第1章 质点力学
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
第1章-质点运动学
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
大学物理同步训练第2版第一章质点运动学详解
为大于零的常数，则 t 时刻其速度 v
4
；其切向加速度的大小为
；该
同步训练答案
第一章 质点力学
许照锦
质点运动轨迹是
。
答案： R sin ti R sin tj ; 0; 半径为 R 的圆 分析：
2 3
（A） 0 t 1s 内，质点沿 x 轴负向作加速运动 （B） 1 t 2 s 内，质点沿 x 轴正向作减速运动 （C） t 2 s 时，质点沿 x 轴负向作减速运动 （D）质点一直沿 x 轴正向作加速运动 答案：B
1
同步训练答案
第一章 质点力学
许照锦
分析：
v
dx 6t 3t 2 3t 2 t ，故 0 t 2 时， v 0 ； t 2 时， v 0 。 dt dv a 6 6t 6(1 t ) ，故 0 t 1时， a 0 ； t 1 时， a 0 。 dt
2
答案：A 分析： 平均速度=
x(t 2 ) xt1 3 3 2 2 2 注：t 2 t1 t 2 t1 t 2 t1t 2 t1 。 t2 t1t 2 t12 40 ， t 2 t1
7. （☆）根据瞬时加速度的定义及其坐标表示，它的大小 a 可表示为
故质点作变速运动。答案 B 正确。 6. 一作直线运动的物体的运动规律是 x t 40t ，从时刻 t1 到 t 2 间的平均速度是
3
（A） t 2 t1t 2 t1 40
2 2
(完整版)第1章质点力学
1第1章 质点力学1—1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 .1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2(SI ），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4一质点沿半径R 的圆周运动,运动方程为 θ=3+2t 2（SI ），则t 时刻质点的法向加速度大小为 an；角加速度 β= 。
1—5 某质点的运动方程为x= 3t —5t 3+6（SI),则该质点作 （A)匀加速直线运动,加速度沿x 轴正方向. （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
(C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。
（D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
［ ］ 1—9 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。
1—10 一物体作斜抛运动,初速度0v与水平方向夹角为θ， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径ρ为 .1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径ρ= 。
6t(s)题1—10图 题1-11图21-12 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向,B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 ：(A)j 2i 2 + （B ）j 2i 2+-(C ）j 2i 2 -- （D ）j 2i 2- [ ]1—13 一飞机相对空气的速度大小为200km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192 km/h ，方向是（A)南偏西 16。
理论力学思考题解答
1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟
后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游 600 米的地方，问河水的流速
是多大？
1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？
1.10 在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是
末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形 状有关。 1.12 答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动 方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能
定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出 an ，有牛顿运动方程 Fn Rn man 便可求出 Rn ，即为约束力
r
j
y
Fr y
r
k
Fr xi yj zk Fr r F
z
r
r
Fr z
r
事实上据“ ”算符的性质，上述证明完全可以简写为
F Frr 0
这表明有心力场是无旋场记保守立场
1.17 答平方反比力场中系统的势能V r k 2m ，其势能曲线如题图 1.17 图所示，
1.2 答：质点运动时，径向速度 Vr 和横向速度 Vθ 的大小、方向都改变，而 ar 中的 r只反映 了 Vr 本身大小的改变， a 中的 r r 只是 Vθ 本身大小的改变。事实上，横向速度 Vθ 方 向的改变会引起径向速度 Vr 大小大改变， r2 就是反映这种改变的加速度分量；经向速 度 Vr 的方向改变也引起 Vθ 的大小改变，另一个 r 即为反映这种改变的加速度分量，故 ar r r2 ，a r 2r. 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能
理论力学(周衍柏)第一章质点力学
（1）矢量形式的运动学方程
rr(t)
理论力学：Theoretical mechanics 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
② 观察者是站在参照系的观察点上； ③ 不特别说明都以地球为参照系。
2. 坐标系
理论力学：Theoretical mechanics 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
ji
解： 确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船
理论力学：Theoretical mechanics
:0 牵连速度， ： 绝对速度， :相 对 速度
ji
由：
0
0
c2i
r d
dt
j
c1 cosi c1 sin
j
i
选取极坐标, 得
理论力学：Theoretical mechanics
0:人行走速度， ： 风速(相对于地)， :风 相对于人的速
度 由：
得： 理论力学：Theoretical mechanics
得： 解得：
y
2
2
理论力学：Theoretical mechanics
因此：x 4,y 4
风速： x2y2 4 2km/h
力学舒幼生第一章质点运动学
通过积分，可以得到轨道方程 r r()
33
例 狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都 为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。
求狗的速度、加速度和轨道方程。
狐狸的角速度 d v
dt R
狗有横向和纵向速度
v r,vr v2v2
狗的横向和纵向加速度
a2d dd d r t trd d2 2t,ard d22 rtr d d t2
A (r ,,t) A re r A e
与直角坐标系的变换
xrco ,syrsin
27
正交基矢与极坐标的微分关系
正交基矢只依赖 ，与 r 无关
当θ变化时，正交基矢同时改变方向 满足微分关系
der
de
de de r
e
er
d r(t)
参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展， 构成三维平直空间
参考系：参考空间+测量时间的时钟
z 坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可建立各种坐标系。
时间的零点也可任选
O
y
x
相对运动的参考系
两个参考系之间若有相对运动，
他们观测同一个运动物体 是否会得到相同的距离和时间？
v
z
O
y
x
质点
由繁到简 将物体模型化为一个点——质点
dt dt
加速度
v(t)
dR
d
R
⊙k
a d v d R d R R v d td t d t a 心 v , a 切 R
22
曲线的曲率和曲率半径
曲率 d dl
大学物理第1章质点运动学的描述
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
第1章 质点力学 习题参考答案--2013.01
对上式积分，并代人初始条件 x = 0， v ∴ v v0 e
kx
v0 ，有
x dv kdx v0 v 0 v
，得证。
1-7. 如图所示，质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m 的圆轨道转动．转动的角速度 与时间 t 的函数关系为
kt 2 (k 为常量)．已知 t 2s 时，质点 P 的
s
t
t
a0
2
)d t
故各瞬时
s
a0 2 a0 3 t t 2 6
当 t = n 时，质点的速度 v n
1 n(n 2)a0 ； 2 1 2 2 质点走过的距离 s n n (n 3)a0 6
M S B
1-4．质点 M 在水平面内的运动轨迹如图所示，OA 段为直线， AB、 BC 段分别为不同半径的两个 1/4 圆周． 设 t =0 时，M 在 O 点，已知运动学方程为 S =30t+5t2 (SI) 求 t =2 s 时刻，质点 M 的切向加速度和法向加速度． 解：首先求出 t=2 s 时质点在轨迹上的位置， S =80 (m)，质点在大圆上。 各瞬时质点的速率： v dS / dt 30 10t ∴ t =2 s 时, v =50 m/s 各瞬时质点的切向加速度和法向加速度：
其中 b、c 是大于零的常量，求从 t 0 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的 时间． 解： v dS / dt b ct
at dv / dt c
2
an b ct / R
根据题意，
c b ct / R ， 解得
2
t
b Rc c
1-6．一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反， 大小与速度平方成正比，即 dv /d t kv ， 式中 k 为常量．试证明电艇在关闭发动机后
第一章 质点运动学
z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g
1第一章-质点力学基础
第6页，共54页。
质点：任何物体都有一定的大小和形状,但 当物体的大小和形状在所描写的运动中所起 的作用可以忽略不计时,我们就把它看作是
一个只有质量而没有大小和形状的点,称为 质点.
第7页，共54页。
二、参考系与坐标系
根据叉积运算定义,可以得到如下结果：
第12页，共54页。
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标 x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的 有向线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中, 可以表示为
其中x,y,z,分别表示 在三个坐标轴上的分量, 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
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质点运动过程中,其位置随时间的改变可以 表示为
或
第14页，共54页。
位移
质点在一段时间内
位置的改变称为它 在这段时间内的位
y
移,记作 ,大小标
志着在这段时间内质 点位置移动的多少,
方向表示质点的位 O 置移动方向.图中s 表示路程.
z
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P1 s P2
x
速度
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考,这
个被选定的参考物体称为参考系.
为了定量地描写物体运 动的位置以及位置随时 y 间的变化,在三维空间 中,需要标出三个独立 的量来唯一地确定一点 的位置.如图所示为三 O 条坐标轴(x轴、y轴、z
轴)相互垂直的直角坐标 z
系.
第8页，共54页。
P(x,y,z) x
被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
大学工程物理 第一章质点力学
例 题
质点作直线运动，运动方程为（ ）： 质点作直线运动，运动方程为（SI）：
x = 12t − 6t
2
时质点的位置、 求 （1）t=4s时质点的位置、速度和加速度； ） 时质点的位置 速度和加速度； （2）质点通过原点时的速度和加速度； ）质点通过原点时的速度和加速度； （3）质点速度为零时所在的位置。 ）质点速度为零时所在的位置。 解：（1）由运动方程可得速度及加速度表达式为： ）由运动方程可得速度及加速度表达式为： dx υ = = 12 − 12t dt dυ a= = −12 dt 时质点的位置、 在t=4s时质点的位置、速度和加速度分别为： 时质点的位置 速度和加速度分别为： -48m、-36m/s和-12m/s2。 、 和
dr = 2i − 2t j 解： v = dt
t = 0 v0 = 2i
t = 2 v2 = 2i − 4 j
−4 = −63 26′ 2
大小： v2 = 22 + 42 = 4.47m / s 大小： 方向： θ = arctan 方向：
v θ为 2与x轴的夹角
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 题 关系为 x=10+8t-4t2,求： x=10+8t质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 =0、 秒时的速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（） 时刻 1 t
= ∆xi + ∆yj + ∆zk
注 意 a) b)
位移是矢量， 位移是矢量，有大小和方向
Δr r1 o z A r2
∆ r 与∆r 的区别
为标量， ∆r为标量，∆r 为矢量
大学物理 1-1 质点运动学
∆θ υ (t ) o
R
∆υ a = lim ∆t →0 ∆t
∆υ n ∆υt = lim + lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
第一篇
速度三角形
∆υ
υ (t + ∆t )
力学
υ (t )
υ
∆υ n
24
∆υt
物理
自学考试
∆υ a = lim ∆t →0 ∆t ∆υ n ∆υt = lim + lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
从上式中消 去参数 t 得质点 轨迹方程． 的轨迹方程．
第一篇
y
y (t )
P
r (t )
x(t )
z
z (t )
o
x
力学
7
物理
自学考试
反映质点某段时间内位置的变化 位移矢量或位移矢量增量 平面运动 运动: 平面运动
3 位移: ∆ r 位移:
质点运动学
y
yB − yA
rA = x Ai + y A j ， A ∆r rA rB = xB i + y B j ， rB ∆ r = rB − rA = (xB − xA )i + ( yB − yA ) j o xB −xA
y
P 1
∆r
r2
P 2
∆ r = ∆ x i + ∆ yj + ∆ zk
∆r = ∆x + ∆y + ∆z
2 2 2
r1
O
∆r
z
2 1 2 1
x
∆ r = x + y +z − x + y + z
2 2 2 2 2 2
大学物理第一章 质点运动学
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。
物理：力学基础知识
刚体上的各点绕某一直线作圆周运动，叫刚体转动。 刚体上的各点绕某一直线作圆周运动， 刚体转动。 刚体上的各点绕某一固定不动的直线作圆周运动， 刚体上的各点绕某一固定不动的直线作圆周运动， 刚体的定轴转动。 叫刚体的定轴转动。
z
一. 转动的运动学
o
称为角坐标，单位： θ 称为角坐标，单位：rad
ω v r P
I = ∫ λr 2 dr
l 2 l − 2
I = ∫ λr dr = λ ∫ r dr
2 2
l 2 l − 2
l 2 l − 2
1 = λ[ r ] l 3 −2
1 l 3 l 3 = λ ( ) − ( − ) 3 2 2
l 3 2
1 2 = ml 12
均匀细长棒， 例 一质量为 m 长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量 . 解 设棒的线密度为 处的质量元 dm = λdr (同学计算 同学计算) 同学计算
外力 系统受力 内力
非保守内力
保守内力
W外 + W非保内 +W保内= ∆ ΣE k W保内= - ∆ ΣEP
机械能
功能原理 W外 + W非保内 = ∆（ΣE k+ Σ EP）
机械能守恒定律
当W外 + W非保内 0
∑E k+ Σ EP=常量 常量
第二节 刚体的转动 Rotation of rigid body
第一章 力学基础
Chapter One The Fundamental Knowledge of Mechanics
y F x
第一节 质点力学 mechanics of point mass
1、位移、速度、加速度 位移、速度、 2、牛顿三定律 3、动量定理 4、动量守恒 5 、功 动能、 6、动能、动能定理 功能原理、 7、功能原理、机械能守恒定律
理论力学第三版(周衍柏)习题答案
又因为速率保持为常数，即
为常数
对等式两边求导
所以
即速度矢量与加速度矢量正交.
1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，
则质点切向加速度
法向加速度 ，而且有关系式
①
又因为
②
所以
③
④
联立①②③④
⑤
又
把 两边对时间求导得
又因为
所以
⑥
把⑥代入⑤
既可化为
对等式两边积分
所以
1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示
第一章 质点力学
第一章习题解答
1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:
设开始计时的时刻速度为 ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为 .
则有:
由以上两式得
再由此式得
证明完毕.
1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.
设 船经过 小时向东经过灯塔,则向北行驶的 船经过 小时经过灯塔任意时刻 船的坐标
①--②
②/①得 ，对两积分：
设 为常数，即
代入初始条件 时， .设 有 得
1.18 解 如题1.18.1图
质点沿 下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为 .设竖直线 ，斜槽 ，易知 ，由正弦定理
即
①
又因为质点沿光滑面 下滑，即质点做匀速直线运动.
所以
②
有①②
欲使质点到达 点时间最短，由 可知，只需求出 的极大值即可，令
故有
所以
1.4 解 如题1.4.1图所示，
绕 点以匀角速度转动， 在 上滑动，因此 点有一个垂直杆的速度分量
点速度
又因为 所以 点加速度
第1章 质点力学(1-3)
1-1 运动的描述
一. 参照系和坐标系 参照系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个 物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。 Z 日心系
地面系
o 地心系 X
Y
因此，参照系的选择是任意的，不一定是静止的物体。 坐标系 为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选
用 一个坐标系。
二、位置矢量
运动方程
ห้องสมุดไป่ตู้
Δ r r r
1
Δs
B Г
2
r Δ x 2 Δ y 2 Δ z 2
位移方向由A指向B. 路程 s :质点在t时间内运动的弧长.是标量.
r a ) r 为标量，r 与 都为矢量
b ) r r2 r1 r r2 r1 r r2 r1 r r
R地球 6.4 102 km, R太阳地球 1.5 108 km
;
但研究地球自转时就不能把地球视为质点了)
第一章
质点力学
本章基本内容
●位矢、位移、速度、加速度
●运动的叠加原理
●牛顿运动定律及动力学问题 ●功、动能、势能、动能定理及机械能守恒定律
●冲量、动量、动量定理及其守恒定律
减速转动
方向相反
由于在定轴转动中轴 的方位不变,故、只 有沿轴的正负两个方 向,可以用标量代替.
例4：一质点运动轨迹为抛物线
(SI) (SI)
求：x= 4m时（t>0)，粒子的速度、加速度。
解：
(SI) 4 t 2 t 2s (t 0) (SI)
vv 2 44i 24 jm / / s t t 2 i 24 j m s
大学物理第一章3质点力学
51.86
51.86 45 6.86
例2、一质量均匀分布的
柔软细绳铅直地悬挂着， 绳的下端刚好触到水平 桌面上，如果把绳的上 端放开，绳将落在桌面 上。试证明：在绳下落 的过程中，任意时刻作
o
用于桌面的压力，等于
已落到桌面上的绳重力
x
的三倍。
证明：取如图坐标，设t时刻已有
(1)r a cost i b sin t j
x a cos t y b sin t v x a sin t v y b cos t
A(a,0)点：cos t=1
sin t=0
v x a sin t v y b cos t
l-a
O
f mg ( l x ) / l
Wf
a
l
a
f dr
l
a
(
l
mg
l
)( l x )dx
x
1 2 mg mg ( lx x ) (l a )2 2 2l l a
注意：摩擦 力作负功！
(2)对链条应用动能定理：
1 1 2 2 W＝W P＋W f mv mv 0 2 2
1 v0 0 W P＋W f mv 2 2 l l mg mg ( l 2 a 2 ) WP P d r xdx a a l 2l mg ( l a ) 2 前已得出： W f 2l
功的正负而变。
3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
4. 做功只与初末动能有关。
例
1、一质量为m的质点，在xoy平面上运动。 其位置矢量为： r a cos t i b sin t 其中a,b,为正值常数，a > b。
理论力学习题答案 第三版
e2ω 2r 4
( ) ( ) ( ) =
a2
1− e2
2
a2 1− e2 [1 −
2
+r2
− 2ar 1 − e 2
+ r2ω 2 ]
r2e2
( ) r 2ω 2 ( ) = a2 1 − e 2
⎡ e2 r 2 − r 2 + 2ar 1 − e2
⋅⎢ ⎣
1− e2
- 12 -
又因为 所以 把⑥代入⑤
既可化为 对等式两边积分 所以
x& = yy& p
v 2 = x& 2 + y& 2
y& 2
=
v2
1+
y2 p2
⑥
p2
⎜⎜⎝⎛1+
v
y2 p2
1
⎞2 ⎟⎟ ⎠
⋅
dv dy
=
−2kv2
⋅
y3
⎜⎜⎝⎛1 +
p2 y2
3
⎞2 ⎟⎟ ⎠
dv = −2kp dy
v
y2 + p2
d 2 + x2 d
又因为θ& = ω 所以 C 点加速度
( ) a
=
dv dt
= ωd ⋅ 2 secθ
⋅ secθ
⋅ tan⋅ θ&
=
2dω 2 sec 2 θ
ta n θ
=
2ω 2 x d 2 d2
+
x2
1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：
a
= c⎜⎛1 − sin
πt
⎞ ⎟
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第1章 质点力学1-1 一质点的运动方程为x = 6t - t 2（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 。
1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2（SI ），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4一质点沿半径R 的圆周运动，运动方程为 θ=3+2t 2（SI ），则t 时刻质点的法向加速度大小为a n ；角加速度 β= 。
1-5 某质点的运动方程为x= 3t-5t 3 +6（SI ），则该质点作（A ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。
（B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
（C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。
（D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
[ ] 1-9 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第 秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。
1-10 一物体作斜抛运动，初速度0v与水平方向夹角为θ， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径ρ为 。
1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径ρ= 。
t(s) 题1-10图 题1-11图1-12 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i 、j表示），那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 ：（A ）j 2i 2 + （B ）j 2i 2 +- （C ）j 2i 2 -- （D ）j 2i 2 - [ ] 1-13 一飞机相对空气的速度大小为200km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192 km/h ，方向是（A ）南偏西 16.3°。
（B ）北偏东 16.3°。
（C ）向正南或向正北。
（D ）西偏北 16.3°。
（E ）东偏南 16.3°。
[ ]1-14 已知一质点运动方程为 j t t i t t r )314()2125(32++-+=（SI ）。
当t =2s 时， a = 。
1-15 一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是β=12t 2-6 t （SI ）则质点的角速度ω= ， 切向加速度a t = 。
1-21 在xy 平面内有一运动的质点，其运动方程为j t i t r 5sin 105cos 10+=（SI ），则t 时刻其速度v = 加速度的大小a t = ；该质点运动的轨迹是 。
1-26一质点沿x 轴作直线运动，它的运动方程为 x=3+5t +6t 2 _ t 3（SI ），则（1）质点在t=0时刻的速度v 0 = ；（2）加速度为零时，该质点的速度v = 。
1-28一质点P 从O 点出发以匀速率1cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1m ，如图所示。
当它走过32圆周时，走过的路程是 ，这段时间内的平均速度大小为 ，方向是 。
1-29 已知质点的运动方程为()j t i t r 3242++=，则该质点的轨道方程为 。
yx O1-35 某物体的运动规律为t k dt2v dv -= ，式中的k 为大于零的常数。
当t =0时，初速度为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是（A ）0v v +=221kt . （B ）0v v +-=221kt （C ）021211v v +=kt . （D ）021211v v +-=kt [ ] 1-36某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？（A ）北偏东30°。
（B ） 南偏东30°。
（C ）北偏西30°。
（D ） 西偏南30°。
[ ]1-37一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为r = at 2i +bt 2j （其中a 、b 为常量）则该质点作（A ） 匀速直线运动。
（B ） 变速直线运动。
（C ） 物线运动。
（D ） 一般曲线运动。
[ ] 1-39 某人骑自行车以速率v 向正西方行驶，遇到由北向南刮的风（设风速大小也为v ），则他感到风是从(A) 东北方向吹来。
（B ）东南方向吹来。
（C ）西北方向吹来。
（D ）西南方向吹来。
[ ]1-40 一个质点在做匀速率圆周运动时(A) 切向加速度改变，法向加速度也改变。
(B) 切向加速度不变，法向加速度改变。
（C ）切向加速度不变，法向加速度也不变。
（D ）切向加速度改变，法向加速度不变。
[ ]1-41 设质点的运动方程为j t sin R i t cos R r ω+ω=（式中R 、ω皆为常量）。
则质点的v = ，=dtdv 。
1-43一质点在平面上做曲线运动，其速率v 与路程S 的关系为v =1+S 2（SI ），其切向加速度以路程S 来表示的表达式为a t = （SI ）。
1-44一船以速度0v 在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速1v 在船中竖直向上抛出一石子，则站在岸上的观察者看石子运动的轨迹是 ，其轨迹方程是 。
1-46一物体从某一确定高度以v 0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为v t ，那么它运动的时间是(A) g t 0v v - (B) g t 20v v - (C) g 21）（2o 2t v v - (D) g 221）（2o 2t v v - [ ] 1-50 两个质量相等的小球由一轻弹簧相连接，在用一细绳悬挂于天花板上，处于静止状态。
将绳子剪断的瞬间，球1和球2的加速度分别为（A ）a 1 = g ， a 2 = g . （B ）a 1= 0， a 2 = g .1-53 两物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑水平面上，如图所示，对物体A 施以水平推力F ，则物体A 对物体B 的作用等于（A ）F m m m 211+. （B ）F . （C ）F m m m 212+. （D ）F m m 12. [ ] 1-54 质量分别为m A 和m B 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动。
如图所示。
如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度a A 和a B 分别为（A ）a A =0， a B =0. （B ）a A ＞0， a B ＜0.（C ）a A ＜0， a B ＞0. （D ）a A ＜0， a B =0. [ ]1-55 一圆锥摆摆长为l ，摆锤质量为m ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅垂线夹角θ，则（1）摆线的张力T=______________；（2）摆锤的速率v =__________________。
1-56 质量为m 的小球，用轻绳AB 、BC 连接。
如图，剪断绳AB 前后的瞬间，绳BC 中的张力比T ：T'=________________。
1-59 如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为θ的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为（A ）θcos mg ． （B ）θsin mg ．（C ）θcos mg ． （D ）θsin m g ． [ ] 1-60 如图所示，斜面与竖直墙壁均光滑，则质量为m 的小球对斜面作用力的大小为（A ） mgsin θ (B) θcos mg . （C ） θsin mg . （D ） θcos mg . [ ]1-61 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端。
它们由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是（A ）甲先到达。
（B ）乙先到达。
（C ）同时到达。
（D ）谁先到达不能确定。
[ ] 1-62一根细绳跨过一光滑的定滑轮。
一端挂一质量为M 的物体。
另一端被人用双手拉着，人的质量M m 21=。
若人相对于绳以加速度a 0向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是（A ）320g a + （B ）)3(0a g -- （C ）320g a +--. （D ）a 0. [ ]1-63 一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m 1和m 2的重物，且m 1＞m 2，滑轮质量及一切摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a 。
今用一竖直向下的恒力F= m 1g 代替质量为m 1的物体，质量为m 2的重物的加速度为a '，则（A ） a '= a . （B ）a '＞a .（C ） a '＜a . （D ）不能确定。
[ ]m θm θ1-64如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上，滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计，系统无初速地释放。
物体A 下落的加速度（A ）g. （B ）2g . （C ）3g . （D ）54g . [ ] 1-66 质量m 为10kg 木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。
若已知木箱与地面间的摩擦系数μ为0.2，那么在t=4s 时，木箱的速度大小为 ；在t=7s 时，木箱的速度大小为 。
（g 取10m/s 2）1-67 试根据质点动量定理，推导由两个质点组成的质点系的动量定理，并导出动量守恒的条件。
1-69 质量为m 的质点，一不变速率v 沿如图中正三角形的水平光滑轨道运动。
质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量大小为（A ）mv 。
（B ）v m 2。
（C ）v m 3。
（D ）2mv 。
[ ]1-73 一物体质量M=2kg ，在合外力i )t 23(F +=（SI ）的作用下，从静止出发沿水平x 轴作直线运动，则当t=1s 时物体的速度1v=__________________。
1-74 质量为20g 的子弹沿x 轴正向以500m/s 的速率射入一块木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为（A ） 9N ·s. （B ）-9N ·s.（C ）10N ·s. （D ）-10N ·s . [ ]O 4 7 t(s)A B C1-78一质点的运动轨迹如图所示。
已知质点的质量为20g ，在A 、B 二位置处的速率都为20m/s ，A v 与x 轴成45°角，B v 垂直于y 轴，求质点由A 点到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。