基于MATLAB图像处理的频率域滤波分析及应用
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基于MATLAB图像处理的频率域滤波分析及应用
作者:东红林于莲芝
来源:《软件导刊》2017年第10期
摘要:当前,数字图像处理已渗透到各行各业,图像滤波是数字图像处理的预处理,能对图像的一些特征加以有效改善。除空间域滤波外,频率域滤波也具有重要价值和意义,用傅里叶级数或变换将图像转化的频域进行低通滤波、高通滤波等处理,再通过傅里叶反变换进行重建,不仅不会丢失任何信息,还可以完成空间域无法完成的处理。
关键词:图像滤波;傅里叶变换;低通滤波;高通滤波
DOIDOI:10.11907/rjdk.171680
中图分类号:TP317.4
文献标识码:A文章编号:16727800(2017)010020504
0引言
数字图像处理已应用于社会生活的各个领域,特别是近几年火热的人工智能领域。在实际中难免会遇到一些质量较差的图像,如图像模糊不清、有噪声等,因此在应用图像前,图像预处理尤为重要。鉴于此,研究图像的频率域滤波具有重要意义。频域滤波以图像的傅里叶变换为基础,通过对傅里叶谱和相角进行分析再修改傅里叶变换以达到特殊目的,常用的有高通滤波和低通滤波。
1基本概念
1.1傅里叶级数及变换
傅里叶指出无论函数有多复杂,只要它是周期性的,并且满足一定的数学条件,就一定可以用这种正弦和或者余弦和的形式表示。甚至在有些情况下,非周期函数也可以用正弦和或者余弦和的形式表示[1]。
傅里叶级数:
f(t)=∑∞n=-∞cnejzπnTt(1)
其中,f(t)是具有周期的连续变量函数。
cn=1T∫T/2-T/2f(t)e-j2πnTtdt,
(n=0,±1,±2,…)(2)
傅里叶变换:
F(u)=∫∞-∞f(t)e-j2πutdt(3)
傅里叶反变换:
f(t)=∫∞-∞F(u)ej2πutdu(4)
卷积:
f(t)Θh(t)=∫∞-∞f(τ)h(t-τ)dτ(5)
其中,Θ表示卷积算子。
卷积定理:
f(t)Θh(t)H(u)F(u)f(t)h(t)H(u)ΘF(u)(6)
双箭头表示左右两端经过傅里叶变换的转换。
1.2二维(图像)傅里叶变换
图像可以看成是一个特殊的二维信号,每一点的灰度级就是图像信号上这一点的“幅度”。根据信号的概念,频率就是信号变化的快慢,指图像空间上灰度变换的快慢,也即图像的梯度变化,频率比较大的是图像中的“边界”或“边缘”。举例来讲,如果一幅图整体变化不大(比如一张白纸),则它在频率域下低频成分很多,而高频成分极少;而如果是一幅道路上斑马线的图,则其高频成分比白纸多得多。
连续傅里叶变换:
令f(t,z)是两个连续变量t和z的连续函数,则其二维傅里叶变换对有以下两个表达式:
F(u,v)=∫∞-∞∫∞-∞f(t,z)e-j2π(ut+vz)dtdz
f(t,z)=∫∞-∞∫∞-∞F(u,v)ej2π(ut+vz)dudv(7)
其中,u和v是频率变量。
离散傅里叶变换(DFT)及反变换(IDFT):
F(u,v)=∑M-1x=0∑N-1y=0f(x,y)e-j2π(ux/M+vy/N)
f(x,y)=1MN∑M-1u=0∑N-1v=0F(u,v)e-j2π(ux/M+vy/N)(8)
f(x,y)是大小为M×N的数字图像,u=1,2,3…M-1,v=1,2,3…N-1,x=1,2,3…M-1,y=1,2,3…N-1。
1.3卷积定理(二维)
二维卷积表达式:
f(x,y)Θh(x,y)=∑M-1m=0∑N-1n=0f(m,n)h(x-m,y-n)
其中,x=1,2,3…M-1,y=1,2,3…N-1。
二维卷积定理[1]:
f(x,y)Θh(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)ΘH(u,v)
2图像频域分析
一般情况下,二维DFT是复函数,可用极坐标表示:
F(u,v)=F(u,v)ejΦ(u,v)(9)
其中,幅度:
F(u,v)=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
称为傅里叶谱(或频谱),而:
Φ(u,v)=arctan[I(u,v)R(u,v)]
称为相角。
由式(8)可得:
F(0,0)=MN1MN∑M-1x=0∑N-1y=0f(x,y)=MNf-(x,y)
其中,f-表示f的平均值,有F(0,0)=MNf-(x,y),也即变化最慢的频率分量
(u=v=0)与图像的平均灰度成正比。
图1频域各部分信息展示
如图1所示,与空间域一样,频率域的原点也在左上角,图1(b)是图1(a)经过DFT 之后的数据阵列,它由4个1/4周期组成,由二维傅里叶变换周期性性质决定[1],图1(c)是经过平移后的图像,它包含一个完整的位于中心的周期,图1(d)是为了便于观察进行
(1+logF(u,v))处理后的图像,很好地显示了高频与低频在图中的分布。由于比例常数MN通常很大,F(0,0)是谱的最大分量,F(0,0)有时称为变换的直流(dc)分量,反映图像的平均灰度级,低频反映图像灰度变化缓慢的部分(图1(a)中黑色部分),与白纸图片一样,几乎没有变化。高频反映图像灰度变化迅速的部分(图1(a)中白色边缘),如边缘、噪声等。
图2频域各部分信息复原图像
如图2所示,(b)是原图(a)相角的阵列信息,人眼看不出任何有价值的信息,(c)是仅使用相位信息(谱置为1)重建的图像,隐约地可以看到图片中女子的轮廓形状,(d)是仅使用傅里叶谱信息(相位信息置为0)重建的图像,在人眼看来图像几乎没有任何有价值的信息,(c)和(d)对比可以看出,相位信息支配着图像的轮廓或形状,谱信息支配着图像的灰度信息。(e)和(f)分别是图2(a)的相角和图1(a)的谱信息重建的图像、图1(a)的相角和图2(a)的谱信息重建的图像,(e)中女人的形状支配了这幅图像,(f)中图1的矩形支配了这幅图像。这两幅图再次证明,一幅图像傅里叶变换后的频域信息中,相位支配着图像形状,傅里叶谱信息主导着图像的灰度信息。
核心代码如下:
f=fft2(img);%傅里叶变换
r=real(f);%图像频域实部
ii=imag(f);%图像频域虚部
xiangjiao=atan2(ii,r);
subplot(2,3,2),imshow(xiangjiao,[]),title('(b)相角');
xiangwei=ifft2(exp(1i*xiangjiao));
pu=ifft2(abs(f))