高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§62

3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
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例1 引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2019/9/16
数学与计算科学学院
§6.2 线性空间的定义 与简单性质
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
a R ,k R, k a ak R,且 ak 唯一确定．
其次，加法和数量乘法满足下列算律
① a b ab ba b a
② (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (bc) a (b c)
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2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a

b
Байду номын сангаас
log
b a
k a ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
f (x) 0 f (x) f ( x) ( f ( x)) 0 1 f (x) f (x) k(l) f ( x) (kl) f ( x)
f ( x), g( x), h( x) P[ x], k, l P
(k l) f ( x) kf ( x) lf ( x) k( f ( x) g( x)) kf ( x) kg( x)
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引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算
同样满足上述这些重要的规律，即 f (x) g(x) g(x) f (x) ( f ( x) g( x)) h( x) f (x) (g( x) h( x))
⑤ 1
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则：
⑦ (k l) k l ⑧ k( ) k k
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注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
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引例 1
在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：
(a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) (a1 b1,a2 b2 , ,an bn )
k(a1, a2 , , an ) (ka1, ka2 , , kan ), k P
∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ;
∵ (1) 1 (1) (11) 0 0 ∴两边加上－ 即得(1) ; ∵k( ) k k( ) k
∴两边加上 k 即得k( ) k k .
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证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
③ 1R＋，a 1 a1 a, a R＋，即1是零元；
④
a
R＋，1
a
R＋，且 a

1 a

a
1 a

1
1
即 a 的负元素是 a ；
⑤ 1 a a1 a ; a R＋；
⑥ k (l a) k al (al )k alk akl (kl ) a ;
例6 令 V f ( A) f ( x) R[x], A Rnn
即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．
证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
f ( A) g( A) h( A), kf ( A) d( A) 其中，k R, h( x),d( A) R[ x] 又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.
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3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
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4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0, 则 (k 1k ) k 1(k ) k 1 0 0.
练习：
1、P273：习题3 1）2）4） 2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
而且这两种运算满足一些重要的规律,如

1
( ) ( ) k(l ) (kl)
0
(k l) k l
( ) 0
k( ) k k
, , Pn , k,l P
① ② ( ) ( )
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
0 ;（β 称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 :
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解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1

log
2 2
1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.
事实上,a, b R , a b ab R ,且 ab唯一确定；
以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x) , 则 f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数
乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.
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二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
P[ x]n { f ( x) an1xn1 a1x a0 an1, ,a1,a0 P}
例3 数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 用 Pmn 表示．
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注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
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一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中
定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ，
在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
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加法满足下列四条规则： , , V
⑦ (k l) a akl akal ak al (k a) (l a)
⑧ k (a b) k (ab) (ab)k akbk ak bk
(k a) (k b);
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
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