高考数学热点难点突破技巧第06讲导数中的双参数问题的处理
导数中双变量问题的四种策略
导数中双变量问题的四种策略双变量问题的几种处理策略策略一：合并思想已知函数$f(x)=\ln x$的图像上任意不同的两点的中点为$A(x_1,y_1)$。
$B(x_2,y_2)$，线段$AB$的中点为$C(x,y)$，记直线$AB$的斜率为$k$，试证明：$k>f'(x)$。
解析：因为$f(x)=\ln x$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}$。
又因为k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\ln x_2-\lnx_1}{x_2-x_1}=\frac{\ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}$$不妨设$x_2>x_1$，要比较$k$与$f(x)$的大小，即比较frac{\ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}\text{和}\frac{1}{x_1}$$的大小，即比较ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\frac{1}{x_2-x_1}}\text{和}e^{\frac{1}{x_2-x_1}}$$的大小。
又因为$x_2>x_1$，所以frac{x_2-x_1}{x_2+1}<\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\frac{1}{x_2-x_1}}<\frac{x_2-x_1}{x_1}$$因此frac{x_2-x_1}{x_2+1}<k<\frac{x_2-x_1}{x_1}$$又因为$x_2>x_1$，所以$\frac{x_2-x_1}{x_2+1}>\frac{1}{2}$，因此$k>f'(x)$。
策略二：分离思想问题2：若$g(x)=\ln x+\frac{1}{x}$，求$a$的取值范围，使得对任意的$x_1,x_2\in(1,2)$，都有$g(x_2)-g(x_1)<-1$。
高考数学中的函数与导数的应用技巧
高考数学中的函数与导数的应用技巧高考数学中函数与导数的应用技巧在高考数学中，函数与导数是两个非常重要的知识点。
它们在各个科目中都扮演着不可或缺的角色，同时也是考试中必考的内容。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握它们的应用技巧。
下面将简要介绍高考中函数与导数的应用技巧。
一、函数的应用技巧在高考中，函数是一个非常重要的知识点。
其应用范围涉及到各个分支学科。
掌握好函数的应用技巧，可以帮助我们更好地解决问题。
1.函数的连续性在高考数学中，函数的连续性是一个非常重要的概念。
如果一个函数在某个点上连续，那么它在该点的极限就等于该点的函数值。
利用这个概念，我们就可以使用代数法和图像法来判断函数的连续性，从而更好地解决问题。
2.函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。
在高考中，我们需要通过函数的单调性来进行最值的求解。
如果一个函数在某个区间上单调递增，那么该区间的最小值就是函数在该区间左端点处的函数值。
反之，如果一个函数在某个区间上单调递减，那么该区间的最大值就是函数在该区间右端点处的函数值。
因此，掌握函数的单调性可以帮助我们更好地解决最值问题。
3.函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性质。
在高考中，我们需要通过函数的奇偶性来判断函数的对称中心以及进行函数的分解。
如果一个函数为奇函数，则该函数在原点处对称。
如果一个函数为偶函数，则该函数在坐标轴上的所有点对称。
因此，掌握函数的奇偶性可以帮助我们更好地进行函数的图像分析以及函数的求解。
二、导数的应用技巧在高考数学中，导数是一个非常重要的知识点。
其应用范围涉及到各个分支学科。
掌握好导数的应用技巧，可以帮助我们更好地解决问题。
1.导数的定义在高考数学中，导数的定义是一个非常重要的概念。
通过导数的定义，我们可以求解函数在某个点的切线斜率。
在实际应用中，我们可以利用导数的定义来判断函数的单调性、最值、曲线的凸凹性等问题。
2.导数的求解在高考数学中，导数的求解是一个非常重要的环节。
高考数学复习讲义：破解导数问题常用到的4种方法
(－∞，－a－1)，(a，＋∞)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，极大
值为 f(a)＝1.当 a<0 时，f(x)的递增区间是(－∞，a)，(－a－1，
＋∞)，递减区间是(a，－a－1)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，
极大值为 f(a)＝1.
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[题后悟通] 求导后，若导函数中的二次三项式能因式分解需考虑首 项系数是否含有参数．若首项系数有参数，就按首项系数为 零、为正、为负进行讨论．可归纳为“首项系数含参数，先 证系数零正负”．
函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不
等式f(x)g(x)>0的解集是
()
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
返回
[解析] 利用构造条件中“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”与待 解不等式中“f(x)g(x)”两个代数式之间的关系，可构造函数 F(x)＝f(x)g(x)，由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x) 在(－∞，0)上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上 的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而 F(x)在(0，＋∞)上单调递增，而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以 F(－3)＝－F(3)，结合图象可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的 解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.
由
f′(x)＝0⇒x1＝－a－3
a2－3，x2＝－a＋3
a2－3 .
x (－∞，x1) (x1，x2) (x2，＋∞)
导数中双变量问题的四种策略
双变量问题的几种处理策略策略一：合的思想问题1：已知函数x x f ln )(=的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．解析：因为∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与的大小．令,则, ∴在上位增函数．又，∴， ∴，即二：分的思想问题2：若1ln )(++=x a x x g ，且对任意的(]2,1,21∈x x ，，都有，求a 的取值范围．解析∵ ，∴由题意得在区间(]2,1上是减函数． ∴ ()11,y x A ()22,y x B AB),(00y x C AB k )(0x f k '>x x f ln )(=xx f 1)(='210021)(x x x x f +=='121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=12x x >k )(0x f '1212lnx x x x -212x x +12x x >12lnx x 1)1(2)(212122112+-=+-x x x x x x x x )1(1)1(2ln )(≥+--=x x x x x h 0)1()1()1(41)(222≥+-=+-='x x x x x x h )(x h [)+∞,1112>x x 0)1()(12=>h x x h 1)1(2ln 121212+->x x x x x x )(0x f k '>21x x ≠1)()(1212-<--x x x g x g 1)()(1212-<--x x x g x g []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g x x g x F +=)()(1)1(1)(2++-='x ax x F由在恒成立． 设，，则 ∴在上为增函数，∴.策略3：变得思想设函数x x x f ln )(=，若，求证 解析：, ,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理. 所以 又因为当且仅当“”时，取等号. 又，, 所以,所以， 所以：.问题4：已知函数()21ln ,2f x x x mx x m R =--∈，若函数()f x 有两个极值点12,x x ,求证: 212x x e >解析：欲证212x x e >,需证: 12ln ln 2x x +>,若()f x 有两个极值点12,x x ,即函数()'f x 有两个零点,又()'ln f x x mx =-, 所以12,x x 是方程()'0f x =的两个不同实根313)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'xx x x x x a x F []2,1∈x =)(x m 3132+++x x x []2,1∈x 0312)(2>+-='xx x m )(x m []2,1227)2(=≥m a 1),1,1(,2121<+∈x x e x x 42121)(x x x x +<x x xx f x g ln )()(==e x x x g 1,0ln 1)(==+=),1(+∞e )(x g )1,0(e11211<+<<x x x e111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+)ln(ln 211211x x x x x x ++<)ln(ln 212212x x x x x x ++<)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+,421221≥++x x x x 21x x =1),1,1(,2121<+∈x x ex x 0)ln(21<+x x )ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++)ln(4ln ln 2121x x x x +<+42121)(x x x x +<于是,有1122ln 0{ln 0x mx x mx -=-=,解得1212ln ln x x m x x +=+,另一方面,由1122ln 0{ln 0x mx x mx -=-=,得()2121ln ln x x m x x -=-,从而可得21122112ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+,于是()()222121111222111lnln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==--.又120x x <<, 设21x t x =,则1t >.因此, ()121ln ln ln ,1t t x x t ++=-1t >. 要证12ln ln 2x x +>,即证:()1ln 2,11t t t t +>>-.即当1t >时,有()21ln 1t t t ->+. 设函数()()21ln ,11t h t t t t -=-≥+,则()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++, 所以, ()h t 为()1,+∞上的增函数.注意到, ()10h =,因此, ()()10h t h ≥=.于是,当1t >时,有()21ln 1t t t ->+. 所以,有12ln ln 2x x +>成立, 212x x e >.问题5：x m x x x f x --=221ln )(已知函数，若()x f 有两个极值点x 1，x 2，（x 1<x 2),且x x x x x a 12112ln 2ln ->-恒成立，求整数a 的最大值。
高考导数大题解题技巧
高考导数大题解题技巧高考导数大题解题技巧无论是什么科目的考试，都有它固有的漏洞和具体的解决办法，数学更是如此，高考数学导数的解题思路是什么?下面由店铺为整理有关高考导数大题解题技巧的资料，希望对大家有所帮助！高考导数大题解题技巧1.单调性问题研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。
由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。
2.极值问题求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f'(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f'(x0)=0且在xx0 时，f'(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时，在x=x0处也可能有极值，例如函数f(x)=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值。
还要注意的是，函数在x=x0有极值，必须是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f'(x)=0所求的驻点是否在函数的.定义域内。
3.切线问题曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维。
关于切线方程问题有下列几点要注意：(1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程；(2) 和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的切线穿过曲线；(3) 两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等；另一种是没有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。
高考导数大题解题方法
高考导数大题解题方法高考导数大题解题方法高考导数大题解题方法一、学生存在的问题：1、切线问题，没有设切点的意识，带入解析式不全面还纠缠不清。
2、求导后不变形，导致难以判断导数的正负，或者不会判断导数的正负，产生思维中断现象。
3、忽略定义域，导致失分。
4、不能发现参数引起的分歧，不会对参数引起的分歧进行讨论。
5、没有进行逆向思维的习惯，或者逆向思维经验不足，无法破解题意。
二、导数的基本问题1.题型：1).切线问题。
2).单调性，极值，值域，最值问题。
3).函数零点(方程的根)的个数和分布问题。
4).不等式恒成立、存在性、不等式证明问题。
5).与数列、不等式、解析几何的综合问题。
2.常规步骤：1)求导数并变形，写出定义域。
变形的方法：①.整式：因式分解或配方。
②.分式：通分母，并因式分解。
③.指数式：提取公因式。
④根式：分子有理化2)解方程 , 判断导数的正负判断导数正负的方法：①.检验法。
②.图像法。
③.单调性法。
④.求导数的导数。
3)列表由导函数的正负确认原函数的单调性和极值、最值4)画函数草图解决问题。
三、难点分布及突破难点的方法1.难点分布：1).无切点的切线问题;2).含参讨论，分段讨论;3).不等式证明、恒成立、存在性问题;4).与数列、不等式、解析几何的综合问题。
2.突破难点的方法：1)切线问题，函数y=f(x)：①设切点为(x0,y0)②求导， y'=f'(x),③三代入：2).参数影响到导数的正负，就根据分歧分类讨论，绝对值函数变为分段函数，分两部分讨论研究。
一般的`分歧有：①参数对整体正负的影响。
②参数对有根无根、根的大小的影响，不能自认为有根。
③参数对根在区间内外的影响，不能自认为根在区间内。
3).构造函数解决不等式证明、恒成立和存在性问题。
有两种构造函数的方法：①主变量法，在那个变量的区间上恒成立，就以这个变量为主变量构造函数。
②分离法，把两个变量分离到不等式两边，构造函数。
导数双参数处理方法汇总
导数双参数处理方法汇总
导数中双参数的处理是高中数学中的一个难点，以下是几种常用的处理方法：
1. 分离参数法：首先尝试将双参数分离，使问题简化为单参数问题。
这需要观察参数在函数表达式中的影响，并尝试通过代数手段将其分离。
2. 参数分类讨论法：当双参数不能直接分离时，可以考虑对参数进行分类讨论。
根据参数的不同取值范围，对问题进行分段处理，从而简化问题。
3. 构造函数法：如果双参数的问题难以直接处理，可以尝试构造函数。
通过构造一个新函数，将双参数问题转化为对新函数的性质进行分析的问题。
4. 参数消去法：在一些情况下，可以通过适当的变换或代数操作，消去问题中的某些参数，从而使问题简化为单参数问题。
5. 参数代入法：对于一些含有难以分离的双参数的复杂问题，可以考虑使用代入法。
通过代入一些特定的值或表达式，将问题简化为更易于处理的形式。
以上方法不是孤立的，可以根据问题的具体情况选择合适的方法，有时可能需要结合多种方法进行处理。
同时，处理双参数问题也需要一定的练习和经验积累，以提高解题的效率和准确性。
导数型不等式双参及多参问题的解决
不等式双参问题的解决————缺2012年新课标卷例3：（2009辽宁卷理）已知函数f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。
（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--。
(21)解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞。
2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==2分（i ）若11a -=即2a =,则 2'(1)()x f x x-= 故()f x 在(0,)+∞单调增加。
(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <; 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加。
(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. (II)考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+ 则211()(1)(1)111)a a g x x a x a a x x--'=--+≥--=-- 由于1<a<5,故()0g x '>，即g(x)在(0, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---·········12分补充：（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，1212()()4f x f x x x -≥-，求a 的取值范围。
导数中的参数问题
【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．522．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）导数中的参数问题A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦ C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 2e 0,4⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4)B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7) 3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()x g x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)eD ．1(,)e+∞2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ）A . ()32ln22ln2--B . 1-C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k -- 2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122xf x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,eB ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【强化训练】1．（2020·重庆南开中学高三）已知函数1()ln f x x a x=++，()f x '是()f x 的导函数，若关于x 的方程(1)()()x f x f x '+=有两个不等的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．10,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,ln 24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．10,ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2019·重庆万州外国语学校天子湖校区高三开学考试（理））对于任意的正实数x ，y 都有（2x y e -)ln y x xme ≤成立，则实数m 的取值范围为 A ．1(,1]e B ．21(,1]e C ．21(,]e eD ．(10,]e3．当0x ≥时，()ln 11xxe a x x ≥++恒成立，则a 的取值范围为（ ） A . (],1-∞ B . (],e -∞ C . 1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D . (],0-∞4.（2020四川省成都外国语学校）已知函数 恰好有两个极值点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2020·天津耀华中学高三月考）若函数()(sin cos )x f x e x a x =+在(,)42ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞6.（2020高三第一次全国大联考）若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )A ．B ．（）C ．D ．（）7．（2020·重庆巴蜀中学高三期末）已知关于x 的不等式2(2)1x x m x x e e -+在(-∞，0]上恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞8．（2020·南昌县莲塘第一中学高三期末（理））已知函数()()()2ln 20f x x ax a x a =+++<，()2x xg x e=-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，则实数a 的取值范围为（ ）（其中 2.71828e =为自然对数的底数）.A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．[),0e -D ．(],e -∞-9.（2020广州模拟）已知函数，对任意，，都有，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．（2020·重庆一中高三期末）定义在R 上且周期为4的函数()f x 满足：当[)1,3x ∈-时，()1,102ln 2,03xx f x x x ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<<⎩，若在区间[]0,4上函数()()1g x f x ax =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln 310,,143+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．1ln 310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．1ln 310,,243+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D ．1ln 310,,233+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭11．（2020重庆市南开模拟）已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2020·广东高三（理））已知函数()21,1ln ,1ax ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(),e +∞C ．()4,+∞D ．()24,e13．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-【来源】安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题 14．若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为 A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭15．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞【来源】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文）试题16．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增,则实数a 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．(1,2]-C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞17．设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为 （ ）A ．1ln 2e B ．ln 2eC ．ln 2e D ．ln 22【来源】四川省雅安市2021届高三三摸数学（理）试题18．在关于的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>(其中 2.71828e =为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．241,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．3294,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题19．若曲线()()2ln 11()f x a x a x a R =+++∈在点()()1,1f 处的切线与直线720x y +-=平行，且对任意的()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，不等式()()1212f x f x m x x ->-恒成立，则实数m 的最大值为（ ） AB．C．D．【来源】安徽省安庆市2021届高三下学期二模文科数学试题 20．已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．421．已知函数21,1()ln 25,1xx f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--+≤⎩，若函数2()()(12)()1F x f x a f x =+-+恰有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．743,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．37,24⎛⎤⎥⎝⎦C ．343,212⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【来源】湖南省常德市2021届高三下学期一模数学试题22．已知函数()()222ln 1f x a x x a a =+->，()2ln xg x e x =--，若()f x 的图象与()g x 的图象在[1,)+∞上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．[,)e +∞C ．,2e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【来源】山西省太原市2021届高三二模数学（理）试题 23．已知函数ln ()xf x x=，若2()()10f x mf x m --->仅有3个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．ln5ln 2(1,1)52-- B ．ln5ln 2(1,1]52-- C ．ln5ln 2[1,1]52-- D ．ln5ln 2[1,1)52-- 24．已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A ．1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D ．1(,]4-∞二、填空题25.（2020河北省沧州市模拟）直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．26．（2020·四川高三期末（理））已知当x ∈R 时，均有不等式()()20xxae aex -+≥成立，则实数a 的取值范围为______．27．（2020·广东金山中学高三期末（理））已知函数()23,11,1x x x f x x x ⎧-+>=⎨-≤⎩，若函数()()1y f x a x =--恰有三个零点，则实数a 的取值范围是____________．28．（2020·江苏高三模拟）已知关于x 的不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是______.29．（2020·四川绵阳中学高三（理））若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--有且仅有1个零点，则实数m 的取值范围为________．30．（2020·吉林高三（理））已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________．参考答案一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A . 【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0gx g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x -+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -= 当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e->时，()0h x '<，()h x 单调递减；故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +==因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >.实数a的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），则f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则， 当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)eD ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x --+=-=='， 令()0h x '=得2x k =，2x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()0()0212h e h eh k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论.即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣x﹣ae，若存在a∈（﹣1，1），使得关于x的不等式f（x）﹣k≥0恒成立，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f（x）﹣k≥0恒成立，即k≤f（x）恒成立；则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ）A . ()32ln22ln2--B . 1-C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k -- 【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122xf x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x x l y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-，则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0x h x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0x h x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去， （3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
再次例谈导数压轴题中双变量问题的常用解法
再次例谈导数压轴题中双变量问题的常用解法长沙市明达中学吴祥云今日在“玩转高中数学交流群”中，由河南的贾老师提供一常规题，很多老师作出了不同的解答，我在这里把它们总结起来，供大家交流学习。
题目虽然简单，但是方法的讲述由浅入深，学生会更容易接受一些。
闲话少说，先上题：已知函数f(x)=xe x,f(x1)=f(x2),x1≠x2,求证：x1+x2>2.解析：f′(x)=1−xe x,易得 f(x)在(−∞,1)递增，(1,+∞)递减，其图像如图，为了更好的看图，横纵轴单位长度取得不同，不妨设0<x1<1<x2,以下是几种不同的证明思路：思路一：（极值点偏移问题+构造对称函数）令g(x)=f(2−x)−f(x),(0<x<1)则g′(x)=(1−x)e x−e2−xe x e2−x<0,则g(x)在(0,1)递减∴g(x)>g(1)=0,即f(2−x)>f(x),∴f(2−x1)> f(x1)=f(x2),又2−x1>1,x2>1,f(x)在(1,+∞)递减,∴2−x1<x2,即x1+x2>2。
思路二：（极值点偏移+对数平均不等式）f(x1)=f(x2)⇒x1e x1=x2e x2⇒lnx1−x1=lnx2−x2⇒lnx1−lnx2=x1−x2⇒x1−x2lnx1−lnx2=1,由对数平均不等式x1−x2lnx1−lnx2<x1+x22(证明略)，得x1+x22>1,即x1+x2>2。
思路三：（差值消元）令x2−x1=t>0,x1e x1=x2e x2⇒x2x1=e x2e x1=e x2−x1=e t⇒x1=te t−1,x2=te t−1+t,∴x1+x2=2te t−1+t,欲证x1+x2>2即证2te t−1+t<2即e t(2−t)2+t<1,令g(t)=e t(2−t)2+t,则g′(t)=e t(−t2)(2+t)2<0,故g(t)在(0,+∞)递减，点评：构造对称函数为极值点偏移问题的通法。
高考数学热点难点突破技巧第06讲导数中的双参数问题的处理(含答案)
第06讲：导数中的双参数问题的处理
【知识要点】
对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题），大家解答的比较多，一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利
用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.
【方法讲评】
方法一分离次参法
不等式中含有两个参数（主参数和次参数）和一个自变量，并且次参数比较容
使用情景
易分离.
解题步骤一般先分离次参，变成单参数的问题处理.
【例1】已知函数．
（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；（2）证明：；
（3）若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．【解析】（1），，，
与在点处有共同的切线，
，即，
设，，
故在上是增函数，在上是减函数，故，
1。
高中数学解导数问题解题技巧
高中数学解导数问题解题技巧在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它在解决各种数学问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍一些解导数问题的技巧，帮助高中学生更好地理解和应用导数。
一、导数的定义和性质在开始讨论解导数问题的技巧之前，我们先来回顾一下导数的定义和性质。
导数表示函数在某一点上的变化率，可以用极限的概念来定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)，定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数有很多重要的性质，例如导数可以表示函数的斜率，导数为0的点是函数的极值点等。
这些性质在解导数问题时经常会被用到。
二、求导的基本方法求导是解导数问题的关键步骤，下面将介绍一些常见的求导方法。
1. 基本函数的导数对于一些基本函数，我们可以通过记忆它们的导数公式来求导。
例如：- 常数函数的导数为0；- 幂函数的导数可以根据指数的大小进行求导；- 指数函数和对数函数的导数有一定的规律。
2. 基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如：- 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以常数；- 两个函数相加（或相减）的导数等于这两个函数的导数之和（或之差）。
利用这些运算法则，可以简化复杂函数的求导过程。
3. 链式法则当函数由两个函数复合而成时，可以使用链式法则求导。
链式法则的表达式如下：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，我们可以将复杂函数的导数拆分成简单函数的导数的乘积，从而更容易求导。
三、应用导数解题的技巧在解导数问题时，有一些常见的技巧可以帮助我们更好地应用导数。
1. 极值问题极值问题是导数应用的一个重要方向。
当我们需要求函数的最大值或最小值时，可以通过求导数并解方程的方法来求解。
具体步骤如下：- 求出函数的导数；- 令导数等于0，解方程求得临界点；- 比较临界点和函数的端点的函数值，找出最大值或最小值。
导数中的参数问题
导数中的参数问题导数中的参数问题【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法. 【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题. 例1．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．【举一反三】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了. 例2．定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【举一反三】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.例3．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【指点迷津】1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替.2. 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．【举一反三】若函数有个零点，则实数取值的集合是________．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.例4．函数()()211,12x f x x e kx k ??=--∈,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【指点迷津】该题为含参数的最值问题,关键是确定单调性和区间,即含参数的导函数在区间上的符号,该导数含f ’′(x )=x x e ?2kx =x (x e ?2k )含有指数，且()'0f x =有两个根，故而要根据两个根的大小和两根与固定区间端点的大小进行相应的讨论，确定单调性，再确定最值.【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【强化训练】1．已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是（） A . [)1,-+∞ B . [)1,1- C . ()1,-+∞ D . ()1,1-2．已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是A ．B ．C ．D ．3．当0x ≥时，()ln 11xxe a x x ≥++恒成立，则a 的取值范围为（） A . (],1-∞ B . (],e -∞ C . 1,e-∞ ??D . (],0-∞4.已知函数恰好有两个极值点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5.若函数恰有三个零点，则的取值范围为( ) A ．B ．（）C ．D ．（）6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）B ．C ．D ．7.已知函数，对任意，，都有，则实数a 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．8．已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9．已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是（）A．B．C．D．11.已知函数有三个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题13．若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_____.14．已知函数，，若，则_______15．函数有极值，则实数的取值范围是______.16．已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是________.导数中的参数问题答案【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法. 【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题. 例1．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为【指点迷津】由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.【举一反三】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了. 例2．定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.【指点迷津】不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以求得相应的最值范围．【举一反三】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），则f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.例3．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．【指点迷津】1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替.2. 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．【举一反三】若函数有个零点，则实数取值的集合是________．【答案】或（填也给满分）【解析】由题意得，令，得．设，则，易得在和上单调递增，在和上单调递减．因为函数有个零点，所以函数的图象和直线有个交点，而，，注意，即轴与的图象只有个交点．画出函数的大致图象和直线,如下图所示，依题意得或，即或．故实数取值的集合是或．故答案为：或或．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.例4．函数()()211,12x f x x e kx k ??=--∈,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D【指点迷津】该题为含参数的最值问题,关键是确定单调性和区间,即含参数的导函数在区间上的符号,该导数含f ’′(x )=x x e ?2kx =x (x e ?2k )含有指数，且()'0f x =有两个根，故而要根据两个根的大小和两根与固定区间端点的大小进行相应的讨论，确定单调性，再确定最值.【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】易知当≤0时，方程只有一个解，所以>0．令，，令得，为函数的极小值点，又关于的方程=在区间内有两个实数解，所以，解得，故选A. 【强化训练】1．已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是（） A . [)1,-+∞ B . [)1,1- C . ()1,-+∞ D . ()1,1-【答案】A【解析】由题意得3ln a x x x >-，令3ln (1)y x x x x =->21ln 12,40,y x x y x x∴=+-=-'<'' 2ln 12ln1120,y x x ∴<+'=+--= 1ln1111y a ∴2．已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，即方程恰有三个不相等的实数解，即与有三个不同的交点.令，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；且当时，，当时，，，当时，，据此绘制函数的图像如图所示，结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是 .本题选择C 选项.3．当0x ≥时，()ln 11xxe a x x ≥++恒成立，则a 的取值范围为（） A . (],1-∞ B . (],e -∞ C . 1,e-∞ ??D . (],0-∞【答案】A【解析】当x ≥0时，1x xe x +≥aln （x +1）恒成立，∴()()()·,1ln 1xx e a f x x x ≤=++x ≥0则f′（x）=()()()()2221ln11ln1x xe x x xex x++-++，再设g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，则g′（x）=（1+x ）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln （x+1）+1＞0恒成立，∴g （x ）在[0，+∞）上单调递增，∴g （x）≥g（0）=0，∴f′（x ）≥0∴f′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f （0），∵根据洛必达法则可得∵f（0）=1∴a≤1，故a的取值范围为（﹣∞，1]，故答案为A.4.已知函数恰好有两个极值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，令并化简得，，构造函数，，故当时，递增，当时，递减，.注意到时，，由此可知与有两个交点，需要满足，故，故选.5.若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )A．B．（）C．D．（）【答案】D【解析】当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，根据图可得故选D.6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数的定义域为，又由，得，则等价为方程，在上有两个不同的根，设，，由得得，得，此时，函数为增函数，得得，得或，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极大值，极大值为，要使，有两个根，则即可，故实数的取值范围是，故选：D．7.已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知函数是上的单调递减函数，且当时，，。
高考数学复习指导：导数应用解答方法及技巧
高考数学复习指导：导数应用解答方法及技巧导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
高考数学复习指导介绍了在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面。
高考数学复习指导：导数应用解答方法及技巧
1、导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);
(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);
(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
知识整合
01、导数概念的理解。
02、利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行
了证明。
03、要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
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导数双参数问题处理方法
处理导数的双参数问题通常涉及到多元微积分，其中我们考虑一个函数关于两个变量的导数。
在数学中，这称为偏导数。
偏导数表示函数对其中一个变量的变化率，而将其他变量视为常数。
1. 偏导数的定义：
对于一个有两个变量的函数f(x,y)，它的偏导数分别为：
▪偏导数∂f
∂x
表示f对x的变化率，将y视为常数。
▪偏导数∂f
∂y
表示f对y的变化率，将x视为常数。
2. 计算偏导数的方法：
使用基本的微积分规则，可以计算偏导数。
例如，对于函数f(x,y)=x2y+
sin(xy)，可以分别计算∂f
∂x 和∂f
∂y。
3. 使用符号表示法：
使用符号表示法，偏导数可以写成∂f
∂x
，其中符号∂表示“偏”。
4. 求偏导数的例子：
考虑函数f(x,y)=x2y+sin(xy)。
计算∂f
∂x ：
∂f
∂x
=2xy+ycos(xy)
计算∂f
∂y ：
∂f
∂y
=x2+xcos(xy)
5. 实际问题中的应用：
偏导数在实际问题中的应用非常广泛，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
例如，它可以用于描述一个多变量函数中的局部最小值或最大值，以及分析多变量函数在某一点的斜率和曲率。
6. 使用计算工具：
在实际问题中，为了计算复杂函数的偏导数，通常会使用计算工具，如数学软件或编程语言中的符号计算库。
这样的工具可以帮助处理复杂的代数和微积分运算。
总的来说，处理导数的双参数问题通常涉及计算函数对各个变量的偏导数，这可以通过基本微积分规则和计算工具来实现。
利用导数处理函数中的参数问题
利用导数处理函数中的参数问题导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。
也越来越受到高考命题专家的“青睐”。
其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。
下面列举几题与大家交流。
题型一、已知单调区间求参数值例1、若函数d cx bx x x f +++=23)(的单调递减区间（-1，2），求c b ,的值。
解：d cx bx x x f +++=23)( c bx x x f ++='∴23)(2因为d cx bx x x f +++=23)(的单调递减区间（-1，2）所以方程023)(2=++='c bx x x f 的两根分别为-1，2 所以623-=-=c b ，%题型二、已知在某区间上的单调性求参数的取值范围例2、已知函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，∞+）是增函数，求a 的取值范围。
解：1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f )1()(2-+-='∴a ax x x f令0)1()(2=-+-='a ax x x f得1,121-==a x x 因为1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，∞+）是增函数所以614≤-≤a ，即75≤≤a例3（05湖北理）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f •=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x -+2x +tx +t]∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31 在区间[-1,1]上，max )(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立， 只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5.即t 的取值范围是[5，∞）.题型三、探索单调性的存在例4 已知函数x ax x x f 221ln )(2--=存在单调减区间求a 的取值范围。
导数问题中的双参数问题
导数问题中的双参数问题导数问题中双参数证明问题例1：设0a >0) ，常规方法证明：(1)先证右边不等式，设ϕ(x ) =lnx -lna -111a (x −a ) 2因为ϕ(x)=−(+) =−故当x>a时，ϕ(x ) 单调减少，又ϕ(a ) =0，所以，当x>a时，ϕ(x )从而当b>a>0时，lnx -lna a >0)1(x-a) 2因为f (x) =2x(lnx-lna ) +(x +a ) −2a =2x(lnx-lna) +>0，x x ' 22故当x>a时，f (x ) 单调增加，有f (a ) =0，所以当x>a时，f (x ) >f(a) =0，即（x 2+a 2）(lnx -lna ) −2a (x -a ) >0. 从而当b>a>0时，有(a 2+b 2)(lnb -lna ) −2a(b-a ) >0, 即综合(1)(2)有2a lnb -lna 1. 上面的解法固然易想，但是计算量有点大容易出错，这个时候如果用构造函数法的话，就可以减少一定程度的计算量。
我们注意到，函数中有两个参数a,b ，但是我们所学的函数都是一个变量的，为了好设函数，我们希望有方法把函数变成一个变量。
我们以左式为例。
为了证明2a lnb -lnab b b b ⇒2(-1)b 这个时候我们注意到不等式中剩下一个参数，所以很容易设函数a 2a(b-a )f (x ) =(1+x 2) ln x −2(x −1), (x >1) ,(因为a0, (x >1) 恒成立。
此时f ' (x ) =2x ln x ++x −2, (x >1) f ' ' (x ) =2ln x −1x 1+3, (x >1) ，2x注意到f ' ' (x ) 是单调递增函数，所以f ' ' (x ) >f ' ' (1) =2>0，即f ' (x ) 单调递增. 又f ' (x ) >f ' (1) =0，所以f (x ) 单调递增，即f (x ) >f (1) =0，即f (x ) =(1+x 2) ln x −2(x −1) >0, (x >1) ，所以左式得证。
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第06讲：导数中的双参数问题的处理
【知识要点】
对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题），大家解答的比较多，一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.
【方法讲评】
【例1】已知函数．
（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；（2）证明：；
（3）若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．【解析】（1），，，
与在点处有共同的切线，
，即，
设，，
故在上是增函数，在上是减函数，故，
；
（3）由题得不等式对所有的，都成立，
因为，所以，所以，即
所以，所以
【点评】对于不等式，里面有两个参数和一个自变量，形式比较复杂，所以我们可以想到转化和化归的思想，想方法把双参数变成单参数，这个方法就是分离参数. 由于题目求的是的范围，所以我们称是主参数，是次参数.第（3）问首先分离次参，最后得到了的取值范围，因此这种方法可以称为“分离次参法”.
【反馈检测1】已知，设函数.
（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；
（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.
【例2】已知函数．若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．
因为，所以
所以
令
所以函数在上是增函数，在上是减函数，
所以
所以综合得.
【点评】（1）在中，是自变量，要求的范围，所以是主参，是次参.（2）对于不等式，由于，有正有负，不便分离次参，所以我们
中把次参看成自变量，把看作参数，利要构造一次函数反客为主，
用一次函数的性质分析解答.（3）一次函数在上恒成立，只须满足
.(4)对于“分离次参”的题目，也可以利用反客为主的方法解答.
【反馈检测2】已知函数，，，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.
【反馈检测3】已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.
高中数学热点难点突破技巧第06讲：
导数中的双参数问题的处理参考答案
【反馈检测1答案】（1）；（2）.
③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，
∴即，∴，
④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，
综上所述：时，存在，使得是在上的最大值. （2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为的最大值为1，
所以,
所以
，，
恒成立，
由于，则，
当时，，则，若，则
在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数.
∴，满足条件，∴的取值范围是.
【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）则
当时，恒成立，即递减区间为，不存在增区间；
当时，令得，令得，
递减区间为，递增区间；
综上：当时，递减区间为，不存在增区间；
当时，递减区间为，递增区间；
（Ⅱ）令，由已知得只需即
若对任意，恒成立，即
令，则
设，则
∴在递减，即
∴在递减∴即
的取值范围为．
【反馈检测3答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
（2）由题意知对任意及时，
恒有成立，等价于，
当时，由得，
因为，所以，
从而在上是减函数，
所以，所以，即，
因为，所以，所以实数的取值范围为.。