上海民办协和双语学校数学整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．

解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0

∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；

（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．

【答案】(1)1；(2)3．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．

【详解】

解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，

∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，

∴(x+y)2+(y+1)2=0，

∴x+y=0，y+1=0，

解得，x=1，y=−1，

∴2x+y=2×1+(−1)=1；

(2)∵a−b=4，

∴a=b+4，

∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得

b 2+4b+

c 2−6c+13=0，

∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，

∴(b+2)2+(c−3)2=0，

∴b+2=0，c−3=0，

解得，b=−2，c=3，

∴a=b+4=−2+4=2，

∴a+b+c=2−2+3=3．

【点睛】

此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.

2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22

322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；

（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的

面积，你能发现什么?(用含有x ，

y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．

【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；

（3）大 小

【解析】

【分析】

（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；

（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数

一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；

【详解】

（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++

（2）22()()4x y x y xy +=-+

（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.

【点睛】

本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

3．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．

十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：

()()23212x x x x ++=++；

()()223123x x x x +-=-+．

请你仿照以上方法，探索解决下列问题：

（1）分解因式：2712y y ；

（2）分解因式：2321x x --．

【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）．

【解析】

【分析】

（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.

【详解】

（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）；

（2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）.

【点睛】

此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.

4．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪

（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规

律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式

中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着

+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：