第4章 矩阵分解

矩阵． 矩阵．
的满秩分解时， 利用定理 4.1.2 求 A 的满秩分解时，需要首先求出 A 的行最简 因此不需求之． 形矩阵 B ，但并未用到变换矩阵 P ，因此不需求之．
0 0 1 的满秩分解， 例 4.1.2 求矩阵 A = 2 1 1 的满秩分解，其中 i = − 1 ． 2i i 0 1 0 1 0 0 1 2 行 A = 2 1 1 → 0 0 1 = B ， 解 2i i 0 0 0 0 的前两列，所以， 因为 B 的第 1 列和第 3 列构成 E 3 的前两列，所以， F 为 A 的第 1 列和第 3 列构成的
(
)
从而
rank ( A1 + A2 ) ≤ rank ( F1 , F2 ) ≤ rank ( F1 ) + rank ( F2 ) = rank ( A1 ) + rank ( A2 ) ．
4.2 舒尔定理及矩阵的 舒尔定理及矩阵的QR分解 分解
舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理 定理在理论上很重要， 舒尔 定理在理论上很重要 证明的出发点． 而矩阵的QR分解在数值代数中起着重要作 证明的出发点． 而矩阵的 分解在数值代数中起着重要作 用，是计算矩阵特征值及求解线性方程组的一个重要工具.下 是计算矩阵特征值及求解线性方程组的一个重要工具 下 面的讨论是在酉空间C 内进行的． 面的讨论是在酉空间Cn内进行的．
0 1 0 0 0 1 就是一个 4 阶置换 0 0 0 1 0 0
有如下一些性质： 置换矩阵 P = (e j1 , e j2 , ⋯, e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； ） 是正交矩阵； （2）对任意 A ∈ C ）
m×n
， AP 是将 A 的列按 j1 , j 2 , ⋯ , j n 的次序
n
ε 1 ,η 2 , ⋯ ,η n ．
对它进行正交化、单位化，可以得到一组标准正交基 对它进行正交化、单位化， ′ ′ ε 1 ,η 2 ,⋯ ,η n ． （4.2.1） ） 以这组基作列向量构成的矩阵
′ ′ U 1 = (ε 1 ,η 2 ,⋯ ,η n )
为酉矩阵． 为酉矩阵．由于
′ ′ ′ ′ AU 1 = ( Aε 1 , Aη 2 , ⋯ , Aη n ) = (λ1ε 1 , Aη 2 , ⋯ , Aη n ) ，
证明 由 A → B 知，存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA = B 或
行
− 根据定理(4.1.1)，将 P 者 A = P B ，根据定理 ， −1 −1
分块为
P −1 = ( F , S ) ， F ∈ C m× r , rank ( F ) = r ; S ∈ C m ×( m − r ) ， rankS = m − r ． 矩阵． 可得满秩分解 A = FG ，其中 G 为 B 的前 r 行构成的 r × n 矩阵．
2 1 0 0 −1 0 1 ( A, E ) ＝ 1 2 − 1 1 ⋮0 1 0 2 2 − 2 − 1 0 0 1 − 1 0 1 2 1 0 ， 所以 B = 0 2 0 3 P = 1 1 0 0 0 0 1 − 1
− 1 0 1 2 1 0 0 行 → 0 2 0 3⋮1 1 0 0 0 0 0 1 − 1 1 0 1 0 0 ． ，可求得 −1 P = − 1 1 0 0 − 2 1 1 1
于是有
1 0 − 1 0 1 2 A = − 1 1 0 2 0 3 ． − 2 1
行
F ∈ C m× r 且 rankF = r ， S ∈ C m×( m − r ) 且 rankS = m − r ，
则有
G A = P B = ( F , S ) = FG ， 0 列满秩矩阵， 行满秩矩阵． 其中 F 是列满秩矩阵， G 是行满秩矩阵．
−1
的满秩分解(4.1.1)不是唯一的， 不是唯一的， 注 4.1.1 矩阵 A 的满秩分解 不是唯一的 这是因为若取 D 阶非奇异矩阵，则式（ 是任一个 r 阶非奇异矩阵，则式（4.1.1）可改写为 ）
4.1 矩阵的满秩分解
本节介绍将非零矩阵分解为列满秩矩阵与行满秩矩阵的 乘积问题． 乘积问题．
定义 4.1.1 设 A ∈ C 矩阵 F ∈ C
m× r
m× n
且rankA = r (r > 0) ，如果存在列满秩
r ×n
和行满秩矩阵 G ∈ C
，使得 （4.1.1） ）
A = FG
则称式（4.1.1）为矩阵 A 的满秩分解． 则称式（ ） 满秩分解．
P = (e j1 , e j2 ,⋯ , e jn )
称为置换矩阵， 的一个全排列． 称为置换矩阵，这里 j1 j2 ⋯ jn 是1,2, ⋯ , n 的一个全排列． 置换矩阵
0 0 例如， 例如，矩阵 P = (e3 , e 4 , e1 , e2 ) = 1 0
矩阵． 矩阵
下面确定列满秩矩阵 F ，参照 A 的行最简形矩阵 B 作 n 阶置换 矩阵
P1 = (e j1 , ⋯, e jr , e jr +1 , ⋯, e jn ) ，
划分 A = (α 1 , α 2 , ⋯, α n ) ， B = ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) ，则有
AP1 = (α j1 ,⋯, α jr , α jr +1 , ⋯, α jn ) ， E r B12 ， BP1 = ( β j1 ,⋯ , β jr , β jr +1 ,⋯ , β jn ) = 0 0 r ×( n − r ) −1 其中 B12 ∈ C ，再由 A = P B ，可得 E r B12 −1 = ( F , FB12 ) ， AP1 = P ( BP1 ) = ( F , S ) 0 0 列构成的矩阵， 即 F 为 AP 的前 r 列构成的矩阵，也就是 A 的 j1 , j 2 , ⋯, j r 列构成的 1
上例中， 上例中，求列满秩矩阵 F 时，需要求出矩阵 P 及其逆矩阵 P 计算量较大． 为了避免这些运算，引入下面的定义． 计算量较大． 为了避免这些运算，引入下面的定义
−1
，
定义 4.1.2 以 n 阶单位矩阵 E n 的 n 个列向量 e1 , e2 , ⋯ , en 为列构成 的 n 阶矩阵
（4.1.1） ） ． 证明 rankA = r 时，根据矩阵的初等变换理论，对 A 进行初等 根据矩阵的初等变换理论， 行变换， 行变换，可将 A 化为阶梯形矩阵 B ，即
G A → B = ， G ∈ C r×n ， rankG = r ． 0 −1 −1 于是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA = B 或者 A = P B ． 将 P −1 分块为 P = ( F , S ) ，其中
m×n
重新排列所得到的矩阵． 重新排列所得到的矩阵． 我们已知，任意非零矩阵 A ∈ C 我们已知，
设 A∈C
m×n
且rankA = r ，可通过初等
行线性无关． 行变换化为行最简形矩阵 B ，且 B 的前 r 行线性无关
定理 4.1.2
, rankA = r (r > 0) 的行最简形矩阵为
B ，那么，在 A 的满秩分解（4.1.1）中，可取 F 为 A 的 j1 , j 2 , ⋯, j r 那么， 的满秩分解（ ） 矩阵， 矩阵． 列构成的 m × r 矩阵， G 为 B 的前 r 行构成的 r × n 矩阵．
第4章
矩阵分解
把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩 阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中， 阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要 的．因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原 矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇 矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、 异值等， 异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效 的数值计算方法和理论分析根据． 的数值计算方法和理论分析根据．本章将介绍在广义逆矩 阵等理论中常用的矩阵满秩分解和奇异值分解， 阵等理论中常用的矩阵满秩分解和奇异值分解，最后介绍 矩阵的QR分解以及 分解以及Schur定理． 定理． 矩阵的 分解以及 定理
定理） 定理 4.2.1（Schur 定理）若 A ∈ C （
n× n
，则存在酉矩阵 U ，使得
U H AU = T
为上三角矩阵， 这里 T 为上三角矩阵， T 的(主)对角线上的元素都是 A 的特征值． 主 对角线上的元素都是 的特征值．
证明 设 A 的特征值为 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ n ． 若 ε 1 为 A 的属于 λ1 的单 位特征向量． 位特征向量． 把 ε 1 扩充成 C 的一组基
注意到 ε 1
T
及向量组（ λ1ε 1 = λ1 | ε 1 |= λ1 及向量组（4.2.1）的正交性，则有 ）的正交性，
ε 1T T η 2′ λ1 ∗ H ′ ′ U 1 AU 1 = (λ1ε 1 Aη 2 ⋯ Aη n ) = 0 A ⋮ 1 η ′T n n −1 易知 n − 1 阶方阵 A1 的特征值为 λ 2 , ⋯, λ n ． 设 ε 2 ∈ C 为 A1 的属于 λ 2 的单位特征向量，又重复上述步骤， 的单位特征向量，又重复上述步骤，则又有 n − 1 阶酉矩阵 U 2 ，使得
是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时， 当 A 是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时， A 可分解为一个因子 是单位矩阵， 本身，称此满秩分解为平凡分解 平凡分解． 是单位矩阵，另一个因子是 A 本身，称此满秩分解为平凡分解．
定理 4.1.1 设 A ∈ C
m× n
, rankA = r (r > 0) ， 则 A 有满秩分解
3×2 矩阵，从而有 × 矩阵，
0 1 1 A = 2 1 2i 0 0
又如在例 4.1.1 中
1 0 ． 2 0 1
所以
1 0 −1 − 2 2 −1 0 1 行 3 A = 1 2 −1 1 → 0 1 0 = B, 2 2 2 − 2 − 1 0 0 0 0 − 1 0 1 0 − 1 − 2 3 ． A = 1 2 0 1 0 2 2 2
A = ( FD)( D G ) = F G ，
的另一个满秩分解． 这是 A 的另一个满秩分解 的证明过程表明， 注 4.1.2 定理 4.1.1 的证明过程表明，可以使用矩阵的初等行变 换方法求矩阵的满秩分解． 换方Hale Waihona Puke Baidu求矩阵的满秩分解．
−1
~ ~
2 −1 0 1 的满秩分解． 例 4.1.1 求矩阵 A = 1 2 − 1 1 的满秩分解． 2 2 − 2 − 1 为此， 解 需要求出阶梯形矩阵 B 及诸初等矩阵的乘积 P ． 为此，对 进行初等行变换， 距阵 ( A, E ) 进行初等行变换， A 所在的位置成为阶梯形矩阵 B 时， 当 E 所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积 P ．
利用矩阵的满秩分解处理一些矩阵问题时，有时会十分方便． 利用矩阵的满秩分解处理一些矩阵问题时，有时会十分方便． 矩阵， 例 4.1.3 设 A1 与 A2 都是 m × n 矩阵，证明
rank ( A1 + A2 ) ≤ rank ( A1 ) + rank ( A2 ) ． 则结论显然成立． 证明 如果 A1 = 0 ， 或者 A2 = 0 ， 则结论显然成立 ． 如果 A1 ≠ 0 且 A2 ≠ 0 ，设 A1 与 A2 的满秩分解分别为 A1 = F1G1 ， A2 = F2 G2 ，则有 G1 A1 + A2 = F1G1 + F2G2 = F1 , F2 ， G 2