异面直线夹角
异面直线所成角的判定方法
异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。
在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。
我们需要了解两条异面直线的基本概念。
两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。
在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。
因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。
接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。
首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。
公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。
我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。
具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。
接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。
需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。
除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。
向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。
具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。
除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。
具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。
需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。
我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角的定义
异面直线是指空间中不在同一平面上的直线。
一般情况下，异面直线是无法相交的，
它们之间不具有任何交点，但它们的方向可以有交叉或相互平行的情况。
二、异面直线的性质
1.异面直线不在同一平面上，它们之间的距离是有限的，可以用它们最短距离来表示。
2.两条异面直线的方向可以有交叉或相互平行的情况。
3.异面直线不存在交点，但它们可以相互延长。
4.异面直线与同一平面上的直线的交点可以为零个或无限个。
异面直线所成角是指两条异面直线之间的夹角，它是两条异面直线在空间中的相对位
置关系的体现。
1.当两条异面直线相交时，它们所成的角度等于它们在交点处的夹角。
3.当两条异面直线相交且不在同一平面上时，它们所成的角度可以通过向量叉积计算。
异面直线所成角不仅是数学上的概念，还在实际问题中具有重要的应用价值。
例如，
在三维几何中，异面直线的夹角常常用于计算空间角的大小，如在机械加工和建筑设计中，需要计算两个不在同一平面上的部件之间的角度大小，这时就需要运用异面直线所成角的
概念进行计算。
在物理学和工程学中，异面直线所成角也经常被用来描述电场、电磁场、
热力学等物理量的性质。
因此，理解异面直线所成角的定义和计算方法，不仅有助于我们
加深对空间几何的认识，同时也有助于我们解决实际问题。
异面直线夹角求法
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和 可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦 值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方 向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与 两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的 夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形 的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间 的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形 的形状和大小，例如在三维建模、建 筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一 平面内投影所形成的角度，因此不会 超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线 的方向向量有关，方向向量之间的夹 角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。
异面直线及夹角PPT教学课件
(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内 常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线
(2)分别在两个平面内的直线叫异面直线
练习２、说出正方体中各对线段的位置关系
1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
D1
C1
A1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
B1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两 条异面直线中 的一条上
b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
一、空间中两直线的位置关系
a
a
b
b
平行
相交
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
a b 异面 空间两条直线
异面直线夹角万能公式
异面直线夹角万能公式好的，以下是为您生成的关于“异面直线夹角万能公式”的文章：在咱们学习立体几何的时候，异面直线夹角这一概念可真是个让人又爱又恨的“家伙”。
今天咱就来好好唠唠异面直线夹角万能公式这个神奇的工具。
还记得我当年上高中的时候，有一次数学课，老师在黑板上画了两条看起来“八竿子打不着”的异面直线，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来搞定这俩家伙的夹角问题！”当时我心里就犯嘀咕：“这可咋整啊？”老师开始讲解异面直线夹角万能公式，那场面，就像在破解一道神秘的密码。
公式看起来有点复杂，但是在老师一步一步的拆解下，我发现其实也没那么可怕。
这个万能公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角这个神秘的大门。
它的原理其实就是通过向量的运算来得出夹角。
想象一下，向量就像是一个个有方向的小箭头，我们通过计算这些小箭头之间的关系，就能算出异面直线的夹角啦。
比如说，我们有两条异面直线 a 和 b，分别找到它们的方向向量 m和 n 。
那这两条直线的夹角θ 就可以通过公式cosθ = |(m·n) / (|m|×|n|)|来计算。
这里的“·”表示向量的点积，|m|和|n|分别表示向量 m 和 n 的模。
咱们来具体讲讲这个公式里的门道。
先看分子 m·n ，这其实就是两个向量对应分量相乘再相加。
比如说 m = (x1, y1, z1) ，n = (x2, y2, z2) ，那 m·n = x1×x2 + y1×y2 + z1×z2 。
再看分母 |m|×|n| ，|m| 就是√(x1² +y1² + z1²) ，|n| 就是√(x2² + y2² + z2²) 。
为了更好地理解这个公式，咱们来做道题试试。
假设直线 a 的方向向量 m = (1, 2, -1) ，直线 b 的方向向量 n = (2, -1, 3) ，那先算 m·n =1×2 + 2×(-1) + (-1)×3 = -3 ，|m| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6 ，|n| = √(2² + (-1)²+ 3²) = √14 ，代入公式cosθ = |(-3) / (√6×√14)| ，经过计算就能得出夹角的余弦值，再根据余弦值就能求出夹角啦。
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。
2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。
3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。
4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。
具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。
由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。
为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。
由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。
因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。
通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。
异面直线所成角定义
异面直线所成角定义1. 什么是异面直线？异面直线是在三维空间中的直线，它们既不共面也不互相平行。
2. 异面直线的性质异面直线上的任意两条线段，它们之间的夹角都是锐角、直角或钝角。
我们可以利用向量和点的坐标进行计算，来确定异面直线所成的角的类型。
2.1 向量判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s其中(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)为两条直线的方向向量。
两条异面直线不共面，即方向向量(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)不互相平行。
2.2 利用点坐标判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s设点P1(x1, y1, z1)为直线L1上的一点，点P2(x2, y2, z2)为直线L2上的一点。
若点P1和点P2不在一条直线上，则直线L1和直线L2异面。
3. 异面直线所成的角的定义异面直线L1和L2上的点A和B，它们与两条直线的交点分别为C和D，连接线段AD和BC。
定义：异面直线L1和L2所成的角是线段AD和BC之间的夹角。
4. 异面直线所成角的计算方法异面直线L1和L2所成的角，可以通过两条直线的方向向量来计算。
设L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。
计算方式：cosθ = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2) *√(a2^2 + b2^2 + c2^2)其中，|a1a2 + b1b2 + c1c2|表示两个向量的点积的绝对值。
通过求解得到的角的余弦值，我们可以判断异面直线所成的角是锐角、直角还是钝角。
异面直线成角公式
异面直线成角公式异面直线成角公式是解决在三维空间中两条异面直线之间夹角的数学公式。
在几何学中，异面直线是指不在同一个平面内的两条直线，而成角则是指两条直线之间的夹角。
异面直线成角公式可以帮助我们计算出两条异面直线之间的夹角，从而在解决一些几何问题时提供便利。
要理解异面直线成角公式，首先需要了解什么是异面直线以及夹角的概念。
异面直线是指不在同一个平面内的两条直线，也就是说它们的方向不重合，无法通过平面旋转或平移相互重合。
而夹角则是指两条直线之间的夹角，可以用度数或弧度来表示。
在三维空间中，我们可以使用向量来表示直线。
对于两条异面直线，我们可以通过求取它们的方向向量来判断它们是否异面。
两条异面直线的方向向量不平行，即两条向量的点积不等于零。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们就是异面直线。
接下来，我们需要找到两条异面直线之间的夹角。
我们可以使用向量的夹角公式来计算。
向量的夹角可以通过点积和模长来计算。
设两条异面直线的方向向量分别为a和b，那么它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算得出：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，·表示点积，|a|和|b|表示向量a和向量b的模长。
通过计算这个公式，我们可以得到两条异面直线之间的夹角的余弦值。
如果我们需要得到夹角的具体数值，可以使用反余弦函数来计算。
异面直线成角公式的应用非常广泛。
在几何学中，我们经常需要计算两条异面直线之间的夹角，以解决一些相关问题。
例如，在三维空间中，我们需要计算两条直线的夹角来确定它们之间的关系，或是计算两个平面的夹角来判断它们是否相交。
在物理学中，夹角的计算也经常用于求解力的合成和分解问题。
异面直线成角公式是解决三维空间中两条异面直线夹角的数学公式。
通过求取两条直线的方向向量，并通过点积和模长计算，我们可以得到两条异面直线之间的夹角。
这个公式在几何学和物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些与夹角相关的问题。
异面直线位置关系
异面直线位置关系
异面直线位置关系:
1、平行：异面直线互相平行，两条直线从无穷远处一直延伸，永远不
会相交。
2、垂直：异面直线垂直，两条垂直异面直线之间距离为0，即它们运
动时只能走直线，不能改变方向，因此也不会相交。
3、互相垂直：异面直线互相垂直，也就是一条直线的端点在另一条直
线的垂线上，例如正方形的四边形可以由两条异面直线互相垂直构成。
4、夹角：异面直线的夹角，其实指的是这两条直线的夹角的大小，也
就是由它们的位置关系而定的，常见的有锐角、直角、钝角等，分别
用α、90度、180度表示。
5、平分线：异面直线的一个重要特征是它们之间可以有平分线，即垂
足在异面直线之间，当两条异面直线相对比较远时，它们之间可以先
再垂线上肯定出一个垂足，然后由垂足代表他们之间的连线，即为平
分线。
6、等分线：等分线指的是以设定的比例将两条异面直线进行划分，从
而将一个空间按照指定比例大小进行划分，分割出不同的区域。
7、对称轴：当异面直线的夹角变换为180°，也就是变成直角后，它们之间的中间部分就构成了一条直线，这条直线就是他们的对称轴。
8、重合：异面直线重合，指的是两条直线从初始位置移动或者旋转，使得它们后来都处于同一位置，也就是说两条直线后来重合。
立体几何篇(异面直线夹角)
立体几何篇（异面直线夹角专题）异面直线夹角专题：1、常见的六个夹角的范围①线线夹角：≤θ900≤②异面直线夹角：<θ900≤③向量直线夹角：≤θ0≤180④线面夹角：≤θ900≤⑤面面夹角：≤θ0≤180⑥倾斜角：≤θ0<1802、异面直线夹角平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。
例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为则EF=______________求线面角的方法：1、定义法（垂线法）2、公式法3、等体积转化法4、向量法1、定义法（垂线法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成 60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______3、等体积转化法：例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；。
异面直线所成角的取值范围
异面直线所成角的取值范围
1. 异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。
2. 异面直线所成角的取值是从0到180度之间。
异面直线是指两条直线不在同一个平面上，它们不会相交而是在一定的距离上平行或者呈现一定的夹角。
因为不在同一平面上，所以这些直线的相交角应该是“体角”而不是“平面角”。
异面直线的角度取值范围从0到180度。
当两条异面直线平行时，它们之间的角度是0度，当两条异面直线相互垂直时，它们之间的角度是90度。
而当两条异面直线互相交叉时，它们之间的夹角在0度和180度之间。
要计算两条异面直线的角度，通常可以使用向量的方法，即对两条异面直线分别求其方向向量，然后通过向量的点积来计算它们之间的夹角。
其中，夹角的值可以使用余弦函数或正弦函数来计算。
在实际应用中，处理异面直线的问题通常会涉及到三维建模、人工智能、机器视觉等领域。
例如，在三维建模中，需要计算三维模型中不同面之间的夹角，就需要处理异面直线的问题。
总的来说，异面直线所成角的取值范围从0到180度之间，它们之间
的夹角可以使用向量的方法来计算，这在实际应用中具有重要的意义。
异面直线及其夹角 PPT课件 6 人教课标版
D
C
点 C 平A面 1B A 1B .
A
B
∴直线AC与A1B为异面直线．
练习2:
已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b 和c是异面直线．
证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A， 所以A∈α，又c⊂α，c∥a. 所以A∉c，在直线b上任取一点B (不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．
2
AF 3 a, AP 2EC 3a.
2
P
PA中 F应用余 ,得 c弦 o sP定 A理 F2.
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
E D
C
课堂练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点，
PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面 直线”.
演示
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b
(3)
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例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直
线a，b上，那么正确的结论是（ C ）
A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
异面直线的夹角-线面角(含答案)
异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。
两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义
两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义前言：立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线 线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成 角等。
考点一：两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= 点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。
构成向量CD AB ,。
><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。
随堂练习：1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1， 则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．10153、 如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.图1－6(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值．考点二：直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为 |c o s |________θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。
2.1.2空间中异面直线夹角
1.空间两条直线的位置关系： 共面直线 平行直线 同一平面内，没有公共点。
相交直线 同一平面内，有且只有一个公共点。
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.异面直线的判定 (1)、定义法
·
A
a
B
(2)、判定定理
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
因为 B BA 45 B A 所以 与CC 的夹角为 45 ．
C
B
D
C
A
B
练习1
在如图所示的长方体中，AB= 3 ，且
AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
30
O
练习
已知正方体 ABCD ABC D，求下列异面
直线所成的角
C' D' D A' C A B D
B'
D'
C' A' C A
B' B
∠ADC=∠A′D′C′
∠ADC+∠B′A′D′=1800
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
AC // AC , AB // AB
C C
A
C
B
A
B
A
B
B
A
C
等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对Байду номын сангаас平行且方向相同，那么这两个角相等.
b b 根据等角定理可知， a′与b′所成角的大小与点 O的 b 在异面直线所成角的 a 位置无关． 定义中，角的大小与 O a a a 但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上， O 点o的位置有关系吗 特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等 )．
异面直线所成角cos公式
异面直线所成角cos公式
直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。
异面直线所成角cos公式为cosa=|m1m2+n1n2+p1p2|/[√(m1^2+n1^2+p1^2)√(m2^2+n2^2+ p2^2）]，计算时代入具体的数据即可。
异面直线是不在同一平面上的两条直线，异面直线是既不相交，又不平行的直线，因为两条直线如果相交或平行，则它们必在同一平面上。
异面直线夹角公式是cosθ=a*b/(|a|*|b|)。
长度为0的向量叫做零向量，记为0。
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2)a*b=x1x2+y1y2+z1z2。
|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，
|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)cosθ=a*b/(|a|*|b|)，角
θ=arccosθ。
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F
取AA'中点F，连结EF, FD '.
D
C
? AA 'C '中，EF ??AC '
A
B
?? FED '即异面直线 AC '和B ' D '所成的角或其补角
设正方体棱长为 a，则EF ? 1 AC ' ? 3 a, ED ' ? 2 a,
FD ' ? 5 a
2
2
2
? EF 2 ? ED '2 ? FD '2 ?? FED ' ? 90?
复习回顾
1.异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条 直线叫做异面直线.
2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行. 3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补 .
一、判断
练习
1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。 错
2）a ? α，b ? α，则a，b一定异面 . 错
2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它
和另一条的位置关系是（ D ）
A.平行
B. 相交
C.异面
D. 相交或异面
3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是
A.异面
B.平行
D
C.相交
D.以上都有可能
4. 异面直线a，b满足a? ? ，b? ? ，? ∩? =l，则l与
a，b的位置关系一定是
A
F
ED
B
G C
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面
直线AB和CD所成的角.（以后可以证明）
解：取BC中点E，AC中点M , AD中点F,
连结EM , MF, FE, FB, FC.
A
MF ??CD, EM ????
?? EMF即异面直线AB和CD所成
的角或其补角
M
MF ? ME ? 2, EF ? 2 2 B
(3)?直线A ' B和B 'C的夹角是多少？
A'
解：(3)?连结A' D，DB，
C' B'
A ' B ' ??DC,??A ' B ' ? DC ? 四边形A ' B 'CD是平行四边形 ? A ' D??B 'C,??A ' D ? B 'C
D A
C B
?? BA ' D即异面直线 A ' B和B 'C所成的角或其补角
(2)?与直线AA '垂直的直线有 AB, BC,CD, DA,
???A??' B ', B 'C ',C ' D ', D ' A ';
与直线A ' B垂直的直线有 A ' D ', B 'C ', BC, AD.
典型例题
例1.?如图，在正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D '中，D '
B
A. l与a，b都相交
B .l至少与a，b中的一条相交
C. l至多与a，b中的一条相交
D. l至少与a，b中的一条平行
异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作
直线a?//a, b?//b，我们把 a?与 b?所成的锐角（或
直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
b
?
a
b?
(1)?直线A ' B和CC '的夹角是多少？
A'
(2)?哪些棱所在的直线与直线 AA '垂直？
C' B'
哪些棱所在的直线与直线 A ' B垂直？
D
C
解：(1)? BB ' ??CC '
A
B
?? A ' BB '即异面直线A ' B和CC '所成的角或其补角
? A ' BB ' ? 45???? 异面直线A ' B和CC '的夹角为45?.
D?
A?
C?
B?
D
A
C B
有，如AB和CC ‘，AB和DD' .
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂 直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
相交直线的垂直
垂直分为两种：
c
异面直线的垂直
cb
?
b
a
?
a
垂直
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
Байду номын сангаас
典型例题
例1.?如图，在正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D '中，D '
a? ?
O
b
O
a? a
平移法
为简便， O点常取 在某一直线上
如果两条异面直线所成的角是直角， 那么就说这两条直线相互垂直．
b
?
a
记作： a ? b.
总结：a ? b ?
?a与b相交垂直 ??a与b异面垂直
探 究 （1）在长方体 ABCD-A'B'C'D' 中，有没有 两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
2
? 直线AC '和B ' D '的夹角是90?
总结：异面直线所成角的求法：
求异面直线所成的角的步骤是 : 一作 (找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的 异面直线所成的角 . 三求：在一恰当的三角形中求 出角
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练习空间四边形ABCD 中， E,F分别是
对角线BD,AC 的中点，若BC=AD=2EF ， 求直线EF与直线AD所成的角
A' D ? DB ? A' B
?? BA ' D ? 60?,?即? 异面直线A ' B和B 'C的夹角为60??.?
典型例题
例1.?如图，在正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D '中，D ' E C '
(4)?直线AC '和B ' D '的夹角是多少？ A'
B'
解：连结A'C '与D ' B '交于点E，
3）a与b是异面直线， b与c是异面直线，则 a与c是异 面直线. 错
4）a与b是共面， b与c是共面，则 a与c共面. 错
二、选择
1. 两条直线 a，b分别和异面直线 c，d都相交，则 直线a，b的位置关系是 ( D ) A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
? MF 2 ? ME2 ? EF 2
?? EMF ? 90?
E
? 异面直线AB和CD的夹角是90? C
F D