基于MATLAB图像处理的频率域滤波分析及应用

基于MATLAB图像处理的频率域滤波分析及应用

作者：东红林于莲芝

来源：《软件导刊》2017年第10期

摘要：当前，数字图像处理已渗透到各行各业，图像滤波是数字图像处理的预处理，能对图像的一些特征加以有效改善。除空间域滤波外，频率域滤波也具有重要价值和意义，用傅里叶级数或变换将图像转化的频域进行低通滤波、高通滤波等处理，再通过傅里叶反变换进行重建，不仅不会丢失任何信息，还可以完成空间域无法完成的处理。

关键词：图像滤波；傅里叶变换；低通滤波；高通滤波

DOIDOI：10.11907/rjdk.171680

中图分类号：TP317.4

文献标识码：A文章编号：16727800（2017）010020504

0引言

数字图像处理已应用于社会生活的各个领域，特别是近几年火热的人工智能领域。在实际中难免会遇到一些质量较差的图像，如图像模糊不清、有噪声等，因此在应用图像前，图像预处理尤为重要。鉴于此，研究图像的频率域滤波具有重要意义。频域滤波以图像的傅里叶变换为基础，通过对傅里叶谱和相角进行分析再修改傅里叶变换以达到特殊目的，常用的有高通滤波和低通滤波。

1基本概念

1.1傅里叶级数及变换

傅里叶指出无论函数有多复杂，只要它是周期性的，并且满足一定的数学条件，就一定可以用这种正弦和或者余弦和的形式表示。甚至在有些情况下，非周期函数也可以用正弦和或者余弦和的形式表示[1]。

傅里叶级数：

f（t）=∑∞n=-∞cnejzπnTt（1）

其中，f（t）是具有周期的连续变量函数。

cn=1T∫T/2-T/2f（t）e-j2πnTtdt，

（n=0，±1，±2，…）（2）

傅里叶变换：

F（u）=∫∞-∞f（t）e-j2πutdt（3）

傅里叶反变换：

f（t）=∫∞-∞F（u）ej2πutdu（4）

卷积：

f（t）Θh（t）=∫∞-∞f（τ）h（t-τ）dτ（5）

其中，Θ表示卷积算子。

卷积定理：

f（t）Θh（t）H（u）F（u）f（t）h（t）H（u）ΘF（u）（6）

双箭头表示左右两端经过傅里叶变换的转换。

1.2二维（图像）傅里叶变换

图像可以看成是一个特殊的二维信号，每一点的灰度级就是图像信号上这一点的“幅度”。根据信号的概念，频率就是信号变化的快慢，指图像空间上灰度变换的快慢，也即图像的梯度变化，频率比较大的是图像中的“边界”或“边缘”。举例来讲，如果一幅图整体变化不大（比如一张白纸），则它在频率域下低频成分很多，而高频成分极少；而如果是一幅道路上斑马线的图，则其高频成分比白纸多得多。

连续傅里叶变换：

令f（t，z）是两个连续变量t和z的连续函数，则其二维傅里叶变换对有以下两个表达式：

F（u，v）=∫∞-∞∫∞-∞f（t，z）e-j2π（ut+vz）dtdz

f（t，z）=∫∞-∞∫∞-∞F（u，v）ej2π（ut+vz）dudv（7）

其中，u和v是频率变量。

离散傅里叶变换（DFT）及反变换（IDFT）：

F（u，v）=∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）e-j2π（ux/M+vy/N）

f（x，y）=1MN∑M-1u=0∑N-1v=0F（u，v）e-j2π（ux/M+vy/N）（8）

f（x，y）是大小为M×N的数字图像，u=1，2，3…M-1，v=1，2，3…N-1，x=1，2，3…M-1，y=1，2，3…N-1。

1.3卷积定理（二维）

二维卷积表达式：

f（x，y）Θh（x，y）=∑M-1m=0∑N-1n=0f（m，n）h（x-m，y-n）

其中，x=1，2，3…M-1，y=1，2，3…N-1。

二维卷积定理[1]：

f（x，y）Θh（x，y）F（u，v）H（u，v）f（x，y）h（x，y）F（u，v）ΘH（u，v）

2图像频域分析

一般情况下，二维DFT是复函数，可用极坐标表示：

F（u，v）=F（u，v）ejΦ（u，v）（9）

其中，幅度：

F（u，v）=[R2（u，v）+I2（u，v）]1/2

称为傅里叶谱（或频谱），而：

Φ（u，v）=arctan[I（u，v）R（u，v）]

称为相角。

由式（8）可得：

F（0，0）=MN1MN∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）=MNf-（x，y）

其中，f-表示f的平均值，有F（0，0）=MNf-（x，y），也即变化最慢的频率分量

（u=v=0）与图像的平均灰度成正比。

图1频域各部分信息展示

如图1所示，与空间域一样，频率域的原点也在左上角，图1（b）是图1（a）经过DFT 之后的数据阵列，它由4个1/4周期组成，由二维傅里叶变换周期性性质决定[1]，图1（c）是经过平移后的图像，它包含一个完整的位于中心的周期，图1（d）是为了便于观察进行

（1+logF（u，v））处理后的图像，很好地显示了高频与低频在图中的分布。由于比例常数MN通常很大，F（0，0）是谱的最大分量，F（0，0）有时称为变换的直流（dc）分量，反映图像的平均灰度级，低频反映图像灰度变化缓慢的部分（图1（a）中黑色部分），与白纸图片一样，几乎没有变化。高频反映图像灰度变化迅速的部分（图1（a）中白色边缘），如边缘、噪声等。

图2频域各部分信息复原图像

如图2所示，（b）是原图（a）相角的阵列信息，人眼看不出任何有价值的信息，（c）是仅使用相位信息（谱置为1）重建的图像，隐约地可以看到图片中女子的轮廓形状，（d）是仅使用傅里叶谱信息（相位信息置为0）重建的图像，在人眼看来图像几乎没有任何有价值的信息，（c）和（d）对比可以看出，相位信息支配着图像的轮廓或形状，谱信息支配着图像的灰度信息。（e）和（f）分别是图2（a）的相角和图1（a）的谱信息重建的图像、图1（a）的相角和图2（a）的谱信息重建的图像，（e）中女人的形状支配了这幅图像，（f）中图1的矩形支配了这幅图像。这两幅图再次证明，一幅图像傅里叶变换后的频域信息中，相位支配着图像形状，傅里叶谱信息主导着图像的灰度信息。

核心代码如下：

f=fft2（img）；%傅里叶变换

r=real（f）；%图像频域实部

ii=imag（f）；%图像频域虚部

xiangjiao=atan2（ii，r）；

subplot（2，3，2），imshow（xiangjiao，[]），title（'（b）相角'）；

xiangwei=ifft2（exp（1i*xiangjiao））；

pu=ifft2（abs（f））