数分离变量法作业题

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分离变量积分练习题

分离变量积分练习题分离变量积分是微积分中的一个重要概念和技巧，用于解决一些特殊形式的微分方程。

它的核心思想是将含有多个变量的微分方程，通过适当的变换，化为仅含有一个变量的方程，从而简化求解过程。

假设有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数。

我们希望找到y(x)的解。

为了使用分离变量的方法，我们可以将方程改写为dy/g(y)= f(x)dx。

现在，我们可以对方程两边进行积分。

对左边进行积分时，我们需要使用y作为积分变量，而对右边进行积分时，我们需要使用x作为积分变量。

这样，我们得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

接下来，我们需要对两边的积分进行求解。

首先，我们对左边的积分进行求解。

这里需要注意的是，由于g(y)是一个关于y的函数，而我们对y进行积分，因此需要根据具体的g(y)函数形式，选择相应的积分方法。

假设g(y) = y，那么∫(1/g(y))dy = ∫(1/y)dy = ln|y| + C1，其中C1是常数。

如果g(y)是其他函数形式，我们需要根据具体情况选择不同的积分方法。

接下来，我们对右边的积分进行求解。

这里需要注意的是，由于f(x)是一个关于x的函数，而我们对x进行积分，因此需要根据具体的f(x)函数形式，选择相应的积分方法。

假设f(x) = x，那么∫f(x)dx = ∫xdx = (1/2)x^2 + C2，其中C2是常数。

如果f(x)是其他函数形式，我们需要根据具体情况选择不同的积分方法。

现在，我们将左右两边的积分结果相等，得到ln|y| + C1 = (1/2)x^2 + C2。

为了求解y(x)，我们可以通过一系列的代数运算，将方程转化为y(x)的显式表达式。

首先，我们可以通过移项，得到ln|y| = (1/2)x^2 + C2 - C1。

接下来，我们可以通过对数的性质，将方程转化为指数形式，得到|y| = e^((1/2)x^2 + C2 - C1)。

分离变量通关50题(含答案)

䁪
（2）若函数ƒx在区间1칌䁪上为单调函数，求a的取值范围．
17. 已知函数ƒx=x−1．
x
（1）用函数单调性的定义证明：函数ƒx在区间0칌h∞上为增函数；
（2）方程䁪t·ƒht−⸰ƒ䁪t=0，当t∈1칌䁪时，求实数⸰的取值范围．
18. 奇函数ƒx=的定义域为R，其中y=gx为指数函数且图象过点䁪칌9．
（1）求证：函数ƒx是奇函数；
（2）如果当x∈−1칌0时，有ƒx✈0，试判断ƒx在−1칌1上的单调性，并用定义证明你的判断；
（3）在（Ⅱ）的条件下，若a−8xh1>0对满足不等式ƒx−
恒成立，求a的取值范围．
hƒ−䁪x✈0的任意x
16. 函数ƒx=䁪ax−x䁪hlnx，a为常数．
（1）当a=1时，求ƒx的最大值；
（1）求a，h的值；
（2）判断gx的单调性（不要求证明）；
（3）若不等式gƒx>g⸰−x在1칌h∞上恒成立，求实数⸰的取值范围．
11. 定义gx=ƒx−x的零点x0为ƒx的不动点，已知函数ƒx=ax䁪hhh1xhh−1aG0．
（1）当a=1，h=−䁪时，求函数ƒx的不动点；
（2）对于任意实数h，函数ƒx恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围x䁪−䁪⸰xh䀀h1⸰>0在区间
（1）求函数gx的解析式；
0칌3
上有最大值h，最小值0．
（2）设ƒx=gx−䁪x．若ƒ䁪x−k·䁪x≤0在x∈
x
−3칌3
时恒成立，求k的取值范围．
21. 设数列a䀀的前䀀项和为S䀀，a1=1，当䀀≤䁪时，a䀀=䁪a䀀S䀀−䁪S䁪．
（3）若函数gx只有一个零点且h>1，求实数a的最小值．
12. 已知函数ƒx=x䁪halnx．

(完整版)高一数学之分离参数法(含答案),推荐文档

高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：x a 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立（求解的最大值）.()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解（即求解的最小值）.()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围。

∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

高中数学解题常用方法：分离变量

分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。

分离变量法习题课26页PPT

11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
分离变量法习题课
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富勒 49、犯罪总以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。— —达雷尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护。—— 威·厄尔
谢谢

高中数学分离变量通关50题

䁪
h ，其中
在
䁪处取得极值，且
䁪
时，函数有两个不同的零点
h ．设䁪，求函数
，䁪．
①求 h 的取值范围；
②求证：
䁪
e䁪
．
．的单调区间；
45. 已知函数
e
䁪䁪 h h h 䁪 h ，其中
，e 为自然对数的底数．
（1）若函数的图象在（2）关于的不等式
处的切线与直线 h
垂直，求的值；
he 在
（2）记
h 䁪 h ln 䁪 h
，并设，䁪
点，若 h
，求
䁪
䁪的最小值．
䁪是函数
的两个极值
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29. 已知函数
⸰ ，曲线
ln
自然对数的底数）．
在点 e䁪 e䁪处的切线与直线䁪 h
垂直（其中 e 为
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6. 设函数（1）当（2）若对
䁪䁪ht ．时，求函数的单调区间；
h 都有
成立，求的取值范围．
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7. 已知函数，
（1）当（2）当
时，若时，求函数
，
h h 对任意的最小值．
䁪，． h 恒成立，求实数 h 的取值范围；
ln
．
（1）若曲线
在点
处的切线斜率为，求函数的最大值；
高途课堂整理（2）若不等式䁪
hh
数的取值范围．
与
䁪䁪 h e䁪䁪

分离变量法例题

分离变量法例题例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。

求导体板间的电势。

解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。

区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。

本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。

因此，本定解问题：20ϕ∇= ( x > 0，0 < y < d ) (1)0x ϕ→∞= (2)00y ϕ== (x > 0) (3) 0y dϕ== (x > 0) (4) 00x ϕϕ== (0 < y < d ) (5)(2)的条件是我们通常的选择。

实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。

因本问题为二维问题，(),x y ϕϕ=。

(1)在直角坐标系中可写成：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。

令(,)()()x y X x Y y ϕ=将其带入上式得：2222d d 0d d X Y Y X x y+= 将x 变量项和y 变量项整理为：22221d 1d d d X Y X Y x y =-上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。

这样，我们就将变量分离了。

在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板y = d对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。

即：222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3)式中k 为实数常数，称为分离常数。

为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。

上式可分为两个微分方程：2221d d X k X x= 2221d d Y k Y y=- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为：kx kx X Ae Be -=+sin()cos()Y C ky D ky =+若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。

大学物理-分离变量法例题

所以 (6-1-8)
相应的本征函数为
思考：n 只取正整数的原因？
3. 求解关于 T(t) 的常微分方程
将
代入(6-1-6)，得到
其通解为
由此得到 u(x,t) 的特解
(6-1-9) (6-1-10)
(6-1-11)
4. 利用叠加原理，将特解进行叠加，得到通解一般说来，un(x,t) 不可能满足初始条件，但特解的线性叠加仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加，得到通解：
(x) C1 x C2
而由 (7) 式有
C1a C2 0 C1a C2 0
于是有 C1= C2 = 0，从而有φ(x) = 0，所以λ≠ 0。
2. 若λ< 0，则由式 (6' ) 有
x C1e x C2e x
而由 (7) 式有 C1e x C2e x 0 C1e x C2e x 0
(k 1, 2,
)
故本征值问题 (6' ) ~ (7) 的本征值为
En
n 2 2
n2 2 2 8a2
(n 1, 2,
)
(13)
这是能量本征值，而由(10)和(12)式可得相应的本征函数为
n
(
x)
Cn
sin
n
2a
(
x
a)
(14)
这是第 n 个定态 (即不含时的) 波函数。
方法二通过坐标平移利用已知结果来求解。我们已看到上述求解本征值问题 (6' ) ~ (7) 的过程是相
即
i f '(t) 2 ''(x) 令 E (能量) f (t) 2 (x)
于是得
i
d f Ef dt
(5)

习题12分离变量法

2 0 l 0 2
l
代入边界条件得 X ( x ) = 0 ，所以只有 λ > 0 。
⎛ nπ ⎞ λ > 0 时解为 X ( x ) = a sin λ x + b cos λ x ，由边界条件可得 b = 0 ， λ = ⎜ ⎟ 。 ⎝ l ⎠
nπ ⎛ nπ ⎞ 所以对应本征值 λn = ⎜ 。 x （ n = 1, 2," ） ⎟ 的本征函数为 X n ( x ) = sin l ⎝ l ⎠
令第一个方程两边同乘 X 2 减去第二个方程两边同乘 X 1 ，并对 x 积分得
( λ1 − λ2 ) ∫0 X 1 ( x ) X 2 ( x )dx = ∫0 X 1 ( x ) X 2′′ ( x ) − X 1′′ ( x ) X 2 ( x )dx
′ ( x ) + X 1′ ( x ) X 2 ( x ) = 0 。 = X1 (x) X 2 0 0
a1 ( x ) X ′′ ( x ) Y ( y ) + b1 ( y ) X ( x ) Y ′′ ( y ) + a2 ( x ) X ′ ( x ) Y ( y ) + b2 ( y ) X ( x ) Y ′ ( y ) = 0 。
两边同除 X ( x ) Y ( y ) 得
a1 ( x ) X ′′ ( x ) + a2 ( x ) X ′ ( x ) b ( y ) Y ′′ ( y ) + b2 ( y ) Y ′ ( y ) =− 1 。 X ( x) Y ( y)
（ λ1 ≠ λ2 ）即设两对本征值和本征函数为 ( λ1 , X 1 ) ， ( λ2 , X 2 ) ，
2
2
′′ + λ2 X 2 = 0 ⎧ ⎧ ⎪ X 1′′ + λ1 X 1 = 0 ⎪X2 ，⎨ 。 ⎨ ⎪ ⎩ X 1 ( 0 ) = 0, X 1 ( l ) = 0 ⎪ ⎩ X 2 ( 0 ) = 0, X 2 ( l ) = 0

数学物理方法习题

第一章分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。

[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1不等式()()f x g a 恒成立min()()f x g a （求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a 恒成立max()()f x g a （求解()f x 的最大值）.定理2不等式()()f x g a 存在解max()()f x g a （求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a 存在解min()()f x g a （即求解()f x 的最小值）.定理3方程()()f x g a 有解()g a 的范围()f x 的值域（求解()f x 的值域）.解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a 的取值范围。

2、若f(x)=233x x 在[1,4]x 上有()21f x x a 恒成立，求a 的取值范围。

3、若f(x)=233x x 在[1,4]x 上有2()251f x x aa 恒成立，求a 的取值范围。

分离变量通关50题，整体和部分分离方法

分离变量通关50题，整体和部分分离方法
一、整体分离变量
对于一个方程（或不等式），如果其中含有两个以上字母，我们常常将含有一个字母的式子分离到方程（或不等式）的一边，我将这称为“整体分离变量”.
这类题目在我们平日的解题中是十分常见的，分离变量不仅使过程变得简洁清晰，还避免或减少了由于参数混杂其中导致的分类讨论，大大节省了答题时间，义不需要太大的思维量.
在这里，小编归纳了一些适合使用整体变量分离的题型：
①题中变量虽清晰，但需分类讨论，而且义较为复杂；
②题中变量关系复杂，一时理不出头绪；
③变量易于分离，且分离后得到的式子易于解题.
以上可以看出，整体分离变量研究问题往往比较简单，也许有人会问，既然整体变量分离这么实用，是不是分离变量都会简单，是不是还有其他分离变量的方法？小编总结出了“部分变量分离”.
二、部分分离变量
小编对“部分分离变量”下的定义是：有时一个变量出现的频率太高，而且变量出现在“不该出现”的地方，模糊了我们的解题方向，这时，一方面，我们不一定要将变量完完全全分离出来，可以考虑处理那些“不该出现”在某处的变量；另一方面，有时我们难以“整体分离变量”，只能采用“第二套方案”.
①式子结构比较复杂，如分子分母中都有变量，根号内外都有变量；
②式子虽简单，但是某个变量特别难以处理.如含有根号问题，某个整体出现多次，常常需要换元，以便分离变量.。

完整word版,分离变量法习题

第十章习题解答1 求解混合问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02x x u x u t l u t u t l x u a u t xx tt ϕ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<≤++<<--≤<=lx c c x c v c x x δδδδϕ000)(0解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为)()(),(t T x X t x u =，则，)()(),(),()(),(t T x X t x u t T x X t x u xx tt ''=''=代入混合问题中的微分方程可得：λ-=''=''⇒=''-'')()()()(0)()()()(22t T t T a x X x X t T x X a t T x X 由初始条件可得：0)()0(0)()(),()()0(),0(==⇒====l X X t T l X t l u t T X t u 由此可得，)(x X 为如下常微分方程边值问题的非零解：⎩⎨⎧==<<=+''0)(,0)0()0(0)()(l X X l x x X x X λ若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 )ex p()ex p()(21x c x c x X λλ-+=，代入边值条件后可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。

若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c c x X 21)(+=，代入边值条件后仍可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。

若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+=，代入边界条件后可得：x c x X c c c X λλλsin )(00sin 0cos )0(2121=⇒==+=，22,0sin 0)(,0sin )(⎪⎭⎫⎝⎛===⇒≠==l n l x X l c l X n πλλλλ，所以可取 ),2,1(sin)()(Λ===n lx n x X x X n π由)(t T 所满足的方程可得： latn b l at n a t T t T t T at T n n n ππλsincos)()(0)()(22+==⇒=+''，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 lxn l at n b l at n a t T x X t x u t x u n n n n n πππsin)sin cos ()()(),(),(+===，设原混合问题的解函数为 ∑+∞=+=1sin )sin cos(),(n n nlx n l at n b l at n at x u πππ，则由初始条件可得：),2,1(0sin)0,(01Λ==⇒==∑+∞=n a lxn a x u n n n π ∑+∞==1sin cos ),(n n t l xn l at n b l a n t x u πππ， ⎰∑=⇒==+∞-l n n n t dx l xn x a n b l x n b l at n x u x 01sin )(2sin )0,()(πϕπππϕ， ))(cos )((cos 2sin 22200l c n l c n an l v dx l x n v a n b c c n δπδππππδδ+--==⎰+- （*）所以，原混合问题的解为 ∑+∞==1sin sin),(n n lxn l at n b t x u ππ，其中的n b 由（*）给出。

分离变量练习题

分离变量练习题分离变量是微积分中一种常用的技巧，用于解决某些复杂函数的微分方程。

通过分离变量，我们可以将一个关于多个变量的微分方程转化为一系列关于单个变量的方程，从而更容易求解。

以下是几道分离变量的练习题，帮助你熟悉和掌握这个技巧。

练习题一：解方程：dy/dx = xy解法：首先将方程中的变量分离，得到 dy/y = x dx。

对上述等式两边进行积分，得到 ln|y| = (x^2)/2 + C，其中C为常数。

再通过指数函数的性质，得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。

练习题二：解方程：dy/dx = 3x^2 y^2解法：将方程中的变量分离，得到 y^(-2) dy = 3x^2 dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 -y^(-1) = x^3 + C，其中C为常数。

移项并对等式两边取倒数，得到 y = -1/(x^3 + C)，其中C为任意常数。

练习题三：解方程：dy/dx = 2xy/(1+x^2)解法：将方程中的变量分离，得到 (1+y^2) dy = 2x dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 y + (1/3)y^3 = x^2 + C，其中C为常数。

练习题四：解方程：dy/dx = x/y解法：将方程中的变量分离，得到 y dy = x dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 (1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。

通过以上四道练习题，你有机会更好地理解和掌握分离变量的技巧。

不同的题目可能会有不同的方程形式，但核心思想始终是将方程中的变量分离并进行积分，最终得到解析解。

在实际应用中，分离变量常被用于求解物理、生物和经济等领域中的微分方程问题。

需要注意的是，对于某些方程，可能不存在解析解，或者解析解过于复杂难以计算。

在这种情况下，我们可以考虑使用数值方法进行求解，例如欧拉法或龙格-库塔法等。

希望以上练习题对你加深对分离变量的理解有所帮助。

继续练习和应用这个技巧，你会在微积分的学习中取得更多的进展。