第二章 拉氏变换.

第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念
定义
设函数 f (t) 当 t 0时有定义，且积分
f (t)estdt （s j是一复参量） 0
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定 的函数可写为：
f(t)=£1[F(s)]
同时，我们定义f(t)为：
f (t) 1 j F (s)estds ,t 0 （#)
2 j j
上式（＃）就是从象函数F(s)求象原函数函 数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace
反演积分。
注意到，右端积分为一复变函数的积分， 计算该积分时通常比较困难，但当F(s)满足 一定条件时，可以用留数的方法来计算这个 反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简 单。
F(s) f (t)estdt （Re(s)>0） 0
与下限是0 还是 0无关。即：
£+[f(t)]= £-[f(t)]
其中，£+[f(t)]为：
f (t)estdt （Re(s)>0） 0
2. 若函数f(t) 在t=0处包含脉冲函数时，
则下式积分
F(s) f (t)estdt （Re(s)>0） 0
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £[f (t)]
则有，£[ f (t) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏
变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去
函数的初值。 推论 ：
若，F (s) = £[f (t)]，
则有，£[ f (t) ] = s2F(s) sf (0) f (0)
于任一非负数实数τ，有：
£[f ( t-τ)] = es F (s)
第三节 Laplace逆变换
Laplace 逆变换定义
前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：
F(s) f (t)estdt （*) 0
其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函
数，而f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象 原函数），记作：
f (t)]
t
s F (s)ds
一般地，£
f (t) t n
1s
dsL 42
4s3
F (s)ds
n
性质4（位移性质） ：
若，F (s) = £[f (t)],则， £[ eat f (t) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)
性质5（延迟性质） ：
若，F (s) = £[f (t)]，又t<0时，f(t)=0,则对
f(t)
1
t
第二节 Laplace变换的性质
Laplace变换的性质
性质1（线性性质） ：设，
F1(s)= £[f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)] 则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
更为一般地 ：
若，F (s) = £[f (t)]
则有，£[ f (n) (t)] = snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) L
f (n1) (0)
类似地，可得象函数的微分性质 ：
若，F (s) = £[f (t)]，则
F(s) =-£[ tf (t) ]，Re(s)>c
一般地 :
求Laplace逆变换的方法
三种方法求逆变换： 一、留数法 二、部分分式法 三、直接查表法
数函数，即，存在一常数M>0及 c ≥0使：
f (t) Mect , 0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
例1：
中必须指明下限是 0 还是 0。即：
£+[f(t)] ≠ £-[f(t)]
其中：
£-[f(t)]=
f (t)estdt
0
0 0
f
(t)estdt
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F(s) f (t)estdt （Re(s)>0） 0
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
F (n) (s) = £ (1)n [tn f (t)]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ：
若，F (s) = £[f (t)],则：
£[
t f (t)dt ] 0
1 F(s) s
£ 另外，
t
dt L
t
10 4
2
n
430
f
(t )dt
1 sn
F(s)
类似地，可得象函数的积分性质 ：
£[
1
1 e
sT
T f (t)estdt
0
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（Re(s)>0）
例3：
求周期性三角波
f
(t)
t, 2b
t,
0t b b t 2b
且 f (t 2b) f (t) 的Laplace变换。
f(t)
b
b 2b 3b 4b
t
拉氏变换中积分下限的讨论
1. 满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t) 在t=0处有界时，则下式积分
结论
定理： 若s1,s2, …,sn是函数F(s)的所有奇点
（适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β
内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：
1
2 j
j F (s)estds
j
n
Re s F (s)est , sk
k 1
n
即：f (t) Re s F (s)est , sk , (t 0) k 1
F(s) f (t)estdt （*) 0
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
可记为
F(s)=£[f(t)]
其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
相应地： f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换 （或象原函数），记为
f(t)=£1[F(s)]
结论
拉氏变换存在定理 若函数f(t)满足条件: 1，在t≥0任一有限区间上分段连续; 2，当t→+时， f(t)的增长速度不超过某一指
求单位阶跃函数
u(t)
1 0
t 0 t0
的Laplace变换。
例2： 求正弦函数 f (t) sin kt或coskt （k为实数） 的Laplace变换。
周期函数的Laplace变换
一般地，以T为周期的函数f(t) ，当f(t) 在一个周期上是分段连续时，则f(t)的 拉
氏变换式为：
F
(s)