异面直线夹角

2
? 直线AC '和B ' D '的夹角是90?
总结：异面直线所成角的求法：
求异面直线所成的角的步骤是 : 一作 (找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的 异面直线所成的角 . 三求：在一恰当的三角形中求 出角
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练习空间四边形ABCD 中， E,F分别是
对角线BD,AC 的中点，若BC=AD=2EF ， 求直线EF与直线AD所成的角
复习回顾
1.异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条 直线叫做异面直线.
2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行. 3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补 .
一、判断
练习
1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。 错
2）a ? α，b ? α，则a，b一定异面 . 错
? MF 2 ? ME2 ? EF 2
?? EMF ? 90?
E
? 异面直线AB和CD的夹角是90? C
F D
2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它
和另一条的位置关系是（ D ）
A.平行
B. 相交
C.异面
D. 相交或异面
3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是
A.异面
B.平行
D
C.相交
D.以上都有可能
4. 异面直线a，b满足a? ? ，b? ? ，? ∩? =l，则l与
a，b的位置关系一定是
D?
A?
C?
B?
D
A
C B
有，如AB和CC ‘，AB和DD' .
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂 直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
相交直线的垂直
垂直分为两种：
c
异面直线的垂直
cb
?
b
a
?
a
垂直
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
典型例题
例1.?如图，在正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D '中，D '
3）a与b是异面直线， b与c是异面直线，则 a与c是异 面直线. 错
4）a与b是共面， b与c是共面，则 a与c共面. 错
二、选择
1. 两条直线 a，b分别和异面直线 c，d都相交，则 直线a，b的位置关系是 ( D ) A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
(2)?与直线AA '垂直的直线有 AB, BC,CD, DA,
???A??' B ', B 'C ',C ' D ', D ' A ';
与直线A ' B垂直的直线有 A ' D ', B 'C ', BC, AD.
典型例题
例1.?如图，在正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D '中，D '
(1)?直线A ' B和CC '的夹角是多少？
A'
(2)?哪些棱所在的直线与直线 AA '垂直？
C' B'
哪些棱所在的直线与直线 A ' B垂直？
D
C
解：(1)? BB ' ??CC '
A
B
?? A ' BB '即异面直线A ' B和CC '所成的角或其补角
? A ' BB ' ? 45???? 异面直线A ' B和CC '的夹角为45?.
A' D ? DB ? A' B
?? BA ' D ? 60?,?即? 异面直线A ' B和B 'C的夹角为60??.?
典型例题
例1.?如图，在正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D '中，D ' E C '
(4)?直线AC '和来自百度文库 ' D '的夹角是多少？ A'
B'
解：连结A'C '与D ' B '交于点E，
F
取AA'中点F，连结EF, FD '.
D
C
? AA 'C '中，EF ??AC '
A
B
?? FED '即异面直线 AC '和B ' D '所成的角或其补角
设正方体棱长为 a，则EF ? 1 AC ' ? 3 a, ED ' ? 2 a,
FD ' ? 5 a
2
2
2
? EF 2 ? ED '2 ? FD '2 ?? FED ' ? 90?
B
A. l与a，b都相交
B .l至少与a，b中的一条相交
C. l至多与a，b中的一条相交
D. l至少与a，b中的一条平行
异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作
直线a?//a, b?//b，我们把 a?与 b?所成的锐角（或
直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
b
?
a
b?
(3)?直线A ' B和B 'C的夹角是多少？
A'
解：(3)?连结A' D，DB，
C' B'
A ' B ' ??DC,??A ' B ' ? DC ? 四边形A ' B 'CD是平行四边形 ? A ' D??B 'C,??A ' D ? B 'C
D A
C B
?? BA ' D即异面直线 A ' B和B 'C所成的角或其补角
a? ?
O
b
O
a? a
平移法
为简便， O点常取 在某一直线上
如果两条异面直线所成的角是直角， 那么就说这两条直线相互垂直．
b
?
a
记作： a ? b.
总结：a ? b ?
?a与b相交垂直 ??a与b异面垂直
探 究 （1）在长方体 ABCD-A'B'C'D' 中，有没有 两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
A
F
ED
B
G C
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面
直线AB和CD所成的角.（以后可以证明）
解：取BC中点E，AC中点M , AD中点F,
连结EM , MF, FE, FB, FC.
A
MF ??CD, EM ????
?? EMF即异面直线AB和CD所成
的角或其补角
M
MF ? ME ? 2, EF ? 2 2 B