高考数学热点难点突破技巧第06讲导数中的双参数问题的处理

第06讲：导数中的双参数问题的处理

【知识要点】

对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题），大家解答的比较多，一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.

【方法讲评】

【例1】已知函数．

（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；（2）证明：；

（3）若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．【解析】（1），，，

与在点处有共同的切线，

，即，

设，，

故在上是增函数，在上是减函数，故，

；

（3）由题得不等式对所有的，都成立，

因为，所以，所以，即

所以，所以

【点评】对于不等式，里面有两个参数和一个自变量，形式比较复杂，所以我们可以想到转化和化归的思想，想方法把双参数变成单参数，这个方法就是分离参数. 由于题目求的是的范围，所以我们称是主参数，是次参数.第（3）问首先分离次参，最后得到了的取值范围，因此这种方法可以称为“分离次参法”.

【反馈检测1】已知，设函数.

（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；

（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.

【例2】已知函数．若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．

因为，所以

所以

令

所以函数在上是增函数，在上是减函数，

所以

所以综合得.

【点评】（1）在中，是自变量，要求的范围，所以是主参，是次参.（2）对于不等式，由于，有正有负，不便分离次参，所以我们

中把次参看成自变量，把看作参数，利要构造一次函数反客为主，

用一次函数的性质分析解答.（3）一次函数在上恒成立，只须满足

.(4)对于“分离次参”的题目，也可以利用反客为主的方法解答.

【反馈检测2】已知函数，，，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.

【反馈检测3】已知函数.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.

高中数学热点难点突破技巧第06讲：

导数中的双参数问题的处理参考答案

【反馈检测1答案】（1）；（2）.

③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，

∴即，∴，

④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，

综上所述：时，存在，使得是在上的最大值. （2）对任意恒成立，

即对任意恒成立，

因为的最大值为1，

所以,

所以

，，

恒成立，

由于，则，

当时，，则，若，则

在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数.

∴，满足条件，∴的取值范围是.

【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）则

当时，恒成立，即递减区间为，不存在增区间；

当时，令得，令得，

递减区间为，递增区间；

综上：当时，递减区间为，不存在增区间；

当时，递减区间为，递增区间；

（Ⅱ）令，由已知得只需即

若对任意，恒成立，即

令，则

设，则

∴在递减，即

∴在递减∴即

的取值范围为．

【反馈检测3答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

（2）由题意知对任意及时，

恒有成立，等价于，

当时，由得，

因为，所以，

从而在上是减函数，

所以，所以，即，

因为，所以，所以实数的取值范围为.