全国版五年级数学思维教材(秋季)

目录第一讲质数与合数 (2)第二讲分解质因数 (5)第三讲格点图形面积 (9)第四讲割补法求面积 (13)第五讲流水行船问题 (17)第六讲位值原理 (21)第八讲倍数关系求面积 (24)第九讲加乘原理问题 (29)第十讲因数与倍数 (34)第十一讲公约数与公倍数 (38)第十二讲列方程解应用题 (42)第十三讲往返相遇与追及问题一 (46)第十四讲往返相遇及追及问题二 (53)第一讲质数与合数小热身：判断下面的数能否拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）6、9、11、24、29、35、37、87、10、16知识精讲什么是质数?每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式,所以不考虑1作为乘数的情况:6=2×3,8=2×4=2×2×2、12=2×6=3×4=2×2×3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式,我们把这样的数称为合数.而像2、3、7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数,我们称之为质数.如果说得形象一点,质数就是“折不开”的数,合数就是拆得开的数.严格说来,质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外,还能被其它数整除的数,注意：1既不是质数也不是合数.100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.质数是我们后面学习的基础,因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.当然,上面的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数,比如接着100的就有四个质数:101、103、107、109.例1：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友、幼长相亲同切磋；比赛联谊欢声响、念一笑慰来者多；九天九霄志凌云、九七共庆手相握；聚起华夏中兴力、同唱移山壮丽歌.将诗中56个字第一行左边第一字起逐字编为1-56号、再将号码中的质数由小到大找来、将它们对应的字依次排成一行、组成一句话、请写出这句话.练1：自然数N是一个两位数、它是一个质数、而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有哪几个？知识精讲两个不同质数相加，如果和是奇数、根据奇+偶=奇、其中一个加数肯定是2、因为2是唯一的质偶数；如果和是偶数、根据奇+偶=偶、两个加数都是奇数.例2：如果两个不同的质数相加等于25、那么这两个质数的乘积是多少？练2：如果两个不同的质数相加等于15、那么这两个质数的乘积是多少？例3：如果两个不同的质数相加等于26、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出. 练3:如果两个不同的质数相加等于16、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.例4：三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出. 练4：如果三个互不相同的质数相加、和为52、这三个质数可能是多少？思维拓展甲、乙两人的年龄和为一个两位质数、这个数的个位与十位数字的和是13、甲比乙大13岁、那么乙今年多大？第二讲分解质因数小热身：尝试把下面的数分别拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）：12、25、39、87、121、134、345.知识精讲通过前面的学习、我们知道了质数与和合数的概念.而每个合数也都可以写成几个质数相乘的形式、比如30=2×3×5.其中质数2、3、5、我们称之为30的质因数、那么这个拆分的过程就叫做分解质因数.同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好、每个数分解质因数的形式是唯一的.我们一般使用短除法来分解因数.如下图所示、我们将30分解质因数、在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.能整除30的质数2 相除后得到的商3100在分解质因数时也可以写成：100=2²×5²；280在分解因数时也可以写成280=2²×5×7.这种写法更简洁更方便、其中位于质因数右上角、表示质因数个数的数叫作指数、如：指数指数100=2²×5²280= 2³×5×7这里280的分解式中5和7的指数都是1、写的时候可以省略.例1：请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）999.练1：请把下面的数分解质因数：（1）370；（2）12660知识精讲分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法、大家一定要能熟练的将一个数分解质因数、这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决问题.例2：三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数.求这三个数.练2：3个连续自然数的乘积是210，这三个自然数分别是多少？知识精讲通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样、把整数解剖开来、让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题、如果从分解质因数的角度来看、就变得非常简单.例3:算式1×2×3×…×100的计算结果的末尾有多少个连续的0？练3:算式1×2×3×…×30的计算结果的末尾有多少个连续的0？例4:算式31×32×33×…×200的计算结果的末尾有多少个连续的0？练4:算式11×12×13×…×75的计算结果的末尾有多少个连续的0？思维拓展三个连续自然数的乘积等于39270、那么这三个数的和等于多少？第三讲格点图形面积小热身：（1）已知一个三角形的一条边长为8、这条边上的高是6、那么三角形的面积是多少？（2）已知一个长方形的面积为60、长为12、那么宽是多少？（3）已知一个正方形的边长为6、那么面积是多少？（4）已知一个平行四边形的面积为20、底为5、该底所对应的高是多少？知识精讲在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积、用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形.虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点.将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，有时我们把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积、这种方法称为“添补法”.分割法，正所谓“大事化小”、把不规则的大图形化为規则的小图形.添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.使用割补法的时候，一般应该从形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质.例1：图中每个小正方形的面积是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？练1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米、那么阴影部分的面积分别是多少平方厘米？知识精讲对于简单的格点图形、都可以使用割补法计算面积，但是对于复杂的格点图形，使用割补法会非常繁琐，有没有更简单明了的方法呢？我们接下来看一个简单快捷的方法，从格点数入手.围成阴影部分的边线、经过了一些格点.这些边界上的格点叫做边界格点、简称边点；格点图形还完全盖住了一些格点、这些图形内部的格点叫做内部格点、简称内点.正方形格点图形面积＝（内点＋边点÷2-1）×单位正方形面积；三角形格点图形面积＝（2×内点＋边点－2）×单位三角形面积.例2：图中相邻格点围成的小正方形的面积均为1平方厘米.这个多边形的面积是多少平方厘米？练2：图中相邻格点围成的最小正方形面积为1平方厘米，这个多边形的面积是多少平方厘米？例3：如图，每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？练3：如图、每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？例4：如图、每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？练4:如图、每个最小等边三角形的面积都是2平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？思维拓展图中每个小三角形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？第四讲割补法求面积小热身：(1)已知一个长方形的面积为72、长是12、那么宽是多少？(2)已知一个正方形的边长为5、那么面积是多少？(3)已知一个正方形的对角线为6、那么面积是多少？(4)已知一个平行四边形的面积为10、底为5、那么这个底所对应的高是多少？知识精讲我们学习了如何计算格点图形的面积、介绍了正方形格点面积计算公式.根据公式、我们可以求出正方形格点面积是最小正方形面积的几倍.随着几何学习的步步深入大家会发现除了用公式法直接求面积之外、还有很多简介求面积的方法.尤其是对于不规则图形、我们并不知道这些图形的面积公式、但是通过分割、添补等各种方法把它们变换为规则的图形.例1：图中的数分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：厘米）练1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：厘米）例2：如图所示、正方形ABCD内部有一个长方形EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米、图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.练2：如图所示、在正方形ABCD内部有一个长方形CEF.已知正方形ABCD的边长是12厘米，图中线段AE、AF都等于4厘米.求三角形CEF的面积是多少平方厘米？例3：如图所示、大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形最近的一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练3：如图所示、大正三角形的边长为10平方厘米.连接大三角形的各边中点得四个小正三角形、取各个小正三角形的中心、再将小正三角形的中点和顶点相连、得到三个一样的小三角形、那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例4：如图，是把两个同样大小的正方形分别分成的方格表.左图阴影部分的面积是162、请问：右图中阴影部分的面积是多少？练4：如图，把两个相同的正三角形分别分成三等分和四等分、并连接这些等分点。

已知左图中阴影部分的面积是48平方分米.请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？思维拓展如图所示、已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数、这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）第五讲流水行船问题小热身：小高和小斯相距360米、小高和小斯的跑步速度分别为5米/秒和7米/秒、同时出发、那么如果两个人相向跑去、要多久相遇？如果小斯在后面追小高、要多久追上？知识精讲如同飞机在飞行的时候会受到风速的影响一样,当船在水中航行时,也会受到水速的影响,具体是怎样的影响,我们现在就来研究一下.当船在水中航行时,如果水是静止不动的,那船的行驶速度就只由船本身决定,这个速度称为船的静水速度,即船本身的速度.大家可以设想一下,如果船本身停止运动,那么它还是会顺着水流前进,这时的速度等于水流的速度,我们可以把水流的速度简称为水速.当船顺水而行时,船的静水速度和水速会叠加起来,行驶速度会变快,此时的速度我们称之为顺水速度;反之,如果船逆水而行,水速会抵消掉一部分船本身的速度,行驶速度会变慢,此时的速度我们称之为逆水速度.下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法:顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度一水速；很容易的,根据和差问题的计算方法,我们可以得到如下结论:水速=(顺水速度一逆水速度)÷2；静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2.这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式.下面我们就利用这四个公式,解决几个典型的流水行船问题.例1:甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度.练1:一艘飞艇，顺风6小时行驶了900千米、在同样的风速下、逆风行驶600千米，也用了6小时.那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000千米要用多少小时？例2:甲河是乙河的支流、甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米.一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米.这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？练2:A.B两港相距120千米.甲船的静水速度是20千米/时，水流速度是4千米/时.那么甲船在两港间往返一次需要多少小时？知识精讲下面我们来看看流水行船问题中的相遇与追及问题.通过一些具体的例子我们可以发现，如果两船相向而行，两船的速度和就是静水速度之和；如果两船同向而行、两船的速度差就是静水的速度之差.因此、相遇时间和追及时间与水速大小无关.例3:A.B两码头之间河流河流长为300千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行5小时相遇，如果同向而行10小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.练3:A、B两码头间河流长为24千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航.如果相向而行2小时相遇，如果同向而行12小时甲船追上乙船.求甲船在静水中的速度.例4:小高在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟60米，求水流速度.练4:小斯在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶、向前又游了10分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟70米，求水流速度.思维拓展甲、乙两船分别从A港出发逆流而上行驶180千米外的B港、静水中甲船每小时航行15千米、乙船每小时行12千米、水流速度每小时3千米.乙船出发两小时、甲船出发、当甲船追上乙船的时候、甲已离开A港多少千米？若甲船到达B港之后立即返回、则甲、乙两船相遇地点离刚才甲追上乙船的地点多少千米？第六讲位值原理小热身：（1）1000+200+30+4=___________.（2）20000+200+2=____________.知识精讲在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定．比如一个数由1、2、3三个数字组成、我们并不能确定这个数是多少、因为1、2、3能组成很多数、例如213、321、123、132、……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123.1 2 31个100 2个10 3个1从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123＝1x100＋2×10＋3x1，这个结论被称为位值原理，有的时候，为了分析问题方便，我们井不将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456＝23×1000+45×10＋6、我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用.例1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数.练1：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例2：在一个两位数的数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数.练2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数.例3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7．试求两个数的差．练3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少?知识精讲在出现若干个多位数的位值原理问题中、单个的多位数条件有限、无从下手、这个时候可以考虑、先用位值原理将字母表示的多位数展开、观察特性、从而更轻松地解决问题.例4：从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是1998，这三个数字和是多少？这六个三位数中最大的数是多少？练4：从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2886，这三个数字和是多少？这六个三位数中最大的数最大是多少？思维拓展在等式“祝福母亲节=母亲节祝福×五÷月”中、相同的汉字代表相同的数字、不同汉字表示不同数字，”其中“五”代表“五”、“月”代表“8”、那么“祝福母亲节”所代表的五位数是多少？第八讲倍数关系求面积小热身：1、有一个大三角形和一个小三角形、大三角形的底是小三角形底的2倍、它们高相等、那么大三角形的面积是小三角形面积的几倍？2、如右图、已知A、B、C的面积分别是6、3、2、那么D的面积是多少？知识精讲迄今为止、同学们已经学会了很多图形计算面积的方法。