用方程思想解几何题
茶陵县五中九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题教案
6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.【教学重点】实际问题中的等量关系如何找.【教学难点】根据等量关系设未知数列方程.一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.三、运用新知，深化理解1.见教材P52例1.2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）A.37B.5C.38D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，解得x1=1，x2=112-（不合题意应舍去）.即花边的宽度为1m.5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为352x-m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm，则AB=CD=352x-m，依题意可列方程为x·352x-=150，解这个方程，得x1=20，x2=15.（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=352x-m，从而有x·352x-=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；（2）△ABC的面积的一半等于12×12AC·BC=12（cm2），令12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）由题意，得S△AB C=12AC·BC=12×6×8=24（cm2），令12×2x×（6-x）=12×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.四、师生互动、课堂小结1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.2.独立完成以上例题.1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.实际问题与二次函数一、知识点1、实物抛物线一般步骤①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；②据图象，结合所求解析式解决问题.2、实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；④解决提出的实际问题.3、结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；③根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；④利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题二、标准例题：例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=33-x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=13-x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？【答案】（1）y=-1 3x2+433x+5；（2）当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA =10×32=53，则A（53，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=-13x2+bx+c，得：17553035b cc⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：4335bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=-13x2+433x+5；（2）水柱离坡面的距离d=-13x2+433x+5-（-33x+5）=-13x2+533x=-13（x2-53x）=-13（x-532）2+254，∴当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD =3， 则OD =43，当x =43时，y =-13×（43）2+433×43+5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树．总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m .（1）若花园的面积为962m ，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.【答案】（1）x 的值为8或12；（2）当9x =时，S 的值最大，最大值为99【解析】解：（1）(20)96x x -=，18x =，212x =x 的值为8或12（2）依题意得52011x x ≥⎧⎨-≥⎩，得59x ≤≤ 2(20)(10)100S x x x =-=--+当59x ≤≤时，S 随x 的增大而增大，所以，当9x =时，S 的值最大，最大值为99总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【答案】（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价1 5元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20要求每件盈利不少于25元∴x2＝20应舍去，解得x＝10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y＝（40﹣n）（20+2n）y＝﹣2n2+60n+800n＝﹣2＜0∴y有最大值当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.例4：随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用1122p x=+来描述。
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)
![[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)](https://img.taocdn.com/s3/m/ea53aff8ba1aa8114531d97e.png)
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
运用方程思想解决几何问题“六法”_
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２ －１
２
x＋１
５＝０,解 得 x１ ＝３－ ,
２
２
x２ ＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求 出 AF ＝６－ ３－
＝
２
２
(
)
６
所 以 存 在 直 线 EF 将 Rt△ABC 的 周 长 与
＜５．
２
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１ ＝ ３,
又 ３＋x１ ＝３＋ ３＞４,所
x２ ＝－ ３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图 ９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的 中 点,由 于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平 分 Rt△ABC 的 周 长,设
解:设矩 形 的 长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２ ＝ AD２ ＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２ ＋y２ ＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所 以 可 得
７１
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k
初二数学几何题解题技巧
初二数学几何题解题技巧（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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巧用方程思想妙解几何试题
‘ ． ．
＝
因 此 ＬＢ Ｄ 的 度 数 为 １０ ． Ａ ０。
三 求 图 形 的 面 积
因此ｓ ＝ × × ：５ｋ ， △。 ÷ ５ ６ １（ｍ）建筑用地及绿
Ｄ
例 ５ 如 图 ５ Ａ， Ｃ三 个 村 ， Ｂ， 庄在一条东西走 向的公路沿线 上 ， Ａ ＝２ ｉ， Ｃ ＝ ｋ ， Ｂ ｋ Ｂ ｎ ３ ｉ 在 村 的 正 Ｅ ｎ 北方 向有 一 ＿ 村 ， 得 ／ Ｄ ： Ｄ 测 ＿Ａ Ｃ ４ 。今 将 ＡＡ Ｃ 区 域 规 划 为 开 发 ５． Ｄ
Ｃ
区， 除其中 ４ ｉ ｋ 的水 塘外 ， ｎ 均作 为
在 ＡＡ Ｅ中 ， ＬＡ Ｂ＋ＬＢ Ｅ＝１０ Ｂ ２ Ｅ Ａ ８。
Ｉ （０ ＋ １（ ￣２ ３ 。 ） Ｐ
１ ０ｏ。 ．
６。 ０ ）：１Ｏ ８。
在 Ｒ ＡＡ Ｇ中 ， （ ｔ Ｃ 有 一２ ＋（ 一 ） ５． ） ３ ＝ 解 这 个 方 程 得 。 ６ ： 一１ 舍 去 ） ＝ ， （ ．
；。。。．。。．。。。 ＋．．＋．．＋＋＋
Ｄ
例 ２ 如 图 ２ 四边 形 Ａ Ｃ 为 梯 ， ＢＤ
形 ，Ｂ／ Ｄ， Ｂ Ａ ／Ｃ ＬＡ Ｃ＝９ 。 Ａ ＝９厘 ０ ，Ｂ
米 ， Ｃ＝ Ｂ ８厘 米 ， Ｄ ＝７厘 米 ， 为 Ａ Ｃ Ｄ
的 中点 ， 过 作 Ａ 的 垂 线 交 Ｂ Ｄ Ｃ
＝
＝ ６，
ｒ ＋ 卢＝ ，
①
ｌ＋ ＝０ ＋ｔ 口 ３。 Ｏ ．
② 一① ， 得 ＝３ 。 ． ０一
・
．
②
设 Ｂ ，０ Ｆ＝ Ｆ＝８一 Ｆ＝ 贝 Ｅ Ａ ． 根据勾股定 理得 Ｅ ２ Ｅ 曰 ． Ｆ ＝Ｂ ＋
方程思想在解决几何问题中的运用
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方程思想在解决几何问题中的运用
作者：郭永兰
来源：《甘肃教育》2018年第15期
【关键词】数学教学；几何问题；方程思想
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004—0463（2018）15—0125—01
方程思想是初中数学中的基本思想。
方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
一般人们把代数称为“数”，把几何图形称为“形”，往往认为方程属于“数”的范畴，只有在解代数问题时才会想到运用方程，而解几何问题时会把方程抛之脑后，其实“数”与“形”在一定条件下是可以相互转化的。
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，只要找到几何图形中隐含的等量关系，就可以利用代数方法“列方程”来解决。
下面举例谈谈方程思想在解决几何问题中的经典运用。
一、运用直角三角形的边与角的关系
在运用三角函数（直角三角形的边与角的关系）解决问题的过程中，往往把所求的量看作未知量，其余有关的量用含有未知量的式子表示出来并集中在一个直角三角形中，再通过直角三角形的边与角的关系列出关于未知量的方程以达到求解的目的。
总之，方程思想应用非常广泛，而熟练地利用方程思想解决问题，要做到以下两点：第一要具备用方程思想解题的意识。
第二要根据已知条件，寻找等量关系列方程。
数学思想是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识。
作为数学教师，更应该以培养学生数学思想为目标，让孩子们拥有终身受益的数学思想方法。
编辑：张昀。
方程思想
方程思想方程思想就是一种重要的数学思想。
所谓方程思想就是指从分析问题的数量关系入手,将问题中的已知量与未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组),然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。
用方程思想解题的关键就是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
一、掌握代数题构建方程模型的方法----A、用概念、定义B、公式C、基本的数量关系。
1、若单项式-3a2-m b与b n+1a2就是同类项,求代数式m2-(-3mn+3n2)+2n2的值2.关于x的方程0--xx-m m就是一元二次方程,则+3)3(12=m ;=3、直线y=2x+m与两坐标轴围成的三角形面积为5,则m=4、某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书共用了100元,按该书定价2、8元并很快售完、由于该书畅销,第二次购书时,每本的批发价比第一次高0、5元,共用去了150元,所购图书数量比第一次多10本,当这批书按定价2、8元售出时,出现滞销,便以定价的5折售完剩余的图书,问:该老板第二次售书就是赔钱,还就是赚钱了? (不考虑其她因素)若赔钱,赔多少,若赚,赚多少?二、掌握几何题构建方程模型的方法1.如图,已知在RtΔABC中,∠C=90º,AD就是ΔABC的角平分线,点E在AB 上,DE∥CA,如果CD=12,BD=15,求AE、BE的长。
E分析:借助“勾股定理”与“相似图形对应线段成比例定理”,建立方程(组)。
2.如图,两个半径为r的等圆,互相外切且与直角三角形的三边内切,∠C=90°,AC=8,BC=6,求r。
DA B EC O O 分析:借助 建立方程。
3、如图,⊙O 的弦AB ⊥半径OE 于D,若AB=12,DE=2,则⊙O 的半径就是分析:借助 建立方程。
4、如图4,就是用8个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。
已知该图案的宽为40cm,其中一个小长方形的面积为 。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
用一元二次方程解几何问题
为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
x1
6
3 4
3
(不合意，舍去)，x2
=
6—3 4
3
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题? 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。
用方程思想解几何题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
106Biblioteka BC102
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
2x B xE
6+x
D
32x 3
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+E x
(3)令 y3＝x， 设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，
∵抛物线 C2 可看作是抛物线 y＝12x2 左右平移得到的， 观察图象，随着抛物线 C2 向右不断平移，x0，x′0 值不断增大， ∴当满足 2＜x≤m 时，y2≤x 恒成立时，m 的最大值在 x′0 处取得． 可得，当 x0＝2 时，所对应的 x′0 即为 m 的最大值．
于是将 x0＝2 代入12(x－h)2＝x，有12(x－h)2＝2， 解得 h＝4 或 h＝0(舍)，
∴y1＝12(x－4)2， 此时，由 y2＝y3，得12(x－4)2＝x，解得 x0＝2，x′0＝8， ∴m 的值最大为 8.
A B'
D
？
6E
B
C
10
1
初中数学——方程思想解题实例
例 2 (2012 南京)若反比例函数 y= k 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，则 k 的值可以 x
是（ ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析：函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后 会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于 0.
∴AB=CD，∠B=∠C. 若四边形 ABQP 是等腰梯形．则 AB=PQ，∠B=∠PQB, ∴CD=PQ，∠C=∠PQB ∴CD∥PQ ∴四边形 PQCD 为平行四边形 ∴PD=CQ . 而 PD=AD-AP=10-t×1=10-t；CQ=t×3=3t,则 10-t=3t, 解得 t=2.5．
前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据 题意寻找等量关系，第（2）问可这样思考：先逆向假设四边形 ABQP 能成为等腰梯形，则 PD=CQ，建立相关的等式，若能解出符合题意的值，则存在，然后再顺向写出过程
前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角 和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”，找出相应的等量关系，通过列 方程解决此类问题。
课堂练习： 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为_______. 2.等腰三角形两角的度数之比为 4:1，其内角的度数分别为_______. 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则∠A=_______． 4. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，将△BOC 绕点 C 按顺时针
知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手适当设定未知数把所研究的数学问题中已知和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型从而使问题得到解决的思维方法方程思想的独特优势是使问题简单化方便解题我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程二元一次方程组分式方程一元二次方程感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力
方程思想在解几何题中的应用
方程思想在解几何题中的应用首先，方程思想在几何问题的坐标系解法中发挥着重要作用。
坐标系是一种将几何问题转化为代数问题的有效工具。
通过引入坐标系，将点表示为坐标的形式，直线和曲线表示为方程的形式，可以方便地进行运算和推导，从而解决几何问题。
例如，在求解直线与圆的交点问题中，可以通过建立坐标系，设定直线和圆的方程，将两个方程联立求解，从而得到交点的坐标。
其次，方程思想在解析几何中的方程的运用中发挥着重要作用。
解析几何是研究几何对象的性质和关系的一种方法，它主要通过方程的形式来描述几何对象。
通过利用方程的性质，如对称性、切线性质等，可以得到几何问题的一些关键性质。
例如，在证明两直线平行的问题中，可以通过计算两直线的斜率，并且利用斜率相等的性质，建立方程来求解，进而得到两直线平行的结论。
另外，方程思想在平面几何中的相似性质的运用中也发挥着重要作用。
平面几何中的相似性质是研究几何对象形状关系的一种方法。
通过建立几何对象之间的相似关系，可以将几何问题转化为代数问题，利用方程进行求解。
例如，通过相似三角形的性质，可以建立一些比例方程，从而求解出几何问题中的未知量。
同时，方程思想也可以帮助我们更好地理解相似性质的本质，发现几何对象之间的相似关系，从而得出更深入的结论。
此外，方程思想还可以在解决几何问题中的参数方程中发挥着重要的作用。
参数方程是一种利用参数的形式来表示几何对象的方法。
通过引入参数，可以将几何问题转化为代数问题，建立方程进行求解。
例如，在求解曲线与曲线的交点问题中，可以将曲线表示为参数方程的形式，然后将两个参数方程联立，从而得到交点的参数，再代入到原来的参数方程中，求解出交点的坐标。
通过利用参数方程，我们可以更加简洁地描述几何对象，并且更方便地进行计算和推导。
数学 利用一元一次方程解几何图形问题
知2－讲
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为(x＋5)米． 根据题意，得2x＋(x＋5)＝35. 解得x＝10.因此小王设计的长为10＋5＝15(米)，而 墙的长度只有14米，所以小王的设计不符合实际． 根据小赵的设计可以设宽为y米，则长为(y＋2) 米．根据题意，得2y＋(y＋2)＝35.解得y＝11. 因此小赵设计的长为11＋2＝13(米)，而墙的长度 是14米，显然小赵的设计符合实际，按照他的设 计养鸡场的面积是11×13＝143(平方米)．
这个长方形的长与宽分别是( )
A．9 cm，7 cm
B．5 cm，3 cm
C．7 cm，5 cm
D．10 cm，6 cm
知1－练
3 一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽 增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的 边长为( ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
（来自教材）
知2－讲
例3 将装满水的底面直径为40厘米，高为60厘米的 圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为 50厘米的圆柱形水桶里，这时水面的高度是多 少？
导引：本题中的相等关系为：底面直径为40厘米，高 为60厘米的圆柱形水桶中水的体积＝底面直径 为50厘米的圆柱形水桶中水的体积，故可设这 时水面的高度为x厘米，用含x的式子表示出水 的体积即可．
4 一个长方形苗圃，长比宽多10 m，沿着苗圃走一 圈要走40 m，这个苗圃的占地面积为( ) A．400 m2 B．75 m2 C．150 m2 D．200 m2
知识点 2 等积变形
知2－讲
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用 的关系有： (1)形状变了，体积没变； (2)原材料体积＝成品体积．
圆柱体体积=长方体体积.
2013中考总结复习冲刺练：用方程思想解几何问题
C
面积不变性
B
8 x 10 D
6
A
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的
点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1,
2 则AD的长是——————
A
相似性质
D
1
x 2 3
E C
B
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
10 DE=2，则⊙O的半径是——————
勾股定理
A
AB∥CD，AB=1，CD=6
（2）若设AD=m，在线段AD 上存在唯一的一个点P，使 得以点P、A、B为顶点的三 角形和以点P、C、D为顶点 的三角形相似？求m的取值 范围。
A P
1 B
m
C D
6
例2： 如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6
（3）若设AD=m，在线段AD 上存在两个点P，使得以点P、 A、B为顶点的三角形和以点 P、C、D为顶点的三角形相 似？求m的值。
A P
1 B
m
C D
6
例3：如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、
Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达B点为止；点Q以2cm/s的速度向点D 移动，一直到达D点为止。P、Q两点出发后， (1)经过多少秒可得四边形PBCQ的面积为33cm2? (2)经过几秒可得点P与点Q 间的距离等于10cm? (3)是否存在经过几秒得点P、Q的连线与对角线AC垂 直的可能？若存在，求出经过几秒？如不存在，请 说明理由。
o r-2 D
r
2 6
B
E
3 4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinA , 5 AC=8 求AC的长.
函数与方程的思想方法在解题中的应用
函数与方程的思想方法在解题中的应用何登文数列、解析几何、立体几何、不等式及实际应用问题是高中数学的几个重要内容，在高考试题中占了较大的比例，能否顺利的解答这几类问题，直接影响到学生的高考成绩。
函数与方程思想从某些方面来说，给我们指出了解决这些问题的思路和方法。
将这些问题转化为相应的函数或方程，我们就可以应用函数和方程的性质来解决问题了。
下面，我们通过例题来说明它们的应用。
一、利用函数与方程的思想解答数列问题例1、已知数列的通项公式n a =-2n +6n+2,这个数列的最大项的值是多少？从第几项起以后的项均为负值？分析：数列是以自然数n 为变量的点列函数，因此，我们在处理数列问题是，往往将其转化函数问题，利用相应函数的性质来求解。
解：∵ n a =-2n +6n+2，∴n a 可以看作是关于n 的二次函数，利用二次函数的性质，当n=-62--=3时，n a 有最大值11。
令-2n +6n+2≤0 解得 n ≥7∴从第七项起以后的项均为负值。
此题利用了数列的函数特性求解，使得问题简单化，使用了化未知为已知的思维方法。
例2、已知数列﹛n a ﹜是等差数列，若n s =10，2n s =50，求3n s 。
分析：本题我们可以用“等差数列中，依次取每k 项作和，其和仍成等差数列”的性质来求解，即ns、2ns-ns、3ns-2ns成等差数列，此时公差d=50-20=30,所以3ns=2ns-ns+2ns+d=50-10+50+30=120.这样很直接。
另外，在等差数列中211()22()22n d dn d d n n n n a s a +-==+-是关于n 的一次函数，因此，我们可以利用一次函数的点共线的性质求解。
解：∵﹛n a ﹜是等差数列，∴n n s ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭也是等差数列，是关于n 的一次函数，∴ 23,,2,,3,23n n n n n n n n n s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三点共线，∴35010102323n n n n n n n n n s --=-- 解得3n s =120。
方程思想在初中几何题中的应用
教法研究离是20，求AB、CD的长解：设BD=x，则AB=3x,CD=4x2解：设∠AOE=x，∠BOF=y，则∠DOE=3x，∠COF=3yAED.求∠EDC的度数.解：设∠EDC=xDBF相等的角？请说明理由.解：（1）∵BE平分∠ABC交，BD平分∠EBC2019年21期┆99教法研究代数式表示出来，可以简化计算过程。
例5：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，解：连结OE，OD，OF.四、落实“八项规定精神”，持续推进廉政建设。
中央“八项规定”的出台，公司党委一直严格执行其精神，以整治形式主义、官僚主义为基础，坚定推进公司党风廉政建设。
每到重大节日，公司党委书记都要集中对各级党员干部集体谈话，各分管领导、部门负责人都要对所属人员进行集中谈话，公司纪委也将对每个关键岗位人员发送廉洁提醒短信进行警示，并要求开展专项监督检查节日后，将对发现的问题进行查处。
同时，在每个季度，对主管及中层管理人员，每月都要进行自查自评，看有没有违纪违规情况发生。
即使自己自评没有，但一旦发现，就将从重处罚。
在涉及收受红包礼金、公款吃喝、违规接待、红白喜事上都予以了重点监管，确保这些环节中不出现违规不守纪律事件。
五、努力提升监督执纪能力，强化纪检队伍建设作为反腐倡廉的首要部门，纪委、纪检人员担子不轻，压力巨大。
随着企业的发展，腐败可能会出新的变化，或许更加隐秘，更加难于查到。
这就需要我们的纪检队伍中专、兼职人员，不仅要有极高的政治素养，还要有更多的专业知专门拟定了具体的措施。
首先，必须强化纪检监察人员的政治思想建设，对执纪违纪的情况坚决查处，失职失责的坚决问责，严防、严控“灯下黑”现象发生；其次对纪检监察工作不断提出新要求，通过各种学习、培训、轮训、考试，以案例教学，努力提升他们的政治素养和办案能力，努力打造一支忠诚、干净、担当的纪检监察队伍，为企业发展作出重要贡献。
参考文献：[1]刘征文.强化反腐倡廉建设培育廉洁企业文化[J].现代国企研究,2018(20):237.[2]谢鑫建.反腐风暴契机下大学生廉洁教育体系的构建与强化[J].高教学刊,2015(23):247-248.[3]宋婷.传承核电企业廉洁文化强化反腐倡廉思想教育机制[J].东方企业文化,2015(06):23-24.（作者单位：中国五冶集团有限公司第四工程分公司）100┆好日子。
高考冲刺-函数与方程的思想习题及答案
高考 函数与方程的思想类型一、函数思想在方程中应用 1.已知155=-acb （a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤2.若关于x 的方程cos2x －2cos x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围是________3.已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（ ） （A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈ (C) (1,2)b ∈ (D)(2,)b ∈+∞4.若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有大于1的解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <253-B ．a ≤－8C ．a <133- D ．a ≤－45.设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，类型二、函数思想在不等式中的应用6.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ；7.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．8.对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是________类型三、函数思想在数列中的应用9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
10.已知等差数列的公差，对任意都有，函数．（1）求证：对任意，函数的图象过一定点．（2）若，函数f(x)与x 轴的一个交点为（），且，求数列的通项公式．（3）在（2）的条件下，求．类型四、函数思想在立体几何中的应用 11.如图，已知面，于D ，．（1）令，，试把表示为x 的函数，并求其最大值；（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使成立？类型五、利用方程思想处理解析几何问题 12.直线与圆相切，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．13.（2016 全国I 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 14.直线和双曲线的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．类型六、函数思想在三角中的应用 15.求的取值范围。
一元一次方程的运用3(鸡兔同笼问题)
数学
7
练习(课本第11页)第1题 1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米／秒 的速度跑完了大部分路程,最后以8米／秒的速度冲刺 到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多 少时间?
路程
前一段 后一段 总数
400
速度
6 8
时间(秒)
65 x
x
65
解:设小刚在冲刺阶段花了
6(65 x)
x 5.
秒时间.
经检验, 符合题意 .
答:小刚在冲刺阶段花了 5
习题(课本第12页)第4、5、6题 4.足球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝而成的,共计 有32块,已知黑色皮块比白色皮块数的一半多2,问两种皮块各 有多少? 解1:设黑色皮块有 根据题意,则
x 块,则白色皮块有
1 (32 x) 2 2
①如果一个学生得90分,那么他选对几道题?
②有得83分的同学吗?
选对
数 量 x
解：设他选对了x道题，由题意得： 4x -(25-x) = 90
不选或选错
(25-x)
x = 23
若4x-(25-x)= 83 x=21.6 ∵题目选对的数量x是整数 ∴ x=21.6 不符合题意 答：如果一个学生得90分,那么他选对 23道题，没有得83分的同学.
解方程得：X=30 经检验X=30是方程的 解并符合题意 答：这些新团员中有30 名男同学
参加人数 每人共搬砖数 共搬砖数
X
65-X
65
8× 4
6× 4
32X 24(65-X) 1800
一份试卷共25题,每道题都给出四个答案,其中只有一个是正确的,
要求学生把正确答案选出来,每题选对得4分,不选或选错扣1分。
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①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜
边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时
平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理
由．
C
A D
B
[综合训练 2] 已知抛物线 C1∶y1＝12x2－x＋1，点 F(1，1)． (1)求抛物线 C1 的顶点坐标； (2)①若抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物 线 C1 于点 B，求证：A1F＋B1F＝2； ②取抛物线 C1 上任意一点 P(xP，yP)(0<xP<1)，连接 PF，并延 长交抛物线 C1 于点 Q(xQ，yQ)，试判断P1F＋Q1F＝2 是否成立？请说 明理由；
用方程思想解应用题的一般步骤：
①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的 点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，DB=1则
AD的长是———2———
D
B
C
D
C
6
由。
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
（2）若设AD=m，在线段
A 1B
AD上存在唯一的一个点P，
P
使得以点P、A、B为顶点的
三角形和以点P、C、D为顶
点的三角形相似？求m的取
值范围。
D
C
6
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
5
求AC的长. AC=8
A
B
C
常用的等量关系：
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
3.设好未知数后，要尽量把已知条件在图上标出来； 4. 要尝试一题多解,选择最优方案
如图，在 ABCD中，AE、AF是两条高
线，∠EAF=60°，CE=6，CF=3，
（1）求线段BE的长。
（2）求 ABCD的面积。 A
D
60°
F
B E
3 C
6
1
2
3
4
2
8
A B'
x？ 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
2
5
求AC的长. AC=8
A
解直角三角形中边角关系
B
C
如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、D 、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE，求半圆 的面积。
C
D
A
E
O
B
如图，已知矩形ABCD中，E是AB上一点， 沿EC折叠，使点B落在AD边的B‘处，若AB=6， BC=10，求AE的长。
8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
10
6
B
C
10
2
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x Bx E
32x 3
6
2x-3
F
3
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+Ex 6
3
C
A
6+x
30°
2x
Bx E
6
D
2x-3
F
3
C
A
B
P
D
C
A
B
P
A
B
D
综合训练1
1 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高,
点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，
设AE＝x，△AEF的面积为y．
( 1）求线段AD的长； （2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
面积不变性
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的
点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1,
则AD的长是———2———
相似性质
D
B
C
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
勾股定理
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
A B'
D
？
6E
B
C
10
1
2
3
4
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
பைடு நூலகம்
（1）若AD=5，在线段AD
A 1B
上是否存在点P，使得以点P、
P
A、B为顶点的三角形和以点
P、C、D为顶点的三角形相
似？若存在，这样的点P有
几个？它们到点A的距离是 多少？若不存在，请说明理
（3）设AD=m，若在线段
AD上存在两个点P，使得以 点P、A、B为顶点的三角形 和以点P、C、D为顶点的三
角形相似？求m的值。
A 1B
P
D
C
6
课堂小结
1.要善于用方程思想解决几何问题； 2.几何图形中常用的等量关系是： ①面积不变性 ② 勾股定理 ③ 相似三角形 的性质 ④直角三角形的边与角的关系 ；
(3)将抛物线 C1 作适当的平移，得抛物线 C2∶y2＝12(x－h)2，若 2<x≤m 时，y2≤x 恒成立，求 m 的最大值．
解：(1)∵y1＝12x2－x＋1＝12(x－1)2＋12，
∴抛物线 C1 的顶点坐标为1，12. (2)①根据题意，可得点 A(0，1)， ∵F(1，1)， ∴AB∥x 轴，得 AF＝BF＝1，
∴A1F＋B1F＝2；
②P1F＋Q1F＝2 成立； 理由如下，如图，过点 P(xp，yp)作 PM⊥AB 于点 M.则 FM＝1－xp，PM＝1－yp， (0＜xp＜1)，∴Rt△PMF 中，由勾股定理， 得 PF2＝FM2＋PM2＝(1－xp)2＋(1－yp)2，又点 P(xp，yp)在抛物线 C1 上， 得 yp＝12(xp－1)2＋12，即(xp－1)2＝2yp－1， ∴PF2＝2yp－1＋(1－yp)2＝y2p，即 PF＝yp. 过点 Q(xQ，yQ)作 QN⊥AB，与 AB 的延长线交于点 N， 同理可得 QF＝yQ. ∵∠PMF＝∠QNF＝90°，∠MFP＝∠NFQ，∴△PMF∽△QNF， 有QPFF＝PQMN，这里，PM＝1－yp＝1－PF，QN＝yQ－1＝QF－1， ∴QPFF＝Q1－F－PF1，即P1F＋Q1F＝2.
(3)令 y3＝x， 设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，