不同借贷利率下的投资组合的有效前沿
现代投资组合理论与实践
现代投资组合理论与实践投资组合理论是指通过选择和配置不同资产以降低风险的理论框架。
现代投资组合理论与实践将统计方法和市场经验结合起来，以支持投资者在多样化投资组合中做出明智的决策。
它的核心思想是通过不同资产之间的相互关联性来实现最佳风险-回报平衡。
在现代投资组合理论中，一个关键概念是有效前沿。
有效前沿是指所有可能投资组合中具有最高预期回报，且给定风险水平下最低方差的一条线。
有效前沿揭示了投资者可以在不同风险水平下获得的最佳组合权重。
这种权衡关系使得投资者能够选择根据自己的风险偏好制定最适合自己的投资策略。
现代投资组合理论还引入了资本市场线的概念。
资本市场线是有效前沿上切线与无风险资产组合所构成的线条。
这条线条显示了最佳投资组合，其中投资者可以与无风险资产进行资金的分配。
该理论假设投资者可以无限制地借贷和借款，并且投资者在无风险率的情况下追求最大化效用。
为了计算有效前沿和资本市场线，必须依靠各种统计工具和数据。
常用的数据包括资产的历史回报率、风险度量和相关系数。
可以使用这些数据来计算资产的预期回报率、方差和协方差矩阵。
通过利用这些数据和计算工具，投资者可以构建一个包含多个资产的投资组合，以最小化风险并最大化回报。
实践中，现代投资组合理论广泛应用于资产管理和风险管理领域。
它为投资者提供了一种可靠的方法来评估和选择投资组合，同时也为资产管理公司提供了一种优化资产配置的工具。
投资者可以利用现代投资组合理论来进行资产配置，从而在投资组合的构建过程中获得更好的风险-回报平衡。
然而，现代投资组合理论也存在一些限制。
该理论基于历史数据，并假设资产的未来表现将与过去相似。
然而，金融市场的波动性和不确定性使得过去的数据不能完全预测未来的表现。
该理论忽视了市场的非理性行为和心理因素对资产价格的影响。
市场情绪和投资者行为可能引发市场的不确定性，从而使资产价格脱离预期的价值。
总的来说，现代投资组合理论与实践是一个重要的投资工具，它将统计方法和市场经验结合起来，为投资者提供了一种科学的方法来管理风险并获取回报。
均值—条件风险价值模型有效前沿分析——以含无风险资产和持有期为研究视角
中 图分 类 号 ： Ｆ３ ．９ ８ ０ ５
文献标志码 ： Ａ
文章 编 号 ： １０ ４ ７ （０ ２ ０ ０ ２ ０ ０ ９— ４ ４ ２ １ ）３— １２— ５
Ｅｆ ｃｅ ｔＦｒ ｎｔｅ ａ ｙ ｉ ｆＭ ｅ ｎ． ｉ ｆ ｉ ｎ ｏ ｉｒ Ａｎ ｌ ｓｓ ｏ ａ ＣＶａ Ｂａ ｅ ｎ Ｒｉｋ－ｒ ｅ Ａｓ ｅ Ｒ ｓ ｄ ｏ ｓ ｆ ｅ ｓ ｔ ａ ｄ Ｈｏ ｄ ｎ ｒｏ ｎ ｔｏ ｎ ｌ ｉ ｇ Ｐｅ ｉ ｄ Ｃｏ ｄｉｉ ｎ
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金融经济学-名词解释
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换行动所产生的结果已知。
它排除了任何随机事件发生的可能性。
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。
即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。
但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。
不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。
即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。
自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因素。
自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种状态发生）自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P（s）满足：0≤p（s）≤1，这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自然的信念。
不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就是唯一的。
数学期望最大化原则：数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。
这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。
期望效用原则：指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。
而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。
穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的。
效用函数的表述和定义：不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。
因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery）或未定商品（contingent commodity。
无风险利率下投资组合的有效前沿
一
、
具 进行 演 算 。 二 、 ａ ， ｉ 模 型 的 有效 前 沿 【 Ｍ ｄ０ ￡ ｗｚ 】
２ ０世 纪后 半期 ， 尔 街发 生 了 两 次数 学 革 命 ， 华 使 数学 工 具 和方 法 在 金 融 实 践 中 的 应 用 得 到 了很 大的 发展 。１５ ９２年 ， ａｒ． Ｍａｋｗｔ发 表 了著 名 Ｈ ｒ Ｍ． ｒｏ ｉ ｙ ｚ 的论 文 “ ｏｔ ｌ ｅ ｃ ｏ ” 标 志着 华 尔街 第 一 次 数 Ｐ ｒｏｏＳｌ ｔ ｎ ， ｆｉ ｅ ｉ 学革命 的开始 ＿ 。该 文 提 出 的 均 值 一方 差 分 析 首 ｌ Ｊ 次定 量地 分 析 了投 资 组 合 中风 险 与 收 益 之 间 的 内 在关 系 ， 人 们可 以 系统 地描 述 和解 决 投资 组合 的 使
无 风 险 利 率 下 投 资 合 的 有 效 前 沿 组
任 达
屠 新 曙２
（． １ 天津 大 学，天津 ：０ ０ ２ ． 潭 大学 ，湘 潭 ： １１５ ３ ０ ７ ；２ 湘 ４ １０ ）
摘
要： 本文 考 虑无 风 险利 率 下投 资组 合 的有 效前 沿 问题 。本 文 首 先把 Ｍａｋｗｔ模 型的 有 效 ｒｏ ｉ ｚ
北 京 理工 大学 学报 （ 社会 科 学版 ）
２Ｏ Ｏ２年第 ２期
我们 知 道 ， 型 （ ） 解集 合 在 口 － 空 间中是 图 １ 将 （ ） 模 ，的 Ｐ耶 ４ 式带 入 （ ） 中 ， ２式 我们 就 得到
中的抛 物线 Ａ 被 称 为投 资组 合 的有 效 前 沿 。 Ｂ，
股票投资中投资组合理论的应用分析
股票投资中投资组合理论的应用分析投资组合理论主要包括以下几个方面的内容：1. 有效前沿（Efficient frontier）有效前沿是指投资组合在风险和收益之间达到最优平衡的曲线。
投资者可以通过选择不同的投资组合，以达到最佳收益和风险平衡的目标。
有效前沿可以帮助投资者优化投资组合并最大化回报。
2. 互不相关性（Diversification）互不相关性是指选择不同领域、不同行业、不同地理区域、不同市场的股票组成投资组合。
通过选择互不相关的资产，可以降低整个投资组合的系统性风险和波动性。
投资组合中包含的股票不应是同一种类的，应通过审慎选择使得投资组合中每只股票的贡献值可以得到充分利用。
3. 个股风险与系统风险（Systematic Risk vs. Idiosyncratic Risk）在投资中，股票的风险主要存在这两方面。
企业自身的风险，称之为独特风险，这类风险可以通过资产的均衡分散减少，使投资者获得更好的收益；由经济环境变化等不可预计的因素所导致的风险，所有股票都会有，称之为系统性风险，因此必须透过组合，通过分散投资降低它的影响。
在实际的股票投资中，应用投资组合理论可以帮助投资者降低风险、最大化收益，具体如下：1. 投资者可以通过分配资金到不同的公司和行业，提高整个投资组合的多样性，降低风险。
这可以通过选择来自不同行业、不同规模的公司的股票来实现。
2. 投资者应该通过合理的配置资产权重，构建一个最佳的投资组合，以获得最大的投资回报率。
同时，投资者应该充分考虑整体风险水平，并避免过度投资某个股票，以降低投资组合的波动性。
3. 投资者可以通过定期监管和重新平衡投资组合的持仓，以确保它们保持与市场的同步性。
如果某些股票的数量过于大或过小，则应重新平衡股票，以确保整个投资组合的风险和收益水平达到最佳。
综上所述，投资组合理论是股票投资中不可或缺的一部分，它可以通过选取不同的股票，分散投资风险，优化投资组合，以达到最佳的收益和风险控制。
有效前沿曲线公式
有效前沿曲线公式
有效前沿曲线（Efficient Frontier）是投资组合理论中的一个重要概念，它描述了在给定的风险水平下，投资者可以期望获得的最大回报。
这条曲线是在均值-方差框架下，通过优化投资组合中各个资产的权重来得到的。
在投资组合理论中，通常假设投资者是理性的，并且希望在给定的风险水平下最大化预期收益，或者在给定的预期收益水平下最小化风险。
有效前沿曲线就是在这样的假设下得到的，它表示了所有可能的投资组合中，风险和预期收益之间的最优权衡关系。
有效前沿曲线的公式通常是通过优化问题来得到的，而不是一个简单的数学表达式。
优化问题的一般形式可以表示为：最大化：预期收益率- 风险厌恶系数* 风险（方差或标准差）
或者
最小化：风险（方差或标准差）
约束条件：预期收益率>= 某个目标值
其中，预期收益率和风险可以用投资组合中各个资产的预期收益率、方差和协方差来计算。
风险厌恶系数是一个反映投资者对风险厌恶程度的参数，它的取值越大，表示投资者对风险的厌恶程度越高。
通过解这个优化问题，可以得到在给定的风险水平下，预期收益最大的投资组合，以及在给定的预期收益水平下，风险最小的投资组合。
这些投资组合构成了有效前沿曲线上的点。
需要注意的是，有效前沿曲线是在一定的假设条件下得到的，实际应用中可能受到多种因素的影响，如交易成本、市场不完全性、投资者偏好等。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和改进。
VaR约束对借贷资产组合的影响
合的有效 前沿 为 ：
— ｒ ｒ －・
［ 参考文献］
（ ｐ一 ０ ０ ０ ） ． ３ ４。
一 ●
０． ４ ８ ０４
０ ０１ ９ ． ２
‘
荣喜民。 基于均 值－Ｖａ － Ｒ的投资组合最优化［］ 数理统 Ｊ．
（ ｕ Ｎｏ ６ ） Ｓ ｍ ． ８
Ｖｏ ． Ｏ Ｎｏ ４ １２ ．
Ｖａ Ｒ约束对借贷资产组合 的影 响
杨
［ 摘
静， 陈希镇
３５ ３ ） ２ ０ ５
（ 州大学 数学与信息科学学院 ， 温 浙江 温州
要］ Ｖａ Ｒ方法是 目前国际上 金融风险计量和管理中最有效 的方法之一。本 文分析 了Ｖａ Ｒ约束在实
当 ｒ＝２ｏ Ｌ ． ％时 ， 有效 前沿 的 切线 ， 作 可得 切点
（． ２ ９ ． ７ ４ ， ２ ３ ５ ，１ ２ ３ ） 即
ＥＭ Ｉ １ ７ ４，ｒ ．２ ３ ｄ １＝ ２ ２ ９； ．３ ５
处
计与管理 ，０ ５ ９ ２ ０ 。．
帅晋瑶． ａ Ｖ Ｒ约束下均值方差模型在基金资产配置 中的 应用［］ 运筹 与管理 ，０ ５ （２ ． Ｊ． ２０ ，１ ）
大学教 授， 硕士生导师 ， 主要研究方向 教育统计、 金融统计 。
４ ３
维普资讯
维普资讯
杨
静等
Ｖ Ｒ约束对借贷资产组合的影响 ａ
２０ 年 １ 月 ０６ ２
表 １ 三 类 资 产 的方 差 一收 益
（ ） Ｖａ 低 于 ３ ２ 时 ， 出 无 风 险 资产 和 １当 Ｒ ．８ 贷 投资 于风 险资 产。 （ ） Ｖａ 介 于 ３ ２ 和 ５ １ 之 间时 ， 投 ２当 Ｒ ．８ ．４ 仅
投资组合中的可行集及有效边界问题研究报告
投资组合中的可行集与有效边界问题研究王晓乐（工学院经济与管理学院，213002）摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。
文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。
关键词：投资可行集有效边界CAPM模型一、引言（一）课题研究的背景面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。
投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。
（二）课题研究的价值投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。
二、已有相关研究观点评介关于资产定价的原理和模型的研究，国不乏众多学者。
工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。
[1]东华大学理学院的静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。
[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。
利率的变化对投资策略的影响
利率的变化对投资策略的影响利率是经济活动中的一个重要指标，它直接关系到投资者的投资决策和策略。
随着经济的变化，央行会调整利率，以促使经济的发展或调整经济周期。
因此，投资者需要密切关注利率的变化，并相应调整自己的投资策略。
利率主要分为两类：市场利率和借贷利率。
市场利率是指市场上各类投资品的收益率，如国债收益率、股票收益率等。
借贷利率则是指银行对借贷资金收取的利息。
这两类利率的变化都会对投资者的决策产生重要影响。
首先，市场利率的变化对投资策略的影响主要体现在不同投资品的相对收益率上。
当利率上升时，投资品的收益率也往往会上升，这会使得投资者更倾向于购买市场上的高收益品种。
例如，当国债收益率上升时，相对于国债而言，股票等风险较高的投资品的收益率可能更高，这会吸引投资者将资金从国债转移到股票市场。
反之，当利率下降时，债券市场的收益率通常会上升，从而使得债券成为较为吸引人的投资选择。
因此，市场利率的变化对投资者选择投资品种和配置资产的决策起到重要影响。
其次，借贷利率的变化对于投资者的策略也有深远的影响。
当借贷利率上升时，借贷成本增加，投资者在进行杠杆投资时需要支付更多的利息支出。
这会使得投资者在进行投资决策时更加谨慎，可能会减少借贷资金的使用，降低投资风险。
另一方面，借贷利率上升也可能使得借款人的偿债能力下降，从而增加了债务违约的风险。
这可能导致市场信心的下降，进而影响股票市场的表现。
因此，在借贷利率上升的背景下，投资者需要更加审慎地选择和管理其投资组合，以降低风险。
然而，利率变化并不一定对所有的投资策略产生相同的影响。
根据不同的投资风格和偏好，投资者可以利用利率变化来制定不同的策略。
例如，短线投资者可能更加关注市场利率的波动，利用利率的短期变化进行投机操作。
长线投资者则更注重经济周期和利率的长期趋势，以寻找长期投资机会。
此外，投资者还可以通过利率衍生品等工具来进行利率套利，从利率变化中获得更多的收益。
除了利率变化对投资者的直接影响，还需要考虑其他与利率相关的因素。
存在无风险借贷机会时投资的有效边界
存在无风险借贷机会时投资的有效边界由公式（2）可得RP F x σσ-=1，将之代入公式（1），整理后可得：PRFR F P r r E r r E σσ-+=)()( （3）这就是由无风险资产和风险证券组合构成的组合的机会集方程。
由公式（3）可以看出，当存在无风险借贷机会时，投资组合的期望收益率与其所涉及的风险（标准差）之间存在的关系变成了线性关系。
图1 存在无风险借贷机会时投资的有效边界图1中，曲线RM 表示仅仅由风险证券构成的组合的有效边界，R 是它上面的任意一个风险证券组合。
由无风险资产和风险证券组合R 的组合构成的机会集是由Fr 点出发连接F r 和R 的一条射线R r F。
在射线R r F 上的点Fr 表示投资者将所有资金都投资于无风险资产，所得的收益率为F r ，风险为零；在线段R r F中间的点，表示将一部分资金投资于无风险资产，余下部分投资于风险证券组合R 所构成的组合，是一种“贷出性投资组合”，其收益率大于F r 而小于)(R r E ，风险大于零而小于Rσ，越靠近Fr 的点，无风险证券的投资比重越大，而越靠近R 的点，无风险证券的投资比重越小。
点R 表示将所有资金都投资于风险证券组合R ，所获的期望收益率为)(R r E ，风险为Rσ；射线R r F上R 点右侧延伸线所代表的组合是卖空无风险资产，并将卖空所得与自有资金一起投资于风险证券组合R ，是一种“借入性投资组合”，其期望收益率大于)(R r E ，风险也大于Rσ。
然而，投资于R 点所代表的风险证券组合并非是最佳的，投资者更希望将无风险资产与别的风险证券组合相结合。
射线Mr F由F r 点出发与风险证券有效边界相切，切点M 称为切点投资组合。
除点F r 外，在收益率给定时，射线Mr F是所有由无风险资产和风险证券组合构成的投资机会集中风险最小的；在风险给定时，射线Mr F 是所有由无风险资产和风险证券组合构成的投资机会集中收益率最大的。
有效前沿在风险投资组合中的应用
资金用 于无 风 险资产 Ｆ的投资 比例 为 ｗ ， 余 的 ，剩
资金 比例将 用于 有风 险资产 投资 。此 时 的投 资者
ｆｉｒ Ｗ ｍｎ；＝ ∑Ｗ ｏ
ｌ． ｓｔ
，
对 风 险的承 受能 力 不 高 ， 选 择 Ａ 之 间 的投 资 将 Ｍ
组 合来 进行 投资 。
Ｗ Ｒ＋（ １一ｔ Ｒ 尺 ／ ）ｒ ２ ｒ Ｗ ， 口
一
Ｍ
￣ ａ— （一ｂ￣ ） ／ ｃ ｂ）ｃ ２ｚ＋ （ ｔ
１
，
／。。。。 。— 。。。 ａ。 。 。。 ‘。 ｃ。。。。‘Ｚ 。 ２Ｒ’。 。 。。 。。 — － ｂｆ 。ｆ ＋。 ‘Ｒ
从 上式 可知 ， 有效 前沿 过点 的切线 斜率 与 资本
市场线 的斜 率相 等 ， 因此 风 险 资产 投 资 组 合 的有
∑ ＝ ， ｒ１ 】
：
●
：
●
ｎ１
ｆ ，Ｍ
其 中 ０， ｖ表示资 产 ｉ 与资产 的协 方差 。假 设 投 资 者对这 ｎ种 资 产 的投 资 比例 为 ｗ ＝（ Ｗ ， Ｗ ， …，
ｌ 经典投 资组合模型
假设 有 ／种有风 险资 产可供 投资 者选择 ， ｉ ＇ ｔ 第
７ ４
沈 阳 航 空 航 天 大 学 学 报
第２ ９卷
对于 一个投 资者 ， 我们 假 设其 效 用 函数 为 Ｕ ，
３ 无差异 曲线与最佳投资组合
投 资者 在对风 险资 产进 行 投 资 决 策 时 ， 于 对
０ 。这 时投 资者既 不 把资 金 用 于无 风 险 资产 Ｆ的
２ 资 本 市 场 线 与有 效 前 沿 相 切
假 设在 资本 市 场 中存 在一 个 无 风 险资 产 Ｆ， 其 收益 率为 ，标 准差 为 ０ 设 投 资者 对 这 ｎ＋１ ， ， 种资产 进行 投资 时 的投 资 比例为 Ｗ＝（ ｓＷ ， Ｗ ， ）
投资学之最优投资组合与有效边界
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn
第三讲有效前沿与最优证券组合
最优证券组合
存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 – XI），从而证券组合的 期望收益率
证券组合的期望收益率
X( r r r Xr ( 1 XIr ) f r f f I) p
T T
T
投资者的问题可表示为：
r
p
C
有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切 的射线 r p
e A
r
f
D
B O
p
N 种股票及一种债券
问题
1 T min X VX 2
T _ T _
s.t X r ( 1 XI) r r f p 构造拉格朗日函数：
_ _ 1 T T T L X VX [ Xr ( 1 XIr )f r ] p 2
一阶条件： _ L V X r I 0 T X _ L _ rpXT r 0
L 1 XT I 0
由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得
_ 1 X V ( r I ) _ _ _ _ _ (C rp A) / D T 1 T 1 rp ( r V r ) ( r V I ) _ _ _ (B Arp) / D 1 T 1 1 (I V r) (I V I ) _ _ _ T 1 T 1 T 1 A I V r C I V I Br V r
当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切 点证券组合构成。
计算方法与例题
切点e证券组合的计算方法
例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益 率 r1=12%，r2 = 8%，方差分别为1= 10 和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点 证券组合Xe. 三种解法。
投资学分离定律的有效前沿
投资学分离定律的有效前沿为什么要进行多元化投资，进行资产组合管理，因为构建投资组合可以带来分散化的效用，从而带来免费的午餐，作为大多数非专业投资者，如果自己构建投资组合存在一定的难度，但这种好处确实又不容错过（毕竟在资本市场，长期来看免费的午餐并不多，分散化投资算是其中之一了），所以，本期主要谈谈如何合理构建最优投资组合（注意：区别于最优风险资产组合）。
最优投资组合的构建主要从两个层面展开，第一个层面是构建最优风险资产组合，请参阅从构建投资组合到超越指数化投资系列（六），第二个层面是构建最优投资组合（根据托宾提出的两基金分离定律，把最优风险资产组合和无风险资产进行再组合）。
话说在金融市场上，每一天每一刻，投资者们无不在绞尽脑汁思考两个问题：（1）有没有一个收益最大、风险最小的组合？（2）它在哪里？为了搞清楚这个问题，经济学家们简化了这个世界，在这个简化的世界中，马科维茨老爷爷率先找到了这个组合，即最优风险资产组合。
上文对构建最优风险资产组合权重怎么确定进行了介绍从构建投资组合到超越指数化投资系列（五），但马科维茨老爷爷也留给后人了一些问题，比如：在过往，我们需要为保守的投资者——比如跳广场舞的退休大妈——推荐风险较低的股票，凑成一个组合，然后为事业正在上升的年轻人——比如年轻有为的富二代——推荐高风险的股票，再重新构成一个新的组合。
这样操作还是比较麻烦的，毕竟每个人的风险偏好水平都各不相同，准确找到那些能为不同投资者带来最适合的风险水平的投资组合并不是一件容易的事情而且耗时耗力，而这会缩小管理资金的募集群体和范围，提高管理资金的成本费用率。
其实，留给后人的问题还挺多的，但都不是本期的重点，还比如，均值-方差模型体系隐含了收益率的正态分布假设（每次事后，我们都会反思黑天鹅，反思人性的贪婪与罪恶，但想要超越正态分布假设，跳出这一套体系，提出简单易行的收益-风险度量工具，目前还没有人能彻底摆脱）；再比如，假定当前市场价格、预期收益率、标准差和相关系数是外生变量，即金融资产价格是均衡价格，个人行为无法影响市场价格（在现实中，人的行为会影响价格，特别是大的金融机构投资者会影响到这些变量，这就是为什么行为金融学很喜欢分析异质性，也是为什么高频交易能挣钱的原因）。
投资组合理论及其在实践中的应用
投资组合理论及其在实践中的应用投资组合理论是现代金融学的重要理论之一，它以马科维茨的资产组合理论为基础，旨在通过构建适当的投资组合来实现风险和收益的最优平衡。
投资组合理论的核心思想是通过将不相关的或低相关性的资产组合在一起，可以降低总体风险，提高收益。
一、投资组合理论的基本原理投资组合理论的基本原理可归纳为以下几点：1. 风险多样化：通过组合不同类型或不同类别的资产，可以实现对冲风险的目的。
当一个投资品的价值下跌时，另一个投资品的价值可能上涨，从而减少总体风险。
2. 预期收益与风险的权衡：投资者通常会对预期收益与风险之间的关系进行权衡。
对于风险厌恶的投资者而言，他们更倾向于选择风险较低的投资组合，即使预期收益较低。
3. 有效前沿：有效前沿是指在给定风险水平下，可以实现最大预期收益的所有投资组合。
有效前沿的存在使得投资者可以选择最佳的投资组合，以满足其风险偏好和收益目标。
4. 无风险资产的引入：在实践中，投资组合中通常会引入无风险资产（如国债），以实现更好的风险收益平衡。
通过在无风险资产和高风险资产之间调整权重，投资者可以根据自身的风险偏好选择最佳的投资组合。
二、投资组合理论在实践中的应用1. 个人投资者：对于个人投资者而言，投资组合理论提供了一种科学的方法来优化个人的投资组合。
根据个人的风险承受能力和收益目标，个人投资者可以通过选取适当的资产组合来达到风险最小化或收益最大化的目标。
2. 机构投资者：机构投资者通常管理着大额资金，其投资决策对市场具有较大的影响力。
基于投资组合理论，机构投资者可以通过分散投资于不同类型的资产，降低整体风险，并获得更好的长期收益。
3. 资产管理公司：资产管理公司可以利用投资组合理论来为客户提供专业的投资组合管理服务。
通过根据客户的风险偏好和收益目标构建适当的投资组合，资产管理公司可以帮助客户实现资产增值和风险控制。
4. 金融学研究：投资组合理论在金融学研究中发挥着重要作用。
投资组合理论中的有效前沿模型
投资组合理论中的有效前沿模型投资组合理论是现代金融学的基石之一，它旨在通过合理配置资金来优化投资组合的风险和收益。
其中，有效前沿模型是一个重要的工具，用于确定最佳的投资组合组合，以实现给定风险水平下的最大收益或最小风险。
有效前沿模型的核心思想是通过通过组合不同的资产，可以实现收益的最大化或风险的最小化。
这种思想的基础是资产之间的相关性。
如果两个资产的收益率高度相关，那么它们在投资组合中提供的多样性将较小，风险也相应较高。
但是，如果两个资产的收益率几乎没有相关性，那么它们可以通过投资组合来实现更高的收益，并降低整体风险。
在有效前沿模型中，首先需要确定投资组合的收益率和风险。
收益率可以通过历史数据或基本分析来预测，而风险则可以通过标准差或方差来衡量。
接下来，需要计算每个资产与其他资产之间的相关系数，并根据这些数据构建投资组合。
然后，可以使用投资组合的收益率和风险来绘制有效前沿曲线。
有效前沿曲线显示了给定风险水平下可实现的最大收益。
曲线上的任何一点代表一个具体的投资组合，而曲线越往上越靠近顶点，意味着更高的收益。
根据投资者的风险偏好，可以从曲线上选择一个适合的投资组合。
然而，投资者在确定最佳投资组合时还需要考虑其他因素，如流动性和成本。
流动性是指资产的易变现性，而成本则包括购买和卖出资产所需的费用。
在实际操作中，投资者通常需要权衡收益、风险、流动性和成本等多个因素。
有效前沿模型还可以与资本资产定价模型（CAPM）相结合，来进一步完善投资组合的选择。
CAPM通过分析市场风险和无风险利率来确定每个资产的期望收益率，从而帮助投资者评估资产的估值和潜在回报。
将CAPM与有效前沿模型结合，可以更准确地确定投资组合的收益和风险，并提供更具体的投资建议。
总之，投资组合理论中的有效前沿模型为投资者提供了一个清晰的框架，用于确定最佳的投资组合。
通过分析资产之间的相关性和考虑其他因素，投资者可以在不同的风险偏好下选择适合自己的投资策略。
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不同借贷利率下的投资组合的有效前沿屠新曙1巴曙松21. 湘潭大学商学院，湖南湘潭，4111052. 北京大学中国经济研究中心，北京，100871摘要：Sharp、Lintner和Mossin发现的资本资产定价模型（CAPM）是一个一般均衡模型，不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。
因此CAPM为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础。
然而，CAPM假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷出，这在现实的市场运作中是无效的。
事实上，投资者借入资金需要支付比贷出或投资资金更高的利率。
所以探讨不同利率下的投资组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。
本文研究了不同借贷利率下投资组合的有效前沿，并运用我们自己创立的一种几何方法给出了该有效前沿的方程。
在本文中，我们首先把Markowitz模型的有效前沿用投资组合的权重向量表示出来[7]，然后将不同借贷利率下的资本市场线（CML）也用投资组合的权重向量表示出来，再由CML的定义就在Markowitz模型的有效前沿上分别求出不同借贷利率下资本市场线与Markowitz模型有效前沿的切点，同时也得到不同借贷利率下CML的斜率，这样我们就得到了不同借贷利率下投资组合的有效前沿。
关键词：市场投资组合，有效前沿，资本市场线1.引言在二十世纪后半期，华尔街发生了两次数学革命，使数学规划和随机方程等数学工具和方法在金融实践中的应用得到了很大的发展。
1952年，Harry.M.Markowitz发表了著名的论文“Portfolio Selection”，标志了华尔街第一次数学革命的开始[1]。
该论文提出的均值-方差分析首次定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系，使人们可以系统地描述和解决投资组合的最优化问题，它在投资组合理论中具有关键作用。
Markowitz模型是规范性的——它指明了投资者应该如何去行动，这一行动需要解决如下隐含的问题：（1）证券的价格行为；（2）投资者期望的风险-回报率关系的类型；（3）衡量证券风险的适当方法。
1964-1966年，Sharp、Lintner和Mossin分别独立地发现了资本资产定价模型（CAPM），这是一个一般均衡模型，它试图为这些问题提供较为明确的答案[2-5]。
CAPM不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。
因此CAPM为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础。
然而，CAPM假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷出，这在现实的市场运作中是无效的。
金融中介机构在贷出资金时的利率会比借入时高，这样投资者的利差中包括了自身的边际利润和对信用风险的补偿增益，因此借入资金需要支付比贷出或投资资金更高的利率。
所以探讨不同利率下的投资组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。
本文研究了不同借贷利率下投资组合的有效前沿，并运用我们自己创立的一种几何方法给出了该有效前沿的方程。
在本文中，我们首先把Markowitz模型的有效前沿用投资组合的权重向量表示出来[7]，然后将不同借贷利率下的资本市场线（CML）也用投资组合的权重向量表示出来，再由CML 的定义就在Markowitz模型的有效前沿上分别求出不同借贷利率下资本市场线与Markowitz模型有效前沿的切点，同时也得到不同借贷利率下CML的斜率，这样我们就得到了不同借贷利率下投资组合的有效前沿。
我们的目标是开发一种理论，这种理论是不同借贷利率下的投资组合理论，同时我们还提供计算不同借贷利率下投资组合有效前沿的算法工具。
我们强调在算法上，不同借贷利率下投资组合的有效前沿通常不能用简单的分析工具进行演算。
2. Markowitz 模型的有效前沿[6]投资组合的构建就是选择纳入投资组合的证券并确定其适当的权重，即各证券所占该投资组合的比例。
Markowitz 模型表明，构建投资组合的合理目标应是在给定的风险水平下形成一个具有最高回报率的投资组合，或者是在给定的回报率水平下形成一个具有最小风险的投资组合。
具有这种特征的投资组合叫做有效的投资组合，它们位于下列模型的解集合中。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑=∑=1..)(max min )(12n i i T p T p xt s R X r E X X I σ 其中，T n R R R R ],,[21 =，)(i i r E R =是第i 种资产的预期回报率，T n x x x X ],,,[21 =是投资组合权重向量，n n ij ⨯=∑][σ是n 种资产间的协方差矩阵，)(p p r E R =和)(2p p r Var =σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
p σ称为回报率的标准差，表示投资组合的回报率p r 偏离)(p r E 的幅度，被Markowitz 用于度量投资组合的风险。
我们知道，模型)(I 的解集合在p p R -σ空间中是图1中的抛物线AB ，被称为投资组合的有效前沿。
图1 有效前沿由我们发表在《中国管理科学》（2000年第3期）的工作“求解投资组合最优权重的几何方法”可知，这个有效前沿可由下列n-2个方程构成的线性方程组表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----------211,222,211,2211,2222121111,1212111n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2.1) 其中nn n n jn nn n j n i jn in nn ij ij R R R R a ---+----+=---1,11,σσσσσσσσ()1,,2,1,2,,2,11,1-=-=--+---=--n j n i R R R R b n n nn n n n i nnin i σσσσ3. 不同借贷利率下的资本市场线（CML ）及投资组合的有效前沿在CAPM 的世界里，决定有效组合的风险与收益关系是一件简单的事情。
图2以图形的方式生动地描述了它。
f r 代表无风险利率，有效组合落在从f r 出发与原Markowitz 模型有效前沿相切的直线上。
这条直线就是大家所知的资本市场线（CML ），它具有如下方程：p M fM f p r R r R σσ-+= (3.1)在这里，M R 和M σ分别代表切点M 的期望回报率与标准差。
图2 资本市场线我们将（3.1）式改写为如下形式：p f p k r R σ+= (3.2)下面我们来讨论不同借贷利率下的资本市场线。
假设投资者的借入利率为1f r ，贷出利率为2f r ，21f f r r >则不同借贷利率下的资本市场线分别是图3中的CML1和CML2，它们的方程分别是：p f p k r R σ11+= (3.3)p f p k r R σ22+= (3.4)因此，要求出不同借贷利率下的资本市场线，我们只需求出它们的斜率1k 和2k 即可。
将（3.3）转化为如下形式：)2(12112212f f p p p r r R R k +-=σ (3.5)图3将模型)(I 中的R X R T p =和X X Tp ∑=2σ代入（3.5），就得到： ])(2[1212121R X R X r r k X X T T f f T +-=∑ (3.6) 因为线性方程组(2.1)的秩是2-n ，所以它的基础解系的个数是1，即132,,-n x x x 都可由1x 表示（利用消元法可得）。
由于∑==n i i x11，因此n x 也可由1x 表示。
将n x x x x ,,,321代入（3.6）式，就得到关于1x 的一元二次方程，因为点1M 是切点，所以1x 只有一个根。
由求根公式，就可求出1k 和1x ，然后就自然得到n x x x ,,32的值，这就得到点1M 处的权重了，同时也由1k 的值得到CML1方程。
再由下面两式：R X R T p = (3.7)X X T p ∑=2σ (3.8)我们就分别切点1M 的期望回报率和方差1M R 、21M σ。
类似地，由方程（3.4）可得2k 、CML2方程及切点2M 的期望回报率和方差2M R 、22M σ。
得到不同借贷利率下的资本市场线CML1和CML2后，我们就能确定不同借贷利率下投资组合的有效前沿，它就是图3中的实线F M CM 12，这是由两条直线（CML2和CML1）和一段弧线（12M M ）组成的折线。
这时，投资者有三种可供投资选择的期望回报率：（1）当投资者的期望回报率低于2M R 时，他就贷出无风险资产和投资于风险资产；（2）当投资者的期望回报率介于2M R 和1M R 之间时，他就仅投资于风险资产；（3）当投资者的期望回报率高于1M R 时，他就借入无风险资产并投资于风险资产。
4. 算例为了说明不同借贷利率下投资组合有效前沿的具体算法，我们将考虑美国市场上三种主要的资产类型：国际权益类、美国国内股票类和长期债券。
这三类证券是被投资组合经理或大型的投资者经常使用的，或是作为所考虑的资产类型的全体，或是作为所考虑的资产类型的重要部分，而其他部分尚可扩充。
因此这些资产可以看作资产配置所产生的这一类实际效果的代表，同时又能清楚地说明其应用过程。
表4—1表示这三类资产在1926~1993年间各自实现的年回报率和这些回报率的标准差以及这些资产类型之间的相关性[7]。
假设银行的存贷利率分别为 2.0%和3.7%，则投资者的借贷利率分别为3.7%和2.0%。
表4—1 三类风险资产的风险—回报率数据（1926~1993年）由表4—1，我们知道：T R ]4.53.125.15[=，969.249942.57844.34769.757.825.4205.2009.9183.30233232231331311312212112223332222222111==================ρσσσσρσσσσρσσσσσσσσσσ 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∑6900.759690.249942.579690.24250.420844.3479942.57844.347090.918所以，方程组(2.1)变为方程： 5988.5918.30552.3721-=-x x (4.1)因而1213122146.08189.012146.11811.0x x x x x x +=--=-=由于%7.31=f r ，因此方程（3.6）变为：])(4.769.13[1])(2[1221212121R X R X k R X R X r r k X X T T T T f f T +-=+-=∑ (4.2) 将R 、∑ 和 T T x x x x x x X ]2146.08189.0,2146.11811.0,[],,[111321+-==代入（4.2），就得到关于1x 的一元二次方程：09465.717002.8)9675.141419.10()4309.6279556.2(211212121=-+-+-k x k x k (4.3) 由求根公式，要使1x 只有一个根，就必须满足：042=-=∆ac b ，即0)9465.717002.8)(4309.6279556.2(4)9675.141419.10(2121221=----k k k (4.4) 解之，得：1241.021=k 或 3523.01=k同时，可得0553.08171.1492844.8)1241.04309.6279556.2(21241.09675.141419.1021=--=⨯-⨯--=-=a b x 将1x 代入到2x 和3x 中，得：8308.02146.08189.011139.02146.11811.0121312=+=--==-=x x x x x x因此，我们就得到切点1M 的投资权重： T X ]8308.01139.00553.0[1=由公式（3.7）和（3.8），就分别得到切点1M 的期望回报率和方差：9393.74%74.6211==M M R σ所以，切点1M 的回报率标准差为：%66.81=M σ。