泰勒公式典型例题(教学课资)

泰勒公式用于一些函数极限问题 (1)

泰勒公式用于一些函数极限问题约定分别用f k和g k来记f(k)(0)和g(k)(0),k=0,1,2,···.命题1设f(x)和g(x)都在0点处4次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x4=18(︀f2g22−f22g2)︀+112(f3g2−f2g3).例1在命题1中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x4=112.例2在命题1中，取f(x)=1−e−x,g(x)=e x−1,可得lim x→02−e1−e x−e1−e−xx4=−112.命题2设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x5=38(︀f22g22−f32g2)︀+14(︀f2f3g2−f22g3)︀.例3在命题2中，取f(x)=e x−1,g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0x1−x+ln(2−e x)+ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]x5=−14.命题3设f(x)和g(x)都在0点的某邻域中5次可导，f0=g0=0,f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x5=38(︀f2g32−f32g2)︀+14(︀f2f3g2+f3g22−f2g2g3−f22g3)︀.例4在命题3中，取f(x)=ln(1+x),g(x)=−ln(1−x),可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx5=0.注进一步的计算可得lim x→0ln[1−ln(1−x)]+ln[1−ln(1+x)]+2−e1−e x−e1−e−xx6=772.1命题4设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在0点处7次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))−g(f(x))x7=172(︀f3g23−f23g3)︀+1360(f5g3−f3g5).例5在命题4中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)−sin(tan x)x7=130.命题5设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+f−1(g(x))−g(f(x))−g(f−1(x))x9=5216(︀f23g23−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3−f23g5)︀.例6在命题5中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arctan(sin x)−sin(tan x)−sin(arctan x)x9=19.命题6设f(x)和g(x)都是(−δ,δ)中的奇函数且都在(−δ,δ)中9次可导，f1=g1=1,则lim x→0f(g(x))+g−1(f−1(x))−g(f(x))−f−1(g−1(x))x9=5216(︀f3g33−f33g3)︀+1216(︀f3f5g3+f5g23−f3g3g5−f23g5)︀.例7在命题6中，取f(x)=tan x,g(x)=sin x,可得lim x→0tan(sin x)+arcsin(arctan x)−sin(tan x)−arctan(arcsin x)x9=118.2。

泰勒公式典型例题

例1 用泰勒公式，证明：当x>1时，.
证设，则f (x)当x>1时有二阶导数，且.
将f (x)点x=1处依泰勒公式展开，得
即
由于，故f (x)>0，即.
从而
例2 设f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内二阶可导，若，则在
(a, b)内至少有一点，使
证由泰勒公式，得
令，代入得
相减，得
设
则
例3 验证当时，按公式
计算的近似值，所产生的误差小于0.01；并求的近似值，使误差小于0.01.
解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式，故误差
又已知，从而，故
误差
例4 求函数按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.
解由于，故
因此
其中介于x与4之间.
例5 利用泰勒公式求极限
解
例6 求函数在x = 0处的n阶导数(n≥3)
解由f (x)和的麦克劳林公式
比较的系数得
故
五、练习题
1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
(1) (2) sin18°
（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为）
2、设函数f (x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且，试证：对于任
意非零，存在唯一的，使成立，且.
（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）
3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.
（答：）
4、利用泰勒公式求极限
（答：）
5、求函数的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
（答：）
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泰勒公式例题精品资料

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限。

用泰勒公式求极限的例题

用泰勒公式求极限的例题
利用泰勒公式求函数极限的一般方法。

（当然洛必达法则+等价无穷小替换仍是求函数极限的首先方法，泰勒公式通常用来处理“疑难杂症”。

）
含根号的复合函数的极限。

常见函数的麦克劳林公式见下文：
高等数学入门——常见函数的泰勒公式的推导与总结
四、对例1的一些补充说明。

在利用泰勒公式求极限时经常涉及o项的运算，其实就是利用四则运算或变量代换法求泰勒公式，其方法见下文：
高等数学入门——求泰勒公式的四则运算法和变量代换法
五、含复合三角函数的极限。

六、含幂指函数的极限（请思考余项是如何处理的）。

七、利用泰勒公式求数列极限的一般方法（注意用泰勒公式求数列极限时通常是不必事先转化为函数极限的）。

八、利用泰勒公式求数列极限的典型例题。

泰勒公式例题

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大sin* —分v2n+l 1-X量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.2预备知识定义2.1[1]若函数/在X。

存在〃阶导数，则有= /（兀）+ 晋（―兀）+ -（X - XJ + …+斗％7。

）+©7）”）（1）n\这里0 （（X-X。

）"）为佩亚诺型余项，称⑴f在点X。

的泰勒公式.当兀二0 时，（1 ）式变成f（x） = /（0） + / 丫）x + ' 丫）/ + …+ 一x"+o（x"）,称此式为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2[21若函数/在入某邻域内为存在直至” + 1阶的连续导数，则f（x） = f（x0） + f '（x Q）（x-x Q） +丄平（X- X。

）' + ... + -一y（X- X。

）" + 心（X）,2! n\f 5十1）（已（2）这里尺,（x）为拉格朗日余项R代x）= —（A- + x0）w+1,其中点在x与兀。

之间，称（2）仪 + 1）!为/在兀的泰勒公式.当心二0 时，（2）式变成/•（Q = /（O） + /'（O）x+厶岁亍+...+£21H + R“（X）2! n\称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.常见函数的展开式：X ’ X2 X"产…+1e =1 + x+ -------- ・・•+一H------ x ・2! n\（” + 1）!V2 V4工 6 ”曲八亍矿h…+7而+。

泰勒公式练习题

泰勒公式练习题一、泰勒公式简介泰勒公式（Taylor's formula）是数学中的一种重要工具，可以用来近似计算函数的值。

它基于一个简单的观察：在某一点附近，许多函数都可以用一个多项式来逼近。

泰勒公式就是利用这个多项式逼近的原理，将函数在某一点的值与该点附近的导数值联系起来，从而得到一个近似表达式。

二、一阶泰勒公式一阶泰勒公式是泰勒公式的最简单形式，它用一个一次多项式来逼近函数。

设函数f(x)在x=a处有定义，并且f(x)在x=a处可导，则有以下近似表达式：f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a)其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数值。

三、二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒公式的进一步推广，它利用函数在某一点的一、二阶导数值来进行逼近。

以下是二阶泰勒公式的表达式：f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a) * (x - a)^2 / 2!其中，f''(a)表示函数f(x)在x=a处的二阶导数值，2!表示阶乘运算。

四、高阶泰勒公式高阶泰勒公式是指使用更高阶的多项式来逼近函数。

一般而言，n阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a) * (x - a)^2 / 2! + ... + f^n(a) * (x - a)^n / n!其中，f^n(a)表示函数f(x)在x=a处的n阶导数值，n!表示阶乘运算。

五、练习题根据以上泰勒公式的理论，接下来我们来进行一些练习题，以加深对其应用的理解。

1. 求函数f(x) = e^x 在x=0附近的近似值。

解：将函数代入一阶泰勒公式，有：f(x) ≈ f(0) + f'(0) * (x - 0)≈ 1 + 1 * x≈ 1 + x所以，函数f(x)在x=0附近的近似值为1 + x。

多元函数泰勒公式教学案例

多元函数泰勒公式教学案例1. 引言1.1 引言介绍多元函数泰勒公式是微积分中的重要内容，它能够帮助我们近似表示复杂的多元函数。

通过泰勒公式的学习，我们可以更深入地理解多元函数的性质和变化规律。

本教学案例旨在帮助学生掌握泰勒公式的基本原理和应用方法，提高他们在多元函数求导和近似计算方面的能力。

在本教学案例中，我们将首先介绍泰勒公式的概述，包括其在多元函数中的作用和意义。

接着我们将详细讲解泰勒公式的原理，帮助学生理解该公式的推导过程及其在多元函数中的应用场景。

随后，我们将通过具体的实例来展示泰勒公式在实际问题中的应用，让学生更好地掌握其具体操作方法。

通过本教学案例的学习，希望学生能够加深对多元函数泰勒公式的理解，提高其在实际问题中的应用能力，为将来深入学习微积分和相关领域打下坚实的基础。

1.2 教学目的教学目的是通过本教学案例，让学生深入了解多元函数泰勒公式的概念、原理和应用，并掌握其具体的计算方法和技巧。

通过本案例的教学，希望能够培养学生的数学思维和计算能力，提高他们对多元函数泰勒公式的理解和运用能力。

教学目的还包括引导学生建立正确的数学学习方法和思维方式，激发他们对数学的兴趣和热情，培养他们解决实际问题的能力和创新思维。

通过本教学案例，希望能够激发学生对数学研究和应用的兴趣，为他们未来的学习和工作打下良好的基础。

1.3 教学对象教学对象指的是本次课程中的学习者，可以是大学生、研究生，也可以是对多元函数泰勒公式感兴趣的其他人群。

他们可能具有不同的数学基础知识和学习背景，有的可能已经学过相关知识，有的可能是初次接触。

在教学过程中，需要根据学习者的不同特点和需求来设计教学内容和教学方法，使得每位学习者都能够理解和掌握多元函数泰勒公式的原理和应用。

为了更好地满足不同学习者的学习需求，本教学案例将采用多种教学方法，如讲授、示范、实例分析等，以激发学习者的兴趣，提高他们的学习积极性。

教学案例将设置不同的教学步骤，让学习者逐步学习和掌握多元函数泰勒公式的相关知识，从而提升他们的学习效果和能力。

泰勒公式例题

泰勒公式例题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,于是例利用泰勒展开式再求极限。

泰勒公式例题

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x ex x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2limsin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+ 例3.3利用泰勒展开式再求极限。

泰勒公式例题

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例利用泰勒展开式再求极限。

(完整版)泰勒展开式求近似值专题训练

(完整版)泰勒展开式求近似值专题训练1. 引言在数学和科学领域中，泰勒展开式是一种用于近似计算函数值的常用方法。

通过将函数表示为一系列无限求和的项，泰勒展开式可以在给定的点附近得到该函数的近似值。

本文将详细介绍泰勒展开式的求解方法，并提供一些专题训练，以帮助读者掌握这一技巧。

2. 泰勒展开式的求解方法2.1 一阶泰勒展开式一阶泰勒展开式是泰勒展开式的最简单形式，它使用函数在某个点的导数来近似函数的值。

一阶泰勒展开式的公式如下：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a)其中，`f(x)` 表示原函数，`f'(x)` 表示函数的一阶导数，`a` 表示给定点。

通过计算函数的导数，并代入公式，我们可以得到函数在给定点附近的近似值。

2.2 高阶泰勒展开式高阶泰勒展开式对于更精确的近似值计算非常有用。

它通过使用函数在给定点的高阶导数来进行近似。

高阶泰勒展开式的公式如下：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x - a)^n/n!其中，`f^(n)(x)` 表示函数的 n 阶导数，`n!` 表示 n 的阶乘。

通过计算更多的导数，并逐项代入公式，我们可以得到更精确的近似值。

3. 专题训练3.1 题目一已知函数 `f(x) = sin(x)`，求在点 `x = 0` 处的一阶泰勒展开式的近似值。

解答：首先，计算函数的一阶导数：`f'(x) = cos(x)`。

将导数代入一阶泰勒展开式公式，得到近似值：`f(x) ≈ sin(0) + cos(0)(x - 0) = x`。

因此，在点 `x = 0` 处，函数 `f(x) = sin(x)` 的一阶泰勒展开式的近似值为 `x`。

3.2 题目二已知函数 `f(x) = e^x`，求在点 `x = 1` 处的四阶泰勒展开式的近似值。

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用常用近似公式八1 +工，血mx（|"充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。

当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当廿1较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数J3）,想找多项式稣丈）来近似表示它。

自然地，我们希望必）尽可能多地反映出函数/（幻所具有的性态一一如：在某点处的值与导数值；我们还关心玖（"）的形式如何确定；外（*）近似所产生的误差"【问题一】设/（工）在含工口的开区间内具有直到打斗1阶的导数，能否找出一个关于3■此）的n次多项式乩⑴二劣斗％（工-工°）+%3」工J +…+ %3 —工Q”①且pf它）*由6）3 = 0,1,…M）近似""•.）？【问题二】若问题一的解存在，其误差嵌）=了3）5工）的表达式是什么？一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数口D，口1，…*%。

次有■ J +仃1S -工u ）斗占L ）' +…+ &方-%）日•■勾=入（勺）P；（K）=及"*（应・^0 ） + 3^0-立淀 4 …+ ^a K（x -z0）M'}二^1 = P；（x0）PZ fx）= 2L% + 3 2% 3一利）+ 4 3 / （上一沔沪+ …+为伽一1）冬•知广’二2・y = p；（Q或@）=3 2 1 %+432 龟&-毛）+5 4 3 % Q-母）'+ …+叩（n-1）（n-T）（r-Jt^T-3二3,2，1，知=尸怜。

）上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:一般地，有用（上―1）0 —•% = p 渲（气）=从而，得到系数计算公式：% =广3。

泰勒公式的证明题

泰勒公式的证明题好的，以下是为您生成的关于“泰勒公式的证明题”的文章：在数学的海洋里，泰勒公式就像一座神秘而坚固的城堡，让不少同学望而却步。

但其实，只要我们鼓起勇气，手持智慧的宝剑，就能一步步揭开它神秘的面纱。

泰勒公式啊，简单来说，就是用多项式来近似地表示一个复杂的函数。

比如说，咱们常见的正弦函数、余弦函数，都能通过泰勒公式变得乖乖听话，让咱们能更轻松地研究它们的性质。

先来讲讲泰勒公式的定义。

设函数 f(x) 在点 x₀处具有 n 阶导数，那么就有 f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + [f''(x₀)/2!](x - x₀)² +... +[f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!](x - x₀)ⁿ + Rₙ(x) 。

这里的 Rₙ(x) 就是余项，它表示了用多项式近似函数时产生的误差。

证明泰勒公式可不是一件轻松的事儿，得用上咱们学过的导数、极限等知识。

就拿最简单的例子来说吧，证明函数f(x) = eˣ 在 x = 0 处的泰勒展开式。

还记得有一次我给学生们讲这道题的时候，那场面可真是“热闹”。

大家一开始都一脸懵，完全不知道从哪儿下手。

我就在黑板上一步一步地引导他们。

我先让大家回忆一下eˣ 的导数还是eˣ ，这是个很关键的点。

然后我们从一阶导数开始，f'(0) = 1 ，二阶导数 f''(0) = 1 ，三阶导数 f'''(0)还是 1 ......依次类推，发现 n 阶导数都是 1 。

接着，按照泰勒公式的展开形式，f(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! +... +xⁿ/n! 。

这时候，有个聪明的同学就喊了起来：“老师，这不就是eˣ 的幂级数展开嘛！” 我笑着点头，心里特别欣慰。

咱们再深入一点，来看看余项的估计。

这也是证明中的一个重点和难点。

常见的有余项的拉格朗日型和佩亚诺型。

泰勒公式练习题

4 | f ( ) | | f (b) f (a ) | . 2 (b a )
f (b) 0, 试证明存在一点 (a , b), 使得
证分别在a点与b点应用泰勒公式 ,有
1 2 f ( a ) f ( a )( x a ) f ( )( x a ) f ( x) 1 2! 1 f (a ) f (1 ) ( x a )2 , (a 1 x ) 2!
( n 1 )
其中在x与b之间.
因为 f (b) f (b) f (b) f ( n 1) (b) 0, 所以
f ( x)
f
( n)
( ) ( ) n n f (a ) f ( a b ) , ( x b) , n! n!
( n)
又f (a ) 0, (a b)n 0, 故f ( n ) ( ) 0, (a , b).
上具有三阶连续在闭区间设函数内至少存在一点区间介于其中由麦克劳林公式有证明在开导数从而从而由介值性定理和最大值上必有最小值计算cosx的近似值使其精确到0005试确定x的适用范围
泰勒公式的应用例1 证明证
1 x (1 x 1 1 1 1 ( 1) x 2 2 2! 2 2 5 3 1 1 1 1 ( 1)( 2)(1 x ) 2 x 3! 2 2 2 5 3 x x2 1 (0 1) 1 (1 x ) 2 x 2 8 16 2 x x ( 1)( n) n 1 n 1 (0 1) 0 ). 1 x 1 (1 ( xx ) x (n 1) ! 2 8
4
4
4
例3
| f ( x ) | a , 设f ( x )在[0， 1]上有二阶导数，

数学分析6.3泰勒公式(练习详解)

第六章微分中值定理及其应用3 泰勒公式练习题(下载后用WORD 打开就能看到公式，谁知道怎么解决这个问题，加QQ12332954教我，谢谢~)1、求下列函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式. (1)f(x)=√1+x; (2)f(x)=arctanx 到含x 5的项; (3)f(x)=tanx 到含x 5的项.解：(1)f ’(x)=2√(1+x)3, f ”(x)=4√(1+x)5, …, f (n)(x)=n 2n √(1+x)2n+1.∴f (n)(0)=(−1)n (2n−1)!!2n,∴√1+x=1+(−12)x+34·2！x 2+…+(-1)n (2n−1)!!2n n!x n +o (x n ).(2)∵f ’(x)=(1+x 2)-1, f ”(x)=-2x(1+x 2)-2,f ”’(x)=-2(1+x 2)-2+8x 2(1+x 2)-3, f (4)(x)=24x(1+x 2)-3-48x 3(1+x 2)-4, f (5)(x)=24(1+x 2)-3-288x 2(1+x 2)-4+384x 4(1+x 2)-5.∴f(0)=0, f ’(0)=1, f ”(0)=0, f ”’(0)=-2, f (4)(0)=0, f (5)(0)=24. ∴arctanx=x −x 33+x 55+o (x 5).(3)∵f ’(x)=sec 2x, f ”(x)=2sec 2xtanx,f ”’(x)=4sec 2xtan 2x+2sec 4x, f (4)(x)=8sec 2xtan 3x+16sec 4xtanx, f (5)(x)=16sec 2xtan 4x+88sec 4xtan 2x+16sec 6x.∴f(0)=0, f ’(0)=1, f ”(0)=0, f ”’(0)=2, f (4)(0)=0, f (5)(0)=16. ∴tanx=x +x 33+2x 515+o (x 5).2、求下列极限. (1)limx→0e x sinx−x(1+x)x 3; (2)lim x→∞[x −x 2ln (1+1x )]; (3)lim x→01x (1x−ctanx).解：(1)∵e xsinx =[1+x+x 22+x 36+o (x 3)][x −x 36+o (x 3)]=x+x 2+x33−x 512−x 636+o (x 3),∴limx→0e x sinx−x(1+x)x 3=limx→0x 33−x 512−x 636+o(x 3)x 3=lim x→0(13−x 212−x 336+o(x 3)x 3)=13.(2)∵ln(1+1x)=1x−12x2+o (1x 2)， ∴lim x→∞[x −x 2ln (1+1x )]=lim x→∞[x −(x −12)+o(1x2)1x 2]=12.(3)lim x→01x (1x−ctanx)=limx→0sinx−xcosx x 2sinx =limx→0x−x 36+o (x 3)−x[1−x 22+o (x 3)]x 2sinx=lim x→0x3+o (x )sinx=limx→0x sinx (13+o(x)x)=13.3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式: (1)f(x)=x 3+4x 2+5, 在x=1处; (2)f(x)=11+x, 在x=0处.解：(1)f ’(x)=3x 2+8x, f ”(x)=6x+8, f ”’(x)=6, f (n)(x)=0, (n ≥4). ∴f(1)=10, f ’(1)=3+8=11, f ”(1)=6+8=14, f ”’(1)=6, f (n)(1)=0, (n ≥4). ∴f(x)=10+11(x-1)+7(x-1)2+(x-1)3. (2)f ’(x)=−1(1+x )2, f ”(x)=2(1+x )3,…, f (n)(x)=(−1)n n!(1+x )n+1, f(n+1)(x)=(−1)n+1(n+1)!(1+x )n+2.∴f(0)=1, f ’(0)=-1, f ”(0)=2,…, f (n)(0)=(-1)n n!, f (n+1)(0)=(-1)n+1(n+1)!. ∴f(x)=1-x+x 2+…+(-1)n x n+(−1)n+1(1+θx)n+2x n+1, (0<θ<1).4、估计下列近似公式的绝对误差.(1)sinx ≈x −x 36, 当|x|≤12; (2)√1+x =1+x2−x 28, 当x ∈[0,1].解：(1)sinx=x −x 36+x 5sin(θx+5π2)120, (0<θ<1).∴公式的绝对误差：|R 4(x)|=|x 5sin(θx+5π2)120|≤|x|5120=13840, |x|≤12.(2)√1+x =1+x2−x 28+316√(1+θx )5, (0<θ<1).∴公式的绝对误差：|R 2(x)|=|316√(1+θx )5|≤116, x ∈[0,1].5、计算：(1)数e 准确到10-9; (2)lg11准确到10-5. 解：(1)∵e x=1+x+x 22+…x n n!+e θx x n+1(n+1)!, ∴e=1+1+12+ (1)n!+e θ(n+1)!, (0<θ<1).当|R n (x)|=|e θ(n+1)!|<3(n+1)!<10-9时，n ≥12 ，取n=12得e ≈1+1+12+…112!=2.718281828.(2)∵ln(x+1)=x −x 22+x 33−x 44+x 55(θx+1)5, (0<θ<1). ∴ln1.1=0.1−0.122+0.133−0.144+0.155(0.1θ+1)5≈0.0953.∴lg11=1+lg1.1=1+lge ln1.1≈1+0.0953lge ≈1.04139. 其误差lg e0.155(0.1θ+1)5<10-5.。

泰勒公式证明题

泰勒公式证明题泰勒公式在数学分析中可是个厉害的家伙！咱们今天就来好好聊聊泰勒公式的证明题。

记得我当年还是个学生的时候，有一次在课堂上，老师讲泰勒公式的证明，那场面，可真是“惊心动魄”。

我瞪大眼睛，耳朵竖得像天线，就怕错过一个细节。

可这泰勒公式的证明，就像个调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它的小辫子。

老师在黑板上刷刷地写着，那粉笔字龙飞凤舞的。

我心里那个急啊，感觉脑袋都要冒烟了。

我不停地在笔记本上记着，可那些复杂的符号和推导过程，就像一团乱麻，怎么也理不清楚。

后来下课了，我还是一脸懵。

于是我咬咬牙，决定自己和这泰勒公式死磕到底。

我找了一堆参考资料，坐在图书馆里，从白天到黑夜，一点一点地琢磨。

现在咱们正式来说说泰勒公式的证明题。

泰勒公式是用函数在某一点的信息来描述其附近取值的公式。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值来做系数构建一个多项式，来近似函数在这一点的邻域中的值。

先来看带拉格朗日余项的泰勒公式：f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) +[f''(x₀)/2!](x - x₀)² +... + [f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!](x - x₀)ⁿ + Rₙ(x) ，其中 Rₙ(x) = [f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)!](x - x₀)ⁿ⁺¹，ξ 在 x₀与 x 之间。

要证明这个公式，咱们得从导数和微分的定义出发。

假设函数 f(x)在点 x₀处具有 n 阶导数，咱们先构造一个辅助函数。

然后通过一系列的推导和巧妙的变形，利用柯西中值定理，就能逐步得出结论。

这中间的每一步都得小心翼翼，一个不小心就可能出错。

再来说说带佩亚诺余项的泰勒公式：f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) +[f''(x₀)/2!](x - x₀)² +... + [f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!](x - x₀)ⁿ + o((x - x₀)ⁿ) 。

泰勒展开的题目

泰勒展开的题目摘要：1.泰勒展开的背景和意义2.泰勒展开的定义和公式3.泰勒展开的应用实例4.泰勒展开的推广和发展正文：一、泰勒展开的背景和意义泰勒展开，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学展开方法。

泰勒展开在数学分析、工程计算以及物理学等领域具有重要的应用价值，是高等数学中的一个基本概念和核心工具。

二、泰勒展开的定义和公式泰勒展开是一种将函数在某一点附近的值展开成无穷级数的方法。

设函数f(x) 在点a 附近可导，且f(a) = k，那么我们可以将f(x) 展开为：f(x) = f(a) + f"(a)(x - a) + f""(a)(x - a)^2 / 2! + f"""(a)(x - a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x - a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数在点a 的一阶、二阶、三阶导数，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒展开的余项。

三、泰勒展开的应用实例泰勒展开在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.求函数的近似值：通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。

例如，当需要计算e^x 在某一点附近的值时，我们可以使用泰勒展开得到近似值。

2.求解微分方程：泰勒展开可以帮助我们在求解微分方程时简化问题。

例如，当求解一阶线性微分方程时，我们可以将非线性函数泰勒展开，从而将问题转化为求解线性微分方程。

四、泰勒展开的推广和发展泰勒展开在数学领域有很多推广和发展，下面举两个例子：1.泰勒级数的收敛性：泰勒级数在某些情况下可能不收敛，如何判断和改进泰勒级数的收敛性是数学家们关注的问题。

2.泰勒展开在其他领域的应用：泰勒展开不仅在数学分析中有广泛应用，还推广到了偏微分方程、泛函分析等领域，发挥着重要作用。

泰勒公式例题说课讲解

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+L()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++=Λ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θΛ.)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x Λ. 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!n n n x x x x x o x n =-+-++-+L . )(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x Λ. )(1112n n x o x x x x+++++=-Λ Λ+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x e x o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限。

泰勒公式 典型例题(教学课资)

泰勒公式用于一些函数极限问题 (1)