用方程思想解几何题

用方程思想解应用题的一般步骤：
①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的 点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，DB=1则
AD的长是———2———
D
B
C
D
C
6
由。
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
Байду номын сангаас
AB∥CD，AB=1，CD=6，
（2）若设AD=m，在线段
A 1B
AD上存在唯一的一个点P，
P
使得以点P、A、B为顶点的
三角形和以点P、C、D为顶
点的三角形相似？求m的取
值范围。
D
C
6
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
10
6
B
C
10
2
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x Bx E
32x 3
6
2x-3
F
3
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+Ex 6
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜
边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时
平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理
由．
C
A D
B
[综合训练 2] 已知抛物线 C1∶y1＝12x2－x＋1，点 F(1，1)． (1)求抛物线 C1 的顶点坐标； (2)①若抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物 线 C1 于点 B，求证：A1F＋B1F＝2； ②取抛物线 C1 上任意一点 P(xP，yP)(0<xP<1)，连接 PF，并延 长交抛物线 C1 于点 Q(xQ，yQ)，试判断P1F＋Q1F＝2 是否成立？请说 明理由；
A B'
D
？
6E
B
C
10
1
2
3
4
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
（1）若AD=5，在线段AD
A 1B
上是否存在点P，使得以点P、
P
A、B为顶点的三角形和以点
P、C、D为顶点的三角形相
似？若存在，这样的点P有
几个？它们到点A的距离是 多少？若不存在，请说明理
(3)将抛物线 C1 作适当的平移，得抛物线 C2∶y2＝12(x－h)2，若 2<x≤m 时，y2≤x 恒成立，求 m 的最大值．
解：(1)∵y1＝12x2－x＋1＝12(x－1)2＋12，
∴抛物线 C1 的顶点坐标为1，12. (2)①根据题意，可得点 A(0，1)， ∵F(1，1)， ∴AB∥x 轴，得 AF＝BF＝1，
3.设好未知数后，要尽量把已知条件在图上标出来； 4. 要尝试一题多解,选择最优方案
如图，在 ABCD中，AE、AF是两条高
线，∠EAF=60°，CE=6，CF=3，
（1）求线段BE的长。
（2）求 ABCD的面积。 A
D
60°
F
B E
3 C
6
1
2
3
4
2
8
A B'
x？ 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
2
3
C
A
6+x
30°
2x
Bx E
6
D
2x-3
F
3
C
A
B
P
D
C
A
B
P
A
B
D
综合训练1
1 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高,
点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，
设AE＝x，△AEF的面积为y．
( 1）求线段AD的长； （2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
5
求AC的长. AC=8
A
B
C
常用的等量关系：
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
∴A1F＋B1F＝2；
②P1F＋Q1F＝2 成立； 理由如下，如图，过点 P(xp，yp)作 PM⊥AB 于点 M.则 FM＝1－xp，PM＝1－yp， (0＜xp＜1)，∴Rt△PMF 中，由勾股定理， 得 PF2＝FM2＋PM2＝(1－xp)2＋(1－yp)2，又点 P(xp，yp)在抛物线 C1 上， 得 yp＝12(xp－1)2＋12，即(xp－1)2＝2yp－1， ∴PF2＝2yp－1＋(1－yp)2＝y2p，即 PF＝yp. 过点 Q(xQ，yQ)作 QN⊥AB，与 AB 的延长线交于点 N， 同理可得 QF＝yQ. ∵∠PMF＝∠QNF＝90°，∠MFP＝∠NFQ，∴△PMF∽△QNF， 有QPFF＝PQMN，这里，PM＝1－yp＝1－PF，QN＝yQ－1＝QF－1， ∴QPFF＝Q1－F－PF1，即P1F＋Q1F＝2.
(3)令 y3＝x， 设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，
面积不变性
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的
点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1,
则AD的长是———2———
相似性质
D
B
C
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
勾股定理
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
5
求AC的长. AC=8
A
解直角三角形中边角关系
B
C
如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、D 、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE，求半圆 的面积。
C
D
A
E
O
B
如图，已知矩形ABCD中，E是AB上一点， 沿EC折叠，使点B落在AD边的B‘处，若AB=6， BC=10，求AE的长。
（3）设AD=m，若在线段
AD上存在两个点P，使得以 点P、A、B为顶点的三角形 和以点P、C、D为顶点的三
角形相似？求m的值。
A 1B
P
D
C
6
课堂小结
1.要善于用方程思想解决几何问题； 2.几何图形中常用的等量关系是： ①面积不变性 ② 勾股定理 ③ 相似三角形 的性质 ④直角三角形的边与角的关系 ；