第二章 拉氏变换.
第二章 拉氏变换
类似地，可得象函数的微分性质： 若，F (s) = £ [f (t)]，则
F ( s ) =-£ [ Hale Waihona Puke f (t ) ]，Re(s)>c
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则：
1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s) st A(sk )esk t Res e , sk B( sk ) B( s )
A(sk )e 即：f (t ) , (t 0) k 1 B( sk )
n
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £ [f (t)]
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
f (t ) Mect ,0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
第二章 拉氏变换
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
第二章附录-拉氏变换
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理
第二章拉氏变换的数学方法
第二章拉氏变换的数学方法拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种积分变换方法，用于求解线性常系数微分方程组的初值问题。
它是法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于18世纪末发展起来的。
拉普拉斯变换在工程和物理学中有着广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理中。
拉普拉斯变换将一个时间函数f(t)（t为实数）转换为一个复变函数F(s)（s为复数），可以表达为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，s是复平面上的一个复数，而e^(-st)为拉普拉斯变换的核函数。
拉普拉斯变换的定义域是右半平面Re(s) > 0，当Re(s)=0时，定义域为共轭虚轴Im(s)=0。
这是为了保证积分的绝对收敛性。
拉普拉斯变换有许多基本的性质和定理，其中包括线性性、平移性、尺度性、微分性等。
利用这些性质，我们可以对不同类型的函数进行拉普拉斯变换，从而求解常系数线性微分方程组的初值问题。
在应用拉普拉斯变换求解微分方程组时，首先将微分方程转化为代数方程。
假设我们要求解一个线性常系数微分方程组：a0y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(t)其中，a0, a1, ..., an 为常数，y^(n)表示y的n阶导数，f(t)为所给激励函数。
对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质和核函数的定义，将方程转化为代数方程：[a0s^nY(s) - a0s^(n-1)y(0) - a0s^(n-2)y'(0) - ... - a0y^(n-1)(0)] + [a1s^(n-1)Y(s) - a1s^(n-2)y(0) - a1s^(n-3)y'(0) - ... - a1y^(n-2)(0)] + ... + [an-1sY(s) - an-1y(0) - an-2y'(0) - ... - y(0)] + [anY(s) - y(0)] = F(s)其中，Y(s)为未知函数y(t)的拉普拉斯变换，y(0),y'(0),...,y^(n-1)(0)为初始值条件，F(s)为激励函数f(t)的拉普拉斯变换。
2第二章拉普拉斯变换及其应用
上式称为拉氏变换的定义式。为L 了f (保t) 证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列
条件： F(s)Lf(t)f(t)estdt
当
，
；
0
（2.1）
当
，
分段连续；
当
，较
衰减得更快。
t0 t0
f (t) 0
f (t)
t e s t f ( t )
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2.1 拉氏变换的概念
F(s) f (t)dt t0
s
s
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2.2 拉氏变换的运算定理
当初始条件
f (t)dt
0 时，由上式有
t0
同理，可以L证明在零f初(t始)条d件t下有
F(s) s
Lf(t)(dt)2Fs(2s)
L n f(t)(dt)nFs(ns)
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2.2 拉氏变换的运算定理
例一：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式
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2.1 拉氏变换的概念
0
(t 0)
见图2-1（a）
1
(t
)
1
t
F(s)L et 0 etestdt
（2.7）
例六. 求正弦函数（Sinusoidal Function）
的象函数。
e (s )td t1e ( s)t
0
s
0s 1
f(t)sint
F (s ) L s int s inte s td t 1 (e j t e j t)e s td t
第二章拉普拉斯变换
page 3
第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
page24
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
拉氏变换
m t 0
[ f ( t )]
de st
e
st
dt
1 m t 0 s
1 m st t e s
0
m m 1 st t e dt s 0
m m 1 st m! st t e dt m e dt 0 s s 0
( n1)T nT
T
f (t ) e
st
f (t ) e st dt
nT
( n1)T
f (t ) e
st
dt t nT
0
T
f ( nT ) e s( nT )d( nT )
T
[ f ( ) e s d ]e snT
f (t )u(t )e t
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， f ( t ) 的傅立叶变换存在。 即函数
F [ f (t )u(t )e
t
]
f (t )u(t )e
t j t
e
dt
0
f (t )e ( j ) t dt
F (s )
[sin kt ]
st
1 jkt jkt st sin kte dt (e e )e dt 0 0 2j 1 ( s jkt ) e dt e ( s jkt ) dt 0 2 j 0
第二章 拉普拉斯变换
§1 §2 §3 §4 拉氏变换的概念 拉氏变换的性质 拉氏逆变换 卷积
§1
拉氏变换的概念
第二节拉氏变换公式
a 0a
0
a f ( )eas d 0
再令 as
则
L[ f ( t )] a f ( )eas d a f ( )e d
a
0
0
aF () aF (as)
机械工程控制基础 第二章 拉Fra bibliotek拉斯变换的数学方法 复数域积分定理
证：
叠加定理
比例定理
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-4：求以下函数的拉氏变换：
f(t)=K(1-e-at)
L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
K s
K sa
Ka s(s a)
结论： 由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函
数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果 的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。
(n 1) n(n) n!
令
u st
则
L[tn ]
t en st dt
0
1 s n1
uneudu
0
n! s n1
（2－14）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 幂函数的拉氏变换（法2）
（2－15）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位加速度函数拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
第二节 拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1. f(t)实函数；
2. 当t<0时 ， f(t)=0；
3. 当t0时, f(t)在每个区间上是分段连续的
第二章拉普拉斯变换
f (t )
F ( s)
解：将F(s)进行因式分解后得到
C3 C2 C1 C4 ( s 1) 2 s 1 s s 3 s2 2 C3 lim s F ( s) lim 2 3 s 0 s 0 ( s 1) ( s 3) s2 1 C 4 lim ( s 3) F ( s) lim 2 12 s 3 s 3 s ( s 1) s2 1 C 2 lim ( s 1) 2 F ( s) lim 2 s 11 s 11 s ( s 3) d d s2 3 C1 lim [(s 1) 2 F ( s)] lim [ ] 4 s 11 ds s 11 ds s ( s 3)
f (t )
的拉
拉氏变换的几 个基本定理
并称 4.位移定理 e at t 0 f (t ) at f(t) 称为 F(s) 的原函数。 L [ e f ( t )] F 0 at) 0 • 复域位移定理 (s
f(t)
0
n L t... f ( t ) dt s n F ( s) F(s) f(t) 的象函数或变换函数， n 为
s 0
0
2.1 控制系统的微分方程
例一
已知
f (t ) A，求F(s)。这里A是常数。
A s
解：因为A是常数，所以，根据线性定理则有
F ( s ) L[ A 1(t )] AL[1(t )]
例二
已知 f (t ) t ，求F(s)。
解：根据实域位移定理则有
e s F ( s) L[(t ) 1(t )] 2 s
将所求得的系数代入F(s)中
1 1 3 1 2 1 1 1 F ( s) 2 ( s 1) 2 4 s 1 3 s 12 s 3
《自动控制原理》第2章 拉氏变换与拉氏反变换
=
(s
+
s+a a)2 +
2
（四）有理分式的拉氏反变换
Ch2 控制系统的数学模型
F (s)
=
B(s) A(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
++ bm ++ an
(m n)
定义: F(s) 的零点：B(s)=0的解 zj F(s)的极点：A(s)=0的解 pi F(s)的特征多项式：A(s)
c1
=
F (s)s
s=0
=
s+2 (s + 3)(s +1)2
s=0
=
2 31
=
2 3
c2
=
F (s)(s
+ 3)
s = −3
=
s+2 s(s +1)2
s = −3
=
−1 − 3 4
=
1 12
Ch2 控制系统的数学模型
c3
=
F (s)(s
+ 1) 2
s = −1
=
s+2 s(s + 3)
s = −1
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
或 相似定理
Ch2 控制系统的数学模型
设 p1 = + j, p1 = − j,
第二章 拉氏变换
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
拉氏变换的性质
第二章拉普拉斯(Laplace) 变换第二节Laplace变换的性质1. 线性性质若α, β 是常数，且ℒ[f 1(t )]=F 1(s ),ℒ[f 2(t )]=F 2(s ),则有ℒ[αf 1(t )+ βf 2(t )]=α F 1(s )+β F 2(s )ℒ−1[α F 1(s )+β F 2(s )]=α f 1(t )+β f 2(t )此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.2. 微分性质若ℒ[ f (t )]=F (s ),则ℒ[ f '(t )]= sF (s ) -f (0)e ()()deststf t f t +∞+∞−−=−∫证明0[()]()ed stf t f t t +∞−′′=∫L 0e d ()stf t +∞−=∫[()](0)s f t f =−L 0(0)()e d stf s f t t+∞−=−+∫()]()(0)(Re())f t sF s f s c ′=−>推论:若L [ f (t )]=F (s ), 则L [ f ''(t )]=s L [f '(t )]-f '(0)特别, 当初值 f (0)= f '(0)=......= f (n -1)(0)=0时, 有ℒ[ f '(t )]= sF (s ),ℒ[f ''(t )]=s 2F (s ), ......,ℒ[ f (n )(t )]=s n F (s )=s {s L [ f (t )]-f (0)} –f '(0)= s 2 L [ f (t )] –s f (0) -f '(0)…...L L [ f (n )(t )]=s LL [ f (n -1)(t )]-f (n -1)(0)=s n F (s ) -s n -1f (0) -s n -2f '(0) -...... -f (n -1)(0)10).mm m t s s+=>由于f (0) = f '(0)=…...= f (m -1)(0)= 0, 而f (m )(t ) =m !例1. 利用微分性质, 求函数f (t )=t m 的拉氏变换, 其中m 是正整数.解即所以ℒ[m !]= ℒ[ [f (m )(t )]=s m ℒ[ f (t )]!!]! [1]m m m s ==L 111(Re()0).m m s ++>）(1m t m t e dt ∞−Γ+∫+0）=象函数的微分性质:若ℒ[ f (t )]=F (s ), 则F '(s )= ℒ[-t f (t )], Re(s )>c .和F (n )(s )= ℒ[(-t )n f (t )], Re(s )>c .d d ()()e d stF s f t t +∞−=∫证明0()e d ()e d d stf t t tf t t s +∞−=−∫()]tf t −()()]()()](1)()nn t F s f t Fs ′=−=−例2.求函数f (t )=t sin kt 的拉氏变换.22[sin ]kkt s k=+∵2222222222221()()s s ks k s k s k −−=+++解由象函数的微分性质知22d [sin ]k t kt k =− L 2222()kss k =+22d d s s s k=− +3. 积分性质若ℒ[ f (t )]=F (s ), 则01()d ()tf t t F s s= ∫L []11)d ()()t f t F s ss== L 证明设0()()d ,t h t f t t =∫则()(),(0)0h t f t h ′==且 [()](0) [()],s h t h s h t −=L L重复应用上式, 就可得到:)9.2()(1d )(d d }{000s F s t t f n t t n ttt=∫∫∫次L象函数的积分性质:若ℒ[ f (t )]=F (s ),则0()d ()e d d tssF f t t ττττ∞∞+∞−=∫∫∫()e d d tsf t tττ+∞∞−=∫∫e d t s t τ∞− 0()e d st f t t t +∞−=∫()f t t =L ()()d sf t F s st ∞=∫L象函数的积分性质:,()d d ()d n s s s f t s s F s st ∞∞∞= ∫∫∫一般地有L例3 求函数sin()ktf tt=的拉氏变换.()()dsf tF s st∞=∫L(其中F (s )= ℒ[ f (t )]).,d )(d )(0,)10.2(,d )(000∫∫∫∞∞++∞==s s F t tt f s t t t f 则有取式按存在如果积分2|arctan d 11,110022π==+=+=∞∞∫s s s t s 则有()()d s f t F s s t ∞ =∫L4.位移性质若ℒ[ f (t )]=F (s ),则有ℒ[e at f (t )]=F (s -a )(Re(s -a )>c ).(2.12)0[e ()]e ()e d atatstf t f t t+∞−=∫L =F (s -a )(Re(s -a )>c )证根据拉氏变换式, 有()0()ed s a tf t t+∞−−=∫22[sin ],kkt s k=+已知 由位移性得L 例4求ℒℒ[e -at sin kt ]2[esin ]atkkt k−=+L sin 3]t =23(2)9s ++sin 3]t =23(1)9s −+5. 延迟性质若ℒ[ f (t )]=F (s ), 又t <0时f (t )=0,则对于任一非负数τ ≥0, 有ℒ[ f (t −τ)]= e −s τF (s )(2.13)[()]()e d stf t f t tττ+∞−−=−∫L 证由拉氏变换的定义得)e d tτ−()ed stf t tττ+∞−−())ed s u u u τ−+,,d d u t u t u τ=+=() (R e())s s c >0e()ed s suf u uτ+∞−−=∫函数f (t −τ)与f (t )相比, f (t )从t =0开始有非零数值. 而f (t −τ)是从t =τ (τ ≧0)开始才有非零数值. 即延迟了一个时间τ. 从它的图象讲, f (t −τ) 是由f (t )沿t 轴向右平移τ 而得, 其拉氏变换也多一个因子e −s τ.tτf (t )f (t −τ)例5求函数0(),(0)1t u t t ττττ< −=>> 1[()]s u t eττ−−=L 的拉氏变换.τt1[()],u t s=已知L 根据延迟性性质小结性质小结，，设ℒ[ f (t ) ]= F (s )，ℒ[ g (t ) ]= G (s )()()()()f t g t F s G s αβαβ+↔+线性() ()(0)f t sF s f ′↔−微分()12(1)() ()(0)(0)(0)n n n n n ft s F s sf sf f−−−↔−′−−− ()()n s ()d F s s τ↔()()s t F s ds∞↔∫() ()t F s a ↔−) () (0,()00)s t s t e F f ττ−<↔<≥且性质小结性质小结，，设ℒ[ f (t ) ]= F (s )，ℒ[ g (t ) ]= G (s )相似性(书P92,2)常见函数的拉氏变换1(), (0)s f at F a a a↔>ℒ[ 1 ]=122k k+22ss k+1(1)m m s+Γ+ℒ[ ]=mt 1!m m s +ℒ[ ]=mt m 为正整数利用常见函数的拉氏变换以及拉氏变换的性质可求：利用常见函数的拉氏变换以及拉氏变换的性质可求：1、其他函数的拉氏变换2、拉氏逆变换求解微分、、积分方程3、求解微分例6.求下列函数的拉氏变换F (s ).(1)()sin ,2t f t at a=4(2)()cos 4,t f t e t −=30sin 2.t u e u du −∫(1)te −−例7.求下列函数的拉氏逆变换f (t ).41(1) (),(1)F s s =+21(2) (),(4)F s s s =+2.413s ++作业P92: 1(1, 3, 5, 7, 9); 2(4); 3(1, 4);4(4); 6(2, 4, 6)。
第2章第1节拉普拉斯变换
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
AEEC
航空工程实验中心
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。由F(s) 可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 t
f 2 ( ) d f1 (t )e st dt
令t , 则 L[ f1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0
f 2 ( ) d f1 ( )e s ( ) d
0
0
f 2 ( )e
s
1
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 1 1 ( 1) 1 ( 2 ) 2 L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 1 n L[ f (t )dt ] n F ( s) s 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
L[ h(t )] sL[ h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[ h(t )] L[ h (t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
第二章(2) 拉式变换
2.3.2 拉普拉斯变换及其逆变换的定义
1. 拉普拉斯变换
X 定义： 定义： ( s) = L[ x(t )] = ∫0
∞
x(t )e − st dt
(2.32)
s = σ + jω 收敛条件： (1) 当 t < 0 时 ， (t ) = 0; x (2) 当 t ≥ 0 时 ， (t ) 分 段 连 续 ； x (3) 当 σ 为 正 实 数 时 x (t )满 足
下面分别对这两种情况进行部分分式展开， 反变换。 下面分别对这两种情况进行部分分式展开，求F(s)反变换。 反变换 B( s ) bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0 F ( s) = = (2.58) A( s ) ( s − p1 )( s − p2 )L ( s − pn ) 1. 没有相同极点情况 当没有相同极点时，（ 当没有相同极点时，（2.58）可化为部分分式 ，（ ）
(4) 延迟定理 L[ f (t − a )] = e −as F ( s )
(5) 初值定理 若 f (t )和 df (t ) 存在拉氏变换且 lim sF ( s) 也存在， 则 dt s →∞ f (0) = lim sF ( s )
s →∞
（6） 终值定理
d f (t ) 如果 f (t )和 存在拉氏变换、 dt
则，其实部为：u = σ 2 − ω 2 + 1 其实部为： 虚部为： 虚部为： v = 2σω
k ∏( s + zi ) 当复变函数表示成 G ( s) = ∏( s + p j )
分别考虑其分子和分母为零的情况， 分别考虑其分子和分母为零的情况，
第二章 拉氏变化
2 惯性环节
G(s) 1
TS 1
16
式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出 不能立即复现，输出无振荡。 实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机 的传递函数也包含这一环节。
3 微分环节
理想微分 G(s) KS 一阶微分 G(s) S 1 二阶微分 G(s) 2S 2 2S 1
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s) [b0 s m b1s m1 bm1s am ]R(s)
于是，由定义得系统传递函数为：
7
G(s) C(s) b0sm b1s m1 bm1s bm M (s) R(s) a0s n a1s n1 an1s an N (s)
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。
实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数
即为微分环节。
17
4 积分环节
G(s) 1 S
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消
失，输出具有记忆功能。
实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计 算机中的积分器等。
5 振荡环节
G(s) es
式中 －延迟时间
特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一 固定的时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学
模型就包含有延迟环节。
一对电位器可组成误差检测器
19
θ1
θ2
u(t) K1[1(t) 2 (t)] K1 (t)
K12
K11
U(t)
图2-9 电位器
K1是单个电位器的传递系统， (t) 1(t) 2 (t) 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。 U (s) K1 电位器的负载效应，一般要求
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中必须指明下限是 0 还是 0。即：
£+[f(t)] ≠ £-[f(t)]
其中：
£-[f(t)]=
f (t)estdt
0
0 0
f
(t)estdt
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F(s) f (t)estdt （Re(s)>0） 0
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £[f (t)]
则有，£[ f (t) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏
变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去
函数的初值。 推论 ：
若，F (s) = £[f (t)]，
则有，£[ f (t) ] = s2F(s) sf (0) f (0)
1
1 e
sT
T f (t)estdt
0
（Re(s)>0）
例3：
求周期性三角波
f
(t)
t, 2b
t,
0t b b t 2b
且 f (t 2b) f (t) 的Laplace变换。
f(t)
b
b 2b 3b 4b
t
拉氏变换中积分下限的讨论
1. 满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t) 在t=0处有界时，则下式积分
求单位阶跃函数
u(t)
1 0
t 0 t0
的Laplace变换。
例2： 求正弦函数 f (t) sin kt或coskt （k为实数） 的Laplace变换。
周期函数的Laplace变换
一般地，以T为周期的函数f(t) ，当f(t) 在一个周期上是分段连续时，则f(t)的 拉
氏变换式为：
F
(s)
更为一般地 ：
若，F (s) = £[f (t)]
则有，£[ f (n) (t)] = snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) L
f (n1) (0)
类似地，可得象函数的微分性质 ：
若，F (s) = £[f (t)]，则
F(s) =-£[ tf (t) ]，Re(s)>c
一般地 :
数函数，即，存在一常数M>0及 c ≥0使：
f (t) Mect , 0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
例1：
f(t)=£1[F(s)]
同时，我们定义f(t)为：
f (t) 1 j F (s)estds ,t 0 （#)
2 j j
上式（＃）就是从象函数F(s)求象原函数函 数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace
反演积分。
注意到，右端积分为一复变函数的积分， 计算该积分时通常比较困难，但当F(s)满足 一定条件时，可以用留数的方法来计算这个 反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简 单。
f(t)
1
t
第二节 Laplace变换的性质
Laplace变换的性质
性质1（线性性质） ：设，
F1(s)= £[f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)] 则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
F(s) f (t)estdt （*) 0
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
可记为
F(s)=£[f(t)]
其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
相应地： f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换 （或象原函数），记为
f(t)=£1[F(s)]
结论
拉氏变换存在定理 若函数f(t)满足条件: 1，在t≥0任一有限区间上分段连续; 2，当t→+时， f(t)的增长速度不超过某一指
结论
定理： 若s1,s2, …,sn是函数F(s)的所有奇点
（适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β
内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：
1
2 j
j F (s)estds
j
n
Re s F (s)est , sk
Байду номын сангаас
k 1
n
即：f (t) Re s F (s)est , sk , (t 0) k 1
F (n) (s) = £ (1)n [tn f (t)]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ：
若，F (s) = £[f (t)],则：
£[
t f (t)dt ] 0
1 F(s) s
£ 另外，
t
dt L
t
10 4
2
n
430
f
(t )dt
1 sn
F(s)
类似地，可得象函数的积分性质 ：
£[
于任一非负数实数τ，有：
£[f ( t-τ)] = es F (s)
第三节 Laplace逆变换
Laplace 逆变换定义
前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：
F(s) f (t)estdt （*) 0
其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函
数，而f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象 原函数），记作：
第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念
定义
设函数 f (t) 当 t 0时有定义，且积分
f (t)estdt （s j是一复参量） 0
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定 的函数可写为：
求Laplace逆变换的方法
三种方法求逆变换： 一、留数法 二、部分分式法 三、直接查表法
F(s) f (t)estdt （Re(s)>0） 0
与下限是0 还是 0无关。即：
£+[f(t)]= £-[f(t)]
其中，£+[f(t)]为：
f (t)estdt （Re(s)>0） 0
2. 若函数f(t) 在t=0处包含脉冲函数时，
则下式积分
F(s) f (t)estdt （Re(s)>0） 0
f (t)]
t
s F (s)ds
一般地，£
f (t) t n
1s
dsL 42
4s3
F (s)ds
n
性质4（位移性质） ：
若，F (s) = £[f (t)],则， £[ eat f (t) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)
性质5（延迟性质） ：
若，F (s) = £[f (t)]，又t<0时，f(t)=0,则对