不动点法求数列的通项(讲座)

不动点法求数列的通项

惠来县第一中学 方文湃

自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。

记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。

一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列

由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为

a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a,

b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ

∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２）

关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。

令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n

一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。 例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21

a n (n ∈N +),求lim ∞

→n a n 。 解：令x=1－

21x 得x=32

a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －3

2)

令b n =a n －32，则b n+1=－2

1

b n

∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－21

的等比数列，于

是有

b n =31(－21)n －1即a n －32＝31

(－21)n

－1 ∴a n =32[1－31(－21)n ]

∴lim ∞

→n a n =

3

2

限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。

二、递推式为a n+1=

d

ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列

a n+1－λ=

d

ca b aa n n ++－λ＝

d

ca d b a c a n n +-+-λ

λ)(=

d

ca c a d b a c a n n +--+

-))((λλ

λ 令λ＝－

λλ

c a

d b --可化得 λ＝

d

c b

a ++λλ …………………………（３） 关于λ的方程（３）刚好是递推式a n+1=d

ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不

动点方程。

○

1当方程（３）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝

d ca a c a n n +--)

)((11λλ

a n+1－λ２＝

d

ca a c a n n +--)

)((22λλ

∴

2111λλ--++n n a a ＝21

λλc a c a --•2

1λλ--n n a a

令b n =

21λλ--n n a a 有b n ＋１＝

2

1

λλc a c a --•b n

一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，后求数列{a n }的通项。 例２：数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=31

3++n n a a （n ≥1）给出，求lim ∞

→n a n 。 解：令x=

3

1

3++x x ,得x 1 =1,x 2 =-1，于是有

a n+1- 1 =

3

)

1(21313+-=-++n n n n a a a a a n+1+1 =

3

)

1(41313++=+++n n n n a a a a ∴

1111+-++n n a a =21·11+-n n a a

设b n =

11+-n n a a ,则b n+1 =2

1

b n

这样数列{b n }成首项为b 1 =

1111+-a a =31,公比为2

1

的等比数列, 于是b n =31·1)2

1

(-n , 由b n =11+-n n a a 得a n =n

n b b -+11=11

)21(311)21

(311--⋅-⋅+n n

∴

lim ∞

→n a

n

=1

○

2当方程（３）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝

d

ca a c a n n +--)

)((λλ得

λ

-+11n a ＝

))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ

c a c

-＋))((λλλ--+n a c a c d

设c n =

λ

-n a 1

得c n ＋１＝

λλc a c d -+•c n ＋

λ

c a c

- 即数列{c n }的递推式总可化为“c n ＋１＝ac n +b （a ，b 为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列{c n }的通项，从而求数列{a n }的通项。

例３:在数列｛a n ｝中，a n =1, a 1+n = 2

2+n n

a a (n=1,2……)。求a n 。 解：令x=2

2+x x

,得x 1=x 2=0 设b n =

n a 1,则由a 1+n =22+n n a a 可得b 1+n =b n +2

1