工程力学第11章-压杆的稳定性问题答案

工程力学第11章-压杆的稳定性问题答案工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第11 章)范钦珊唐静静2006-12-182第 11 章 压杆的稳定性问题11－1 关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界载荷之后，还能不能继续承载有如下四 种答案，试判断哪一种是正确的。

（A ）不能。

因为载荷达到临界值时屈曲位移将无限制地增加；（B ）能。

因为压杆一直到折断时为止都有承载能力；（C ）能。

只要横截面上的最大正应力不超过比例极限；正确答案是C。

（D ）不能。

因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。

11－2 今有两根材料、横截面尺寸及支承情况均相同的压杆．仅知长压杆的长度是短压 杆的长度的两倍。

试问在什么条件下短压杆临界力是长压杆临界力的 4 倍?为什么?解：只有当二压杆的柔度 λ ≥ λ 时，才有题中结论。

这是因为，欧拉公式 F =πEI ，只有在弹性范围才成立。

这便要求Pλ ≥ λP。

Pcr(μl ) 211－3 图示四根压杆的材料及横截面(直径为 d 的圆截面)均相同，试判断哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。

习题11－3解：计算各杆之柔度：λ= μl ，各杆之i 相同i33（a ） λa= 5l i(μ = 1)（b ） λb（c ） λ= 4.9l i = 4.5l(μ = 0.7)(μ = 0.5) c（d ） λdi=4l i(μ = 2)可见 λa> λb> λc> λd，故（a ）最容易失稳，（d ）最不容易失稳。

11－4 三根圆截面压杆的直径均为d =160mm ，材料均为 A3 钢，E ＝200GPa ，σs＝240MPa 。

已知杆的两端均为铰支，长度分别为 l 1、l 2及 l 3，且 l 1=2l 2=4l 3=5m 。

试求各杆的临界力。

解： i = d / 4 = 160 / 4 =40mm ，μ = 1λ = μl 1 1 i= 5 ×10 40= 1.253 λ =μl 2 2 i μl λ = 3 3 i = 2.5 ×10 40 = 1.25 ×10 40= 62.5= 31.5对于 A3 钢， λP= 102, λs= 61.6 。

因此，第一杆为大柔度杆，第二杆为中柔度杆，第三杆为小柔度杆。

于是，第一杆的临界力F = σ A = π 2 E πd 2 π 3 × 200 ×10 6 = ×160 2 ×10 −6= 2540kN P cr cr λ2 4 125 2 × 4第二杆的临界力F = (a − b λ ) A = (304 − 1.12 × 62.5) ×103× π ×160 2 ×10 −6= 4705kN Pcr 4第三杆的临界力F = σ A = 240 ×103π 3 ×160 2 ×10 −6= 4825kNP cr s 411－5 图示a、b、c、d 四桁架的几何尺寸、圆杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。

关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。

（A）F Pmax(a)=F Pmax(c)<F Pmax(b)=F Pmax(d)；（B）F Pmax(a)=F Pmax(c)=F Pmax(b)=F Pmax(d)；（C）F Pmax(a)=F Pmax(d)<F Pmax(b)=F Pmax(c)；正确答案是 A 。

习题11－5 图F Pmax(a)=F Pmax(b)<F Pmax(c)=F Pmax(d)。

（D ）解：各杆内力如习题11-5 解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A）。

F P 0 FP -FPF P 0F P -F P− 2 FF P 0 0F P 2 FF P F P− 2 F2 F0 0-F P-F P 习题11-5 解图11－6 提高钢制细长压杆承载能力有如下方法．试判断哪一种是最正确的。

（A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿横截面两形心主轴方向的长细比相等；（B）增加横截面面积，减小杆长；（C）增加惯性矩，减小杆长；（D）采用高强度钢。

π2 EI 正确答案是 A 。

解：由细长杆临界力公式：FPcr = min 中各量可知；另外各种钢的弹性模量E 值(μl )2差别不大。

正确答案是A 。

σ A [ ] cr P11－7 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷[F ] = cr。

当横截面面积 A 增加一倍P[n ]st时，试分析压杆的许可载荷将按下列四种规律中的哪一种变化？（A ）增加 1 倍；（B ）增加 2 倍；（C ）增加 l ／2 倍；（D ）压杆的许可载荷随着 A 的增加呈非线性变化。

正确答案是 D 。

解：由于 i =I，长细比λ = μl，而临界应力 σ A icrπ2 E =或σ crλ2= a − b λ所以，σ − A 不存在线性关系，[F ] = σcrnstA 与面积 A 之间为非线性关系。

所以，正确答案是 D 。

11－8 已知图示液压千斤顶顶杆最大承重量 F P＝167 kN ， 顶杆直径 d ＝52 mm ，长度 l ＝0.5 m ，材料为 Q235 钢，顶杆的下端为固定端约束，上端可视为自由端。

试求：顶杆的 工作安全因数。

解：1．判断压杆的类型λ = μl = μl = 4 × 2 × 0.5 = 76.9属于中长杆 i d 452 ×10−4σ crA = (a − b λ )wπd 2 4-32π × (52 ×10)= (304 − 76.9 ×1.12)×106 × 4= 462.7 ×103 N=462.7 kN3．确定工作安全因数习题 11－8 图n =F Pcr = 462.7 = 2.77F P 16711－9 图示托架中杆 AB 的直径 d ＝40 mm 。

长度 l ＝800 mm 。

两端可视为球铰链约束，材料为 Q235 钢。

试：1．求托架的临界载荷。

5习题 11－9 图62．若已知工作载荷 F P＝70 kN ，并要求杆 AB的稳定安全因数[n ]st=2.0，校核托架是否 安全。

3．若横梁为 No.18 普通热轧工字钢，[σ]＝160Mpa ，则托架所能承受的最大载荷有没 有变化？解：1．求托架的临界载荷①（图（a ））sin θ =7 4B D θF AB∑ M C= 0 ，900F P= 600F ABsin θF P(a)F = 2 F P 3 ABsin θ =7 6 F AB（1）②i = d = 10 mm 4λ = μl i= 1 × 800 10 = 80 < λP，中长杆σcr = 304 − 1.14 λ = 304 − 1.14 × 80 = 212.8 MPaF AB cr= σcr ⋅ A = σcr⋅πd 247P= 212.8 × π × (40 ×10−3)24= 0.2674 MN = 267.4 kNF = 267.4 kN = 118 kN2．校核托架是否安全当已知工作载荷为 70kN 时由（1）， F AB =267.46F = 158.7 kN7 n w= = 1.685 < [n ] ，不安全。

158.7 st3．横梁为 No.18 普通热轧工字钢，[σ]＝160Mpa ，计算托架所能承受的最大载荷 条件[σ ] = 160MPa 意谓着既要保证 CD 强度，又要保证 AB 杆稳定。

CD 梁中：M max = M B = 0.3F P，8N xAB P， F = F c os θ = 3 cot θ ⋅ F 2F Q = F Pσ= M B+ F N x≤ [σ ] maxW A ，0.3F P185 ×10−83 cot θ ⋅ F + 2 P30.6×10 −4≤ 160 ×10 6，F P ≤ 73.5 kN<F Pcr= 118 kN所以，托架所能承受的最大载荷为 73.5kN 。

11－10 长 l ＝50 mm ，直径 d ＝6 mm 的 40 Cr 钢制微型圆轴，在温度为 t 1＝－60º C 时 安装，这时轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷，温度升高时，轴和架身将同时因热膨－6－6胀而伸长。

轴材料的线膨胀系数α1＝125×10 /°C ；架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10 /°C 。

40Cr 钢的σp＝300 MPa ，E ＝210 GPa 。

若规定轴的稳定工作安全因数[n ]st＝2.0，并且忽略架 身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到 t 2＝60º C时，该轴是否安全。

习题 11－10 图解：温升时，α1> α 2使轴受压力 F N。

这是轴向载荷作用下的静不定问题。

变形谐调条件为：α1 (t 2 −t1 )l−FNlEA= α 2 (t 2 −t1 )l由此解出轴所受的轴向载荷为：F N = (α1−α2)(t2−t1)EA弹性屈曲范围的长细比的低限λ2πE=σp2π2 ×210×10930= 83910π根据支承条件以及轴的几何尺寸，计算轴的长细比i = d = 6= 1.5 mm44μ = 1λ =μl = 1×150 = 100 > λ 属细长杆i 1.5P采用，欧拉公式计算临界力FPcr= σ crA =π2Eλ2轴的工作安全因数n =F Pcr =π2 EAwF λ2 (α − α )(t − t ) EA N1 2 2 12= = 1.645 < [n ] = 2 1002 × 0.5 ×10−5×120 st所以，轴不安全。

11－11 图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成， 连接处均为铰链，各杆直径均为 d ＝40 mm ，a ＝1 m 。

材料均为 Q235 钢，E ＝200 GPa ，[n ]st＝1.8。

试；l ．求结构的许可载荷；习题 11－11 图2．若 F P力的方向与 1 中相反，问：许可载荷是否改变，若有改变应为多少？解：1．（1）由静力平衡得到：F = F = F = F =2 F （压）11AB AD BC CD2PF DB= F P（拉）（2）对于拉杆 BC ，由强度条件，有πd 2πF P= F BD= [σ ]A = 160 × 10 6× 4 = 160 × × 40 2= 201 kN 4对于 AB 等压杆，需进行稳定计算：λ = μl = 1×1000 = 100 < λ = 101 i 40p4则12[ ][ ] [ ] [ ] [ ]FAB cr= (a − bλ ) A = (304 −1.14 ×100)× π × 402×10 −6= 0.2387 MN = 238.7 kN4F Pcr = AB 238.7kN = 337.6 kN[F ] = F PcrPn st=337.61.8= 187.6 k N2．若 F P向外，则F = F = F = F = 2 F ABADBCCD2 P（拉）F BD= F P（压）由于此时受压杆 BD 比前一种情况长，所以只要进行稳定计算：λ = μl = 1× 2 ×1000 = 141.4 > λ = 100 i 10p采用欧拉公式计算临界力F = F Pcr= F BD cr[P ] n n st st2= σ BD cr A = 1 × π E × π × 402 ×10 −6 = 68.9n n st st 3λ2 4 = 1× πE× 1 × 402 ×10 −6 1.8 141.42 4= 68.9 ×10−3 MN = 68.9 kN*11－12 图示结构中，梁与柱的材料均为 Q235钢 E ＝200Gpa ，σs＝240MPa 。