第一章 习题课

习题课电磁感应定律的应用

一、公式E＝n ΔΦ

Δt与E＝Blv的区别与联系

[例1] 如图1所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m。额定电压为2 V的小灯泡接在导轨一端，ab 是跨接在导轨上内阻不计的导体棒，开始时ab与NQ的距离为0.2 m。

图1

(1)若导体棒固定不动，要使小灯泡正常发光，磁感应强度随时间的变化率是多大？

(2)若磁感应强度保持B＝2 T不变，ab匀速向左运动，要使小灯泡正常发光，ab 切割磁感线的速度是多大？

解析(1)由于导体棒ab电阻不计，所以小灯泡两端的电压即为回路中的感应电动势，E＝U L＝2 V。

由E＝ΔB

Δt·S得ΔB

Δt

＝E

S

＝2

0.2×0.2T/s＝50 T/s

(2)由E＝BLv得v＝

E

BL

＝2

2×0.2m/s＝5 m/s

答案(1)50 T/s(2)5 m/s

二、导体切割磁感线——转动问题分析

[例2] 长为l的金属棒ab以a点为轴，在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω做匀速转动，如图2所示，磁感应强度为B，求：

图2

(1)ab 棒各点速率的平均值；

(2)ab 两端的电势差；

(3)经时间Δt 金属棒ab 所扫过面积中磁通量为多少？此过程中平均感应电动势多大？

解析 (1)ab 棒各点的平均速率

v －＝v a ＋v b 2＝0＋ωl 2＝12ωl

(2)ab 两端的电势差：U ＝Blv －＝12

Bl 2ω (3)经时间Δt 金属棒ab 所扫过的扇形面积为ΔS ，则

ΔS ＝12l 2θ＝12l 2ωΔt ，ΔΦ＝B ΔS ＝12Bl 2ωΔt 。

由法拉第电磁感应定律得

E ＝ΔΦΔt ＝12Bl 2ωΔt Δt ＝12Bl 2ω。

答案 (1)12ωl (2)12Bl 2ω (3)12Bl 2ωΔt 12Bl 2ω

如图3所示，长为l 的金属棒ab 在磁感应强度为B 的匀强磁场中以角速度ω绕b

点匀速转动，则金属棒ab 产生电动势的大小E ＝12Bl 2ω。

图3

三、电磁感应中的电荷量问题

设感应电动势的平均值为E －，则在Δt 时间内：E －＝n ΔΦΔt ，I －＝E －R ，又q ＝I －Δt ，所以q ＝n ΔΦR 。其中ΔΦ对应某过程磁通量的变化，R 为回路的总电阻，n 为回路的匝数。

注意：求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均感应电动势和平均感应电流计算。

[例3] 如图4甲所示，有一面积为S ＝100 cm 2的金属环，电阻为R ＝0.1 Ω，环中

磁场的变化规律如图乙所示，且磁场方向垂直纸面向里，在t 1到t 2时间内，通过金属环某横截面的电荷量是多少？

图4

解析 由法拉第电磁感应定律知金属环中产生的感应电动势E ＝n ΔΦΔt ，由闭合电路的欧姆定律知金属环中的感应电流为I ＝E R 。通过金属环截面的电荷量q ＝I ·Δt

＝ΔΦR ＝

100×10－4×（0.2－0.1）0.1 C ＝0.01 C 。

答案 0.01 C

[例4] 如图5所示，将直径为d ，电阻为R 的闭合金属环从磁感应强度为B 的匀强磁场中拉出，求这一过程中：

图5 (1)磁通量的改变量；

(2)通过金属环某一截面的电荷量。

解析 (1)由已知条件得金属环的面积

S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝πd 24，从匀强磁场中拉出时磁通量的改变量ΔΦ＝BS ＝πd 2

B 4。 (2)由法拉第电磁感应定律E －＝ΔΦΔt ，又因为I ＝E －R ，q ＝I －Δt ，所以q ＝ΔΦR ＝πd 2B 4R 。 答案 (1)πd 2B 4 (2)πd 2B 4R

1.(E ＝Blv 的应用)如图6所示，由均匀导线制成的半径为R 的圆环，以速度v 匀速进入一磁感应强度大小为B 的匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠aOb ＝90°)时，a 、b 两点的电势差为( )

图6

A.2BRv

B.22BRv

C.24BRv

D.324BRv

解析 设整个圆环电阻是r ，当圆环运动到图示位置时，则其外电阻是圆环总电

阻的34，而在磁场内切割磁感线的有效长度是2R ，其相当于电源，E ＝B ·2R ·v ，

根据欧姆定律可得U ＝34r r E ＝324BRv ，选项D 正确。

答案 D

2.(多选)(转动切割时感应电动势的计算)如图7为法拉第圆盘发电机的示意图，半径为r 的导体圆盘绕竖直轴以角速度ω逆时针(从上向下看)旋转，匀强磁场B 竖直向上，两电刷分别与圆盘中心轴和边缘接触，电刷间接有阻值为R 的定值电阻，忽略圆盘电阻与接触电阻，则( )

图7 A.电阻R 两端的电压为12Bωr 2

B.电阻R 两端的电压为Bωr 2

C.若ω增大到原来的2倍，则流过定值电阻的电流增大到原来的2倍

D.若ω增大到原来的2倍，则流过定值电阻的电流增大到原来的4倍

解析 电阻R 两端的电压差等于圆盘转动产生的感应电动势即U ＝E ＝12Bωr 2，选

项A 正确，B 错误；若ω增大到原来的2倍，根据E ＝12Bωr 2可知电动势变为原

来的2倍，则流过定值电阻的电流增大到原来的2倍，选项C 正确，D 错误。 答案 AC

3.(两公式的综合应用)如图8所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B 0。使该线框从静止开始绕过圆心O 、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强

度随时间的变化率ΔB Δt 的大小应为( )

图8