎩，所以1x ≤，所以不等式()13x f x ++≤的解集为(],1-∞，故答案为(],1-∞．【变式10．1】已知函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 则α=__________． 【答案】7π6【解析】函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 设0x <，则0x ->，()2sin(π)3x f x x +-+-=，()()2sin(π)3f x x f x x -=--∴=--+，即22cos()sin()3πx x x x α---++=-+，πcos()sin()sin()π32x x x αα∴+=-=++，故π2ππ23x x k α-=+++，5π2π,6k k α∴=--∈Z ， 当1k =-时，满足7π6α=， 故答案为7π6．1．利用函数的奇偶性求参数值的方法（1）若函数定义域含有参数，则可以利用奇（偶）函数定义域关于原点对称的性质求解；（2）若函数解析式含参数①对于在0x =处有定义的奇函数，利用()00f =求解； ②可以利用奇（偶）函数()f x 与()f x -的关系求解．一、选择题．1．若函数()2f x x =，()cosg x x x =，则（）A ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数B ．()f x 与()g x 均为偶函数C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数D ．()f x 与()g x 均为奇函数【答案】C【解析】22()()()f x x x f x -=-==且定义域为R ，则()f x 为偶函数；()()cos()cos ()g x x x x x g x -=--=-=-且定义域为R ，则()g x 为奇函数， 故选C ． 2．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数， 故选B ．3．已知函数()1lg 1x f x x +=-，()(),11,x ∞∞∈--+，()f a b =，则()f a -=（）A ．bB ．b -C ．1bD ．1b-【答案】B【解析】由题得()(),11,x ∞∞∈--+，()111lglg lg ()111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-，所以函数()f x 是奇函数，所以()()f a f a b -=-=-，故选B ． 4．若函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．1-【答案】A【解析】因为函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，由题意得100x x a +≠⎧⎨-≠⎩，即1x x a ≠-⎧⎨≠⎩，所以1a =，又当1a =时，2()(1)(1)1x xf x x x x ==+--，满足()()f x f x =--，函数()f x 是奇函数，所以1a =成立， 故选A ．5．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =-，则当0x <时，()f x =（）A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()1x f x e -∴-=-，设()f x 为奇函数，()1x f x e -∴-=-，即()1x f x e -=-+，故选D ．6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()3x f x a +=-（a 为常数）则(1)f -的值为（） A ．6- B ．3-C ．2-D ．6【答案】A【解析】由题意知：(0)0f =，即30a -=，则3a =， ∴0x ≥时，1()33x f x +=-，由奇函数对称性知：2(1)(1)(33)6f f -=-=--=-，故选A ． 二、填空题．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)2f =，(1)3f =．写出()f x 的一个解析式为__________．【答案】2()2f x x =+（答案不唯一）【解析】二次函数2()f x ax b =+，显然满足()()f x f x -=，所以该函数是偶函数， 由(0)22f b =⇒=，由(1)3231f a a =⇒+=⇒=，所以2()2f x x =+， 故答案为2()2f x x =+． 8．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 【答案】1【解析】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 222121x x x x ax ax ---=+--，222121x x a a ---=+--，222202121xxx a ⨯+-=--， 即22a =，所以实数1a =， 故答案为1．9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12xx a x f =+-，则()()3f f =________． 【答案】11【解析】()010f a =-=，1a =，当0x <时，0x ->，()()12xx f f x x -=-+-=--，即()12xf x x -=-+，()12,00,012,0x x x x f x x x x -⎧+->⎪==⎨⎪-+<⎩， ()34234f =-=-，()414521f =-+=-，()()311f f =， 故答案为11．10．函数22(1)22()1x xx f x x -++-=+在区间[2021,2021]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=___________．【答案】2【解析】222(1)22222()111x x x xx x f x x x --++-+-==+++， 设2222()1x x x g x x -+-=+，则()2222()1x xx g x g x x --+-==-+-，则()g x 为奇函数， ∴函数()f x 的最大值为1T +，最小值为1T -+，则1M T =+，1m T =-+，2M m ∴+=， 故答案为2．11．函数()()()2x a bx a f x -=+（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为[)10,-+∞，则该函数的解析式()f x =__________． 【答案】2210x -【解析】()()()()22222x a bx a bx a b x a f x -+=-=+-，定义域为R ，()()2222bx a f b x a x -=---，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()20a b -=，即0a =或2b =．当0a =时，()2f x bx =，值域不是[)10,-+∞，舍去； 当2b =时，()222222f x a x a =-≥-，所以2210a -=-，则()2210f x x =-，故答案为2210x -． 三、解答题．12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1 【解析】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+．（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =-．13．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时，()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦． 所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩． （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．。
高考数学一轮复习-函数的奇偶性与周期性教案
函数的奇偶性与周期性一、考纲要求函数的奇偶性与周期性 B 二、复习目标1．理解函数奇偶性的定义；2、会判断函数的奇偶性；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数 周期性的定义；5、会求周期函数的周期。
三、重点难点函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。
四、要点梳理1．奇、偶函数的定义：对于函数 f (x)定义域内的任意一个 x ,都有_______________，称 f (x)为偶函数，对于函数f (x)定义域内的任意一个 x ,都有________________，称 f (x)为奇函数． 2．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称； （3）若奇函数的定义域包含0，则_____________；（4）在偶函数中， f ( x )f (x)．（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数 的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数.（填“奇”，“偶”） 3．对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都 有 ，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 叫做f(x)的最小正周期． 就 5．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；1 1(2)若f(x ＋a)＝ ，则T ＝2a ； (3)若f(x ＋a)＝－ ，则T ＝2a.(a>0)fx fx五、基础自测1．对于定义在R 上的函数 f (x)，下列命题正确的序号是___________． （1）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)是偶函数； （2）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数； （3）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是奇函数； （4）若 f (x)是偶函数，则 f (2) f (2)． 2．给出4个函数：① f (x) 1 x2 1x ；④ f (x) x1． 3x 4；② f (x) 2x 5；③ f (x) lg1 xx 1 既不是奇函数也不是偶函数．其中是奇函数； 是偶函数； 3．已知函数 f (x)4x2bx 3a b 是偶函数，其定义域是 [a 6,2a]，则点 a,b 的坐标为__________．3，且f (1) 2，则f(2014)＝________. 2 4．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) f x x a5．若函数 f (x)在[1,1]上是奇函数，则 f (x) x bx 12．六、典例精讲: 例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1） f (x) (1 2x ) 21x ；（2） f (x) lg(xx21)；（3） f (x)(1x) 1 x； 2xx 2| x1| 1；（5） f (x)x 11 x2；(6) f (x)22x (x ≥0),（4） f (x)x x 2x (x 0).例2：设 f (x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有 f (x 2) f x ．当x∈[0,2]时，f (x) 2xx 。
高考数学第一轮考点复习课件 函数的奇偶性
(4)由1x2－－x12≥≥00，， 得 x2＝1， ∴x＝±1，且 f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
▪
▪ 判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是 否关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关 系.
变式迁移 1 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) 11－＋xx； (2)f(x)＝|xlg2－(1－2|－x2)2.
f(x－，x)＝都f(有x)
，那么函数f(x)就
叫做偶函数．
▪ (2)如果对于函数f(x)奇定函义数域内任意一个 x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(奇x)偶就性叫 做 ．如果函数f(x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数f(x)具有 ．
▪ 2．具有奇偶性的函数的图象特点
▪ 一般地，奇函数的图象原关点于 对称，反
过来，如果一个原点函数的图象关于 对称，
那么这个函数是奇y轴函数；偶函数的图象关
于 对称，反过来，如果一偶函个数函数的图
象关于y轴对称，那么这个函数是
．
▪ 3．函数奇偶性的判定方法
▪ (1)根据定义判定，首先看函数的定义 原域点是否关于 对称，若不非对奇称非，偶 则函数是
函数；若对称，再判定f(－x)＝ f(x)或f(－x)＝－f(x)．有时判f定(x)f＝(－0 x)＝ ±f(x或)比±判较1定困难，可考虑判定f(－x)±
▪ 因为∀x1，x2∈R，且x1<x2，均有x<x， 从而x＋x1<x＋x2.
________.
▪ 解析：∵f(x－4)＝－f(x)， ▪ ∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－
8)．
第三讲+函数的奇偶性与周期性课件-2025届高三数学一轮复习
f(x)＝x－2－x22－x，2xx，≥x0<，0， 画出函数 f(x)的图
象，如图 2-3-1，观察图象可知，函数 f(x)的图象
关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(－1，
1)上单调递减.故选 C.
图 2-3-1
答案：C
(2)(多选题)(2023 年辽宁省月考)已知 f(x)是定义在 R 上不恒为 0 的偶函数，g(x)是定义在 R 上不恒为 0 的奇函数，则( )
答案：C
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题 通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期 性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定 义域内求解.
[例 4](2023 年未央区模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)
＝f(2－x)，当 x∈[0，1]时，f(x)＝ax3＋2x＋a＋1，则 f(2 023)＝
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函
数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么 函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
即(－x＋a)ln
22xx＋ －11＝(－x＋a)ln
22xx＋－11－1＝(x－a)ln
2x－1 2x＋1
＝(x＋a)ln 22xx－ ＋11，
∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得 a＝0.故选 B. 答案：B
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案含解析
第3讲函数的奇偶性与周期性［考纲解读］ 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)［考向预测］从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有错误!f（－x)＝f(x)，那么函数f（x)就叫做偶函数关于错误!y轴对称奇函一般地，如果对于函数f关于错误!原点数（x)的定义域内任意一个对称x，都有错误!f（－x）＝－f（x），那么函数f（x)就叫做奇函数2．周期性（1）周期函数：对于函数y＝f（x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有错误!f(x＋T)＝f（x）,那么就称函数y＝f(x）为周期函数,称T为这个函数的周期．(2）最小正周期：如果在周期函数f(x）的所有周期中存在一个错误!最小的正数，那么这个错误!最小正数就叫做f（x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0”是“函数f（x）在区间［a，b]（a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(）(2）若函数f（x）是奇函数，则必有f（0）＝0。
()（3）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称．（）（4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b,0）中心对称．(）(5）已知函数y＝f（x)是定义在R上的偶函数，若在（－∞，0)上是减函数，则在（0，＋∞）上是增函数．()(6)若T为y＝f（x)的一个周期,那么nT（n∈Z）也是函数f(x）的周期．()答案（1）√(2)×(3)√（4）√（5)√（6）×2．小题热身（1)下列函数中为奇函数的是(）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝｜ln x｜D．y＝2－x答案A解析A是奇函数,B是偶函数,C，D是非奇非偶函数．(2）若f(x)是R上周期为2的函数,且满足f(1）＝1,f(2)＝2,则f(3）－f(4）＝________。
高三数学一轮复习 函数的奇偶性和周期性教案
城东蜊市阳光实验学校仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的奇偶性和周期性1教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。
学情分析：大多数学生理解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应用，对函数的周期的求法还没有掌握。
教学目的：结合详细函数，理解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。
教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。
教学流程：一、回忆上节课内容〔问答式〕C1.奇偶函数的判断根本步骤：〔1〕先求定义域，定义域不对称那么函数为非奇非偶函数；〔2〕定义域对称那么利用定义判断函数奇偶性。
C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点〔0，0〕对称；偶函数关于y轴对称。
二、函数的周期C1.周期的概念对于函数f(x)，假设存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的周期，假设所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。
C 判断：最小正周期一样的两个函数的和，其最小正周期是不变。
答：错,不一定不变2.周期函数的性质C(1)周期函数不一定有最小正周期，假设T≠0是f(x)的周期，那么ｋT(k∈Z,k≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。
〔2〕如何判断函数的周期性:⑴定义;⑵图象;⑶利用以下补充性质：设a>0，C-①函数y=f(x),x∈R,假设f(x+a)=f(x-a)，那么函数的周期为2a 。
B-②函数y=f(x),x∈R,假设f(x+a)=-f(x)，那么函数的周期为2a 。
B-③函数y=f(x),x∈R,假设，那么函数的周期为2a 。
B-④函数f(x)时关于直线x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b- 理解证明过程：证明：由得： ||2a b T -=∴ B 特例：假设函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，那么其周期为T=2a 。
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浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的奇偶性
教材分析：函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。
学情分析：学生大多了解函数的奇偶性概念，但对判断函数奇偶性的判断和应用还没有掌握。
教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶性，利用图像研究函数的奇偶性。
教学重点、难点：函数奇偶性的判断，结合图像解决函数的奇偶性问题。
教学流程：
一、
二、函数奇偶性的判断
▲例题分析（先思考，再动笔，逐步讲解）
C-1．判断下列函数的单调性。
（1）y=x2 +1
（2）y=x
提示：利用图像判断；利用定义判断。
C-2．
B-3
B-4.
小结：判断奇偶性一般步骤
1.先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数；
2.定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。
▲课堂练习及分析：
判断下列函数的奇偶性并说明理由。
反思
三、▲函数奇偶性应用例题分析B-
A-
练习A-
四、课后作业。