数学建模论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模

竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模

竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮

件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问

题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的

成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表

述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行

公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表

等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 18004050 所属学校（请填写完整的全名）：中南大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 董建洋

2. 郑振鹏

3. 蒋源

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：侯木舟

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以

上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取

消评奖资格。）

日期： 2014 年 9月 14 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，本文通过建立燃料最优模型、重力转换模型、统计学模型、垂直软着陆模型，对嫦娥三号软着陆的运行轨迹进行讨论，对其进行了有效的设计与控制。

针对问题一和问题二，本文根据角动量守恒定律和机械能守恒定律，首先计

=1693.036m/s，远月点的速度大小为

算出嫦娥三号在近月点的速度大小为v

1

V

=1614.648m/s，近月点和远月点的速度相反，并且都垂直于近月点、远月点和

2

球心的连线。然后，我们建立燃料最优模型，并进行一定的假设，得到嫦娥三号在主减速阶段的最优轨迹。根据得到的最优轨迹方程，利用已知条件，得出软着陆过程中的水平位移为458.875km，进一步得出近月点在29.02N,19.51W，高度15Km处和远月点在29.02S,159.49E,高度100Km处。在快速调整阶段，本文建立了重力转换模型，推导出偏航角控制量和俯仰角控制量的表达式，实现发动机的推力方向与嫦娥三号速度矢量的反方向保持一致。在粗避障区和静避障区阶段，利用matlabR2008a读出图形数据，建立了统计学模型，利用层次分析的思想，先确定一定的相对平坦的区域作为着陆范围，再在所选的区域中找出精确的着陆点。对于缓速下降和自由落体阶段，本文建立垂直软着陆模型，采用分段控制方式，把若干推力级别等效为一段连续的推力过程。嫦娥三号依次经过悬停、匀加速、匀减速和关机降落几个过程。

针对问题三，由于主减速阶段终端时的水平速度无法控制，进而对主减速阶段的运行轨迹产生影响。本文利用matlab画出剩余时间、偏航角和水平位移关于不同水平速度的图像。得到水平位移在小的范围内变化所造成的纬度偏角θ的误差很小。在精避障阶段，确定着陆范围时，所选处理矩阵的大小直接影响探测器能否准确、快速的着陆。所选区域越大，能找到的最平坦的区域误差就会越小，但数据处理的时间越长。

关键字：嫦娥三号燃料最优重力转弯统计学垂直软着陆

分段控制

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m （见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析

二、模型假设

(1）地球和月球对嫦娥三号的吸引力可以忽略。

（2）在着陆过程中月球的自转可以忽略。

(3)嫦娥三号的着陆点服从正态分布。

(4)嫦娥三号在着陆中不会出现故障。

(5)月球是一个理想球体，不考虑月球非球形重力场和月球偏率的间接效应。

(6)在着陆过程，嫦娥三号的质量不变

。

三、符号说明